SKKN_SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CHIA HẾT

Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Mỹ Hòa
A. ĐẶT VẤN ĐỀ:
Trong báo cáo về nhiệm vụ năm học, Bộ giáo dục & Đào tạo chỉ rõ:
Chỉ đạo mạnh mẽ việc đổi mới phương pháp dạy học và phong trào tự học, tự
đào tạo''. '' Coi trọng giáo dục chính trị, tư tưởng nhân cách, khả năng tư duy sáng
tạo và năng lực thực hành của học sinh''. '' Quyết tâm thực hiện 2 khơng trong
ngành giáo đục''. Chủ trương đó hồn tồn phù hợp với những u cầu cấp bách
của cơng cuộc cơng nghiệp hố, hiện đại hố đất nước như nước ta hiện nay.
Căn cứ vào nhiệm vụ, mục tiêu của ngành giáo dục, căn cứ vào thức trạng
dạy- học tốn hiện nay, hướng đổi mới phương pháp dạy học tốn ở trường THCS
là tích cực hố hoạt động học tập của học sinh, tập trung việc rèn luyện khả năng
tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo.
Để trở thành học sinh giỏi là ao ước của mọi học sinh , đó là điều mọi bậc phụ
huynh điều mong muốn cho con mình được thành đạt và đây cũng là niềm tư hào
của các thầy cơ giáo trong mọi miền đất nước .
Trong chương số học của THCS, các bài tốn về phân tích một số ra thừa số
ngun tố và tính chất chia hết của số ngun hết sức phong phú và đa dạng. Vì nó
vận dụng kiến thức cơ bản vào giải tốn và còn phát triển tư duy cho học sinh.
Khi gặp một bài tốn chứng minh chia hết, học sinh sẽ gặp khó khăn nếu khơng
nắm vững kiến thức cơ bản và các dạng bài tập, cách làm các dạng bài tập đó
Vậy làm thế nào để học sinh biết làm các bài tốn chia hết và biết cách vận
dụng nó để giải các dạng tốn khác và ứng dụng nó trong thực tế? Và làm thế nào
để học sinh cảm thấy có sự say mê, hào hứng khi giải các bài tốn nhất là đối với
học sinh giỏi học tốn?
Đó là vấn đề tơi ln quan tâm và ln tìm phương pháp tối ưu, để đạt được
mục đích đó tơi lựa chọn đề tài "Một số dạng tốn áp dụng tính chia
hết của số ngun''.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I) CƠ SỞ LÝ LUẬN
Đổi mới phương pháp dạy học nhằm mục đích cho học sinh phương pháp suy
nghĩ, chiếm lĩnh các tri thức khoa học và phương pháp nghiên cứu kiến thức một

cách khoa học, nhằm vận dụng kiến thức khoa học một cách tối ưu nhất. Muốn đạt
được diều kiện trên thì trong qu trình dạy học bồi dưỡng học sinh giỏi ta cũng phải
đổi mới phương pháp giảng dạy và thiết kế bài dạy , lên kế hoạch bộ mơn r rng ,
tức l ta phải xc định:
- Cơng việc của thầy giữ vai trị chủ động, sáng tạo, tổ chức cho học sinh
chiếm lĩnh kiến thức.
- Đối với học sinh phải chủ động, sáng tạo, phải được suy nghĩ nhiều, trả lời
nhiều câu hỏi, được thực hành nhiều dưới sự tổ chức hướng dẫn của giáo viên.
II) CƠ SỞ THỰC TIỄN
Thực trạng dạy và học tốn hiện nay, mặc dù học sinh đ dược học đầy đủ
các kiến thức cơ bản, có phần mở rộng, nâng cao nhiều. Song khi gặp một bài tốn,
học sinh vẫn cịn lúng túng trong việc định hướng phương pháp giải, chưa biết vận
G V thực hiện : Nguyễn Văn Minh
1
Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Mỹ Hòa
dụng hoặc vận dụng chưa linh hoạt, sáng tạo các kiến thức cơ bản đ học. Nhiều
học sinh chỉ biết vận dụng từng bước giải, từng phần của quy tắc, cơng thức mà
thầy đ hướng dẫn. Vì thế khơng phát huy được tính độc lập, sáng toạ của học sinh.
- Đối với thầy cơng việc chuẩn bị kiến thức, đặt vấn đề, đặt câu hỏi sao cho
học sinh được suy nghĩ nhiều? Được làm việc nhiều? Đối với học sinh đại trà hay
chỉ là học sinh khá, giỏi trong lớp trả lời. Vì vậy người thầy phải chủ động tích cực
hố các hoạt động của tất cả các đối tượng trong lớp.
- Trong thức tiễn vấn đề học khơng đi đơi với hành đ lm cho học sinh khơng
cĩ cơ sở thực hiện các thao tác tư duy để tiếp nhận, củng cố tri thức cũ, làm nền
tảng lĩnh hội tri thức mới. Do đó, học sinh ít được làm việc dộc lập, năng lực cá
nhân khơng được phát huy thoả đáng.
- Trong nhiều năm giảng dạy tốn của bậc THCS tơi thấy phân tích một số ra
thừa số ngun tố , tính chia hết đối với số ngun, học sinh được học ở lớp 6,
nhưng khi gặp một bài tốn về phân tích một số ra thừa số ngun tố , tính chia hết
của số ngun, học sinh vẫn cịn lng tng trong việc tìm ra cách giải , bởi vì các kiến

thức liên quan để hỗ trợ còn hạn chế. Lên lớp 8 nhờ các hằng đẳng thức đáng nhớ
và phân tích đa thức thành nhân tử , học sinh có thể giải được các bài tốn nhanh
hơn và phức tạp hơn ở lớp dưới
Dựa trên cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn trên tối thấy cần có một số giải
pháp đổi mới phương pháp giảng dạy cho phù hợp với thực tiễn hiện nay.
III CÁC GIẢI PHÁP
Để đáp ứng mục tiêu giáo dục và khắc phục những tồn tại trên, để học sinh có
thể làm được các bài tập liên quan đến phân tích một số ra thừa số ngun tố và sự
chia hết của số ngun, một cách chủ động hơn giáo viên cần phải:
- Chuẩn bị tốt tiến trình bi soạn v tổ chức dạy học.
- Chuẩn bị tốt cc tình huống cĩ vấn đề để có thể giúp học sinh tư duy suy
nghĩ, định hình cch lm
- Cung cấp học sinh một số dạng tốn thường gặp về phân tích một số ra
thừa số ngun tố và tính chia hết của số ngun , áp dụng vào giải các bài tốn có
vận dụng một số kiến thức nâng cao của phân tích một số ra thừa số ngun tố mà
học sinh có thể ứng dụng được.
- Qua các bài tốn học sinh biết áp dụng những kiến thức đ học vo lm bi tập
một cch linh hoạt,cĩ sng tạo.
- Thơng qua nội dung lý thuyết cần lưu ý v cc bi tập cĩ tính hệ thống,nâng
cao phát triển cho học sinh tư duy tốn: lơgic, sáng tạo, phát triển khả năng khái
qt,tổng qt hố
Để tạo cho học sinh có sự phấn khích khi gặp cc bi tốn : Phn tích một số ra
thừa số nguyn tố hay tính chia hết của số nguyn, tơi xin trình bày một số ví dụ về
các dạng tóan để minh hoạ cho chun đề '' Một số dạng tóan áp dụng tính
chia hết của số nguyn''
SƠ ĐỒ QUAN HỆ GIỮA CC KIẾN THỨC SỐ HỌC 6
G V thực hiện : Nguyễn Văn Minh
2
Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Mỹ Hòa
Cấu tạo số

Chia hết cho 2
Chia hết cho 3
Cc dấu hiệu chia hết Chia hết cho 5
Chia hết cho 7
Chia hết cho 11
Phn tích một số ra thừa số nguyn tố

Bội và ước
BCNN ƯCLN
Tìm BC thơng qua tìm BCNN Tìm ƯC thơng qua tìm ƯCLN
Các bài tốn về BC và ƯC
Tính chất chia hết của số ngun
Chia hết Chia có dư
Bội và ước Chứng minh chia hết cho Tìm số dư trong php chia
Số ngun tố Hợp số Số chính phương Ngun lý Drich le
Giải phương trình nghiệm ngun
. . . . . . . . . .
G V thực hiện : Nguyễn Văn Minh
3
Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Mỹ Hòa
IV. NỘI DUNG
1/Ta phân tích sự quan hệ về tính chia hết của số ngun được học ở lớp 6 , ảnh
hưởng đến các kiến thức vận dụng của lớp 6 vào học các lớp 8 , 9 của bậc
THCS . Tơi có thể lấy các bài tốn đơn giản khi dạy về tính chia hết của số
ngun ở lớp 6 ảnh hưởng lớn đến các bài tốn chia hết của số ngun sau này :
Ví dụ 1 : Chứng tỏ rằng trong n +1 số ngun liên tiếp thì có một hiệu của hai
số chia hết cho n . (với n thuộc N)
Giải :
Gọi a1 , a2 , a3 , . . . lần lượt là các số chia cho n có số dư lần lượt là 1 . 2 ,

3 , . . . thi a
n
chia cho n dư 0 , a
n+1
chia cho n có số dư là1.
Do đó : a
n+1
– a
1
= (n.k +1) – (n.l +1)
= n.k – n.l = n(k – l )
= n.q
Tương tự ta xét bất kỳ số dư khác ta vẫn chứng minh được . Hiệu hai số chia
hết cho n
Đây chính là ngun lý Dirich- le .
Ví dụ 2 : Tìm hai số ngun biết tích của chúng bằng 21.
Giải :
Gọi hai số ngun cần tìm : là x , y
Ta có : x.y = 21
Vì : 21 = 21. 1 = 3 . 7 = 7 . 3 = 1 . 21 = (-1)(-21) =
=(-3)(-7)= (-7)(-3)= (-21)(-1)
Nên ta giải ra tìm được nhiều nghiệm của các cặp giá trị của x và y .
Đây chính là phân tích một số ra thừa số ra thừa số ngun tố và tính ước của
số ngun .
Ví dụ 3 : Tìm hai số x và y . Biết BCNN của chúng bằng 48 và ƯCLN của
chúng bằng 8 .
Giải :
+ Nếu x chia hết cho y thì : x = 48 , y = 8 (hoặc ngược lại)
+Nếu x khơng chia hết cho y thì : (x> y hoặc y>x)
x = 8d

1
, y = 8d
2
; (d
1
,d
2
)=1
Suy ra : d
1
.d
2
= 48 : 8 = 6
Nên : d
1
= 3 ; d
2
= 2 (hoặc ngược lại)
Do đó : x = 8.3 = 24
y = 8.2 = 16.
(Hoặc kết quả ngược lại )
Ta có thể xét sự quan hệ của các bài tốn này ảnh hưởng đến các bài tốn ở
chương trình bồi dưỡng sau này ở các lớp 8 , 9 như :
G V thực hiện : Nguyễn Văn Minh
4
Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Mỹ Hòa
DẠNG 1.Chứng minh quan hệ chia hết
Ví dụ1.Chứng minh rằng
A = n
3

(n
2
-7)
2
- 36n chia hết cho 5040 với mọi số tự nhiên n.
Hướng phân tích
+ Trước hết cho hs nhận xét về các hạng tử của biểu thức A
+ Từ đó phân tích A thành nhân tử
Giải: Ta có
A =n[n
2
(n
2
-7)
2
-36]= n[(n
3
-7n
2
)-36]
= n(n
3
-7n
2
-6)( n
3
-7n
2
+6)
Mà n

3
-7n
2
-6 = (n+1) (n+2) (n-3)
n
3
-7n
2
+6 = (n-1)(n-2)(n+3)
Do đó
A= (n-3)(n-2)(n-1)(n+1)(n+2)(n+3)
Đây là tích của 7 số ngun liên tiếp.Trong 7 số ngun liên tiếp
+Tồn tại một bội của 5
⇒
A chia hết cho 5
+Tồn tại một bội của 7
⇒
A chia hết cho 7
+Tồn tại hai bội của 3
⇒
A chia hết cho 9
+Tồn tại ba bội số của 2,trong đó có một bội số của 4
⇒
A chia hết cho 16
A chia hết cho các số 5,7,9,16 đơi một ngun tố cùng nhau nên A chia hết cho
5.7.9.16 =5040.
+ Qua ví dụ 1 rút ra cách làm như sau:
Gọi A(n) là một biểu thức phụ thuộc vào n (n
∈
N hoặc n

∈
Z).
Chú ý 1:
+Để chứng minh biểu thức A(n) chia hết cho một số, ta thường phân tích A(n)
thành thừa số, trong đó có một thừa số là m.Nếu m là hợp số, ta phân tích nó thành
mơt tích các thừa số đơi một ngun tố cùng nhau, rồi chứng minh A(n)chia hết
cho tất cả các số đó.
+Trong q trình chứng minh bài tốn trên ta đã sử dụng các kiến thức của lớp 6 :
-Phân tích một số ra thừa số ngun tố .
-Tính chất chia hết của một tích (thừa số là số ngun tố )
-Ngun lý Dirich- le
Lưu ý: Trong k số ngun liên tiếp, bao giờ cũng tồn tại một bội số của k.
Ví dụ 2.Chứng minh rằng với moi số ngun a thì
a) a
2
-a chia hết cho 2.
b) a
3
-a chia hết cho 3.
c) a
5
-a chia hết cho 5.
d) a
7
-a chia hết cho 7.
Giải:
a) a
2
- a =a(a-1), chia hết cho 2.
b)a

3
-a = a( a
2
- 1) = a(a-1)(a+1), tích này chia hết cho 3 vì tồn tại một bội của
3.
+ Ở phần a, b hs dễ dàng làm được nhờ các bài tốn đã quen thuộc
G V thực hiện : Nguyễn Văn Minh
5
Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Mỹ Hòa
+ Để chứng minh a(a -1 ) chia hết cho 2, ta đã xét số dư của a khi chia cho 2
(hoặc dụng ngun lý Dirich- le )
c) Cách 1
A = a
5
-1= a(a
2
+1)(a
2
-1)
Xét các trường hợp a = 5k, a= 5k
±
1, a=5k
±
2
+Ta vận dụng vào tính chia hết của số ngun về xét số dư
suy ra A chia hết cho 5
Cách 2.
A = a
5
-1= a(a

2
+1)(a
2
-1)
= a(a
2
+1)(a
2
-4+5)
= a(a
2
+1)(a
2
-4)+ 5a( a
2
-1)
= (a -2) (a-1)a(a+1)(a+2) + 5a(a
2
-1)
Số hạng thứ nhất là tích của năm số ngun liên tiếp nên chia hết cho 5,số
hạng thứ hai cũng chia hết cho 5.
Do đó A = a
5
-1 chia hết cho 5.
+Ta vận dụng tính chia hết của một tổng vào giải .
+ Qua ví dụ 2 để chứng minh chia hết ta đã làm như sau:
Chú ý 2: Khi chứng minh A(n) chia hết cho m, ta có thể xét mọi trường hợp về
số dư khi chia n cho m.
Ví dụ 3.
a)Chứng minh rằng một số chính phương chia hết cho 3 chỉ có thể có số dư

bằng 0 hoặc 1.
b) Chứng minh rằng mọt số chính phương chia cho 4 chỉ có thể có số dư bằng
0 hoặc 1.
c)Các số sau có là số chính phương khơng?
M = 1992
2
+ 1993
2
+1994
2
N = 1992
2
+ 1993
2
+1994
2
+1995
2
P = 1+ 9
100
+ 94
100
+1994
100
.
d)Trong dãy sau có tồn tại số nào là số chính phương khơng?
11, 111,1111,11111,
Giải: Gọi A là số chính phương A = n
2
(n

∈
N)
a)Xét các trường hợp:
n= 3k (k
∈
N)
⇒
A = 9k
2
chia hết cho 3
n= 3k
±
1 (k
∈
N)
⇒
A = 9k
2

±
6k +1 chia cho 3 dư 1
Vậy số chính phương chia cho 3 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoặc 1.
+Ta đã sử tính chia hết cho 3 và số dư trong phép chia cho 3 .
b)Xét các trường hợp
n =2k (k
∈
N)
⇒
A= 4k
2

, chia hết cho 4.
n= 2k+1(k
∈
N)
⇒
A = 4k
2
+4k +1
= 4k(k+1)+1,
chia cho 4 dư 1(chia cho 8 cũng dư 1)
vậy số chính phương chia cho 4 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoặc 1.
+Ta đã sử tính chia hết cho 4 và số dư trong phép chia cho 4 .
G V thực hiện : Nguyễn Văn Minh
6
Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Mỹ Hòa
Chú ý: Từ bài tốn trên ta thấy:
-Số chính phương chẵn chia hết cho 4
-Số chính phương lẻ chia cho 4 dư 1( chia cho 8 cũng dư 1).
c) Các số 1993
2
,1994
2
là số chính phương khơng chia hết cho 3 nên chia cho 3
dư 1,còn 1992
2
chia hết cho 3.
Vậy M chia cho 3 dư 2,khơng là số chính phương.
Các số 1992
2
,1994

2
là số chính phương chẵn nên chia hết cho 4.
Các số 1993
2
,1995
2
là số chính phương lẻ nên chia cho 4 dư 1.
Vậy số N chia cho 4 dư 2,khơng là số chính phương.
+Ta đã vận dụng tính chất chia hết của số chính phương và xét số dư cửa các
số chính phương đó khi các số đó chẳn hay lẻ .
d) Mọi số của dãy đều tận cùng là 11 nên chia cho 4 dư 3.Mặt khác số chính
phương lẻ thì chia cho 4 dư 1.
Vậy khơng có số nào của dãy là số chính phương.
Chú ý 3:Khi chứng minh về tính chất chia hết của các luỹ thừa,ta còn sử dụng
các hằng đẳng thức bậc cao và cơng thức Niu-tơn sau đây:
+a
n
-b
n
=(a-b)(a
n-1
+a
n-2
b+a
n-3
b
2
+ +ab
n-2
+b

n-1
) (1)
+a
n
+b
n
=(a+b)(a
n-1
-a
n-2
b+a
n-3
b
2
ab
n-2
+b
n-1
) (2)

với mọi số lẻ n.
Cơng thức Niu-tơn
(a+b)
n
= a
n
+c
1
a
n-1

b+c
2
a
n-2
b
2
+ +c
n-1
ab
n-1
+b
n
Trong cơng thức trên, vế phải là một đa thức có n+1 hạng tử ,bậc của mỗi hạng
tử đối với tập hợp các biến là a,b là n.Các hệ số c
1
,c
2
, c
n-1
được xác định bởi tam
giác Pa -xcan:
n=0
n=1
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
c

1
c
2
c
3
c
4

Áp dụng các hằng đẳng thức trên vào tính chia hết, ta có với mọi số tự nhiên
a,b và số tự nhiên n :
a
n
-b
n
chia hết cho a-b (a
≠
b)
a
2n+1
+b
2n+1
chia hết cho a+b ( a
≠
-b)
(a+b)
n
=Bs a+b
n
(Bs a là bội của a).
Đặc biệt chú ý đến:

(a+1)
n
= Bs( a +1)
( a -1)
n
= Bs (a- 1)
(a-1)
2n+1
= Bs( a – 1)
*Tất cả các cơng thức Niu Tơn trên chỉ áp dụng cho học sinh các khối 8 , 9 .
G V thực hiện : Nguyễn Văn Minh
7
Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Mỹ Hòa
Ví dụ 4.Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, biểu thức 16
n
-1 chia hết cho 17
khi và chỉ khi n là số chẵn.
Giải:
Cách 1:
Nếu n chẵn (n=2k, k
∈
N) thì
A= 16
2k
-1 = (16
2
)
k
-1 chia hết cho 16
2

-1
Theo hằng đẳng thức (1)
Mà 16
2
-1 =255 chia hết cho 17.
Vậy A chia hết cho 17
Nếu n lẻ thì A = 16
n
+1 -2,
mà 16
n
+1 chia hết cho 17 theo hằng đẳng thức (9),nên A khơng chia hết cho 17
vậy A chia hết cho 17
⇔
n chẵn.
Cách 2: A=16
n
-1 =(17-1)
n
-1
= B (17) +(-1)
n
-1(theo cơng thức Niu-tơn)
Nếu n chẵn thì A =B (17) +1-1 =B (17)
Nếu n lẻ thì A = B (17) -1 -1 = B (17 )-2
Khơng chia hết cho 17.
Chú ý 4: Người ta còn dùng phương pháp phản chứng,ngun lý Di ríchlet để
chứng minh quan hệ chia hết.
Ví dụ 5. Chứng minh rằng tồn tại một bội số của 2003 có dạng
2004 2004 2004

Giải: Xét 2004 số :
A
1
=2004
A
2
=2004 2004

A
2004
=2004 2004 2004 (Nhóm 2004 có mặt 2004 lần).
Theo ngun lý Dirich let, tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho 2003.
Gọi hai số đó là a
m
và a
n
(1
≤
n
≤
m
≤
2004)
Thì a
m
-a
n
chia hết cho 2003.Ta có
a
m

-a
n
= 2004 2004 2004000 000
=
  
2004
2004 20042004
nnhómm=
. 10
4n
Do ( 10
4m
, 2003) =1 nên
  
2004
2004 20042004
nnhómm=
Chia hết cho 2003.
Bài tập tương tự:
Bài 1. Chứng minh rằng n
6
+ n
4
- 2n
2
chia hết cho 72 với mọi số ngun n.
Giải:
Ta có n
6
+ n

4
- 2n
2

= n
2
( n
4
+n
2
- 2)
=n
2
(n
4
-1 + n
2
-1 )
= n
2
[ (n
2
-1)(n
2
+1) +(n
2
-1)]
= n
2
(n-1)(n+1)(n

2
+2)
G V thực hiện : Nguyễn Văn Minh
8
Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Mỹ Hòa
+Xét các trường hợp n= 2k, n=2k+1

⇒
n
6
+ n
4
- 2n
2


8
+Xét các trường hợp n = 3a, n=3a
±
1
n
6
+ n
4
- 2n
2


9
vậy n

6
+ n
4
- 2n
2


72 với mọi số ngun n
Bài 2. Chứng minh rằng 3
2n
-9 chia hết cho 72 với mọi số ngun dương n
Giải:
Ta có B =3
2n
-9= 9
n
- 9,nên B chia hết cho 9
Mặt khác B = 3
2n
- 9 = (3
n
-1)(3
n
+1) -8
Do 3
n
-1,3
n
+1 là hai số chẵn liên tiếp nên B chia hết cho 8
Vậy B


72
* Bài tập tự làm
Chứng minh rằng
1.n
3
+6n
2
+8n chia hết cho 48 với mọi n chẵn
2.n
4
-10n
2
+9 chia hết cho 384 với mọi sốn lẻ
DẠNG 2.Tìm số dư
Ví dụ 6: Tìm số dư khi chia 2
100

a) cho 9; b) cho 25; c) cho 125.
Giải:
a) Luỹ thừa của 2 sát với một bội so của 9 là 2
3
= 8 = 9-1
Ta có 2
100
=2( 2
3
)
33
= 2(9-1)

33
=2(B(9-1))
= B( 9) -2= B(9)+ 7
Số dư khi chia 2
100
cho 9 là 7.
b) Luỹ thừa của 2 sát với bội số của 25 là
2
10
= 1024 =B(25) -1
Ta có 2
100
= (2
10
)
10
=(B(25) -1)
10
=B(25) +1
Số dư khi chia 2
100
cho 25 là 1.
c) Dùng cơng thức Niu-tơn:
2
100
= (5 - 1)
50

=5
50

-50.50
49
+ +
2
49.50
.5
2
-50.5+1.
Khơng kể phần hệ số của khai triển Niu-tơn thì 48 số hạng đầu đã chứa luỹ
thừa của 5 với sơ mũ lớn hơn hoặc bằng 3 nên chia hết cho 125, số hạng cuối là 1 .
Vậy 2
100
chia cho 125 dư 1.
Chú ý: Tổng qt hơn,ta chứng minh được rằng nếu một số tự nhiên n khơng chia
hết cho 5 thì n
100
chia cho 125 có số dư là 1.
Thật vậy, n có dạng 5k
±
1,5k
±
2.Ta có
(5k
±
1)
100
=(5k)
100
±
+

2
99.100
(5k)
2
±
100.5k+1
= B(125) +1
G V thực hiện : Nguyễn Văn Minh
9
Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Mỹ Hòa
(5k
±
2)
100
=(5k)
100
±
+
2
99.100
(5k)
2
.2
98

±
100.5k .2
99
+ 2
100

= B(125) +2
100

Ta lại có 2
100
chia cho 125 dư 1
Do đó (5k
±
2)
100
chia cho 125 dư 1.
Ví dụ 7: Tìm ba chữ số tận cùng của 2
100
khi viết trong hệ thập phân.
Giải: Theo ví dụ trên ta có
2
100
= BS 125 +1,mà 2
100
là số chẵn, nên ba chữ số tận cùng của nó chỉ có
thể là 126, 376, 626 hoặc 876.
Mà 2
100
chia hết cho8 nên ba chữ số tận cùng của nó phải chia hết cho
8.Trong 4 số trên chỉ có 376 thoả mãn điều kiện này.
Vậy ba chữ số tận cùng của 2
100
là 376.
Chú ý: Nếu n là số chẵn khơng chia hết cho 5 thì 3 chữ số tận cùng của n

100
là 376.
Ví dụ 8: Tìm 4 chữ số tận cùng của 5
1994
viết trong hệ thập phân.
Giải:
Cách 1. Ta thấy số tận cùng bằng 0625 nâng lên luỹ thừa ngun dương bất kì vẫn
tận cùng bằng 0625.Do đó
5
1994
=5
4k+2
=25(5
4k
)=25(0625)
k
= 25.( 0625) = 5625
Cách 2. Ta thấy 5
4k
-1 chia hêt cho 5
4
-1
= (5
2
-1)(5
2
+1) nên chia hết cho 16.
Ta có: 5
1994
= 5

6
( 5
332
-1) +5
6
Do 5
6
chia hết cho 5
4
, còn 5
332
-1 chia hết cho 16 nên 5
6
( 5
332
-1) chia hết cho
10000
Và 5
6
= 15625.
Vậy 4 chữ số tận cùng của 5
1994
là 5
Bài tập tương tự
1.CMR với mọi số tự nhiên n thì 7
n
và 7
n+4
có hai chữ số tận cùng như nhau.
+ Cho hs đặt câu hỏi: Khi nào hai số có hai chữ số tận cùng giống nhau?

- Khi hiệu của chúng chia hết cho 100
Giải: Xét hiệu của 7
n +4
- 7
n
= 7
n
( 7
4
-1)
= 7
n
.2400
Do đó 7
n+1
và 7
n
có chữ số tận cùng giống nhau.
2.Tìm số dư của 22
22
+55
55
cho 7.
+ Xét số dư của 22 và 55 cho 7?
Giải: Ta có 22
22
+ 55
55
=(B(7) +1)
22

+(B(7) -1)
55

= B(7) +1+ B(7) -1
= B(7)
Vậy22
22
+ 55
55
chia hết cho 7
DẠNG 3. Tìm điều kiện để chia hết
G V thực hiện : Nguyễn Văn Minh
10
Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Mỹ Hòa
Ví dụ 9: Tìm số ngun n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu
thức B:
A= n
3
+2n
2
-3n+2 , B= n
2
-n
Giải: Đặt tính chia:
n
3
+2n
2
-3n+2 n
2

-n

-
n
3
- n
2
n +3
3n
2
-3n +2

-
3n
2
-3n
2
Muốn chia hết, ta phải có 2 chia hết cho n(n-1),do đó 2 chia hết cho n(vì n là số
ngun)
Ta có:
n 1 -1 2 -2
n-1 0 -2 1 -3
n(n-1) 0 2 2 6
loại loại
Vậy n= -1; n = 2
Ví dụ 10
Tìm số ngun dương n để n
5
+1 chia hết cho n
3

+1.
Giải: Ta có
n
5
+1 chia hết cho n
3
+1

⇔
n
2
(n
3
+1) - (n
2
-1) chia hết cho (n+1)(n
2
-n +1)

⇔
(n-1)(n+1) chia hết cho (n+1)(n
2
-n +1)

⇔
n -1 chia hết cho n
2
-n +1 (vì n+1
≠
0)

Nếu n =1 thì ta được 0 chia hết cho 1
Nếu n>1 thì n -1< n(n-1) +1=n
2
-n +1, do đó khơng thể chia hết cho n
2
- n +1.
Vậy giá trị duy nhất của n tìm được là 1.
Ví dụ 11
Tìm số ngun n để n
5
+1 chia hết cho n
3
+1.
Giải: Theo ví dụ trên ta có:
n -1 chia hết cho n
2
-n +1

⇒
n(n-1) chia hết cho n
2
-n +1

⇒
n
2
-n chia hết cho n
2
-n +1

⇒
(n
2
-n +1) -1 chia hết cho n
2
-n +1

⇒
1 chia hết cho n
2
-n +1
Có hai trường hợp
n
2
-n +1 =1
⇔
n( n -1) =0
⇔
n=0; n=1. Các giá trị này thoả mãn đề bài.
G V thực hiện : Nguyễn Văn Minh
11
Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Mỹ Hòa
n
2
-n +1= -1
⇔
n
2
-n +2 =0 khơng tìm được giá trị của n
Vậy n= 0; n =1 là hai số phải tìm.

Ví dụ 12
Tìm số tự nhiên n sao cho 2
n
-1 chia hết cho 7.
Giải:
Nếu n = 3k (k
∈
N) thì 2
n
-1 = 2
3k
-1 = 8
k
-1
Chia hết cho 7
Nếu n =3k +1(k
∈
N) thì
2
n
-1= 2
3k+1
- 1=2(2
3k
-1) +1 = Bs 7 +1
Nếu n = 3k +2 ( k
∈
N) thì
2
n

-1= 2
3k+2
-1 =4(2
3k
- 1)+3 =Bs 7 +3
Vậy 2
n
-1 chia hết cho 7
⇔
n = 3k(k
∈
N).
*Bài tập áp dụng
Bài 1: Tìm điều kiện của số tự nhiên a để a
2
+3a +2 chia hết cho 6.
Giải:
Ta có a
2
+3a + 2 = (a+1)(a+2) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho
2
Do đó a
2
+3a +2 chia hết cho 3
⇔
a
2
+2 chia hết cho 3

⇔

a
2
: 3 dư 1
⇔
a khơng chia hết cho 3.
Điều kiện phải tìm là a khơng chia hết cho 3.
Bài 2:
Tìm điều kiện của số tự nhiên a để a
4
-1 chia hết cho 240.
Bài 3:
Tìm số ngun tố p để 4p +1 là số chính phương.
Bài 4.
Tìm ba số ngun tố liên tiếp a,b,c sao cho a
2
+ b
2
+ c
2
cũng là số ngun tố
Giải: Xét hai trường hợp
+ Trong 3 số a,b,c có một số bằng 3.
Khi đó 2
2
+ 3
2
+ 5
2
=38 là hợp số (loại)
Còn 3

2
+ 5
2
+ 7
2
=83 là số ngun tố.
+ Cả 3 số a,b,c đều lớn hơn 3.
Khi đó a
2
, b
2
, c
2
đều chia cho 3 dư 1 nên
a
2
+ b
2
+ c
2
chia hết cho 3,là hợp số (loại)
Vây ba số phải tìm là 3,5,7.
* Các bài tập tổng hợp các dạng tốn trên
Bài 1. : Cho bốn số ngun dương a,b,c,d thảo mãn a
2
+b
2
= c
2
+ d

2
.Chứng minh
rằng a+ b+c+ d là hợp số.
Giải:
Xét biểu thức
A= (a
2
-a)+(b
2
-b)+( c
2
-c)+ (d
2
-d)
Dễ thấy A là số chẵn (vì biểu thức trong mỗi dấu ngoặc là tích của hai số
ngun liên tiếp) nên
G V thực hiện : Nguyễn Văn Minh
12
Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Mỹ Hòa
(a
2
+ b
2
+ c
2
+d
2
) -(a+b + c+ d) là số chẵn
mà a
2

+b
2
= c
2
+ d
2
nên a
2
+b
2
+ c
2
+ d
2

là số chẵn.
Vậy a + b+ c + d là số chẵn,tổng này lớn hơn 2 nên là hợp số.
Bài 2. : Cho các số ngun a,b,c đều chia hết cho 6. Chứng minh rằng
Nếu a+ b+ c chia hết cho 6 thì a
3
+ b
3
+ c
3

Chia hết cho 6
Giải:
Ta có A=a
3
+ b

3
+ c
3
- (a +b + c)
= (a
3
-a) + (b
3
-b) + (c
3
-c)
Do a
3
-a , (b
3
-b) , (c
3
-c) đều chia hết cho 6
Nên A

6
Mặt khác a+ b +c chia hết cho 6
Do đó a
3
+ b
3
+ c
3
chia hết cho 6
Bài 3: Chứng minh rằng tổng các lập phương của ba sơ ngun liên tiếp thì chia

hết cho 9.
+ Hướng suy nghĩ: Tổng các lập phương của ba số ngun liên tiếp có dạng
như thế nào?
- HS: a
3
+ ( a + 1)
3
+ ( a + 2)
3
hoặc ( a -1)
3
+ a
3
+ ( a+ 1)
3
+ Trong hai tổng vừa lập được hãy chọn tổng mà ta có thể biến đổi một cách
nhẹ nhàng hơn
Bài 4: Chứng minh rằng A chia hết cho B với
A= 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ + 99
3
+ 100
3
B= 1 + 2 + 3+ + 99 + 100.
+ Hướng suy nghĩ cho hs: Bài tốn trên thuộc dạng nào?

+ Trong hai tổng A và B ta tính được tổng nào? ( B = 50. 101)
+ Chứng tỏ A chia hết cho 5050? ( 1
3
+ 99
3


50. 101
Bài5. Cho bốn số ngun dương thoả mãn điều kiện ab = cd. Chứng minh rằng
a
5
+ b
5
+c
5
+ d
5
là hợp số
Giải:
Gọi ƯCLN (a,c) = k ( k ngun dương)
Khi đó a = ka
1
, c= k .c
1
và ( a
1
, c
1
) =1
Thay vào a.b = c.d được

k.a
1
.b = k .c
1
.d nên a
1
.b = c
1
. d
ta có a
1
.b

c
1
mà ( a
1
, c
1
)=1
nên b

c
1
.Đặt b = c
1
.m (m ngun dương), thay vào (1) được
a
1
.c

1
.m = c
1
.d nên a
1
.m = d
Do đó
A = a
5
+ b
5
+c
5
+ d
5

= k
5
a
1
5
+ c
1
5
m
5
+ c
1
5
m

5
+k
5
c
1
5
+ a
1
5
m
5
= k
5
( a
1
5
+c
5
) + m
5
( a
5
+ c
5
)
= (a
1
5
+ c
1

5
)( k
5
+ m
5
).
Do a
1
, c
1
, k ,m là các số ngun dương nên A là hợp số.
G V thực hiện : Nguyễn Văn Minh
13
Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Mỹ Hòa
Bài 6. : Chứng minh rằng nếu các số tự nhiên a,b,c thoả mãn điều kiện
a
2
+ b
2
= c
2
thì abc chia hết cho 60.
Giải: Theo bài ra a
2
+ b
2
= c
2
(1)
Ta có 60 = 3. 4. 5

*Nếu a ,b ,c đều khơng chia hết cho 3 thì a
2
, b
2
,c
2
đều chia cho 3 dư 1.
Khi đó
a
2
+ b
2
= Bs 3 + 2, còn c
2
= Bs 3 + 1 trái với (1).Vậy trong ba só a,b,c có
một số chia hết cho 3.
*Nếu a,b,c đều khơng chia hết cho 5 thì a
2
,

b
2
, c
2
chia cho 5 dư 1 hoặc 4. Khi đó
a
2
+b
2
chia cho 5 dư 0,2,3 còn c

2
chia cho 5 dư 1,4 trái với (1).Vậy tồn tại một
trong ba số a,b,c chia hết cho 5.
*Nếu a,b,c đều khơng chia hết cho 4 thì a
2
, b
2
, c
2
chia cho 8 dư 1 hoặc 4
Khi đó a
2
+ b
2
chia cho 8 dư 0, 2 , 5, còn c
2
chia cho 8 dư 1, 4 trái với (1).Vậy
tồn tại một số chia hết cho 4.
Kết luận: abc chia hết cho 3.4.5 tức là chia hết cho 60.
Bài 7. Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức là số ngun tố:
a) 12n
2
-5n -15 b)
4
3
2
nn +
Giải:
a) Ta có 12n
2

-5n -15
= 12n
2
+ 15n - 20n - 15
= 3n( 4n +3) - 5( 4n +3)
= (4n +3) (3n - 5)
Do 12n
2
-5n -15 là số ngun tố nên 4n +5, 3n - 5 là các số ngun dương .
Ta lại có 3n -5< 4n + 5 ( vì n >1)
Để 12n
2
-5n -25 là số ngun tố thì thừa số nhỏ phải bằng 1.
Nên 3n -5 =1
⇒
n = 2
Khi đó 12n
2
-5n -25 = 13 .1 =13 là số ngun tố.
b) B =
4
3
2
nn +
=
4
)3( +nn
.Do B là số tự nhiên nên n(n+3) chia hết cho 4.Hai số n
và n + 3 khơng thể cùng chẵn.Vậy hoặc n, hoặc n+3 chia hết cho 4.
Nếu n =0 thì B= 0, loại

Nếu n =4 thì B =7, là số nguun tố.
Nếu n = 4k (k
∈
N,k>1) thì B = k( 4k -3) là tích của hai thừa số lớn hơn 1 nên B
là hợp số.
Nếu n+ 3 =4 thì B =1 loại
Nếu n+3 = 4k (k
∈
N,k>1) thì B = k( 4k -3) là tích của hai thừa số lớn hơn 1
nên B là hợp số.
Vậy n =4, khi đó B = 7
Bài 8. Chứng minh rằng: 2
70
+ 3
70
chia hết cho 13.
Giải: Ta có 2
70
+ 3
70
= (2
2
)
35
+ (3
2
)
35
= 4
35

+ 9
35
.
G V thực hiện : Nguyễn Văn Minh
14
Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Mỹ Hòa
Do đó chia hết cho 4 + 9 =13
(Áp dụng a
n
+ b
n
chia hết cho a+b với n là số lẻ)
Vậy 2
70
+ 3
70
chia hết cho 13.
Bài 9.Tìm số ngun tố p để 2p
2
+ 1 là số ngun tố.
+ Với p là số ngun tố thì p có dạng như thế nào? ( Thường xét số dư của
một số khi chia cho 2 hoặc 3)
+ Xét p = 3k + 1; p = 3k + 2 và p =3k trường hợp nào mà 2p
2
= 1 là số
ngun tố thì => p.
Bài 10.Chứng minh:17
19
+ 19
17

chia hết cho 18.
+ Xét số dư của 17 và 18 khi chia cho 18?
2/Ta phân tích mối quan hệ của việc phân tích một số ra thừa số ngun tố có ảnh
hưởng rất lớn đến các dạng tốn : ƯCLN , BCNN , Qui đòng mẫu các phân số ,
và các dạng tốn có liên quan ở mức độ cao hơn như giải phương trình nghiệm
ngun . Tơi chỉ lấy một vài ví dụ .
Ví dụ 1: Phân tích các số sau ra thừa số ngun tố : 720 . 630, 729 ,
Xác định số ước số của mỗi số ?
Giải : Ta có : 720 = 2
4
.3
2
.5
630 = 2.3
2
.5.7
729 = 3
6

Số ước số của số 720 là (4+1)(2+1)(1+1) = 5.3.2 = 30
Số ước số của số 630 là (1+1)(2+1)(1+1)(1+1) = 2.3.2.2 = 24
Số ước số của số 729 là (6+1) = 7
Đây là bài tốn các học sinh có thể giải được .
Ví dụ 2 : Rút gọn phân số :
102010201020
092009200920
Giải :
Ta có : 200920092009 = 2009.100000000+2009.10000+2009
= 2009(100000000+10000+1)
= 2009.100010001

Và : 201020102010 = 2010.100000000+2010.10000+2010
= 2010(100000000+10000+1)
= 2010.100010001
Nên :
2010
2009
100010001.2010
100010001.2009
102010201020
092009200920
==

Ví dụ 3 : Các bài tốn thực tế về BCNN và ƯCLN
Các bài tốn diễn đạt bằng lời văn .

C .PHẠM VI CỦA ĐỀ TÀI :
*Áp dụng cho việc dạy bồi dưỡng phần số học cho học sinh khá giỏi của cấp
THCS , chú trọng nhất là học sinh khối 6 .
*Áp dụng cho tồn bộ học sinh khối 6 ở các bài tập nâng cao .
*Áp dụng bồi dưỡng học sinh giỏi các khối 8, 9 .
G V thực hiện : Nguyễn Văn Minh
15
Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Mỹ Hòa
D.KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC:
*Năm học 2006 – 2007 có 40% học sinh giỏi khối 6 ham học tốn .
*Năm học 2007 – 2008 có 50% học sinh giỏi khối 6;8 ham học tốn số học .
*Năm học 2008 – 2009 có 55% học sinh giỏi của cấp THCS ham học tốn số
học .
*Bằng chương trình ngoại khóa : Chun đề giúp em học tốt mơn tốn trong
năm học 2009 - 2010 đã thu hút gần như tất cả học sinh khối 6 ham thích học tốn

E. KẾT LUẬN
Tơi viết kinh nghiệm này dựa trên cơ sở , những kinh nghiệm đã được rút ra
trong những năm giảng dạy và học tập của bản thân . Bằng sự học hỏi thơng qua
các tài liệu sách giáo khoa, sách tham khảo và qua tiếp thu các ý kiến của đồng
nghiệp. Đã giúp tơi hồn thành đề tài và áp dụng vào giảng dạy, bồi dưỡng học
sinh giỏi lớp 6 làm nền tảng cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi các lớp 8 , 9 sau này.
Sau khi viết và thực hiện đề tài , tơi đã rút ra bài học kinh mghiệm cho bản
thân:
* Khi dạy học cần đặt vị trí của mình vào vị trí học sinh. Có thể có những vấn
đề mình thấy là dễ, rất quen thuộc, nhưng với học trò lại rất khó, rất lạ.
* Phải ln cố gắng tạo ra tình huống có vấn đề, làm xuất hiện ở học sinh nhu
cầu nghiên cứu kiến thức. Chọn các bài tập hợp lý từ đơn giản đến khó, thu hút học
sinh tham gia.
* Các bài tập đưa ra ban đầu có thể theo từng dạng cụ thể, để học sinh làm
quen dần với các dạng tốn. Sau đó, đưa ra các dạng bài có tính tổng hợp hơn, đồi
hỏi học sinh biết vận dụng, suy nghĩ tìm tòi cách giải. Từ đó mới phát triển được tư
duy, khả năng sáng tạo của học sinh.
* Nên quan tâm đến câu trả lời của học sinh, khai thác những phát hiện dù là
nhỏ nhất của học sinh để phát huy tính chủ động suy nghĩ, tích cực của học sinh.
Trên đây là một số ý kiến, quan điểm của tơi xung quanh vấn đề nâng cao
chất lượng dạy học mơn tốn. Đồng thời phát huy tính tích cực, độc lập sáng tạo
của học sinh thơng qua chun đề '' Một số dạng tốn áp dụng việc phân tích một
số ra thừa số ngun tố và tính chia hết của số ngun''. Khi viết đề tài này chắc
hẳn khơng tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tơi rất mong nhận được sự góp ý, phê
bình của các đồng nghiệp để xây dựng cho kiến thức chun mơn của mình.
Cuối cùng tơi xin chân thành cám ơn!

Đại an ngày 05/03/2010
Người viết
Nuyễn Văn Minh

G V thực hiện : Nguyễn Văn Minh
16
Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Mỹ Hòa
PHỤ LỤC :

A. Đặt vấn đề
B. Giải quyết vấn đề
I/ Cơ sở lý luận
II/ Cơ sở thực tiển
III/ Các giải pháp .
IV/ Nội dung .
Dạng 1 Chứng minh quan hệ chia hết
Dạng 2 Tìm số dư
Dạng 3 Tìm điều kiện để chia hết .
C. Phạm vi của đề tài .
D , Kết quả đạt được .
E , Kết luận .
G V thực hiện : Nguyễn Văn Minh
17
Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Mỹ Hòa
G V thực hiện : Nguyễn Văn Minh
18