Bài tiểu luận tối ưu phi tuyến nhóm 12

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM
KHOA TOÁN - TIN





BÀI THUYẾT TRÌNH
TỐI ƯU PHI TUYẾN

ĐỀ TÀI:
TÍNH KHẢ VI CỦA HÀM LỒI VÀ HÀM LÕM



GIẢNG VIÊN
:
TS. TRỊNH CÔNG DIỆU
THỰC HIỆN
:
NHÓM 21 – VB2 TOÁN – KHÓA 2
01
:
HUỲNH VĂN AN
02
:
ĐINH HÙNG KỲ
03
:

ĐOÀN NHẬT MINH






THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
THÁNG 01 NĂM 2015


MÔN HỌC: TỐI ƯU PHI TUYẾN GV: PGS. TS TRỊNH CÔNG DIỆU

SVTH: NHÓM 21 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 i

MỤC LỤC

MỤC LỤC i
1. Kiến thức chuẩn bị 1
1.1. Tập lồi 1
1.2. Hàm số lồi, hàm số lõm: 1
1.3. Hàm số lồi nghiêm ngặt, lõm nghiêm ngặt 2
1.4. Hàm số khả vi và khả vi cấp hai 2
1.5. Định lý giá trị trung bình và Định lý Taylor 3
2.Tính khả vi của hàm lồi và hàm lõm 4
2.1. Định lý 2.1 4
2.2. Định lý 2.2 6
2.3. Định lý 2.3 8
3. Tính khả vi của hàm lồi nghiêm ngặt và hàm lõm nghiêm ngặt 9
3.1. Định lý 3.1 9

3.2. Định lý 3.2 10
3.3. Định lý 3.3 11
4. Tính khả vi cấp hai của hàm lồi và hàm lõm 12
4.1. Định lý 4.1 12
4.2. Định lý 4.2 12
5. Tính khả vi cấp hai của hàm lồi nghiêm ngặt và hàm lõm nghiêm ngặt 13
5.1. Định lý 5.1 13
5.2. Định lý 5.2 14
6. Khảo sát tính lồi, lõm của hàm số 15
PHỤ LỤC 17
Phụ lục 1: Tóm tắt Định lý 2.1, 2.2, 2.3 17
Phụ lục 2: Tóm tắt Định lý 3.1, 3.2, 3.3 17
Phụ lục 3: Tóm tắt Định lý 4.1, 4.2 18
Phụ lục 4: Tóm tắt Định lý 5.1, 5.2 18


MÔN HỌC: TỐI ƯU PHI TUYẾN GV: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU

SVTH: NHÓM 21 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 1

1. Kiến thức chuẩn bị

1.1. Tập lồi

n

là tập lồi nếu lấy hai điểm tùy ý thuộc

thì đoạn thẳng nối hai điểm ấy cũng thuộc


. Định nghĩa tương đương,
n

là tập lồi nếu
 
12
12
,
1
01
xx
xx



   

Ví dụ:

- Với
12
,
n
xx
, đoạn
 
 
1 2 1 2
, | 1 ,0 1


      

x x x x x x
là tập lồi.
- Quả cầu mở tâm
x
bán kính

:
 
 
|,
n
B x x x x x

    
là tập lồi.




Hình 1.1: Hình ảnh minh hoạ một số tập lồi trong
2


1.2. Hàm số lồi, hàm số lõm:

Cho


là hàm số xác định trên tập
n

:

i)

là hàm lồi tại
x 
nếu
 
       
0 1 1 1
1
x
x x x x
xx

           
  










là hàm lồi trên

nếu

lồi tại mọi
x 
.

ii)


là hàm lõm tại
x 
nếu
 
       
0 1 1 1
1
x
x x x x
xx

           
    






là hàm lõm trên

nếu

lõm tại mọi
x 
.
Lưu ý:
i)

là hàm lồi tại
x 

khi và chỉ khi -

là hàm lõm tại
x 

ii) Hàm tuyến tính vừa là hàm lồi vừa là hàm lõm.





MÔN HỌC: TỐI ƯU PHI TUYẾN GV: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU

SVTH: NHÓM 21 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 2

Hình 1.2a: Hàm lồi trên

Hình 1.2b: Hàm lõm trên

1.3. Hàm số lồi nghiêm ngặt, lõm nghiêm ngặt

Cho

là hàm số xác định trên tập
n

:

i)

là hàm lồi nghiêm ngặt tại
x 
nếu
 

       
11
01
1
x
xx
x x x x
xx


          
  
    





là hàm lồi nghiêm ngặt trên

nếu

lồi nghiêm ngặt tại mọi
x 
.

ii)

là hàm lõm nghiêm ngặt tại
x 

nếu
 
       
11
01
1
x
xx
x x x x
xx


           
  
    





là hàm lõm nghiêm ngặt trên

nếu

lõm nghiêm ngặt tại mọi
x 

Lưu ý:
i)


là hàm lồi nghiêm ngặt tại
x 

khi và chỉ khi -

là hàm lõm nghiêm ngặt tại
x 

ii) Hàm tuyến tính không phải là hàm lồi nghiêm ngặt cũng không phải là hàm lõm nghiêm ngặt.


1.4. Hàm số khả vi và khả vi cấp hai

Cho

là hàm số xác định trên tập lồi, mở
n

:





 
1
θx

 
2

θx

1
x

2
x

 
   
12
1-λ θ x + λθ x

 
 
12
θ 1 - λ x + λx

0






1
)θ(x

1
x

2
x

 
   
12
1-λ θ x + λθ x

0

 
 
12
θ 1 - λ x + λx

2
)θ(x



MÔN HỌC: TỐI ƯU PHI TUYẾN GV: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU

SVTH: NHÓM 21 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 3

- Nếu

khả vi tại
x 
thì

       
 
0
,
lim , 0
n
x
x x x x x x x x
x
xx
xx

       



 

Trong đó
 
   
1 n
xx
x , ,
xx
 

 




là vectơ gradient
n

chiều của

tại
x
với các thành
phần là các đạo hàm riêng của

theo
1
x
, …,
n
x
có giá trị tại
x
và

là hàm số của
x
.

- Nếu

khả vi cấp hai tại
x 
thì

     
 
 
 
 
2
2
0
,
2
lim , 0
n
x
x x x
x x x x x x x x
x
xx
xx


       


 


Trong đó
 
2
x

là ma trận Hessian
nn
của

tại
x
, với phần tử thứ
ij
là
   
2
, 1, ,
ij
x i j n
xx



.
 
     
     
     
2 2 2
2
1 2 1
1
2 2 2
2
2

2 1 2
2
2 2 2
2
12
n
n
nn
n
x x x
x x x x
x
x x x
x
x x x x
x
x x x
x x x x
x

     

   



     

  
   






     

   



- Định lý
Cho

là một hàm số xác định trên một tập mở
n

, và cho
x 
. Khi đó
(i) Nếu

có các đạo hàm riêng liên tục tại
x
, nghĩa là
 
x
tồn tại và

liên tục tại

x

thì

khả vi tại
x
.
(ii)

khả vi tại
x 
khả vi cấp 2 tại
x

(iii)

có các đạo hàm riêng liên tục tại
x 
khả vi cấp 2 tại
x


1.5. Định lý giá trị trung bình và Định lý Taylor

- Định lý giá trị trung bình

Cho

là hàm số khả vi, xác định trên tập lồi, mở
n


, với mọi
1
x
,
2
x 
, tồn tại

,
01  
thỏa
       
2 1 1 2 1 2 1
x x x x x x x

        



MÔN HỌC: TỐI ƯU PHI TUYẾN GV: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU

SVTH: NHÓM 21 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 4

- Định lý Taylor

Cho

là hàm số khả vi cấp hai, xác định trên tập lồi, mở
n


, với mọi
1
x
,
2
x 
, tồn
tại

,
01  
thỏa
      
     
2 1 2 1 2 1 2 1
2 1 1 2 1
2
x x x x x x x
x x x x x

      

      


2.Tính khả vi của hàm lồi và hàm lõm

2.1. Định lý 2.1

Cho

là hàm số xác định trên tập mở
n

và

khả vi tại
x 
:
i) Nếu


là hàm lồi tại
x 
thì
      
x x x x x    

với mọi
x
.
ii) Nếu


là hàm lõm tại
x 
thì
      
    x x x x x

với mọi
x
.

Chứng minh:

Nhận xét:

Bài toán sẽ dễ dàng được chứng minh nếu cho

là một tập lồi, thật vậy
Cho


là hàm lồi tại
x
, từ Mục 1.2,

là một tập lồi và
x
nên với
01
ta có
       
11         


x x x x

hay
   
   
    


  

x x x x
xx


    
,       




x x x x x x x x
(do

khả vi tại
x
)

    
,       


x x x x x x x x

Vì
 
0
lim , 0

   


x x x
nên khi cho
0
đối với biểu thức trên ta được:

      
    x x x x x


Nhưng giả thiết của định lý không cho

là tập lồi, vì vậy nếu muốn dùng kỹ thuật chứng
minh trên để áp dụng trong trường hợp tổng quát này, ta cần phải sử dụng thêm một kỹ thuật nhỏ,
nếu miêu tả bằng hình ảnh, kỹ thuật này giống như một phép co lại, từ một bài toán toàn cục ta co
lại thành một bài toán địa phương, tất nhiên khi xét ở địa phương, bài toán sẽ có thêm những điều
kiện mới, mà từ đó giúp ta giải được bài toán, rồi bằng một phép giãn, với hệ số bằng nghịch đảo hệ
số co, ta thu được kết quả trên toàn cục. Địa phương ở đây ta sẽ chọn là một quả cầu mở, bởi vì quả
cầu mở là một tập lồi và do

là một tập mở nên luôn tồn tại quả cầu mở tâm
x

chứa trong

.
Chứng minh cụ thể như sau:
MÔN HỌC: TỐI ƯU PHI TUYẾN GV: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU

SVTH: NHÓM 21 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 5

Chứng minh:
Cho

là hàm lồi tại
x
. Vì

là tập mở nên tồn tại quả cầu mở
 
Bx

tâm
x
, bán kính

,
chứa trong

. Lấy
x
và

xx
, lấy

thỏa
01  
và
xx   
, ta có
     
ˆ
:1x x x x x x B x

           

(do
ˆ
.x x x x x x
xx


     

)
Vì


là hàm lồi tại
x
, từ Mục 1.2, tính lồi của
 

Bx

và
 
ˆ
x B x


nên với
01  
ta có
       
ˆˆ
11x x x x         



hay
   
   
ˆ
ˆ
x x x x
xx
    


  


    
ˆ ˆ ˆ
,x x x x x x x x       




(do

khả vi tại
x
)
    
ˆ ˆ ˆ
,x x x x x x x x       



Vì
 
0
ˆ
lim , 0x x x

   


nên khi cho
0
đối với biểu thức trên ta được:

      
ˆˆ
x x x x x    

(1)
Vì


là hàm lồi tại
x
và
ˆ
x
,
 
ˆ
1x x x   
nên ta có

       
ˆ
1x x x    

hay
       
ˆ
x x x x      



(2)
Hơn nữa ta có
 
ˆ
x x x x   

(3)
Từ (1), (2), (3) và do
0

ta suy ra :

      
x x x x x    

Chứng minh cho trường hợp hàm lõm tương tự như trên bằng cách sử dụng tính chất của hàm
lõm trong Mục 1.2 thay vì tính chất của hàm lồi hoặc đơn giản hơn ta chỉ việc áp dụng kết quả vừa
chứng minh cho hàm

▐

Nhận xét:


Ý nghĩa hình học của các kết quả trên có thể được diễn tả như sau: Với

là hàm lồi, khả vi
trên


thì tuyến tính hóa
    
   x x x x
tại
x
không bao giờ ước lượng cao hơn
 
 x
với
mọi
x
, xem Hình 2.1a. Với

là hàm lõm, khả vi trên

thì tuyến tính hóa
    
   x x x x
tại
x

không bao giờ ước lượng thấp hơn
 
 x
với mọi
x
, xem Hình
2.1b.
MÔN HỌC: TỐI ƯU PHI TUYẾN GV: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU

SVTH: NHÓM 21 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 6

Ghi chú: Ở đây ta định nghĩa tuyến tính hoá của

tại
x
là hàm
 
Lx
=
    
   x x x x

(Để dễ hình dung ta xét


khi đó
 
y L x
=
    
'   x x x x
chính là phương trình tiếp
tuyến của hàm

tại
x
)

Hình 2.1a: Tuyến tính hoá của của hàm lồi

không bao giờ ước lượng cao hơn hàm














Hình 2.1b: Tuyến tính hoá của hàm lõm


không bao giờ ước lượng thấp hơn hàm



2.2. Định lý 2.2

Cho

là hàm số khả vi trên tập lồi, mở
n

:
i)


là hàm lồi trên

nếu và chỉ nếu
      
2 1 1 2 1
x x x x x    
với mọi
12
, xx
ii)

là hàm lõm trên

nếu và chỉ nếu
      

2 1 1 2 1
    x x x x x
với mọi
12
, xx


Chứng minh:
Ta sẽ chứng minh cho trường hợp hàm lồi (trường hợp hàm lõm chứng minh tương tự)
Điều kiện cần:


 
θx

 
θx

x

x

Tuyến tính hoá
của

tại
x

n

    
θ x + θ x x - x

 
θx

 
θx

x

x

n

Tuyến tính hoá
của

tại
x

    
θ x + θ x x - x


MÔN HỌC: TỐI ƯU PHI TUYẾN GV: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU

SVTH: NHÓM 21 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 7

Vì



là hàm lồi tại mọi
1
x 
nên theo Định lý 2.1 suy ra
      
2 1 1 2 1
x x x x x    

với
2
x 

Điều kiện đủ:
Cho
1
x
,
2
x 
và
0 1
. Vì

là tập lồi nên
 
12
1 xx    
. Khi đó ta có

 
   
 
1 1 2 1 2 1 2
11x x x x x x x
   
           
   

 
     
 
2 1 2 1 2 1 2
1 1 1x x x x x x x
   
               
   

Nhân bất đẳng thức đầu với
 
1
, bất đẳng thức thứ hai với

và cộng lại vế theo vế ta
được
 
   
 
1 2 1 2
11x x x x


         


Từ đó, theo Mục 1.2 suy ra

là hàm lồi.▐
Mô tả hình học của Định lý 2.2 được thể hiện ở Hình 2.2a và Hình 2.2b.













Hình 2.2a:

Hình 2.2b:


 
2
θx

 
1
θx

1
x

2
x

Tuyến tính hoá
của

tại
1
x

n

    
2

1 1 1
θ x + θ x x - x

 
1
θx

 
2
θx

1
x

2
x

n

Tuyến tính hoá
của

tại
1
x

    

1 1 2 1
θ x + θ x x - x


MÔN HỌC: TỐI ƯU PHI TUYẾN GV: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU

SVTH: NHÓM 21 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 8

2.3. Định lý 2.3

Cho

là hàm số khả vi trên tập lồi, mở
n


i)

là hàm lồi trên




     
2 1 2 1
0x x x x

   


với mọi
1
x
,
2
x 

ii)

là hàm lõm trên




     
2 1 2 1
0x x x x

   

với mọi
1
x
,
2
x 


Chứng minh:

Ta sẽ chứng minh cho trường hợp hàm lồi. Trường hợp hàm lõm chứng minh tương tự.

Điều kiện cần:

Cho

là hàm lồi trên

và cho
1
x
,
2
x 
. Theo Định lý 2.2 ta có
      
2 1 1 2 1
0x x x x x     

và
      
1 2 2 1 2
0x x x x x    

Cộng hai bất đẳng thức trên ta được
     
2 1 2 1
0x x x x


   



Điều kiện đủ:

Cho
1
x
,
2
x 
khi đó với
0 1
thì
 
12
1 xx    
(do

lồi). Theo định lý giá trị
trung bình ở Mục 1.5, tồn tại

,
01  
sao cho :
       
 
2 1 1 2 1 2 1
1x x x x x x x


       


Mặt khác từ bất đẳng thức ở giả thiết, thay
2
x
bởi
 
1 2 1
  x x x
và giữ nguyên
1
x
ta được :
   
 
 
1 2 1 1 2 1
0x x x x x x

      


hay

      
1 2 1 2 1 1 2 1

      


x x x x x x x x
(do
0
) (2)
Từ (1) và (2) ta có
      
2 1 1 2 1
x x x x x    

Do vậy

là hàm lồi trên

( theo Định lý 2.2).▐

Ghi chú:
Ta định nghĩa:
- Nếu
f
là hàm
n
chiều trên
n

, và
     
2 1 2 1
0f x f x x x




với mọi
1
x
,
2
x 

MÔN HỌC: TỐI ƯU PHI TUYẾN GV: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU

SVTH: NHÓM 21 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 9

thì
f
được gọi là hàm đơn điệu tăng trên

.
- Nếu
f
là hàm
n
chiều trên
n

, và
     
2 1 2 1
0f x f x x x




với mọi
1
x
,
2
x 

thì
f
được gọi là hàm đơn điệu giảm trên

.
Từ định lý trên ta thấy rằng :
Một hàm số


khả vi trên tập lồi, mở
n

, sẽ là hàm lồi (lõm) nếu và chỉ nếu


đơn
điệu tăng (giảm) trên

.

3. Tính khả vi của hàm lồi nghiêm ngặt và hàm lõm nghiêm ngặt

Tất cả kết quả trong phần trước được mở rộng trực tiếp cho hàm lồi nghiêm ngặt và hàm lõm
nghiêm ngặt bằng cách đổi dấu

và thành dấu

và

. Cụ thể ta có những kết quả sau.

3.1. Định lý 3.1

Cho

là hàm số xác định trên tập mở
n

và

khả vi tại
x 
:
i) Nếu

là hàm lồi nghiêm ngặt tại
x 
thì
      
    x x x x x
với mọi

x
,
xx
.
ii) Nếu

là hàm lõm nghiêm ngặt tại
x 
thì
      
    x x x x x
với mọi
,x
xx
.

Chứng minh:

Ta sẽ chứng minh định lý cho trường hợp hàm lồi nghiêm ngặt. Trường hợp hàm lõm nghiêm
ngặt chứng minh tương tự.

Cho

là hàm lồi nghiêm ngặt tại
x
, khi đó

       
11x x x x          



với
, ,0 1x x x     
,
 
1 xx   

(1)
Vì

là hàm lồi tại
x
nên theo Định lý 2.1 ta có

      
x x x x x    
với
x 

(2)
Ta sẽ chứng minh nếu tồn tại
x
và
xx
để dấu “=” trong (2) xảy ra thì dẫn đến điều
mâu thuẫn. Giả sử dấu “=” trong (2) xảy ra khi
,x x x 
và
xx
. Khi đó

      
    x x x x x
(3)
Do

là tập mở nên luôn tồn tại

đủ nhỏ để
 
1 xx   
.
Từ (1) và (3) ta có:

          
11x x x x x x x            


với
01  
,
 
1 xx   

hay
MÔN HỌC: TỐI ƯU PHI TUYẾN GV: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU

SVTH: NHÓM 21 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 10

      
1         


x x x x x x
với
01  
,
 
1 xx   

(4)
Mặt khác nếu tiếp tục áp dụng Định lý 2.1 cho
 
1    x x x
và
x
ta được

      
1 x x x x x x        


với
01  
,
 
1 xx   

Điều này mâu thuẫn với (4). Do đó dấu “=” trong (2) không xảy ra với bất kỳ

,x x x 
.
Vậy định lý được chứng minh cho trường hợp hàm lồi. ▐

3.2. Định lý 3.2

Cho

là hàm số khả vi trên tập lồi, mở
n

:
i)

là hàm lồi nghiêm ngặt trên

      
2 1 1 2 1
x x x x x      
với
12
,xx 
,
12
xx
.
ii)

là hàm lõm nghiêm ngặt trên


      
2 1 1 2 1
x x x x x      
với
12
,xx 
,
12
xx
.

Chứng minh:

Ta sẽ chứng minh định lý cho trường hợp hàm lồi nghiêm ngặt. Trường hợp hàm lõm nghiêm
ngặt chứng minh tương tự.

Điều kiện cần:

Vì

là hàm lồi nghiêm ngặt tại mọi
1
x 
nên theo Định lý 3.1suy ra

      
2 1 1 2 1
x x x x x     
với mọi
2 2 1

,x x x 


Điều kiện đủ:

Cho
1
x
,
2
x 
và
01  
. Vì

là tập lồi nên
 
12
1 xx    
. Khi đó ta có

 
   
 
 
     
 
1 1 2 1 2 1 2
2 1 2 1 2 1 2
11

1 1 1
x x x x x x x
x x x x x x x
   
             
   
   
                
   

Nhân bất đẳng thức đầu với
 
1
, bất đẳng thức thứ hai với

và cộng lại ta được

 
   
 
1 2 1 2
11x x x x

          


Từ đó, theo Mục 1.3 suy ra

là hàm lồi nghiêm ngặt. ▐

MÔN HỌC: TỐI ƯU PHI TUYẾN GV: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU

SVTH: NHÓM 21 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 11

3.3. Định lý 3.3

Cho

là hàm số khả vi trên tập lồi, mở
n


(i)

là hàm lồi nghiêm ngặt trên



     
2 1 2 1
0x x x x

   

với
12
,,xx 

12
xx

(ii)

là hàm lõm nghiêm ngặt trên



     
2 1 2 1
0x x x x

   

với
12
,,xx 
12
xx


Chứng minh:

Ta sẽ chứng minh định lý cho trường hợp hàm lồi nghiêm ngặt. Trường hợp hàm lõm nghiêm
ngặt chứng minh tương tự.

Điều kiện cần:

Cho

là hàm lồi nghiêm ngặt trên

và
1
x
,
2
x 
. Theo Định lý 3.2 ta có
      
2 1 1 2 1
0x x x x x      

và
      
1 2 2 1 2
0x x x x x     

Cộng hai bất đẳng thức trên ta được
     
2 1 2 1
0x x x x

   



Điều kiện đủ:

Cho
1
x
,
2
x 
và
01  
. Vì

là tập lồi nên
 
12
1 xx    
. Theo định lý giá trị
trung bình ở Mục 1.5 tồn tại

,
01  
sao cho
       
2 1 1 2 1 2 1
x x x x x x x

        

(1)
Mặt khác từ bất đẳng thức ở giả thiết, thay
2

x
bởi
 
1 2 1
  x x x
và giữ nguyên
1
x
ta được :
   
 
 
1 2 1 1 2 1
0x x x x x x

        


hay

      
1 2 1 2 1 1 2 1
x x x x x x x x

       

(2)
Từ (1) và (2) ta được:

      

2 1 1 2 1
x x x x x     

Do đó

là hàm lồi nghiêm ngặt trên

(theo Định lý 3.2 )
.
▐

MÔN HỌC: TỐI ƯU PHI TUYẾN GV: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU

SVTH: NHÓM 21 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 12

4. Tính khả vi cấp hai của hàm lồi và hàm lõm

4.1. Định lý 4.1

Cho

là hàm số xác định trên tập mở
n

và

khả vi cấp hai tại
x 
:
i) Nếu


là hàm lồi tại
x 
thì
 
2
 x
nửa xác định dương, nghĩa là
 
2
0y x y
với
mọi
n
y 
.
ii) Nếu

là hàm lõm tại
x 
thì
 
2
 x
nửa xác định âm, nghĩa là
 
2
0y x y
với
mọi

n
y 
.

Chứng minh:

Ta sẽ chứng minh định lý cho trường hợp hàm lồi. Trường hợp hàm lõm chứng minh tương
tự.
Cho
n
y 
. Vì

là tập mở nên tồn tại quả cầu mở
 
Bx

tâm
x
, bán kính

, chứa trong

. Lấy
0
sao cho
y


khi đó với mọi

0    
ta có:
x y x y y
   
    
,
suy ra
 
x y B x

    

với mọi
0    
.
Do

là hàm lồi tại
x 

nên theo Định lý 2.1 ta có
     
0x y x x y     

với mọi
0    

(1)
Mặt khác vì


khả vi cấp hai tại
x
nên
     
   
   
 
2
2
2
2
,
2
y x y
x y x x y x y y
  
           
(2)

Từ (1) và (2) ta được:
 
 
 
2
2
,
2
0
y x y
x y y


  

với mọi
0    
.
Vì
 
0
lim , 0xy

  

nên khi cho
0
đối với biểu thức trên ta nhận được:
 
2
0y x y
.▐

4.2. Định lý 4.2

Cho

là hàm số khả vi cấp hai trên tập lồi, mở
n

:
i)


là hàm lồi trên

nếu và chỉ nếu
 
2
x
nửa xác định dương trên

, nghĩa là với mỗi
x
thì
 
2
0y x y

với mọi
n
y 
.
ii)

là hàm lõm trên

nếu và chỉ nếu
 
2
x
nửa xác định âm trên


, nghĩa là với mỗi
x
thì
 
2
0y x y
với mọi
n
y 
.
MÔN HỌC: TỐI ƯU PHI TUYẾN GV: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU

SVTH: NHÓM 21 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 13


Chứng minh:

Ta sẽ chứng minh định lý cho trường hợp hàm lồi. Trường hợp hàm lõm chứng minh tương
tự.
Điều kiện cần: Vì

là hàm lồi tại mọi
x
nên theo Định lý 4.1 suy ra
 
2
0y x y
với mọi
n
y 

Điều kiện đủ: Theo Định lý Taylor ở Mục 1.5, với mọi
1
x
,
2
x 
, tồn tại

,
01  
thỏa
      
     
2 1 2 1 2 1 2 1
2 1 1 2 1
2
x x x x x x x
x x x x x

      

      
(1)

Mặt khác do

lồi và
1
x

,
2
x 
,
01  
nên
 
1 2 1
x x x   

Hơn nữa theo giả thiết,
 
2
x
nửa xác định dương trên

nên vế phải của đẳng thức (1)
không âm. Dẫn đến vế trái của đẳng thức (1) cũng không âm, vì vậy theo Định lý 2.2 suy ra

là
hàm lồi trên

.▐

5. Tính khả vi cấp hai của hàm lồi nghiêm ngặt và hàm lõm nghiêm ngặt

Không phải tất cả các kết quả ở phần trước được mở rộng cho hàm lồi nghiêm ngặt và hàm
lõm nghiêm ngặt bằng cách đổi dấu

và thành dấu


và

. Thật vậy ta có các kết quả sau đây.

5.1. Định lý 5.1

Cho

là hàm số xác định trên tập mở
n

và

khả vi cấp hai tại
x 
:
i) Nếu

lồi nghiêm ngặt tại
x
thì
 
2
x
nửa xác định dương, nhưng không nhất thiết phải
xác định dương; nghĩa là điều sau đây không nhất thiết đúng:
 
2
0y x y  

với
,0
n
yy  
.
ii) Nếu


lõm nghiêm ngặt tại
x
thì
 
2
x
nửa xác định âm, nhưng không nhất thiết phải
xác định âm; nghĩa là điều sau đây không nhất thiết đúng:
 
2
0y x y  
với
,0
n
yy  
.

Chứng minh:

Nếu

lồi nghiêm ngặt tại

x
thì


lồi tại
x
, và theo Định lý 4.1 suy ra
 
2
 x
nửa xác định
dương. Để chứng minh
 
2
 x
không nhất thiết phải xác định dương, ta xét phản ví dụ:
Xét
 
4
,x x x  
. Ta sẽ chứng minh

lồi nghiêm ngặt trên
Thật vậy ta có:
MÔN HỌC: TỐI ƯU PHI TUYẾN GV: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU

SVTH: NHÓM 21 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 14

   
 

 
 
   
 
2
3 3 2 2
4 4 0y x y x y x y x y x y xy x           

với mọi
,,x y x y

Do đó theo định lý 3.3 ta suy ra


lồi nghiêm ngặt trên


Nhưng
   
2
2
12xx  
không xác định dương vì
 
2
00  
.
Trường hợp hàm lõm nghiêm ngặt ta chứng minh tương tự. ▐

5.2. Định lý 5.2

Cho

là hàm số khả vi cấp hai trên tập lồi, mở
n

:
i) Điều kiện đủ nhưng không phải là điều kiện cần để

là hàm lồi nghiêm ngặt trên

là
 
2
x
xác định dương trên

, nghĩa là với mỗi
x
thì
 
2
0y x y  
với mọi
,0
n
yy
.
ii) Điều kiện đủ nhưng không phải là điều kiện cần để


là hàm lõm nghiêm ngặt trên

là
 
2
x
xác định âm trên

, nghĩa là với mỗi
x
thì
 
2
0y x y  
với mọi
,0
n
yy
.

Chứng minh:

i) Để chứng minh điều kiện trên không phải là điều kiện cần ta sử dụng Định lý 5.1.
Điều kiện đủ: Theo Định lý Taylor ở Mục 1.5, với mọi
1
x
,
2
x 
, tồn tại


,
01  
thỏa
      
     
2 1 2 1 2 1 2 1
2 1 1 2 1
(1)
2
x x x x x x x
x x x x x

      

      

Mặt khác do

lồi và
1
x
,
2
x 
,
01  
nên
 
1 2 1

x x x   

Hơn nữa theo giả thiết,
 
2
x
xác định dương trên

nên vế phải của đẳng thức (1) dương
với mọi
1
x
,
2
x 
,
12
xx
. Do đó vế trái cũng dương với mọi
1
x
,
2
x 
,
12
xx
, vì vậy theo
Định lý 3.2 suy ra


là hàm lồi nghiêm ngặt trên

.

ii) Chứng minh tương tự i).▐












MÔN HỌC: TỐI ƯU PHI TUYẾN GV: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU

SVTH: NHÓM 21 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 15

6. Khảo sát tính lồi, lõm của hàm số

Ví dụ 1: Khảo sát tính lồi của hàm số sau trên
3
:

22
( , , ) 2 3f x y z x y z  

Giải
Dễ thấy
3
là tập lồi, mở. Bây giờ ta đi xét sự khả vi của
f
tại mọi
 
3
,,x y z 
:
Ta có :

( , , ) 2 , ( , , ) 4 , ( , , ) 3
f f f
x y z x x y z y x y z
x y z
  
   
  

Nhận thấy
,,
fff
x y z

  
là các hàm sơ cấp xác định trên
3
nên liên tục trên
3

, do đó theo định lý
mục 1.4 ta suy ra
f
khả vi trên
3

Vậy ta có thể áp dụng định lý 2.2 để kiểm tra tính lồi của hàm số
f
nghĩa là kiểm tra xem có hay
không bất đẳng thức:
      
2 1 1 2 1
,f x f x f x x x  

1 2 3
,xx

+ Tính:
 
,,f x y z

           
3
, , , , , , ,z , , , 2 ,4 , 3 , , ,
f f f
f x y z x y z x y x y z x y x y z
x y z

  
     


  


+ Kí hiệu:
1 2 3
1 1 1 2 2 2
( , , ), ( , , )x x y z x x y z  

Ta có:
      
2 1 1 2 1
f x f x f x x x  


   
  
2 2 2 2
2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1
2 3 2 3 2 ,4 , 3 , y ,zx y z x y z x y x x y z         


2 2 2 2 2 2
2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1
2 3 2 3 2 2 4 4 3z 3x y z x y z x x x y y y z          


2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1
02 2 4 2x x x x y y y y     

 
2
2
2 1 2 1
02(y )x x y   
(*)
Ta thấy
(*)
luôn đúng
1 2 3
,xx
. Theo định lý 2.2, ta suy ra
f
là hàm lồi trên
3
. ▐

Nhận xét:
Dựa vào định lý 3.2 ta có thể suy ra được
f
là hàm lồi nghiêm ngặt trên
3
bởi vì vế trái của
(*)

luôn dương
1 2 3 1 2
,,x x x x  

Ví dụ 2: Khảo sát tính lồi, lõm của hàm số sau trên
2
:

22
( , ) 6 4f x y x y x y    

Giải
a) Dễ thấy
2

là tập lồi, mở. Bây giờ ta xét sự khả vi cấp 2 của
f
tại mọi
 
2
,xy
:
2
( , )xy
, ta có:
MÔN HỌC: TỐI ƯU PHI TUYẾN GV: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU

SVTH: NHÓM 21 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 16

( , ) 2 6, ( , ) 2 4
ff
x y x x y y

xy

     


2 2 2
22
( , ) 2, ( , ) 2, ( , ) ( , ) 0
f f f f
x y x y x y x y
x y y x
xy
   
     
   


Nhận thấy
2 2 2
22
, , ,
f f f f
x y x y
xy
   
   

là các hàm hằng trên
2
nên liên tục trên

2
, do đó theo
định lý mục 1.4 ta suy ra
f
khả vi cấp 2 trên
2
.
Vậy ta có thể áp dụng định lý 4.2 để kiểm tra tính lồi, lõm của hàm số
f
.
Lấy
2
x
, với mọi
2
y 
(ký hiệu:
 
12
,x x x
,
 
12
,y y y
) ta có:

 
 
   
   

 
 
 
 
22
1 2 1 2
2
1
2
12
2
2
1 2 1 2
2
1
12
2
1
12
2
2 2 2
1 2 1 2
,,
,,
20
02
2
2
2 2 0 ,
T

ff
x x x x
y
xy
x
y f x y y y
y
ff
x x x x
yx
y
y
yy
y
y
yy
y
y y y y
































    

Do đó theo định lý 4.2, ta kết luận
f
là hàm lõm trên
2
.▐

Nhận xét:
- Dựa vào định lý 5.2 ta có thể suy ra được
f

là hàm lõm nghiêm ngặt trên
2
bởi vì
 
2 T
y f x y
luôn dương
 
2
, , 0,0x y y  

- Trong lúc tính
 
2 T
y f x y
, ta đã chuyển vectơ
y
thành các ma trận
12
và
21
để thực
hiện phép nhân ma trận, đúng ra kết quả phải là một ma trận
11
, nhưng ta ghi dưới dạng
một số. Đối với trường hợp này việc ghi như vậy là không sai bởi vì ma trận Hessian tại
x

thực ra là đại diện cho ánh xạ đạo hàm cấp 2 tại
x

.


MÔN HỌC: TỐI ƯU PHI TUYẾN GV: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU

SVTH: NHÓM 21 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 17

PHỤ LỤC

Phụ lục 1: Tóm tắt Định lý 2.1, 2.2, 2.3
Tính khả vi của hàm lồi và hàm lõm

Định lý
Điều kiện
Nội dung
Định lý 2.1


xác định trên
tập mở
n

,
khả vi tại
x 



lồi tại
      

x x x x x x     
,
x 


lõm tại
      
x x x x x x     
,
x 

Định lý 2.2
(Định lý 2.3)


khả vi trên tập
lồi, mở
n



lồi trên
      
2 1 1 2 1
x x x x x      
,
12
,xx 

     

 
2 1 2 1 1 2
0, ,x x x x x x

      



lõm trên
      
2 1 1 2 1
x x x x x      
,
12
,xx 

     
 
2 1 2 1 1 2
0, ,x x x x x x

      



Phụ lục 2: Tóm tắt Định lý 3.1, 3.2, 3.3
Tính khả vi của hàm lồi và hàm lõm nghiêm ngặt

Định lý
Điều kiện

Nội dung
Định lý 3.1


xác định
trên tập mở
n

, khả
vi tại
x 


lồi nghiêm ngặt tại
x

      
,,x x x x x x x x         


lõm nghiêm ngặt tại
x

      
,,x x x x x x x x         

Định lý 3.2
(Định lý 3.3)


khả vi trên
tập lồi, mở
n



lồi nghiêm ngặt trên


      
2 1 1 2 1
x x x x x      
,
1 2 1 2
,,x x x x  

     
2 1 2 1 1 2 1 2
0 ,,,x x x x x x x x

       



lõm nghiêm ngặt trên


      
2 1 1 2 1
x x x x x      

,
1 2 1 2
,,x x x x  

     
2 1 2 1 1 2 1 2
0 ,,,x x x x x x x x

       










MÔN HỌC: TỐI ƯU PHI TUYẾN GV: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU

SVTH: NHÓM 21 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 18

Phụ lục 3: Tóm tắt Định lý 4.1, 4.2
Tính khả vi cấp hai của hàm lồi và hàm lõm
Định lý
Điều kiện
Nội dung
Định lý 4.1


xác định trên
tập mở
n

,
khả vi cấp hai tại
x 



lồi tại
 
2
0,
n
x y x y y    



lõm tại
 
2
0,
n
x y x y y    

Định lý 4.2


khả vi cấp hai
trên tập lồi, mở
n




lồi trên

với mỗi
x
thì
 
2
0,
n
y x y y   



lõm trên

với mỗi
x
thì
 
2
0,
n
y x y y   

Phụ lục 4: Tóm tắt Định lý 5.1, 5.2
Tính khả vi cấp hai của hàm lồi và hàm lõm nghiêm ngặt
Định lý
Điều kiện
Nội dung
Định lý 5.1


xác định trên
tập mở
n

,
khả vi cấp hai tại
x 



lồi nghiêm ngặt tại
 
2
0,
n
x y x y y    



lõm nghiêm ngặt tại
 
2
0,
n
x y x y y    

Định lý 5.2


khả vi cấp hai
trên tập lồi, mở
n


Với mỗi
x
thì
 
2
0, , 0
n
y x y y y     




lồi nghiêm ngặt trên


Với mỗi
x
thì
 
2
0, , 0
n
y x y y y     




lõm nghiêm ngặt trên
