CHƯƠNG 11-Tính hệ thanh siêu tĩnh bằng phương pháp lự

Chương 11. Tính hệ thanh siêu tĩnh bằng phương pháp lực

11.1
Chương 11. TÍNH HỆ THANH SIÊU TĨNH
BẰNG PHƯƠNG PHÁP LỰC
I. KHÁI NIỆM CƠ BẢN
⇒ Hệ tĩnh định (HTĐ): số liên kết = số phương trình cân bằng tĩnh học.
⇒
Hệ siêu tĩnh (HST) là hệ có số liên kết nhiều hơn số phương trình cân
bằng tĩnh học. Hệ siêu tĩnh là hệ bất biến hình và có các liên kết thừa. Bậc
siêu tĩnh của hệ được tính bằng số liên kết thừa. Số liên kết thừa của một
hệ có th
ể là liên kết ngoại (liên kết cần thiết để giữ cho hệ được cố định)
hay liên kết nội (liên kết giữa các phần đối với nhau trong cùng một hệ)
So với hệ tĩnh định, HST có những đặc điểm sau:
• Nội lực trong HST phân bố đều hơn, ứng suất và biến dạng nhỏ hơn
so với HTĐ có cùng kích thước và tải trọng.
• HST có nhược
điểm là dễ phát sinh các ứng suất khi nhiệt độ thay
đổi, khi có độ lún ở các gối tựa, gia công lắp ghép không chính xác.
• Khi những liên kết thừa bị hư hỏng thì hệ vẫn không bị phá loại, vì
khi đó hệ vẫn bết biến hình học.
Ví dụ: Hình 11.1a,e: hệ thừa 2 liên kết ngoại: bậc siêu tĩnh của hệ là 2.
Hình 11.1b: hệ thừa 1 liên kết ngoại: bậc siêu tĩnh của hệ là 1. Hình 11.1c:
hệ th
ừa 3 liên kết ngoại và 3 liên kết nội: bậc siêu tĩnh là 6. Hình 11.1d: hệ
thừa 3 liên kết nội, bậc siêu tĩnh của hệ là 3.
Khung khép kín (hình 1.1f) ⇒ siêu tĩnh bậc ba. Vì muốn nối phần (A) và
(B), cần 3 liên kết đơn hoặc 1 khớp và 1 liên kết đơn hay thay ba liên kết đơn
bằng mối hàn cứng (hình 11.1g,h).

⇒ Khái niệm “liên kết thừa” chỉ có tính qui ước. Bởi vì để đảm bảo cho hệ
bất biến hình thì chúng là thừa, như
ng sự có mặt của chúng sẽ tạo cho kết
cấu có độ cứng cao hơn và do đó, làm việc tốt hơn so với hệ tĩnh định. Sau
đây ta giải HST bằng phương pháp lực.
a)
e)
b)
c)
d)
f)
g)
h)
(A)
(B)
(A)
(
B
)
Hình 11.1
Chương 11. Tính hệ thanh siêu tĩnh bằng phương pháp lực

11.2
II. GIẢI HỆ SIÊU TĨNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP LỰC
1. Hệ cơ bản của HST
⇒ là một HTĐ có được từ HST đã cho bằng cách bỏ bớt các liên kết thừa.
HST có thể có nhiều hệ cơ bản (hình 11.2).

Cần chú ý rằng:

⇒ Sau khi bỏ các liên
kết thừa, hệ phải đảm bảo
tính bất biến hình của nó.
⇒ Chỉ được phép giảm
bớt các liên kết đơn chứ
không được phép thêm
liên kết đơn vào một mặt
cắt bất kỳ.
Ví dụ: hệ trên hình 11.3b, c không phải là hệ cơ bản của hệ trên hình
11.3a, vì nó sẽ biến hình.
2. HTĐ tương đương
⇒ HTĐ tương đương với HST
đã cho khi biến dạng và chuyển vị của
chúng hoàn toàn giống nhau.
⇒ HTĐ tương đương là hệ cơ bản chọn của HST: các liên kết thừa biểu
diễn phản lực liên kết (hình 11.4). Phản lực liên kết được xác định với điều
kiện biến dạng và chuyển vị của HTĐ hoàn toàn giống như HST đã cho.

Hình 11.4
3. Thiết lập hệ phương trình chính tắc để xác định các phản lực liên kết
⇒ Với mỗi phản lực liên kết X
i
ta có một điều kiện chuyển vị:
l

q

l

H

ình 11.2
(a)
(b)
(c)

a)
b)
c)

l
l
Hình 11.3
(a) (b)
(c)
Chương 11. Tính hệ thanh siêu tĩnh bằng phương pháp lực

11.3
Gọi Δ
i
là chuyển vị của điểm đặt của X
i
theo phương của X
i
đó, gây ra do
tải trọng P
i
và tất cả các X
j
(j = 1, 2, …, n), với n là bậc siêu tĩnh ta có:
Δ

i
= ± δ
i
(i = 1, 2, …, n) (11.1)
Ở đây δ
i
là chuyển vị tại điểm đặt của X
i
và theo phương X
i
đó do tải trọng
đã cho gây ra trong HST, dấu (+) lấy khi chiều chuyển vị của δ
i
cùng chiều
với chiều của lực X
i
và lấy dấu (-)khi chiều chuyển vị của δ
i
ngược chiều với
chiều của lực X
i
. Trong các trường hợp thường gặp như gối cố định, di động,
ngàm thì ta có δ
i
= 0. Tuy nhiên có những trường hợp δ
i
≠ 0, chẳng hạn gối
tựa đàn hồi.
⇒ Nếu HST có n bậc siêu tĩnh ⇒ n phương trình (11.1) ⇒ hệ phương
trình chính tắc xác định các phản lực liên kết X

i
(i = 1, 2, , n):

1111122 1nn 1p
2211222 2nn2p
nn11n22 nnnnp
XX X 0
X X X 0

X X X 0
Δ=δ +δ + +δ +Δ =
⎫
⎪
Δ=δ +δ + +δ +Δ =
⎪
⎬
⎪
⎪
Δ=δ +δ + +δ +Δ =
⎭
(11.2)
trong đó: Δ
ip
là chuyển vị theo phương i của hệ cơ bản do tải trọng gây nên.
δ
ik
là chuyển vị đơn vị theo phương i của hệ cơ bản do lực đơn vị đặt theo
phương k gây nên.
⇒ Ta có thể tính được Δ
ip

và δ
ik
theo công thức Mo sau:

== =
δ= + + +
∑∑ ∑
∫∫ ∫
ii i
ll l
nn n
zi zk xi xk zi zk
ik
i1 i1 i1
xp
00 0
NN MM MM
dz dz dz
EF EJ GJ


== =
Δ= + + +
∑∑ ∑
∫∫ ∫
ii i
ll l
nn n
zi zp xi xp zi zp
ip

i1 i1 i1
xp
00 0
NN MM MM
dz dz dz
EF EJ GJ

⇒ Nếu bỏ qua ảnh hưởng của kéo-nén và xoắn so với uốn, thì Δ
ip
và δ
ik

tính theo công thức Mo sau (bỏ qua chỉ số x, y trong công thức):

i
l
n
ik
ik
i1
0
MM
dz
EJ
=
δ=
∑
∫
;
i

l
n
ip
ip
i1
0
MM
dz
EJ
=
Δ=
∑
∫
(11.3)
⇒ Sau khi xác định được các phản lực liên kết X
i
, đặt các phản lực liên kết
X
i
cùng với tải trọng lên hệ cơ bản ⇒ một HTĐ tương đương.
⇒ Giải HST bằng phương pháp lực ta có các bước sau:
Bước 1
. Xác định bậc siêu tĩnh và chọn hệ cơ bản
Bước 2
. Xác định HTĐ tương đương bằng cách đặt vào hệ cơ bản các phản
lực liên kết tương ứng với các liên kết thừa đã bỏ đi.
Bước 3
. Thiết lập hệ phương trình chính tắc
Chương 11. Tính hệ thanh siêu tĩnh bằng phương pháp lực

11.4
Ví dụ 11.1: Vẽ biểu đồ nội lực của khung như hình vẽ 11.5a

Giải: Khung có hai bậc siêu tĩnh, hệ cơ bản được chọn như hình 11.5b.
HTĐ tương đương như trên hình 11.5c. Phương trình chính tắc có dạng:

11 1 12 2 1p
21 1 22 2 2p
XX 0
XX 0
δ+δ+Δ=
⎫
⎪
⎬
δ+δ+Δ=
⎪
⎭

Biểu đồ mômen uốn do tải trọng (M
p
) như hình 11.5d.
Áp dụng phương pháp nhân biểu đồ Verêsaghin ta có:

3
n
11
11
xx x
i1
0

MM
11 2 4a
dz .a.a. a a.a.a
EJ EJ 2 3 3EJ
=
⎛⎞
δ= = + =
⎜⎟
⎝⎠
∑
∫
i
l


3
n
12
12
xx x
i1
0
MM
11 a
dz .a.a.a
EJ EJ 2 2EJ
=
⎛⎞
δ= = − =−
⎜⎟

⎝⎠
∑
∫
i
l


3
n
22
22
xx x
i1
0
MM
11 2 a
dz .a.a. a
EJ EJ 2 3 3EJ
=
⎛⎞
δ= = =
⎜⎟
⎝⎠
∑
∫
i
l


22 4

n
p1
1p
xx x
i1
0
MM
11 a3 a 5qa
dz .aq. . a q. .a.a
EJ EJ 3 2 4 2 8EJ
=
⎛⎞
Δ= = + =
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∑
∫
i
l


24
n
p2
2p
xx x
i1
0
MM

11a qa
dz .aq. .a
EJ EJ 2 2 4EJ
=
⎛⎞
Δ= = − =−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∑
∫
i
l

Hình 11.5
X
2
X
1
(c)
X
2
=1
2
M

(f)
a
C
B

A
a
a
(a)
q
(e)
X
1
=1
1
M
a
C
B
A
M
P
q
a
2
/2
(d)
(b)
Hệ cơ bản

Chương 11. Tính hệ thanh siêu tĩnh bằng phương pháp lực

11.5
Thay vào phương trình chính tắc, ta cã:

⎧
⎧
−+=
=−⎪
⎪
⎪⎪
⇒
⎨⎨
⎪⎪
=
−+−=
⎪
⎪
⎩
⎩
33 4
12
1
xxx
33 4
2
12
xx x
3a 1a 5qa
3
XX 0
X
q
a
4EJ 2EJ 8EJ

7
3
1a 1a 1qa
X
q
a
XX 0
28
2EJ 3EJ 4EJ

Ðể vẽ biểu đồ M, N, Q ta đặt các lực X
1
, X
2
vào hệ cơ bản với lực X
1
có
chiều ngược lại vì kết quả mang dấu âm. Biểu đồ M, N, Q như hình 11.6.

Hình 11.6
III. TÍNH HỆ SIÊU TĨNH ÐỐI XỨNG
1. Định nghĩa : ⇒ Hệ đối xứng là hệ khi có ít nhất một trục đối xứng.
⇒ Hệ đối xứng chịu tải trọng đối xứng khi tải trọng đặt lên phần này là
ảnh của tải trọng đặt lên phần kia qua gương phẳng đặt tại trục đối xứng và
vuông góc với mặt phẳng của hệ.
⇒ Nế
u tải trọng của phần này là ảnh của phần kia nhưng có chiều ngược
lại thì ta gọi là hệ đối xứng chịu tải trọng phản đối xứng.
Hình (11.7a,b,c) - HST
đối xứng, hệ chịu tải trọng

đối xứng, hệ chịu tải trọng
phản đối xứng.
2. Tính chất (mệnh đề)
⇒ Tương tự, nội lực
cũng có tính chất đối xứ
ng
hoặc phản đối xứng.
⇒ Trong mặt phẳng: N
z
, M
x
có tính
đối xứng, Q
y
có tính phản đối xứng
⇒ Trong không gian: N
z
, M
x
, M
y
là đối
xứng, Q
x
, Q
y
và M
z
phản đối xứng.

a)
b)
c)
Hình 11.7
M
x
M
x
Q
y
Q
y

Hình 11.8
Chương 11. Tính hệ thanh siêu tĩnh bằng phương pháp lực

11.6
⇒ Tính chất của HST đối xứng:
Nếu một hệ đối xứng chịu tải trọng
đối xứng thì nội lực phản đối xứng
trên mặt cắt trong mặt phẳng đối
xứng của hệ là bằng không. Ngược
lại nếu tải trọng là phản đối xứng thì
nội lực đối xứng phải bằng không.
⇒ Chú ý các nhận xét sau
:
Khi hệ
là đối xứng chịu tải trọng đối xứng
thì biểu đồ mômen là đối xứng, ngược lại nếu tải trọng phản đối xứng thì
biểu đồ mômen là phản đối xứng. Phép nhân Vêrêsaghin giữa biểu đồ đối

xứng và phản đối xứng là bằng không.
Chứng minh. Giả sử có HST đối xứng chịu tải phản đối xứng (hình
11.10b). Chọn hệ c
ơ bản bằng cách cắt đôi khung. Phải chứng minh các
thành phần nội lực đối xứng X
1
và X
2
trên mặt cắt là bằng không.

X
1
, X
2
, X
3
là nghiệm của phương trình chính tắc:

11 1 12 2 13 3 1p
21 1 22 2 23 3 2p
31 1 32 2 33 3 3p
XXX 0
XXX 0
XXX 0
⎧
δ+δ+δ+Δ=
⎪
δ+δ+δ+Δ=
⎨
⎪

δ+δ+δ+Δ=
⎩
(11.4)









⇒ Biểu đồ
1
M
,
2
M
là đối xứng còn biểu đồ
3
M
là phản đối xứng nên:
δ
13
= δ
31
= δ
23
= δ
32

=Δ
1p
= Δ
2p
= 0
⇒ Do đó hệ phương trình chính tắc trên thu gọn lại như sau:

11 1 12 2
21 1 22 2
33 3 3p
XX0
XX0
X0
⎧
δ+δ=
⎪
δ+δ =
⎨
⎪
δ+Δ=
⎩
(11.5)
⇒ Hai phương trình đầu là một hệ thống phương trình thuần nhất 2 ẩn số
định thức khác không ⇒ X
1
= X
2
= 0.
M
x

Q
x
N
z
x
y
z
y
x
z
M
y
Q
y
M
z
Hình 11.9
X
3
X
3
X
2
X
2
X
1
P
k
=1

Hình 11.10
(a)
P
k
=1
P
(b)
P
l
l
Pl
k
M
M
m
l
l
l
Pl
l
Chương 11. Tính hệ thanh siêu tĩnh bằng phương pháp lực

11.7
⇒ Tương tự, khung chịu lực đối xứng như hình vẽ 11.10a. Lúc đó biểu đồ
tải trọng là đối xứng nên: δ
13
= δ
31
= δ
23

= δ
32
= Δ
3P
= 0
⇒ Hệ phương trình chính tắc:
11 1 12 2 1p
21 1 22 2 2p
33 3
XX 0
XX 0
X0
δ
+δ +Δ =
⎧
⎪
δ
+δ +Δ =
⎨
⎪
δ=
⎩
(11.6)
⇒ Từ phương trình thứ 3 ta được X
3
= 0 ⇒ đpcm.
⇒ Trường hợp hệ đối xứng nhưng tải trọng bất kỳ ⇒ tổng tác dụng của hệ
có tải trọng đối xứng và hệ chịu tải trọng phản đối xứng (hình 11.11).

IV. HST CÓ CÁC LIÊN KẾT CHỊU CHUYỂN VỊ CƯỠNG BỨC

Để tính toán những HST có các gối tựa chịu chuyển vị cưỡng bức ta
cũng sẽ sử dụ
ng những lý luận vừa mô tả ở trên. Nội lực trong hệ có các
liên kết chịu chuyển vị cưỡng bức là do các gối tựa chịu các chuyển vị
cưỡng bức.
Để áp dụng hệ phương trình chính tắc (11.2) vào trường hợp này ta phải
chú ý khi chọn hệ cơ bản, không nên loại bỏ các liên kết có chuyển vị
cưỡng bức mà phải cắt các liên kết ấy. Ngoài ra có thể lựa chọn hệ c
ơ bản
bằng cách loại bỏ các liên kết thừa không có chuyển vị cưỡng bức.
Giả sử cho một dầm như hình 11.12a, nếu chọn hệ cơ bản bằng cách loại
bỏ liên kết ở gối tựa B có chuyển vị cưỡng bức thì điều kiện biến dạng
theo phương của ẩn số X
1
do các ẩn số X
k
nếu có (trên hình 11.12a không
chỉ ra những ẩn số này) và chuyển vị cưỡng bức gây ra sẽ không bằng
không. Cụ thể là:

1
X12 n
(X ,X , ,X ) 0Δ=δ≠

Bây giờ nếu ta chọn hệ cơ bản bằng cách cắt liên kết có chuyển vị cưỡng
bức B thì điều kiện chuyển vị theo phương liên kết ấy vẫn bằng không. Vì
lúc này điều kiện vừa nói là điều kiện mô ta chuyển vị tương đối của hai
mặt cắt của liên kết vừa bị cắt:
P/2
P/2P/2

P/2P
Hình 11.11
=
+
Chương 11. Tính hệ thanh siêu tĩnh bằng phương pháp lực

11.8

1
X12 n
(X ,X , ,X ) 0Δ=

Nếu chọn hệ cơ bản bằng cách cắt các liên kết thừa có chuyển vị cưỡng
bức thì phương trình thứ k có dạng:

Δ
δ+δ ++δ ++δ +Δ=
k1 1 k2 2 kk k kn n k
X X X X 0 (k=1,n)
(11.7)
Các hệ số δ
kj
tính như đối với trường hợp hệ chịu tải trọng.
Δ
Δ
k
là chuyển vị theo phương của lực X
k
do chuyển vị cưỡng bức gây ra
trong hệ cơ bản. Nó được xác định theo công thức sau:

ΔΔΔ
==
Δ=− Δ− θ
∑∑
nn
kiiii
i1 i1
RM
(11.8)
Trong đó
ii
R,M
là phản lực theo phương liên kết thứ i do lực
k
X
= 1 gây
ra trong hệ cơ bản.
Δ
Δ
i
là chuyển vị thẳng theo phương liên kết thứ i và
Δ
θ
i
là góc xoay tại liên kết thứ i trong hệ siêu tĩnh đã cho.

Ví dụ 11.2: Tính mômen uốn lớn nhất trong trục được cho trên hình
11.12a, nếu khi chế tạo tâm của ổ đỡ lệch đi một đoạn δ.
Giải

Hệ cơ bản chọn như hình 11.12b. Phương trình chính tắc có dạng:

Δ
δ+Δ=
11 1 1
X0

Trong đó
Δ
Δ=− δ=−δ=−δ
11
R. 1.

Biểu đồ
1
M
cho trên hình 11.12c, nhân biểu đồ này với chính nó ta có:

3
11
11121
2.
EJ 2232 6EJ
⎛⎞
δ= =
⎜⎟
⎝⎠
l
l. l. l

Thay
Δ
Δ
1
và
11
δ
vừa tìm được vào phương trình chính tắc ta được:
1
2
l
A

B
g
l

l

C
X
1

a)
b)
c)
1
X1
=

2
3EJ
δ
l
d)
1
M
M
Δ
Hình 11.12
Chương 11. Tính hệ thanh siêu tĩnh bằng phương pháp lực

11.9

1
3
6EJ
X =δ
l

Biểu đồ mômen uốn và giá trị mômen uốn lớn nhất trên hình 11.12d.
IV. TÍNH HST CHỊU NHIỆT ĐỘ THAY ĐỔI
Việc tính HST chịu nhiệt độ thay đổi cũng tương tự như tính hệ chịu tác
dụng của tải trọng, chỉ khác ở đây là sự biến thiên của nhiệt độ là nguyên
nhân gây ra nội lực trong hệ. Vì thế số hạng
kp
Δ
thay bằng
kt
Δ

là chuyển
vị theo phương X
k
do sự biến thiên nhiệt độ gây ra trong hệ cơ bản. Cụ thể
là

Δ=δ +δ + +δ +Δ =
⎫
⎪
Δ=δ +δ + +δ +Δ =
⎪
⎬
⎪
⎪
Δ=δ +δ + +δ +Δ =
⎭
1111122 1nn 1t
2211222 2nn 2t
nn11n22 nnnnt
XX X 0
X X X 0

XX X 0
(11.9)
Trong đó các hệ số
kt
Δ
được xác định như sau:

21

kt c k k
00
t-t
tNdZ MdZ
h
Δ= α + α
∑∑
∫∫
ll

Hay
() ()
21
kt k c k
t-t
Nt M
h
Δ= Ω α+ Ω α
∑∑

Trong đó
()
k
NΩ
và
()
k
MΩ
là diện tích của biểu đồ lực dọc và mômen
uốn do lực

k
X1=
gây ra trong hệ cơ bản;
12
c
t+t
t
2
=
; α là hệ số dãn nở
nhiệt của vật liệu của hệ; h là chiều cao MCN; t
1
và t
2
là độ biến thiên của
nhiệt độ ở hai phía của MCN.
Các hệ số δ
kj
được xác định như trường hợp hệ chịu tải trọng.
Sau khi thiết lập và giải hệ phương trình chính tắc ta sẽ tìm được các ẩn
số X
1
, X
2
, X
3
, … Việc vẽ các biểu đồ nội lực được tiến hành theo các
phương pháp đã biết.
Chương 11. Tính hệ thanh siêu tĩnh bằng phương pháp lực

11.10
IV. TÍNH DẦM LIÊN TỤC
1. Định nghĩa
⇒ Dầm liên tục là dầm
siêu tĩnh đặt trên nhiều gối
tựa đơn, trong đó có một gối
tựa cố định (hình 11.13a).
Khoảng cách giữa hai gối tựa
gọi là nhịp. Bậc siêu tĩnh của
dầm bằng số nhịp trừ một.
2. Phương trình ba mômen
⇒ Chọn hệ cơ bản của
dầm bằng cách đặt lên mỗi
gối tựa một khớp để chia
dầm thành nhiều dầm đơn

(h×nh 11.13b)
.
⇒ Những lực tác dụng lên
một nhịp nào đó chỉ ảnh
hưởng đến chuyển vị của
nhịp bên cạnh ⇒ khi xét
chuyển vị ở một gối tựa bất
kỳ, chỉ cần xét hai nhịp liên
tiếp nhau và các ẩn số chỉ là
các mômen uốn nội lực M
i
(h×nh 11.13c) (M
i
>0 làm

căng thớ dưới).
⇒
Phương trình chính
tắc (phương trình ba
mômen)
viết theo điều kiện
góc xoay tương đối giữa hai mặt cắt tại gối tựa đó phải bằng không.
⇒ Ví dụ tại gối tựa thứ “i”:
δ
11
M
1
+ δ
12
M
2
+…+ δ
i,i-1
M
i-1
+ δ
i,i
M
i
+ δ
i,i+1
M
i+1
+…+ δ
1n

M
n
+ Δ
ip
= 0
⇒ Các hệ số δ
i1
= δ
i2
= …= δ
i(i-2)
= … = 0, do lực tác dụng trên hai nhịp
ở trên hai gối tựa thứ “i” chỉ ảnh hưởng đến góc xoay của gối tựa trên hai
nhịp đó.
Phương trình chính tắc của hệ có dạng sau:

δ
i,i-1
M
i-1
+ δ
i,i
M
i
+ δ
i,i+1
M
i+1
+ Δ
ip

= 0 (11.10)

⇒ Các hệ số và số hạng tự do trong (11.10) tính theo phương pháp nhân
biểu đồ Vêrêsaghin, ta có:
1
i
b
i+1
a
i+1
b
i
P
l
i+1
l
i
M
1
M
2
M
3
M
3
P
M
2
M
1

l
l

l
l
q
M
4
M
0
q
0
1
2 3 4
M
i-1
M
i
M
i+1
M
i+1
M
i
M
i-1
q
i-1
i i+1

a
i
i-1
i+1

C
C
Ω
i
Ω
i+1
M
i-1
=1
M
i
=1
1
1
M
i+1
=1
i1
M
−
i
M
i1
M
+

M
p
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Hình 11.13
Chương 11. Tính hệ thanh siêu tĩnh bằng phương pháp lực

11.11

i1
i1 i i
i,i 1 i
ii i
0
MM
11 1
dz . .1. .
EJ EJ 2 3 6EJ
−
−
−
δ= = =
∫
l
l

l


i
ii i i1
i,i i i 1
ii1 ii1
0
MM
11 2 1 1 2
dz . .1. . . .1. .
EJ EJ 2 3 EJ 2 3 3EJ 3EJ
+
+
+
+
δ= = + = +
∫
l
ll
ll


i1
ii1 i1
i,i1 i1
i1 i1 i1
0
MM
11 1

dz . .1. .
EJ EJ 2 3 6EJ
+
++
++
++ +
δ= = =
∫
l
l
l


i
pi
ii1
ip i i 1
iii1 i1
0
MM
ab
11
dz . . . .
EJ EJ EJ
+
+
+
+
Δ= = Ω + Ω
∫

l
ll

trong đó: l
i
, l
i+1
: độ dài của nhịp thứ i và thứ (i+1). Ω
i
, Ω
i+1
: Diện tích của
biểu đồ mômen do tải trọng gây nên trên hai nhịp thứ i và thứ (i+1). a
i
, b
i+1
:
Khoảng cách từ trọng tâm của các diện tích đó đến gối tựa thứ (i-1) và (i+1).
Thay các trị số đó vào phương trình chính tắc, ta có:
i i i1 i1 i i i1 i1
i1 i i1
i i i1 i1 i i i1 i1
.a .b
MMM 0
6EJ 3EJ 3EJ 6EJ EJ EJ
++ ++
−+
++ ++
⎛⎞ ⎛ ⎞
ΩΩ

++ + + + =
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
llll
ll
(11.11)
N
Õu ®é cøng EJ kh«ng ®æi trªn suèt chiÒu dμi cña dÇm, ta cã :

()
i i i1 i1
ii1 i i1 i i1i1
ii1
.a .b
M2 M M6 0
++
−+++
+
⎛⎞
ΩΩ
++ + + + =
⎜⎟
⎝⎠
llll
ll
(11.12)
Ví dụ
:Vẽ biểu đồ lực cắt, mômen uốn của dầm liên tục như hình vẽ (11.14a)

l

M
1
M
2
M
3
P=ql
M
2
M
1
l

l

l

q
M
0
0

1

2

3
a)
b)

l

l

ql
2
/8
ql
2
/4
M
p
c)
Hình 11.14
5ql/8
M
2
M
2
1
M
2
M
M
1
M
1
d)
ql
2

/40
e)
3ql
2
/20
ql/40
ql
2
/20
3ql
2
/20
7ql
2
/20
3ql/8
13ql/20
7ql/20
M
x
Q
y
f)
g)
Chương 11. Tính hệ thanh siêu tĩnh bằng phương pháp lực

11.12
Giải: Đây là HST bậc 2. Hệ cơ bản như hình 11.14b. Biểu đồ mômen uốn
M
p

như hình 11.14c.
Phương trình ba mômen đối với gối tựa thứ 1, 2 và 3 là:

⎧
⎛⎞
++++ =
⎪
⎜⎟
⎪⎝⎠
⎨
⎛⎞
⎪
+++ + =
⎜⎟
⎪
⎝⎠
⎩
2
012
22
123
2q 1
M2(+)M M60 . 0
38 2
2q 1 1q 1
M2(+)M M6. . 0
38 224 2
l
llll l
ll

llll l l

Trong đó M
0
= M
3
= 0 (do các khớp không có mômen ngoại lực tập trung).
Giải hệ phương trình trên ta được:

M
1
=
2
ql
40
−
; M
2
=
2
3ql
20
−
;
Dấu (-) chỉ các
m«men có chiều ngược với chiều đã chọn.
Cộng các biểu đồ M
p
, M
1

, M
2
ta được biểu đồ M
x
(hình 11.14f). Sau khi
tính phản lực các gối tựa của biểu đồ M
p
, M
1
, M
2
và cộng các vectơ phản
lực, ta thu được biểu đồ Q
y
như trên hình 11.14g.
3. Trường hợp đặc biệt
⇒ Trường hợp dầm liên tục có đầu thừa và đầu ngàm thì cách giải của
chúng ta như sau:
⇒ Tưởng tượng bỏ đầu thừa và thu gọn tất cả ngoại lực đặt trên đoạn đó
về gối tựa cuối cùng. Mômen uốn thu gọn có thể xem là mômen liên kết tại
mặt cắt của gối tựa cuối cùng (mômen đó có trị số dương khi nó làm căng
thớ dưới và có trị
số âm khi nó làm căng thớ trên) hoặc được xem là mômen
uốn ngoại lực tác động lên dầm. Còn liên kết ngàm thì được thay bằng một
nhịp đặt trên một gối tựa cố định và một liên kết đơn. Ðộ cứng EJ
x
của đoạn
nhịp này được xem là lớn vô cùng và chiều dài của nhịp đó được xem là
bằng không (hình 11.15).

Hình 11.15
⇒ Phương trình ba mômen được áp dụng đối với từng nhịp cạnh như phần
trên.
l
0
=0
P
P
l

M=P
l

Chương 11. Tính hệ thanh siêu tĩnh bằng phương pháp lực

11.13
Ví dụ: Vẽ biểu đồ nội lực của dầm chịu lực như hình vẽ (11.15a).

Giải: Hệ cơ bản và thứ tự các nhịp, các gối tựa được đánh số như hình
11.15b. Biểu đồ M
p
do tải trọng gây nên trên hệ cơ bản như hình vẽ (11.15c).
Mômen thu gọn ở gối tựa cuối cùng được xem là mômen liên kết trên mặt
cắt của gối tựa đó. Vì vậy trên biểu đồ mômen M
p
không có mômen đó. Với
các gối tựa (1), (2), ta thiết lập được các phương trình ba mômen như sau:

⎧
+

++ =
⎪
⎪
⎨
⎪
+++ =
⎪
⎩
l
llll l
l
llll l
2
012
2
123
2q 1
M2(+)M M6. 0
38 2
2q 1
M2(+)M M6. 0
38 2

Giải hệ trên với M
0
= 0 và M
3
= 0.5Pl = 0.5ql
2
ta được:

M
1
=
−
2
5ql
28
; M
2
=
2
3ql
28
;
Mômen M
1
<0, chứng tỏ mômen M
1
làm căng thớ trên, mômen M
2
>0 có
nghĩa là M
2
làm căng thớ dưới. Biểu đồ mômen uốn và lực cắt cho trên hình
11.15f,g.

Hình 11.15
0

M
1
l
0
=0
M
0
=0
l
/
2
M
2
P=ql
M
3
=-ql
2
/2
M
2
l

l

q
1

2

3

a)
b)
l

l

ql
2
/8
M
p
c)
17ql/28
1
M
2
M
M
1
d)
5ql
2
/28
e)
3ql
2
/28
11ql/14

5ql
2
/28
ql
2
/2
3ql/14
ql
M
x
Q
y
f)
g)
3ql
2
/28