Đề thi HSG toán 8 co đáp án

Đề thi chọn học sinh giỏi thcs cấp tỉnh
Năm học 2004 - 2005
Môn: Toán 8
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2 điểm)a/ Phân tích đa thức thành nhân tử: x
3
- 7x - 6
b/ Giải phơng trình: x
4
- 30x
2
+ 31x - 30 = 0
Câu 2 (2 điểm)a/ Cho đa thức f(x) = ax
2
+ bx + c, với a, b, c là các số hữu tỉ. Biết rằng f(0), f(1),
f(2) có giá trị nguyên. Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên.
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của:A =
12
2
68
2
3
+
+
xx
xx
Câu 3 (2 điểm)a/ Chứng minh rằng với 4 số bất kỳ a, b, x, y ta có(a
2
+ b
2
)(x

2
+ y
2
)

(ax + by)
2
b/ Chứng minh rằng: x
3m+1
+ x
3n+2
+1 chia hết cho x
2
+ x + 1 với mọi số tự nhiên m,n.
Câu 4 (3 điểm)Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn với 3 đờng cao AA, BB, CC.
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng:
1
'
'
'
'
'
'
=++
CC
HC
BB
HB
AA
HA

Câu 5 (1 điểm)Cho 3 số dơng a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
9
111
++
cba
Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh
Năm học 2004 - 2005
Môn: Toán 8
Câu 1
a/ Phân tích đa thức thành nhân tử:
x
3
- 7x - 6 = x
3
- 4x - 3x - 6
= x(x
2
- 2
2
) - 3(x + 2) (1/2 điểm)
= x(x + 2)(x - 2) - 3(x + 2)
= (x + 2)(x
2
- 2x - 3)
= (x + 2)(x
2
- 1 - 2x - 2)
= (x + 2) [(x - 1)(x + 1) - 2(x + 1)]
= (x + 2)(x + 1)(x - 3) (1/2 điểm)
b/ x

4
-30x
2
+ 31x - 30 = 0 <=> (x
2
- x + 1)(x - 5)(x + 6) = 0 (*)
Vì x
2
- x + 1 = (x - 1/2)
2
+ 1/4 > 0 (1/2 điểm)
=> (*) <=> (x - 5)(x + 6) = 0 <=>






=
=

=+
=
6
5
06
05
x
x
x

x
(1/2 điểm)
Câu 2
a/ Có f(0) = c; f(1) = a + b + c; f(2) = 4a + 2b + c là các số nguyên (1/2 điểm)
=> a + b + c - c = a + b nguyên => 2a + 2b nguyên => 4a + 2b nguyên
=> (4a + 2b) - (2a + 2b) = 2a nguyên => 2b nguyên
Vậy 2a, 2b nguyên.
b/ Có A =
2
)1(
1
1
2
3
2
)1(
1)1(2)12
2
(3

+

=

++
x
x
x
xxx
(1/2 điểm)

Đặt y =
1
1
x
=> A = y
2
2y + 3 = (y 1)
2
+ 2

2 (1/2 điểm)
=> min A = 2 => y = 1
1
1
1
=


x
=> x = 2
Vậy min A = 2 khi x = 2 (1/2 điểm)
Câu 3
a/ Ta có (a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2

)

(ax + by)
2
<=> a
2
x
2
+ a
2
y
2
+ b
2
x
2
+ b
2
y
2


a
2
x
2
+ 2axby + b
2
y
2

(1/4 điểm)
<=> a
2
y
2
- 2axby + b
2
x
2



0 <=> (ay - bx)
2


0 (1/4 điểm)
Vì bất đẳng thức cuối cùng là bất đẳng thức đúng nên bất đẳng thức phải chứng minh là bất đẳng
thức đúng. (1/4 điểm)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi ay - bx = 0 hay
y
b
x
a
=
(1/4 điểm)
b/ Ta có x
3m+1
+ x
3n+2

+ 1 = x
3m+1
- x + x
3n+2
- x
2
+ x
2
+ x + 1 (1/4 điểm)
= x(x
3m
- 1) + x
2
(x
3n
- 1) + (x
2
+ x + 1) (1/4 điểm)
Ta thấy x
3m
- 1 và x
3n
- 1 chia hết cho x
3
- 1 do đó chia hết cho x
2
+ x + 1
x
3m+1
+ x

3n+2
+ 1 chia hết cho x
2
+ x + 1
Câu 4
+ Có S
ABC
=
2
1
BC . AA (1/2 điểm)
+ Có S
HBC
=
2
1
BC . HA (1/2 điểm)
+ Có S
HAC
=
2
1
AC . HB (1/2 điểm)
+ Có S
HAB
=
2
1
AB . HC (1/2 điểm)
+

AA'
HA'
ABC
S
HBC
S
=
;
BB'
HB'
ABC
S
HAC
S
=
;
CC'
HC'
ABC
S
HAB
S
=
(1/2 điểm)
=>
1
ABC
S
ABC
S

ABC
S
HAB
S
HAC
S
HBC
S
==
++
Vậy
1
'
'
'
'
'
'
=++
CC
HC
BB
HB
AA
HA
(1/2 điểm)
Câu 5
Do a + b + c = 1 nên

++=
++=
++=
c
b
c
a
c
b
c
b
a
b
a
c
a
b
a
1
1
1
1
1

1
(1/2 điểm)
Vậy
922233
111
=+++++++++=++


















b
c
c
b
a
c

c
a
a
b
b
a
cba
Dấu đẳng thức xảy ra a = b = c = 1/3
A
B
C
C'
B'
A'
H