SKKN Sử dụng số phức để tổng hợp các dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số. THPT LƯƠNG ĐẮC BẰNG

SKKN: “SỬ DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ TỔNG HỢP CÁC DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
CÙNG PHƯƠNG, CÙNG TẦN SỐ”
A- ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Mở đầu
Trong chương trình THPT các môn học luôn có một mối liên hệ chặt chẽ
biện chứng với nhau môn học này bổ trợ tích cực cho môn học khác và
ngược lại. Đặc biệt là mối quan hệ chặt chẽ biện chứng giữa Toán học và
Vật lý học đây là hai môn học không thể tách rời những thành tựu của
Toán học được ứng dụng trong khoa học Vật Lý đồng thời những phát
minh của Vật lý thúc đẩy sự phát minh của Toán học. Trên cơ sở đó tôi
xin đề cập đến một vấn đề nhỏ của việc ứng dụng toán trong Vật Lý là:
“Sử dụng số phức để tổng hợp các dao động điều hoà
cùng phương cùng tần số”
Với mong muốn được trao đổi với các đồng nghiệp trong giảng dạy. Đặc
biệt mong muốn phát huy tư duy ứng dụng sáng tạo, tính chủ động trong
học tập của học sinh.
II. Thực trạng của vấn đề
GV: Chu Đình Đức - Tổ Vật Lý – Trường THPT Lương Đắc Bằng
1
SKKN: “SỬ DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ TỔNG HỢP CÁC DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
CÙNG PHƯƠNG, CÙNG TẦN SỐ”
Bài toán tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần số được
SGK Vật Lý lớp 12 đưa ra ở chương 2 và phương pháp giải là sử dụng
giản đồ véc tơ . Sau khi đã được học số phức thì học sinh có thể giải
quyết vấn đề trên bằng việc ứng dụng số phức qua đó vấn đề sẽ được giải
quyết đơn giản.
B- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Cơ sở lí thuyết
* Khái niệm về số phức
+ Số phức có dạng: x = a + bi ( a,b
∈

R)
Trong đó a là phần thực, b là phần ảo; i
2
= -1
+ Biểu diễn số phức trên mặt phẳng phức
Trong mặt phẳng tọa độ x0y điểm M(a,b)
Biểu diễn cho số phức x = a +bi hay
M

0
biểu diễn cho
Số phức trên
Mbax

0
22
=+=
+ Dạng lượng giác của số phức
GV: Chu Đình Đức - Tổ Vật Lý – Trường THPT Lương Đắc Bằng
2
0
x
y
a
b
M
ϕ
SKKN: “SỬ DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ TỔNG HỢP CÁC DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
CÙNG PHƯƠNG, CÙNG TẦN SỐ”
x = a + bi = r(cosϕ + i.sinϕ)




ϕ=
ϕ=
sinrb
cosra

với
22
bar +=
,
a
b
=
ϕ
tan
Theo công thức Ơle cosϕ + isinϕ =
ϕi
e

⇒ x = a + bi = r(cosϕ + i.sinϕ)= r
ϕi
e

* Biểu diễn một hàm điều hoà dưới dạng số phức
Hàm điều hoà: x = Acos(ωt +ϕ) biểu diễn dưới
dạng véc tơ quay tại thời điểm t = 0:






=ϕ
=
)x0,A(
AA
A



ta thấy



ϕ=
ϕ=
sinAb
cosAa
GV: Chu Đình Đức - Tổ Vật Lý – Trường THPT Lương Đắc Bằng
3
x
ϕ
y
a
b
0
A

SKKN: “SỬ DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ TỔNG HỢP CÁC DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

CÙNG PHƯƠNG, CÙNG TẦN SỐ”
Vậy t = 0 hàm điều hoà có thể biểu diễn bằng số phức
x = Acos(ωt + ϕ)
→←
=0t

ϕ
ϕϕ
i
eAiAbiax .)sin(cos =+=+=
với a = Acosϕ, b = Asinϕ ,
a
b
tan =ϕ
,
22
baA +=
* Tổng,hiệu các số phức
Cho các số phức
x
1
= a
1
+ b
1
i
x
2
= a
2

+ b
2
i
x
3
= a
3
+ b
3
i

x
n
= a
n
+ b
n
i
Tổng của các số phức trên:
x = x
1
+x
2
+x
3
+ +x
n
có dạng x = a + bi
⇔




++++=
++++=
n
n
bbbbb
aaaaa


321
321
Hiệu của các số phức trên:
GV: Chu Đình Đức - Tổ Vật Lý – Trường THPT Lương Đắc Bằng
4
SKKN: “SỬ DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ TỔNG HỢP CÁC DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
CÙNG PHƯƠNG, CÙNG TẦN SỐ”
x’ = x
1
- x
2
- x
3
x
n
có dạng x’ = a’ + b’i
⇔





−−−=
−−−=
n
n
bbbbb
aaaaa
'
'
321
321
2. Sử dụng số phức để tổng hợp các dao động điều hòa
cùng phương ,cùng tần số
* Trường hợp vật tham gia đồng thời hai dao động

)(
111
ϕω
+= tCosAx

)(
222
ϕω
+= tCosAx
Chúng ta tìm biểu thức tổng hợp của chúng

21
xxx +=
Phương trình tổng hợp có dạng

)(
ϕω
+= tACosx
Bằng phương pháp sử dụng số phức Ta có

)(
11111
1
ϕϕ
iSinCosAibax +=+=

)(
22222
2
ϕϕ
iSinCosAibax +=+=
Khi đó phương trình tổng hợp
GV: Chu Đình Đức - Tổ Vật Lý – Trường THPT Lương Đắc Bằng
5
SKKN: “SỬ DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ TỔNG HỢP CÁC DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
CÙNG PHƯƠNG, CÙNG TẦN SỐ”

)(
ϕϕ
iSinCosAibax +=+=
Trong đó

211
ϕϕϕ

ACosCosAACos +=

2211
ϕϕϕ
SinASinAASin +=
Từ đây ta tìm được
A
và
ϕ
*Trường hợp vật tham gia đồng thời nhiều dao động

)(
111
ϕω
+= tCosAx


)(
222
ϕω
+= tCosAx

)(
333
ϕω
+= tCosAx


)(
nnn

tCosAx
ϕω
+=

Chúng ta tìm biểu thức tổng hợp của chúng

n
xxxxx ++++=
321
Phương trình tổng hợp có dạng

)(
ϕω
+= tACosx
Bằng phương pháp sử dụng số phức Ta có

)(
11111
1
ϕϕ
iSinCosAibax +=+=
GV: Chu Đình Đức - Tổ Vật Lý – Trường THPT Lương Đắc Bằng
6
SKKN: “SỬ DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ TỔNG HỢP CÁC DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
CÙNG PHƯƠNG, CÙNG TẦN SỐ”

)(
22222
2
ϕϕ

iSinCosAibax +=+=

)(
33333
3
ϕϕ
iSinCosAibax +=+=


)(
nnnnn
n
iSinCosAibax
ϕϕ
+=+=
Khi đó phương trình tổng hợp

)(
ϕϕ
iSinCosAibax +=+=
Trong đó

nn
CosACosACosACosAACos
ϕϕϕϕϕ
++++=
332211

nn
SinASinASinASinAASin

ϕϕϕϕϕ
++++=
332211
Từ đây ta tìm được
A
và
ϕ
3. Các bài toán ví dụ
Ví dụ 1: Một vật thực hiện hai dao động điều hoà cùng phương cùng tân
số với phương trình
)cm)(
2
t2cos(3x),cm)(t2cos(x
21
π
−π=π+π=
. Viết
phương trình dao động tổng hợp
GV: Chu Đình Đức - Tổ Vật Lý – Trường THPT Lương Đắc Bằng
7
SKKN: “SỬ DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ TỔNG HỢP CÁC DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
CÙNG PHƯƠNG, CÙNG TẦN SỐ”
Giải:
Pương trình dao động tổng hợp có dạng

)2(
ϕπ
+= tACosx
cm
Trong đó

1)
2
(3 −=−+=
π
πϕ
CosCosACos

3)
2
(3 −=−+=
π
πϕ
SinSinASin
Suy ra A=2cm;
3
2
π
ϕ
−=
Vậy phương trình dao động tổng hợp là:
)
3
2
t2cos(2x
π
−π=
(cm)
Ví dụ 2: Một vật thực hiện đồng thời ba dao động điều hoà cùng phương
cùng tần số với phương trình:

)
2
tcos(4x
1
π
−π=
cm,
)
2
tcos(6x
2
π
+π=
cm,
)tcos(2x
3
π=
, cm. Viết phương trình dao động tổng hợp
Giải:
Phương trình dao động tổng hợp có dạng
GV: Chu Đình Đức - Tổ Vật Lý – Trường THPT Lương Đắc Bằng
8
SKKN: “SỬ DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ TỔNG HỢP CÁC DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
CÙNG PHƯƠNG, CÙNG TẦN SỐ”

)(
ϕπ
+= tACosx
cm
Trong đó

202
2
6)
2
(4 =++−= CosCosCosACos
ππ
ϕ

202
2
6)
2
(4 =++−= CosSinSinASin
ππ
ϕ
Suy ra
4
;22
π
ϕ
== cmA
Vậy phương trình dao động tổng hợp:
)
4
tcos(22x
π
+π=
cm
Ví dụ 3: Tìm dao động tổng hợp của bốn dao động cùng phương sau:

)cm)(
6
5
t20cos(8x),cm)(
3
t20cos(34x
)cm)(
2
t20cos(36x),cm)(
6
t20cos(10x
43
21
π
+π=
π
+π=
π
−π=
π
−π=
Giải:
Phương trình dao động tổng hợp có dạng

)20(
ϕπ
+= tACosx
cm
Trong đó
GV: Chu Đình Đức - Tổ Vật Lý – Trường THPT Lương Đắc Bằng

9
SKKN: “SỬ DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ TỔNG HỢP CÁC DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
CÙNG PHƯƠNG, CÙNG TẦN SỐ”

33
6
5
8
3
34)
2
(36)
6
(10 =++−+−=
ππππ
ϕ
CosCosCosCosACos

365
6
5
8
3
34)
2
(36)
6
(10 −=++−+−=
ππππ
ϕ

SinSinSinSinASin
Suy ra
radcmA 8.0;49.7 ==
ϕ
Vậy phương trình dao động tổng hợp là:
)cm)(8.0t20cos(49,7x −π=
Ví dụ 4: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà cùng
phương, cùng tần số với phương trình
)cm)(
2
tcos(ax
1
π
+π=
và x
2
. Biết
phương trình dao động tổng hợp
)cm)(
6
tcos(a2x
π
+π=
Xác định dao động
thành phần x
2
Giải:
Ta có x
2
= x – x

1

Phương trình dạng
)(
222
ϕπ
+= tCosAx
Trong đó

3
26
2
22
aaCosaCosCosA =−=
ππ
ϕ
GV: Chu Đình Đức - Tổ Vật Lý – Trường THPT Lương Đắc Bằng
10
SKKN: “SỬ DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ TỔNG HỢP CÁC DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
CÙNG PHƯƠNG, CÙNG TẦN SỐ”

0
26
2
22
=−=
ππ
ϕ
aSinaSinSinA
Suy ra

0;3
2
==
ϕ
cmaA
Vậy
)tcos(3ax
2
π=
cm
Ví dụ 5: Hai chất điểm M
1
, M
2
chuyển động trên hai đường thẳng song
song rất gần nhau (coi như trùng nhau và trùng với trục Ox) có phương
trình lần lượt là
).cm)(t2cos(33x),cm)(
2
t2cos(3x
21
π=
π
−π=
Xác định
khoảng cách lớn nhất giữa hai chất điểm trong quá trình dao động.
Giải:
Khoảng cách giữa hai điểm là
1221
xxxMM −=∆=

Suy ra

cmtACosx )2(
ϕπ
+=∆
Với
33033)
2
(3 −=−−= CosCosACos
π
ϕ

3033)
2
(3 −=−−= SinSinASin
π
ϕ
Ta tính được :
6
;6
π
ϕ
== cmA
GV: Chu Đình Đức - Tổ Vật Lý – Trường THPT Lương Đắc Bằng
11
SKKN: “SỬ DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ TỔNG HỢP CÁC DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
CÙNG PHƯƠNG, CÙNG TẦN SỐ”
vậy
)
6

t2cos(6MM
21
π
+π=
(cm) ⇒ khoảng cách lớn nhất bằng 6 cm
4. Kết quả
Trong quá trình dạy học cho học sinh ôn thi Tốt nghiệp và ôn thi đại học,
cao đẳng Tôi đã đưa vấn đề trên vào giảng dạy kết quả cho thấy học sinh
làm bài tốt hơn ,kỷ năng phối hợp giữa các môn học trong học tập của
học sinh được nâng lên,phát huy khả năng sáng tạo trong tư duy khoa
học của học sinh.

C.KẾT LUẬN
Trên đây tôi đã giới thiệu với các em học sinh phương pháp vận dụng số
phức để tổng hợp các dao động điều hòa cùng phương cùng tần số.
Nhằm giúp các em học sinh có cách nhìn sáng tạo khi vận dụng kiến
thức toán để làm bài tập Vật Lý. Thông qua đó giúp các em phát huy tốt
hơn nữa kỷ năng Toán học , Vật Lý và đặc biệt qua đây tôi muốn các em
học sinh nhận ra được mối quan hệ biện chứng giữa các môn học, giúp
các em trong quá trình học không tách rời mối liên quan giữa các môn
học mà nghiên cứu môn học này cần dựa trên các môn học khác nhằm
GV: Chu Đình Đức - Tổ Vật Lý – Trường THPT Lương Đắc Bằng
12
SKKN: “SỬ DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ TỔNG HỢP CÁC DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
CÙNG PHƯƠNG, CÙNG TẦN SỐ”
thúc đẩy tư duy của các em một cách toàn diện,khi học bài không vận
dụng kiến thức một cách dập khuôn máy móc,phát huy khả năng kế thừa
và kỷ năng vận dụng kiến thức trong từng giai đoạn có tính sáng tạo. Từ
đó đạt kết quả cao trong kỳ thi Tốt nghiệp THPT và kỳ thi chuyên
nghiệp,đại học.

Do khả năng có hạn, nên chắc chắn đề tài không tránh khỏi những hạn
chế và thiếu sót. Rất mong sự đóng góp ý kiến của quý thầy, cô giáo. Và
hy vọng rằng, đề tài này sẽ là tài liệu giúp các em học sinh yêu thích môn
Vật lý hơn và qua đó phát huy hơn nữa tư duy sáng tạo của học sinh
trong nghiên cứu và lĩnh hội kiến thức khoa học ./.
GV: Chu Đình Đức - Tổ Vật Lý – Trường THPT Lương Đắc Bằng
13
SKKN: “SỬ DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ TỔNG HỢP CÁC DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
CÙNG PHƯƠNG, CÙNG TẦN SỐ”
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 30 tháng5
năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là
SKKN của
mình viết, không sao chép
nội dung
của người khác
Người viết
GV: Chu Đình Đức - Tổ Vật Lý – Trường THPT Lương Đắc Bằng
14
SKKN: “SỬ DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ TỔNG HỢP CÁC DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
CÙNG PHƯƠNG, CÙNG TẦN SỐ”
Chu
Đình Đức
GV: Chu Đình Đức - Tổ Vật Lý – Trường THPT Lương Đắc Bằng
15