Khai thác lời giải Hình học

Phòng giáo dục huyện vĩnh bảo
Trờng thcs nguyễn bỉnh khiêm
==========&=========
Đề tàI :
Hớng dẫn tìm tòi, khai thác lời giải
từ một bài toán hình học 7
===&==
Tác giả: Lê Thị Hồng Vân
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị : Trờng THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
Năm học: 2008 - 2009
Phần I - Đặt vấn đề
1. Lí do về tính cấp thiết:
Ngời thực hiên: Lê Thị Hồng Vân - Trờng THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 1
Toán học là môn khoa học có ứng dụng hầu hết các lĩnh vực của cuộc sống, chính
vì vậy Toán học có vai trò rất quan trọng đối với cuộc sống thực tiễn, với các ngành
khoa học và đối với học sinh. Toán học giúp học sinh đức tính cần cù, nhẫn nại, tự lực
và có ý chí vợt khó. Với vai trò là môn công cụ, bộ môn Toán đã góp phần tạo điều
kiện giáo dục học sinh nhận thức vơn lên tìm tòi và sáng tạo, giúp các em say mê học
toán, khi đó một bài toán không phải là những con số khô khan mà một bài hát, một
vần thơ, một bức tranh với nhiều cảnh đẹp.
2. Mục đích nghiên cứu:
* Học sinh khối 7 mới đợc làm quen với nhiều khái niệm, định lí trong hình học.
Song việc cần thiết làm cho học tiếp cận với kiến thức mới một cách hào hứng , biết
vận dụng những kiến thức lý thuyết đã học để biết cách chứng minh hình học, giải
một bài toán bằng nhiều cách khác nhau.
3. Đối tợng phạm vi và kế hoạch nghiên cứu:
*Đối với lớp 7: . Trong quá trình giảng dạy cho học sinh, chúng tôi thấy việc cần
thiết là làm cho học sinh thấy bản chất của các kiến thức đã học thông qua lời giải từ
một bài toán đồng thời cho học sinh nhìn một bài toán dới nhiều góc độ khác nhau để
thấy đợc sự phong phú của toán học và thêm yêu thích bộ môn

4. Kết quả đạt đợc:
Với mục tiêu trên, cùng với quá trình giảng dạy tôi xin trình bày một kinh
nghiệm của bản thân về việc "Hớng dẫn cho học sinh cách khai thác và tìm tòi lời giải
từ một bài toán" dành cho đối tợng học sinh lớp 7 bớc đầu có hiệu quả cao. Tôi viết
với mục đích mong muốn cùng bạn bè và đồng nghiệp khám phá những kiến thức
phong phú , đa dạng trên cơ sở nền tảng kiến thức cơ bản là SGK. Qua đó chúng ta có
cái nhìn sâu sắc, toàn diện hơn về toán học, giúp các em học sinh hình thành tốt các
kỹ năng giải toán, và thêm yêu thích bộ môn
Phần II - Nội dung đề tài
1. Cơ sở lí luận:
Ngời thực hiên: Lê Thị Hồng Vân - Trờng THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 2
Toán học mang lại cho con ngời biết bao sự đam mê, lí thú và nó mang lại cho
con ngời rất nhiều lợi ích thiết thực.
Khi thấy hiểu một vấn đề nào đó, thấy đợc sự đa dạng phong phú của một vấn
đề nào đó thì các em cảm thấy yêu thích hơn, đi sâu nghiên cứu hơn và sẽ giải
Giáo viên dạy tốt, nâng cao đợc chuyên đề nào đó, học sinh thấy đợc vai trò của ngời
thầy, thấy cái tài của ngời thầy, sẽ kích thích thúc đẩy để học sinh học tốt hơn.
Rèn luyện kỹ năng cho học sinh vận dụng kiến thức, giúp các em có sự t duy sâu
săc hơn, rèn tính cẩn thận, chặt chẽ, linh hoạt cho học sinh.
2.Thực trạng vấn đề nghiên cứu:
Qua những năm giảng dạy toán THCS, đặc biệt là những năm dạy hình học lớp 7
, đây là bộ môn vừa lạ, và khó với học sinh. Hơn nữa theo yêu cầu của bộ môn, chỉ khi
nào học sinh nắm đợc một cách bản chất , hệ thống khái niệm, tính chất , định lí và
các hệ quả SGK đồng thời có có kĩ năng, phân tích, tổng hợp trên hình vẽ mới có khả
năng đạt đợc yêu cầu chung của chơng trình. Chính vì vậy, học sinh chẳng những bỡ
ngỡ, vận dụng kiến thức đã học cha tốt mà còn hiểu vấn đề lẽ tự nhiên, cứng nhắc. Đa
số học sinh nh bắt gặp một điều mới lạ, lo sợ, rất ngại khi học môn này, một số học
sinh say mê làm bài song đôi lúc còn lúng túng. Từ ý thức nh vậy , nên học sinh hay bị
hổng kiến thức, dẫn đến mất đà cho các năm học sau.
Để khắc sâu lý thuyết, rèn kĩ năng giải toán đồng thời gây hứng thú cho học sinh

trong khi học hình học 7, tôi đã có một số cải tiến và cách làm để khai thác bài toán
nhằm tìm ra lời giải hay, ngắn nhất và nhìn bài toán dới nhiều góc độ cho một bài toán
hình học.

3. Mô tả giải pháp.
A. Bài toán:
Ngời thực hiên: Lê Thị Hồng Vân - Trờng THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 3
Cho tam giác cân ABC (AB=AC). Kẻ AH

BC (H

BC), Từ B, C kẻ các đờng
thẳng song song với AH chúng cắt đờng thẳng thẳng đi qua A lần lợt tại M và N.
CMR: AM= AN.
Tóm tắt bài toán

Nhìn nhận của giáo viên:
Nhìn trên hình vẽ BMNC là hình thang do BM//CN(vì cùng song song với AH)
và H là trung điểm BC nên AH là đờng trung bình của hình thang BMNC. Song việc
khai thác chứng minh A là trung điểm của MN đối với học sinh lớp 7 khi cha học vê
tính chất hình thang thì quả là một điều không dễ và rất thú vị .
Dới đây là cách nhìn nhận, hớng dẫn học sinh giải quyết bài toán này:
Ngời thực hiên: Lê Thị Hồng Vân - Trờng THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 4
AM=AN
có AB=AC
AHBC (HBC)
BM//AN; CN//AH
KL
GT
<1>. Định hớng giải quyết bài toán theo phơng pháp tạo ra hai tam giác chứa hai

đoạn thẳng AM và AN sau đó chứng minh hai tam giác đó bằng nhau.
a, Một cách nhìn nhận trực tiếp:
Cách1:

Cách 2:
Ngời thực hiên: Lê Thị Hồng Vân - Trờng THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 5
Hạ ME

AH ( E

AH)
AF

CN (F

CN)
Ta có ME=BH ; AF=HC
Mà BH=HC

ME= AF
Lại có AF// ME



NAF=

AME
MAFANF =

AM=AN

Cách 3:


Cách 4:
Ngời thực hiên: Lê Thị Hồng Vân - Trờng THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 6
* Hạ ME

AH (E

AH) ;
NF

AH (F

AH)
Từ đó chứng minh cho 2 tam giác
vuông NAF và MAE bằng nhau suy
ra MA= NA
Qua A kẻ EF//BC dẫn đến

AME=

ANF

AM=AN
b, Một cách nhìn nhận gián tiếp:
Cách 1:
Cách 2:
Ngời thực hiên: Lê Thị Hồng Vân - Trờng THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 7
Kẻ AE

BM (E

BM);
NF

AH( F

AH);
Suy ra

AEM=

NFA( g.c.g).
suy ra AM=AN( 2 cạnh tơng ứng)
Kẻ BE// MN; HF// MN
Dễ dàng chứng minh đợc :
BE= MA ; HF = AN(1)
Ta chứng minh:

BEH=

HFC(g.c.g)

BE=HF(2).
Từ (1) và (2) có AM=AN
Cách 3:
Cách 4:
Ngời thực hiên: Lê Thị Hồng Vân - Trờng THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 8
Qua H kẻ EF //MN

( E

BM; F

CN).
Dễ chứng minh đợc
EH=AM ; HF = AN(1)
có

BEH=

CFH( g.c.g)

HE=HF(2)
Từ (1) và (2) suy ra AM=AN.
Kẻ BE // MN( E

AH)
CF//MN( F

AH)
Dễ chứng minh đợc:
BE=AM; CF= AN( tính chất đoạn chắn) (1)
Ta chứng minh:

BEH=

CFH( g.c.g).

HE=HF(2)

Từ (1) và (2) suy ra AM=AN.
<2>. Nếu khai thác bài toán theo khía cạnh sử dụng định lí " đờng thẳng đi qua
trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung
điểm của cạnh thứ ba" thì bài toán có thể giải quyết theo hớng sau.
Chứng minh định lí:
a, Một cách nhìn trực tiếp
Cách 1:
Ngời thực hiên: Lê Thị Hồng Vân - Trờng THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 9
Kẻ HE//MN( E

BM)
CF // MN( F

AH)

HE=MA; CF= AN(1)
Ta chứng minh đợc:

BEH=

HFC( g.c.g).

HE=HF(2).
Từ (1) và (2) suy ra: AM=AN
H ớng dẫn:
Từ C kẻ CE// AB cắt MN tại E
Vì MN//BC
CE//AB

CE= MB

Mà MA=MB nên CE= AM



MAN=

ECN(g.c.g)

AN=NC( 2 cạnh tơng ứng)

Cách 2:
b, Cách nhìn nhận gián tiếp:
Cách 1:
Ngời thực hiên: Lê Thị Hồng Vân - Trờng THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 10
H ớng dẫn: Kẻ MD// BC cắt AH tại I
Ta có MI= BH; ID= HC

I là trung điểm MD
Xét

MDN có
MI=ID
AI// ND

AM=AN
Kẻ ND //BC cắt AH tại I
Ta có DI= BH; NI= HC
Mà BH=HC nên ID= IN
Suy ra I là trung điểm của ND.
Xét tam giác NDM có :

NI= ID
IA// DM

AM=AN
Cách 2:
Cách 3:
Ngời thực hiên: Lê Thị Hồng Vân - Trờng THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 11
H ớng dẫn :
Kẻ BD // MN cắt AH tại I
Xét

BCD có BH=HC; IH//DC

BI= ID
dễ chứng minh đợc BI= AM; ID= AN
nên AM=AN
Từ C kẻ CD//MN cắt AH tại I
Xét

BCD có BH = HC, HI//BD
suy ra DI= IC.
Dễ dàng chứng minhđợc
DI = MA; IC = AN
nên AM= AN
C¸ch 4:
<3>. NÕu khai th¸c bµi to¸n theo khÝa c¹nh kÕt hîp gi÷a ph¬ng ph¸p 1 vµ ph¬ng
ph¸p 2th× ta cã thÓ cã nh÷ng c¸ch sau:
C¸ch 1
Ngêi thùc hiªn: Lª ThÞ Hång V©n - Trêng THCS NguyÔn BØnh Khiªm 12
Nèi M víi C c¾t AH t¹i I.

XÐt
∆
BMC cã
BH=HC ; HI// BN
⇒
MI=IC
XÐt
∆
MNC cã:
MI=IC
IA//NC
⇒
AM=AN
Nèi B víi N
- lµm t¬ng tù nh c¸ch 3
C¸ch 2:
Ngêi thùc hiªn: Lª ThÞ Hång V©n - Trêng THCS NguyÔn BØnh Khiªm 13
Nèi B víi A c¾t CN t¹i D
XÐt
∆
BCD cã:
BH=HC
AH//DC
⇒
AB= AD
XÐt
∆
AMB=
∆
AND (g.c.g)

⇒
AM=AN.
Chú ý : Có các cách giải sẽ là tơng tự của nhau, nhng tôi vẫn đa ra để giúp học sinh
khai thác bài toán một cách triệt để.
B. Bài tập tham khảo.
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A, Kẻ CH

AB(H

AB).
CMR:

BCH=
BAC.
2
1
H ớng dẫn:
Cách 1: Nối A với trung điểm M của BC sau đó chứng minh

BCH và

MAC là hai
góc có cặp cạnh tơng ứng vuông góc và cùng nhọn.
Cách 2: Trên tia đối của tia HB lấy điểm D sao cho HB= HD sau đó chứng minh

BCD=

BAC
Cách 3: Từ B kẻ Bx //CH sau đó chứng minh

CBx =
BAC.
2
1
.
Cách 4: Từ H kẻ HN// BC sau đó chứng minh

NHC=
BAC.
2
1
.
Ngời thực hiên: Lê Thị Hồng Vân - Trờng THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 14
Nối AC cắt BM tại D
Xét

BDC có BH =HC; AH//BD

CA=AD
Dễ chứng minh

ADM=

ACN((g.c.g)

AM=AN
Cách 5:Từ A kẻ Ax//HC. Tính cụ thể

BCH và

BAC rồi so sánh
Cách 6: Từ B kẻ Bx

AB ( chứng minh tơng tự cách 3).
Bài 2: Cho

ABC; AB=AC ; M

AB; N

tia đối của tia CA sao cho MB=CN; . MN
cắt BC tại I . Chứng minh: IM=IN.
H ớng dẫn :
Cách 1: Kẻ Mx // AC cắt BC tại D.

MDI=

NIC(g.c.g)
Cách 2: Từ N kẻ Nx // AB ắt tia đối của tia CB tại E;

MBI=

INE(g.c.g)
Cách 3: Từ M kẻ Mx // BC cắt AC tại D ; My// AC cắt BC tại E

NDM có CD=CN ; CI//MD

IM=IN
Cách 4: Từ N kẻ Nx//BC cắt tia đối của tia BA tại E; từ B kẻ By //AC cắt Nx tại D.
Cách 5: Từ M kẻ MH

BC ; NK

BC.
Bài 3. Cho

ABC, đờng cao AH, BK cắt nhau tại E ; O là tâm đờng tròn ngoại tiếp
tam giác ABC . CMR: a, Khoảng cách từ O tới AC bằng nửa khoảng cách từ E tới B
b, Khoảng cách từ O tới BC bằng nửa khoang cách từ E tới A
H ớng dẫn:
Cách 1: Lấy I,J lần lợt là trung điểm EA và EB
Cách 2: Lấy R, S sao cho R, S lần lợt là điểm đối xứng của O qua AC và BC
Cách 3: KẻBx//AE và Ay//BE , Bx cắt Ay tại Q( hoặc lấy Q sao cho Q là điểm đối
xứng của C qua O).
Cách 4: Lấy D là trung điểm của EC.
Bài 4: Cho

ABC; AB> AC;

A= , trên AB lấy D sao cho AC=BD. lấy E là trung
điểm của BC ; F là trung điểm của AD. Tính

DEF?
H ớng dẫn:
Cách 1: Nối AE , lấy A' sao cho E là trung điểm AA'.
Cách 2: Lấy D' sao cho E là trung điểm của DD'
Cách 3: Nối D với C , lấy I là trung điểm của DC
Cách 4: Lấy C' sao cho F là trung điểm CC'.
Ngời thực hiên: Lê Thị Hồng Vân - Trờng THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 15
Cách 5: Lấy K là trung điểm AB.

4. Kết quả thực nghiệm
III. Kết quả thực hiện.
Trong quá trình dạy hình học 7 tôi áp dụng chuyên đề không chỉ dạy và bồi d-
ỡng cho học sinh giỏi mà còn cho cả học sinh đại trà. Đặc biệt đối với học sinh khối 7,
chứng minh hình học bớc đầu đối với các em còn mới lạ, tơng đối khó, đòi hỏi t duy
cao nên lúc đầu nhiều em còn rất ngại học hình, hầu nh học sinh chỉ có ý thức làm bài
đợc một cách đã thoả mãn với chính mình, rất ngại khó khi suy nghĩ cách khác hoặc
tiếp thu cách của bạn. Các em cha thấy đợc tác dụng mạnh của việc nhìn bài toán dới
nhiều góc độ sẽ củng cố đợc kiến thức của mình, rèn luyện đợc tính t duy sáng tao,
tính kiên trì trong khi học toán.
Song qua một thời gian kiên trì áp dụng chuyên đề và dạy học sinh theo ý tởng trên
đến nay hầu hết các em đã tham gia, hởng ứng một cách tích cực, chủ động, vận dụng
kiến thức khi làm thành thạo một số dạng bài có liên quan từ dễ đến khó. Do đó trong
giờ học đợc các em hởng ứng nhiệt tình, có nhiều phát hiện cách giải độc đáo.
Thực tế tôi đã sử dụng vào giảng dạy cho lớp 7B, 7D năm học 2008-2009 thì kết
quả cho thấy đều có ý thức thi đua nhau, rất hào hứng phát biểu các cách làm của
mình. Còn đối với bồi dỡng học sinh giỏi thì 90% học sinh có thể tìm đợc 2 cách trở
lên.
Và một điều quan trọng hơn cả là sau khi áp dụng chuyên đề này tôi thấy tinh
thần học tập, khả năng tự nghiên cứu toán học của các em đợc phát huy một cách tích
cực không những nắm vững kiến thức trong SGK các em còn có cố gắng trong việc tìm
hiểu giải các bài toán khó sách nâng cao, báo toán học.
Qua thực tế tôi thấy , việc khai thác bài toán giúp cho học sinh định hớng tìm ra
lời giải 1 bài táon hình học là một vấn đề rất quan trọng và không thể thiếu đợc trong
khi giảng dạy moon hình học lớp 7. Chính vì vậy tôi cũng xin mạnh dạn có những
khuyến nghị mong PGD tổ chức nhiều hơn nữa các chuyên đề cụm liên trờng, các
chuyên đề, để giáo viên đợc trao đổi và học hỏi kinh nghiệm, tạo hiệu quả giảng
dạy-học tập cao nhất .
Ngời thực hiên: Lê Thị Hồng Vân - Trờng THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 16
Hiện nay SGD không tổ chức thi HSG các môn cho khối 6-7-8 song tôi cũng mong

muốn PGD tổ chức thi HSG huyện các môn cho các khối này, không chỉ tạo động lực
cho các em học sinh say mê học môn mà mình yêu thích mà còn là động lực cho giáo
viên có cơ hội, ý thức tự học, tự nghiên cứu trang bị cho kiến thức của mình sâu rộng
hơn.
III. kết luận
Sau một thời gian nghiêm túc thực hiện với sự giúp đỡ của đồng nghiệp tôi đã
hoàn thành chuyên đề: " Hớng dẫn tìm tòi, khai thác lời giải từ một bài toán" với mong
muốn tạo cho học sinảìen cho học sinh tính kiên trì và có khả năng sáng tạo khi làm
bài và thấy đợc sự phong phú, đa dạng của toán học. Do thời gian không cho phép ,
kinh nghiệm cá nhân còn hạn chế nên chuyên đề không tránh khỏi nhiều khiếm khuyết
. Rất mong đợc sự chỉ bảo, góp ý của đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Vĩnh bảo-Ngày 6 tháng 2 năm 2009
Ngời viết:
Lê Thị Hồng Vân
Tài liệu tham khảo
Ngời thực hiên: Lê Thị Hồng Vân - Trờng THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 17
1- Một số vấn đề đổi mới phơng pháp dạy học môn toán môn toán ở trờng THCS- Bộ giáo dục
và đào tạo
2- Sách giáo khoa toán 7 - sách bài tập toán 7 - Tập1
2. Tuyển chọn 400 bài tập toán 7- Nguễn Anh Dũng
4- Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán- Bùi Văn Tuyên
5- Nâng cao và phát triển toán 6- Vũ Hữu Bình.
6. Giúp em học giỏi toán cấp II- Lê Hải Châu
Mục lục
Trang
A. Đặt vấn đề 1
Ngời thực hiên: Lê Thị Hồng Vân - Trờng THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 18
B. Phần nội dung 2
I. Cơ sở lí luận 2

II. Cơ sở thực tiễn 2
III. Các giải pháp thực hiện 3
PhầnA Bài toán
3
Phần B. Một số bài tập
12
III. Kết quả thực hiện 14
C. Kết luận 15
Tài liệu tham khảo 16
Ngời thực hiên: Lê Thị Hồng Vân - Trờng THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 19