Hướng dẫn học sinh khá, giỏi giải toán

Sáng kiến kinh nghiệm
Phần I: Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài:
Trong quá trình dạy HSG môn toán lớp 7 có phần Tìm x trong
đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối tôi nhận thấy học sinh còn nhiều vớng
mắc về phơng pháp giải, quá trình giải thiếu logic và cha chặt chẽ, cha xét
hết các trờng hợp xảy ra. Lí do là học sinh cha nắm vững biểu thức về giá
trị tuyệt đối của một số, của một biểu thức, cha biết vận dụng biểu thức này
vào giải bài tập, cha phân biệt và cha nắm đợc các phơng pháp giải đối với
từng dạng bài tập. Mặt khác phạm vi kiến thức ở lớp 6,7 cha rộng, học sinh
mới bắt đầu làm quen về vấn đề này, nên cha thể đa ra đầy đủ các phơng
pháp giải một cách có hệ thống và phong phú đợc. Mặc dù chơng trình sách
giáo khoa sắp xếp hệ thống và logic hơn sách cũ rất nhiều, có lợi thế để
dạy học sinh về vấn đề này ( chẳng hạn nh học sinh đã đợc học về qui tắc
chuyển vế, qui tắc bỏ dấu ngoặc), nhng tôi thấy để giải bài tập về tìm x
trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối thì học sinh vẫn còn lúng túng
trong việc tìm ra phơng pháp giải và việc kết hợp với điều kiện của biến để
xác định giá trị phải tìm là cha chặt chẽ. Vì vậy, trong khi giảng dạy về vấn
đề này tôi nghĩ cần phải làm thế nào để học sinh biết áp dụng định nghĩa
tính chất về giá trị tuyệt đối để phân chia đợc các dạng, tìm ra đợc phơng
pháp giải đối với từng dạng bài. Từ đó học sinh thấy tự tin hơn khi gặp loại
bài tập này và có kỹ năng giải chặt chẽ hơn, có ý thức tìm tòi, sử dụng ph-
ơng pháp giải nhanh gọn, hợp lí.
Chính vì những lí do trên mà tôi chọn và trình bày kinh nghiệm
Hớng dẫn học sinh khá, giỏi lớp 7 giải dạng toán Tìm x trong đẳng
thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.
2. Mục đích nghiên cứu:
Củng cố cho học sinh khá, giỏi toán lớp 7 một số kiến thức để giải
một số dạng giải bài toán tìm x trong đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt
đối. Cũng từ đó mà phát triển t duy lôgic cho học sinh, phát triển năng lực
giải toán cho các em, giúp cho bài giải của các em hoàn thiện hơn, chính

xác hơn và còn giúp các em tự tin hơn khi làm toán.
3. Đối t ợng phạm vi nghiên cứu:
+ Khách thể: Học sinh khá, giỏi môn toán lớp 7
+ Đối t ợng nghiên cứu: Một số dạng bài toán Tìm x trong đẳng thức có
chứa dấu giá trị tuyệt đối.
+ Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán không vợt quá chơng trình toán lớp 7.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Tóm tắt một số kiến thức liên quan đến việc tìm x trong đẳng thức có
chứa dấu giá trị tuyệt đối.
- Hớng dẫn học sinh giải một số dạng toán cơ bản về tìm x trong đẳng
thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
5. Các ph ơng pháp nghiên cứu:
- Phơng pháp nghiên cứu lí luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu bồi dỡng,
sách giáo khoa, sách tham khảo
Nguyễn Nh Hiền Trờng THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
1
Sáng kiến kinh nghiệm
- Phơng pháp tổng kết kinh nghiệm ở những lớp học sinh trớc để rút kinh
nghiệm cho lớp học sinh sau.
Phần II: Nội dung
Chơng I: Cơ sở thực tiễn
Với học sinh lớp 7 thì việc giải dạng toán Tìm x trong đẳng thức
chứa dấu giá trị tuyệt đối gặp rất nhiều khó khăn do học sinh cha học qui
tắc giải về phơng trình, các phép biến đổi tơng đơng Chính vì Vậy mà khi
gặp dạng toán này học sinh thờng ngại, lúng túng không tìm đợc hớng giải
và khi giải hay mắc sai lầm. Khi cha hớng dẫn học sinh giải bằng cách áp
dụng đề tài, học sinh giải thờng vớng mắc nh sau:
Ví dụ 1: Tìm x biết |x-5| -x = 3
+ Học sinh không biết xét tới điều kiện của x, vẫn xét 2 trờng hợp xảy ra:
x 5 x = 3 hoặc 5 x 3 = 3

+Đa về dạng | x 5| = 3 +x
=> x-5 = x+3 hoặc x- 5 = -(3+x)
và học sinh cha hiểu đợc ở đây 3 +x có chứa biến x.
+ Có xét tới điều kiện của x để x 5 0; x-5<0 nhng đối với mỗi trờng
hợp học sinh cha kết hợp với điều kiện của x, hoặc kết hợp cha chặt chẽ.
Ví dụ 2: Tìm x biết | 2x 3| = 5
Nguyễn Nh Hiền Trờng THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
2
Sáng kiến kinh nghiệm
Học sinh cha nắm đợc rằng ở đây đẳng thức luôn xảy ra (vì 5>0) và
có thể các em đi xét giá trị của biến để 2x - 30 hoặc 2x 3<0 và giải 2 tr-
ờng hợp tơng ứng, cách làm này của học sinh cha nhanh gọn.
Khi tôi áp dụng đề tài này vào quá trình hớng dẫn học sinh giải đợc
bài, hiểu rất rõ cơ sở của việc giải bài toán đó. Còn ở ví dụ 2 các em đã biết
lựa chọn ngay cách giải nhanh (và hiểu đợc cơ sở của phơng pháp giải đó là
áp dụng tính chất; hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau).
Cụ thể :
|2x-3|= 5( vì 5>0)
=>2x 3 = 5 hoặc 2x 3 = -5
Chơng II: Kết quả điều tra khảo sát
Qua khảo sát khi cha áp dụng đề tài tôi khảo sát hai lớp 7A, 7C trờng
THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm với đề bài:
Tìm x biết:
a) |2x 5| = 7 ( 2,5điểm)
b) |5x 3| - x=7 ( 3,5 điểm)
c) |x 4|+|x 9| = 5 ( 4 điểm)
Tôi thấy học sinh còn rất lúng túng về phơng pháp giải, cha nắm
vững phơng pháp giải đối với từng dạng bài, quá trình giải cha chặt chẽ, ch-
a kết hợp đợc kết quả tìm ra với điều kiện xảy ra, cha lựa chọn đợc phơng
pháp giải nhanh, hợp lí.

Kết quả đạt đợc nh sau:
Giỏi Khá Trung bình Yếu và kém
7A 35% 32% 20% 3%
7C 27% 33% 30% 10%
Kết quả thấp là do học sinh vớng mắc những điều tôi đã nêu ra ( ở
phần trên) và phần lớn các em xét cha đợc chặt chẽ ở câu c, trờng hợp
4x<9 thì đẳng thức trở thành x-4-x+9 = 5 => 0x = 0( xảy ra với mọi x) =>
x có thể vô số giá trị.
Nhng thực tế ở đây đang xét trong điều kiện 4x<9 nên x có vô số
giá trị thoả mãn 4x<9.
Nguyễn Nh Hiền Trờng THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
3
Sáng kiến kinh nghiệm
Chơng III: giải pháp
I. Những kiến thức cơ bản liên quan đến bài toán tìm x trong đẳng
thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
Yêu cầu học sinh nắm vững và ghi nhớ các kiến thức cần thiết để giải
bài tập tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, một điều khó khăn
khi dạy học sinh lớp 7 về vấn đề này đó là học sinh cha đợc học về phơng
trình, bất phơng trình, các phép biến đổi tơng đơng, hằng đẳng thức nên
có những phơng pháp dễ xây dựng thì cha thể hớng dẫn học sinh đợc, vì thế
học sinh cần nắm vững đợc các kiến thức cơ bản sau:
a- Qui tắc bỏ dấu ngoặc, qui tắc chuyển vế.
b- Tìm x trong đẳng thức:
Thực hiện phép tính , chuyển vế đa về dạng ax = b => x =
a
b

c- Định lí và tính chất về giá trị tuyệt đối.

<

=
0
0
||
AkhiA
AkhiA
A
|A| = |-A|
|A|

0
d- Định lí về dấu nhị thức bậc nhất.
II. Những biện pháp tác động giáo dục và giải pháp khoa học tiến
hành.
Từ định nghĩa, tính chất về giá trị tuyệt đối hớng dẫn học sinh phân
chia từng dạng bài, phát triển từ dạng cơ bản sang các dạng khác, từ phơng
pháp giải dạng cơ bản, dựa vào định nghĩa, tính chất về giá trị tuyệt đối tìm
tòi các phơng pháp giải khác đối với mỗi dạng bài, loại bài. Biện pháp cụ
thể nh sau:
1. Một số dạng cơ bản:
1.1. Dạng cơ bản |A(x)| =B với B 0
1.1.1. Cách tìm phơng pháp giải:
Nguyễn Nh Hiền Trờng THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
4
Sáng kiến kinh nghiệm
Đẳng thức có xảy ra không? Vì sao? Nếu đẳng thức xảy ra thì cần áp

dụng kiến thức nào để bỏ đợc dấu giá trị tuyệt đối (áp dụng tính chất giá trị
tuyêt đối của hai số đối nhau thì bằng nhau).
1.1.2. Phơng pháp giải:
Ta lần lợt xét A(x) = B và A(x) = -B, giải hai trờng hợp.
1.1.3. Ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm x biết |x- 5| = 3
Đặt câu hỏi bao quát chung cho bài toán:
Đẳng thức có xảy ra không? Vì sao?
(có xảy ra vì |A| 0 , 3>0). Cần áp dụng kiến thức nào để giải, để bỏ đợc
dấu giá trị tuyệt đối( áp dụng tính chất giá trị tuyệt đối của hai số đối nhau
thì bằng nhau).
Bài giải
|x-5| = 3 => x 5 = 3 ; hoặc x 5 = -3
+ Xét x - 5 = 3 => x = 8
+ Xét x 5 = -3 => x = 2
Vậy x = 8 hoặc x = 2
Từ ví dụ đơn giản, phát triển đa ra các ví dụ khó dần.
Ví dụ 2: Tìm x biết: 3|9-2x| -17 = 16
Với bài này tôi đặt câu hỏi: Làm thế nào để đa đợc về dạng cơ bản đã
học?. Từ đó học sinh phải biến đổi để đa về dạng |9-2x|=11
Bài giải
3|9-2x| -17 = 16
=>3|9-2x| = 33
=> |9-2x| = 11
=> 9-2x = 11 hoặc 9 2x = -11
+ Xét 9- 2x = 11 => 2x = -2 => x = -1
+ Xét 9-2x = -11 => 2x = 20 => x= 10
Vậy x= -1 hoặc x = 10
1.2. Dạng |A(x)| = B(x) ( trong đó Bx là biểu thức chứa biến x)
1.2.1. Cách tìm phơng pháp giải:

Cũng đặt câu hỏi gợi mở nh trên, học sinh thấy đợc rằng đẳng thức
không xảy ra Nếu B(x) < 0
=> Cần áp dụng kiến thức nào để có thể dựa vào dạng cơ bản trên để suy
luận tìm ra cách giải không? Có thể tìm ra mấy cách?
1.2.2. Phơng pháp giải:
Cách 1: ( Dựa vào tính chất)
|A(x) |= B(x)
Với điều kiện B(x)

0 ta có A(x) = B(x) hoặc A(x) = - B(x)( giải 2 trờng hợp
với điều kiện B(x)

0)
Cách 2: Dựa vào định nghĩa xét các quá trình của biến của biểu thức chứa
dấu giá trị tuyệt đối để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
|A(x) | = B(x)
Nguyễn Nh Hiền Trờng THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
5
Sáng kiến kinh nghiệm
+ Xét A(x)

0 => x ? Ta có A(x) = B(x) ( giải để tìm x thoả mãn A(x)

0)
+ Xét A(x) < 0 => x? Ta có A(x) = - B(x) ( giải để tìm x thoả mãn A(x) < 0)
+ Kết luận: x = ?
L u ý: Qua hai dạng trên tôi cho học sinh phân biệt rõ sự giống nhau (đều
chứa 1 dấu giá trị tuyệt đối) và khác nhau ( |A(x)| = m

0 dạng đặc biệt vì

m>0) của 2 dạng.
Nhấn mạnh cho học sinh thấy rõ đợc phơng pháp giải loại đẳng thức
chứa 1 dấu giá trị tuyệt đối, đó là đa về dạng |A | = B(Nếu B

0 đó là dạng
đặc biệt còn Nếu B< 0 thì đẳng thức không xảy ra. Nếu B là biểu thức
chứa biến là dạng 2 và giải bằng cách 1) hoặc ta đi xét các trờng xảy ra
đối với biểu thức trong giá trị tuyệt đối.
1.2.3. Ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm x biết: |9-7x| = 5x -3
Cách 1:
Với 5x 3 0=> 5x 3 => x
5
3
ta có 9-7x = 5x -3 hoặc 9 7x =-(5x-
3)
+ Nếu 9-7x = 5x- 3 => 12x = 12 => x= 1(thoả mãn)
+ Nếu 9-7x = -(5x-3) => 2x = 6 => x = 3(thoả mãn)
Vậy x= 1 hoặc x= 3
Cách 2:
+ Xét 9- 7x 0 => 7x 9 => x
7
9
ta có 9 7x = 5x 3 => x =1(thoả
mãn)
+ Xét 9- 7x <0 => 7x>9 => x>
7
9
ta có -9 + 7x = 5x 3 => x =3(thoả
mãn)

Vậy x = 1 hoặc x = 3
Ví dụ 2: Tìm x biết |x- 5| - x= 3
Cách 1: | x 5| - x = 3
=>|x 5| = 3 + x
Với 3 + x 0 => x - 3 ta có x- 5 = 3 + x hoặc x 5 = -(3+x)
+ Nếu x 5 = 3 + x => 0x = 8( loại)
+ Nếu x 5 = -3 x => 2x = 2 => x = 1 thoả mãn.
Vậy x = 1
Cách 2: | x 5| - x = 3
Xét x - 50 => x 5 ta có x 5 x = 3 => 0x = 8 (loại)
Xét x 5 < 0 => x < 5 ta có x + 5 x = 3 => -2x = -2 => x = 1 thoả
mãn
Vậy x = 1
1.3. Dạng 3: |A(x)| = |B(x)| hay |A(x)| - |B(x)| = 0
1.3.1. Cách tìm phơng pháp giải:
Nguyễn Nh Hiền Trờng THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
6
Sáng kiến kinh nghiệm
Trớc hết tôi đặt vấn đề để học sinh thấy đợc đây là dạng đặc biệt( vì
đẳng thức luôn xảy ra do cả 2 vế đều không âm), từ đó các em tìm tòi hớng
giải.
Cần áp dụng kiến thức nào về giá trị tuyệt đối để bỏ đợc dấu giá trị
tuyệt đối và cần tìm ra phơng pháp giải ngắn gọn. Có hai cách giải: Xét các
trờng hợp xảy ra của A(x) và B(x)(dựa theo định nghĩa) và cách giải dựa
vào tính chất 2 số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau để suy ra ngay
A(x)=B(x); A(x) =-B(x)( vì ở đây cả hai vế đều không âm do |A(x)| 0 và |
B(x)| 0). Để học sinh lựa chọn ra cách giải nhanh, gọn, hợp lí để các em
có ý thức tìm tòi trong giải toán và ghi nhớ đợc.
1.3.2. Phơng pháp giải:
Cách 1: Xét các trờng hợp xảy ra của A(x) và B(x) để phá giá trị tuyệt

đối.
Cách 2: Dựa vào tính chất hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau
ta tìm x thoả mãn một trong hai điều kiện A(x) = B(x) hoặc A(x) = -B(x)
1.3.3. Ví dụ:
Ví dụ1: Tìm x biết |x+3| =|5-x|
|x+3| =|5-x|



=
=




=
=




=+
=+

80
1
80
22
53
53

x
x
x
x
xx
xx
=>x=1
Vậy x = 1
Ví dụ 2: Tìm x biết: |x-3| + |x+2| =7
B ớc 1: Lập bảng xét dấu:
Trớc hết cần xác định nghiệm của nhị thức :
x 3 = 0 => x = 3 ; x + 2 = 0 => x = -2
Trên bảng xét dấu xếp theo thứ tự giá trị của x phải từ nhỏ đến lớn.
Ta có bảng sau:
x -2 3
x 3 - - 0 +
x + 2 - 0 + +
B ớc 2: Dựa vào bảng xét dấu các trờng hợp xảy ra theo các khoảng giá trị
của biến. Khi xét các trơng hợp xảy ra không đợc bỏ qua điều kiện để A=0
mà kết hợp với điều kiện để A>0 (ví dụ xét khoảng - 2
x
<3)
Cụ thể: Dựa vào bảng xét dấu ta có các trờng hợp sau:
+ Nếu x<- 2 ta có x- 3<0 và x + 2<0
nên x- 3= 3- x và x + 2= -x 2
Đẳng thức trở thành: 3- x x 2 = 7
-2x + 1 = 7
-2x = 6
x = -3 ( thoả mãn x<-2)
+ Nếu 2

x<3 ta có x- 3= 3- x và x+ 2= x + 2
Nguyễn Nh Hiền Trờng THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
7
Sáng kiến kinh nghiệm
Đẳng thức trở thành: 3- x + x +2 = 7
0x + 5 = 7 (vô lí)
+Nếu x

3 đẳng thức trở thành:
x- 3 + x + 2 = 7
2x 1 = 7
2x = 8
x = 4 (thoả mãn x

3)
Vậy x = -3 ; x = 4
L u ý: Qua 2 cách giải trên tôi cho học sinh so sánh để thấy đợc lợi thế
trong mỗi cách giải. ở cách giải 2 thao tác giải sẽ nhanh hơn, dễ dàng
xét dấu trong các khoảng giá trị hơn, nhất là đối với các dạng chứa 3; 4
dấu giá trị tuyệt đối (để nên ý thức lựa chọn phơng pháp giải).
Ví dụ3: Tìm x biết:
| x-1| -2| x-2| +3| x-3| = 4
Nếu giải bằng cách 1 sẽ phải xét nhiều trờng hợp xảy ra, dài và mất
nhiều thời gian. Còn giải bằng cách 2 thì nhanh gọn hơn rất nhiều, vì dựa
vào bảng xét dấu ta thấy ngay có 4 trờng hợp xảy ra. Mặt khác, với cách
giải 2 ( lập bảng xét dấu ) xẽ dễ mắc sai sót về dấu trong khi lập bảng, nên
khi xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối cần phải hết sức lu ý
và tuân theo đúng qui tắc lập bảng. Một điều cần lu ý cho học sinh đó là
kết hợp trờng hợp trong khi xét các trờng hợp xảy ra để thỏa mãn biểu

thức 0 ( tôi đa ra ví dụ cụ thể để khắc phục cho học sinh ).
Ví dụ 4 : Tìm x biết | x-4 | + | x-9 | =5
Lập bảng xét dấu
x 4 9
x-4 - 0 + | +
x-9 - | - 0 +
Xét các trờng hợp xảy ra, trong đó với x 9 thì đẳng thức trở thành
x-4+x-9 =5
x=9 thỏa mãn x 9, nh Vậy Nếu không kết hợp với x= 9 để x-9=0 mà
chỉ xét tới x > 9 để x-9 > 0 thì xẽ bỏ qua mất giá trị x=9
1.4. Dạng 4: |A(x)| + |B(x)| =0
1.4.1. Cách tìm phơng pháp giải:
Với dạng này tôi yêu cầu học sinh nhắc lại kiến thức về đặc điểm của
giá trị tuyệt đối của một số (giá trị tuyệt đối của một số là một số không
âm).Vậy tổng của hai số không âm bằng không khi nào?(cả hai số bằng 0).
Vậy ở bài này tổng trên bằng 0 khi nào? (A(x) = 0 và B(x) =0). Từ đó ta
tìm x thoả mãn hai điều kiện: A(x) = 0 và B(x) = 0.
1.4.2. Phơng pháp giải:
Ta tìm x thoả mãn hai điều kiện A(x) = 0 và B(x) = 0.
1.4.3. Ví dụ:
Nguyễn Nh Hiền Trờng THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
8
Sáng kiến kinh nghiệm
Tìm x biết:
a) |x+3|+|x
2
+x| =0
b)|x
2
-3x| +|(x+1)(x-3)|=0

Bài giải:
a) |x+1| +|x
2
+x| = 0
=> |x+1| = 0 và |x
2
+x| =0
+ Xét |x+ 1| = 0 => x+1 = 0 => x= -1 (*)
+ Xét |x
2
+x|= 0 => x
2
+ x = 0 => x(x+1) = 0
=> x = 0 hoặc x+ 1 = 0
=> x = 0 hoặc x = -1 (**)
Từ (*) và (**) suy ra x = -1
b) |x
2
-3x| +|(x+1)(x-3)|=0
=> |x
2
-3x| = 0 và |(x+1)(x-3)| =0
=> x
2
- 3x = 0 và (x+1)(x-3)| = 0
+ Xét x
2
- 3x = 0 => x(x-3) = 0 => x = 0 hoặc x = 3 (*)
+ Xét (x+1)(x-3) = 0 => x+1 = 0 hoặc x-3 = 0 => x= -1 hoặc x = 3 (**)
Từ (*) và (**) ta đợc x = 3

Lu ý:
ở dạng này tôi lu ý cho học sinh phải khi kết luận giá trị tìm đợc thì giá
trị đó phải thoả mãn cả hai đẳng thức |A(x)| = 0 và |B(x)| = 0.
2. Dạng mở rộng:
Từ những dạng cơ bản đó đa ra các dạng bài tập mở rộng khác về loại
toán này: dạng lồng dấu, dạng chứa từ 3 dấu giá trị tuyệt đối trở lên.
2.1. Dạng lồng dấu giá trị tuyệt đối:
2.1.1. Cách tìm phơng pháp giải:
Với bài tập chứa lồng dấu giá trị tuyệt đối trớc hết tôi cũng hớng dẫn
học sinh xác định dạng bài, rồi tìm cách giải quyết, xét xem cần bỏ dấu giá
trị tuyệt đối bằng cách nào? Phải qua mấy lần? Và áp dụng các bỏ dấu giá
trị tuyệt đối nào? (Chẳng hạn bỏ dấu từ ngoài vào trong để đa bài tập từ
phức tạp đến đơn giản.)
2.1.2. Phơng pháp giải:
Ta phá dấu giá trị tuyệt đối theo thứ tự từ ngoài vào trong. Tuỳ theo
đặc điểm của biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối thuộc dạng cơ bản nào thì
ta áp dụng pgơng pháp của dạng cơ bản đó.
2.1.3. Ví dụ:
Tìm x biết:
a) ||x-5| +9|=10
b) ||4-x|+|x-9||=5
Bài giải:
a) ||x-5| +9|=10
=>|x-5| + 9 = 10 hoặc |x-5|+ 9 =-10
+ Xét |x-5| + 9 = 10 => |x-5| = 1 => x 5 = 1 hoặc x 5 = -1
=>x= 6 hoặc x = 4
+ Xét |x-5|+ 9 =-10 =>|x-5|=-19( loại vì |x-5| 0)
Nguyễn Nh Hiền Trờng THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
9
Sáng kiến kinh nghiệm

Vậy x = 6 hoặc x = 4.
b) ||4-x|+|x-9||=5 (dạng |A| =m0)
=>|4-x|+|x-9| = 5 hoặc |4-x|+|x-9|=-5
*Xét |4-x|+|x-9| = 5(1) ( Dạng chứa 2 dấu giá trị tuyệt đối không rơi vào
dạng đặc biệt).
Lập bảng xét dấu:
x 4 9
4 x + 0 - -
x 9 - - 0 +
Dựa vào bảng xét dấu các trờng hợp xảy ra:
+ Với x 4 Ta có |4-x|= 4 x và | x-9| = 9 x thì (1) trở thành:
4-x + 9 x = 5
13 -2x = 5
x = 4(TM)
+ Với 4<x<9 thì ta có: |4-x|=x-4 và |x-9|=9- x khi đó (1) trở thành:
x-4+9 x = 5 => 5 = 5 (thoả mãn với mọi x)=> 4<x<9
+ Với x9 ta có: |4-x|=x-4 và |x-9|= x-9 khi đó (1) trở thành:
x-4 + x-9 = 5 => 2x -13 = 5 => x=9(TM)
Vậy 4x 9
*Xét |4-x|+|x-9|=-5 . Điều này không xảy ra vì |4-x|+ |x 9| 0
Vậy 4x 9
2.2. Dạng chứa ba dấu giá trị tuyệt đối trở lên:
2.2.1. Cách tìm phơng pháp giải:
Với dạng này có nên dùng cách xét các giá trị của các biểu thức
trong dấu giá trị tuyệt đối không? ( Không nên dùng vì cách đó rất lâu mà
lại rối), vậy nên phá các giá trị tuyệt đối bằng cách nào nhanh , gọn hơn?
( Lập bảng xét dấu để bỏ giá trị tuyệt đối).
2.2.2. Phơng pháp giải:
Với dạng này học sinh nên xét các khoảng giá trị, lập bảng xét dấu
rồi khử dấu giá trị tuyệt đối.

2.2.3. Ví dụ:
Tìm x biết: | x-1| -2| x-2| +3| x-3| = 4 (1)
Bài giải :
Xét x- 1 = 0 => x = 1; x 2 = 0 => x = 2; x 3 = 0 => x = 3
Ta có bảng xét dấu các đa thức x 1; x-2; x-3 sau:
x 1 2 3
x-1 - 0 + + +
x-2 - - 0 + +
x-3 - - - 0 +
*Xét: x1 (1)=> 1-x -2(2 x) + 3( 3 x) =4
1 x 4 + 2x + 9 3x = 4 => x =1( TM)
Nguyễn Nh Hiền Trờng THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
10
Sáng kiến kinh nghiệm
*Xét 1<x2: (1) => x-1-2(2-x)+3(3-x) =4 => x-1-4+2x+9-3x = 4
=>0x=0(Thoả mãn với mọi x) => 1<x2
*Xét 2<x3 (1) => x- 1 -2(x-2)+ 3(3-x) =4=> x-1 -2x+4+9 -3x = 4 =>
x=2( loại)
*Xét x>3 (1) => x-1 -2(x-2)+3(x-3) = 4=> x-1-2x+4 +3x-9 = 4 => x=5
(TM)
Vậy: 1x2 và x =5
3. Phơng pháp giải và cách tìm phơng pháp giải:
Sau khi giới thiệu cho học sinh hết các dạng bài tôi chốt lại cho học
sinh:
Phơng pháp giải dạng toán tìm x trong đẳng thức chứa dấu
giá trị tuyệt đối:
Ph ơng pháp 1: Sử dụng tính chất |A| = |-A| và |A|

0 để giải các dạng |A|
=|-A| và |A(x)| =|B(x)|, |A(x)| =B(x).

Ph ơng pháp 2: Xét khoảng giá trị của biến(dựa vào định nghĩa) để bỏ dấu
giá trị tuyệt đối, thờng sử dụng để giải đối với dạng |A(x)| = B(x) hay |A(x)|
=|B(x)|+C( nhng đây là dạng cơ bản nhất để giải loại toán này ph ơng
pháp chung nhất).
Ph ơng pháp 3 : Lập bảng xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối
để xét các trờng hợp xảy ra, áp dụng đối với đẳng thức chứa từ hai dấu giá
trị tuyệt đối trở lên.
Cách tìm tòi phơng pháp giải:
Cốt lõi của đờng lối giải bài tập tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá
trị tuyệt đối, đó là tìm cách bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
+ Trớc hết xác định đợc dạng bài rơi vào dạng đặc biệt không? (Có đa về
dạng đặc biệt đợc không). Nếu là dạng đặc biệt |A|=B (B

0) hay |A|=|B|
thì áp dụng tính chất về giá trị tuyệt đối(giải bằng cách đặc biệt ph ơng
pháp 1 đã nêu) không cần xét tới điều kiện của biến.
+ Khi đã xác định đợc dạng cụ thể nghĩ cách nào làm nhanh gọn hơn để
lựa chọn.
Phần III: Kết luận
Khi áp dụng đề tài nghiên cứu này vào giảng dạy học sinh lớp tôi dạy
đã biết cách làm các dạng bài toán tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị
tuyệt đối một cách nhanh và gọn. Học sinh không còn lúng túng và thấy
Nguyễn Nh Hiền Trờng THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
11
Sáng kiến kinh nghiệm
ngại khi gặp dạng bài tập này. Cụ thể khi làm phiếu điều tra hai lớp 7A và
7C trờng THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm với đề bài sau:
Tìm x biết:
a) |5x+4|+7 = 26
b) 8 - |4x+1| = x+2

c) ||17x-5|-|17x+5|=0
Kết quả nhận đợc nh sau:
- Học sinh của tôi không còn lúng túng về phơng pháp giải cho từng
dạng bài trên.
- Biết lựa chọn cách giải hợp lí, nhanh, gọn.
- Hầu hết đã trình bày đợc lời giải chặt chẽ.
- Kết quả cụ thể nh sau:
Giỏi Khá Trung bình Yếu và kém
7A 61% 26% 13% 0%
7D 55% 35% 10% 0%
Khi nghiên cứu đề tài này tôi đã rút ra một số bài học cho bản
thân trong việc bồi dỡng học sinh giỏi. Những bài học đó là:
1 Hệ thống kiến thức bổ trợ cho dạng toán sắp dạy.
2 Hệ thống các phơng pháp cơ bản để giải loại toán đó.
3 Khái quát hoá, tổng quát hoá từng dạng, từng loại bài tập.
Trên đây là một số kinh nghiệm của tôi trong việc dạy học sinh giỏi
giải một dạng toán. Rất mong đợc sự ủng hộ đóng góp ý kiến của đồng
nghiệp để tôi có những kinh nghiệm nhiều hơn trong việc dạy .
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Vĩnh Bảo, ngày 08 tháng 01 năm 2009
Ngời viết
Nguyễn Nh Hiền
Tài liệu tham khảo
1) Vũ Hữu Bình Nâng cao và phát triển Toán 7- NXB Giáo Dục
2003
2) Bùi Văn Tuyên - Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 7- NXB
Giáo dục 2004
3) Sách giáo khoa Toán 7 NXB Giáo dục 2007
4) Vũ Hữu Bình Toán bồi dỡng học sinh lớp 7- NXB Giáo dục
2004.

Nguyễn Nh Hiền Trờng THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
12
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
NguyÔn Nh HiÒn – Trêng THCS NguyÔn BØnh Khiªm
13