Cách giải nhanh môn toán ôn thi đại học

Caùch giaới toaùn


[ỏy laỡ phỏửn lyù thuyóỳt toaùn hoỹc 3 nm 10, 11, 12. Sồ lổồỹc laỷi 1 chuùt, coỡn nhióửu phỏửn nổợa chổa
õổa vọ õổồỹc. Chuùc caùc baỷn hoỹc tọỳt!]

NHAè XUT BAN THN 1 FC
Caùch giaới toaùn


PTX

Moỹi chi tióỳt thừc mừc xin lión hóỷ:
www. fb.com/toansocaphue


1
1.
(1 x)
m n
y x
vồùi
0 1x
, m,n


Z

thỗ
.
0

( )
m n
m n
m n
y
m n




2.
(1 x )
m n
y x
vồùi
0 1x
, m,n


Z

thỗ
0
m
n
m n
y
m n m n

3.
( )f x k

min ( )x f x k

4.
( )f x k
coù nghióỷm
max ( )f x k

5.
( )f x k

max ( )x f x k

6.
( )f x k
coù nghióỷm
min ( )f x k

7.
(0; )
2
x

thỗ
sinx x tanx
sinx .cosx sinx x






1. 1+2+3+ +n =
( 1)
2
n n

2. 1.2+2.3+3.4++n(n+1)=
( 1)( 2)
3
n n n

3.
' '
'
3
3
2 2
3
( )
; ( )
3 3 ( )
u g x

y u u g x y
u g x


aỷo haỡm nhanh:


2
'
ax b ad bc
y y
cx d
cx d




*

2 2
2
2
'
ax bx c adx ae be cd
y y
dx e
dx e

1
1 '
'
n
n
n
u
y y
u
n u



Caùch giaới toaùn


PTX

Moỹi chi tióỳt thừc mừc xin lión hóỷ:
www. fb.com/toansocaphue


2



2

2
1 1 1 1 1 1
2
2
2
1 1 1
1 1 1
( ) 2
'
ab a b x x ac a c bc b c
ax bx c
y y
a x b x c
a x b x c






Tióỷm cỏỷn xión: tổỡ haỡm sọỳ:
2
ax bx c
y
dx e

TCX:


2 2
e bd ae
a bd ae
y x
d d d dx e




nóỳu e(bd-ae) = 0 thỗ TCX:
2
a bd ae
y x
d d



TỉNG Sn cuớa 1 cỏỳp sọỳ nhỏn luỡi vọ haỷn
1
1
;
1
u
S u
q

: laỡ sọỳ haỷng õỏửu, cọng bọỹi
1q

Tọứng n sọỳ haỷng õỏửu tión cuớa cỏỳp sọỳ nhỏn
;( 1)
n
u q

1
1 1
1
; .
1
n
n
n n
q
S u u u q
q





1.

Vaỡi õióứm nhoớ cỏửn lổu yù:
1.1 ọử thở haỡm sọỳ y=f(x) vaỡ y= -f(x) õọỳi xổùng nhau qua truỷc Ox
1.2 ọử thở haỡm sọỳ chụn nhỏỷn Oy laỡm truỷc õọỳi xổùng.
1.3 ọử thở haỡm sọỳ leớ nhỏỷn gọỳc toỹa õọỹ O laỡm tỏm õọỳi xổùng.

1.4 Tổỡ õọử thở (C): vồùi y= f(x)

õọử thở (C
1
): y=

f x

- Ta coù:
( )
( )
( )
f x
y f x
f x





nóỳu
( ) 0
( ) 0
f x
f x



- Tổỡ õọử thở (C) õaợ veợ ta suy ra nhổ sau:
Giổợ nguyón phỏửn õọử thở phờa trón Ox

Lỏỳy õọỳi xổùng phỏửn õọử thở phờa dổồùi Ox
Boớ phỏửn õọử thở phờa dổồùi Ox ta thu õổồỹc õọử thở (C
1
) cỏửn tỗm
1.5 Tổỡ õọử thở (C): vồùi y= f(x)

õọử thở (C
2
): y=
( )f x

- Ta coù:
( )
( )
( )
f x
y f x
f x





nóỳu
0
0
x
x

- Tổỡ õọử thở (C) õaợ veợ ta suy ra nhổ sau:
Giổợ nguyón phỏửn õọử thở bón phaới Oy
Lỏỳy õọỳi xổùng qua Oy phỏửn õọử thở nũm bón phaới
Boớ phỏửn õọử thở phờa bón traùi ta thu õổồỹc õọử thở (C
2
) cỏửn tỗm
1.6 Tổỡ õọử thở (C): vồùi y= f(x)

õọử thở (C
3
):
( )y f x

Cạch gii toạn


PTX

Mi chi tiãút thàõc màõc xin liãn hãû:
www. fb.com/toansocaphue


3
- Ta cọ:
( ) 0
( )
( )
( )
f x

y f x
y f x
y f x



 





 


nãúu
0
0
y
y



- Tỉì âäư thë (C) â v ta suy ra nhỉ sau:
 Giỉỵ ngun pháưn âäư thë phêa trãn Ox
 Láúy âäúi xỉïng pháưn âäư thë nàòm phêa trãn Ox
 B pháưn âäư thë phêa dỉåïi ta thu âỉåüc âäư thë (C
3
) cáưn tçm.
2. Khi viãút phỉång trçnh âỉåìng thàóng hồûc tiãúp tuún ca hm säú nãn viãút dỉåïi dảng âån

gin nháút, dảng chung nhỉ
y=kx+m
y=k(x-x
0
)+y
0
våïi k l hãû säú gọc; k= tan ;  l âäü däúc. k>0: âäư thë hm säú hỉåïng lãn;
k<0: âäư thë hm säú hỉåïng xúng.
3. Kho sạt hm säú cọ càn thỉïc:
3.1 Tçm D: táûp xạc âënh
3.2 Tçm y’
3.3 Xem y”(x
0
) >0 hay <0 âãø kãút lûn cỉûc trë
3.4 Tçm phỉång trçnh tiãûm cáûn xiãn
( )
lim
x
f x
a
x


v
 
lim ( )
x
b f x ax

 

3.5 Bng biãún thiãn v v âäư thë
3.6 Chè ra âäư thë hm säú càõt trủc honh, trủc tung tải âiãøm no.
4. Khi ạp dủng âënh l Viet nhåï kiãøm tra lải âiãưu kiãûn cáưn v â
5. Khi tçm pt tiãûm cáûn xiãn ca âths cọ tham säú m. tçm âiãưu kiãûn âãø täưn tải tiãûm cáûn xiãn.
( )
( )
( )
c m
y a m x b
g x
  
gi sỉí c(m) = 0

pt tråí thnh âỉåìng thàóng khäng phi tiãûm cáûn
xiãn. Gi sỉí a(m) = 0

tiãûm cáûn xiãn

tiãûm cáûn ngang. Kãút lûn: khi a(m) v c(m)
0
thç ta cọ tiãûm cáûn xiãn.
6. Nãúu Phỉång trçnh báûc 3 khäng cọ nghiãûm âàûc biãût thç âãø 2 âäư thë tiãúp xục nhau ta phi
dng
( ) ( )
'( ) '(x)
g x f x
g x f






cọ nghiãûm âãø âiãưu kiãûn tiãúp xục.
7. Khi tênh khong cạch tỉì 1 âiãøm âãún âỉåìng thàóng, chàóng hản âiãøm thüc âäư thë
2
;
' '
ax bx c ax b
y y
a x b cx d
  
 
 
;…viãút lải chụng dỉåïi dảng
1
' '
c
y a x b
a x b
  

;
1
1
c
y ax b
cx d
  


. âãø tênh khong cạch ạp dủng cäng thỉïc, Báút âàóng thỉïc Cosi (nãn
âỉa vo dáúu giạ trë tuût âäúi sau âọ khai triãøn ra)
Cạch gii toạn


PTX

Mi chi tiãút thàõc màõc xin liãn hãû:
www. fb.com/toansocaphue


4
8. Khi viãút pt tiãúp tuún hm säú cọ dảng:

3 2
4 3 2
y ax bx cx d
y ax bx cx dx e

   


    


lm phỉång phạp tiãúp âiãøm

2
2
;

y ax bx c
ax b ax bx c
y y
cx d dx e

  


  
 

 

lm phỉång phạp hãû säú gọc
 Củ thãø phỉång phạp tiãúp âiãøm: gi M
0
(x
0
;y
0
) l tiãúp âiãøm. Ta cọ pt tiãúp tuún:
0 0 0
: '( )( )y y f x x x   
vç
( ; )
A A
A x y 



0 0 0
'( )( )
A A
y y f x x x  
gii tçm x
0
; y
0
.
 Củ thãø phỉång phạp hãû säú gọc: gi

l âỉåìng thàóng qua A:
( )
A A
y y k x x  
l
tiãúp tuún nãn
( ) ( )
A A
f x k x x y  
cọ nghiãûm kẹp

tçm k.
9. Khi tháúy cạc hãû säú ca phỉång trçnh hay âiãøm
( ; )
A A
A x y
, B, C… m
( ; )
A A

x y
…l cạc
säú phỉïc tảp, ta chỉïng minh BA = BC âãø kiãøm tra xem B cọ l trung âiãøm ca AC hay
khäng.
10. Bi toạn u cáưu xạc âënh tiãúp tuún ca âäư thë hm säú cọ 2 tiãúp âiãøm. Gi tiãúp tuún l
y=ax+b; pt f(x) =ax+b cọ 2 nghiãûm kẹp phán biãût
2 2
( ) ( ) (ax b) (x m) ( ) ;F x f x x n x        
âäưng nháút âa thỉïc F(x) v
2 2
(x m) ( )x n  
ta tçm âỉåüc a,b,m,n.
11. Dảng tçm m âãø 2 giao âiãøm A, B ca âäư thë (H) v (D) âäúi xỉïng nhau qua

cọ
D 

thç:
 Tçm phỉång trçnh honh âäü giao âiãøm ca (H) v (D)
 Tçm âiãưu kiãûn âãø (H) v (D)giao nhau tải 2 âiãøm phán biãût (âọ l phỉång trçnh
honh âäü cọ 2 nghiãûm phán biãût) chụ a
0

 Tçm giao âiãøm C ca

v D do
D 

 A, B âäúi xỉïng nhau qua


m
D 
nãn C l trung âiãøm ca A, B
 p dủng âënh l Viet suy ra m cáưn tçm
12. Tçm tám âäúi xỉïng ca âäư thë (H) l hm phán thỉïc.
- Ta tçm A l giao âiãøm ca tiãûm cáûn
- Chuøn âäøi hãû trủc ta âäü
- Chỉïng minh hm säú måïi l hm l
13. Hm säú khäng cọ cỉûc âải hồûc cỉûc tiãøu

âảo hm báûc nháút y’ vä nghiãûm hồûc cọ
nghiãûm kẹp. Tỉïc l
'
' 0
y
 
v y’ =0 cọ nghiãûm kẹp l
' 0 

14. Tçm nghiãûm âàûc biãût ca hm säú

tçm âiãøm cäú âënh m âäư thë hm säú âi qua
15. Âäư thë (C) l hm báûc 3 thç

 
C Ox
tải 3 âiãøm phán biãût cọ honh âäü låïn hån  thç
Cạch gii toạn

PTX

Mi chi tiãút thàõc màõc xin liãn hãû:
www. fb.com/toansocaphue


5
max min
'
. 0
( ) 0
x
0
0
Cucdai
y
y y
f
a














 


hồûc
max min
'
. 0
( ) 0
x
0
0
Cuctieu
y
y y
f
a














 








 
C Ox
tải 3 âiãøm phán biãût cọ honh âäü nh hån  thç

max min
'
. 0
( ) 0
x
0
0
Cucdai
y
y y
f
a














 


hồûc
max min
'
. 0
( ) 0
x
0
0
Cuctieu
y
y y
f
a














 




 
C
tiãúp xục
Ox
chè cọ thãø tải cỉûc âải cỉûc tiãøu thç:
max min
' '
. 0
' 0
y y
y y
hoac




  




16. Hai âiãøm âäúi xỉïng nhau qua âỉåìng phán giạc thỉï 1 y = x thç
1 2 2
1 2 1 2
1 2 1
( ) 2
x y ax b
x x a x x b
y x ax b
  

    

  


17. Chỉïng minh ràòng (CMR) trãn âäư thë hm säú cọ vä säú càûp âiãøm sao cho tiãúp tuún våïi
âäư thë hm säú tải âiãøm âọ song song nhau. CMR âoản thàóng näúi cạc trung âiãøm, càûp
âiãøm áúy ln ln âäưng quy.
Cạch lm:
17.1 Cạch 1
17.1.1 Ta chỉïng minh cọ vä säú càûp âiãøm m tải âọ âảo hm báûc nháút ca hm säú
bàòng nhau tỉïc l chỉïng minh y’ = k cọ 2 nghiãûm phán biãût (âãø chỉïng minh ta phán têch
k ra nhẹ).
17.1.2 Ta chỉïng minh cạc càûp âiãøm ny âäúi xỉïng våïi nhau qua tám âäúi xỉïng ca âäư thë
(âäúi våïi hm phán thỉïc) tỉïc l trung âiãøm ca cạc càûp âiãøm l tám âäúi xỉïng I
17.2 Cạch 2
17.2.1 CMR cạc càûp âiãøm âäúi xỉïng nhau qua tám I cọ tiãúp tuún tải âọ song song

nhau (tỉïc l cng hãû säú gọc)
Cạch gii toạn


PTX

Mi chi tiãút thàõc màõc xin liãn hãû:
www. fb.com/toansocaphue


6
17.2.2 Vç I l tám âäúi xỉïng ca âäư thë nãn cọ vä säú càûp âiãøm.
18. Mún CM 3 âiãøm thàóng hng ta chỉïng minh chụng cọ cng hãû säú gọc. Gi sỉí:
   
; ; ( ; );C ;
A B C
A a y B b y c y
thç A, B, C thàóng hng khi
1 2
tan tan
C B
B A
y y
y y
b a c b
 


  
 

19. Âäư thë hm säú báûc 2/báûc 1 cọ giạ trë cỉûc tiãøu, cỉûc âải m
 y
CÂ
.y
CT
> 0

âäư thë hm säú y = f(x) càõt trủc honh tải 2 âiãøm phán biãût tỉïc l
phỉång trçnh f(x) = 0 cọ 2 nghiãûm phán biãût.
 y
CÂ
.y
CT
< 0

âäư thë hm säú y = f(x) khäng càõt trủc honh tỉïc phỉång trçnh f(x) = 0
vä nghiãûm
20. Âäi khi viãûc âàût áøn phủ u cáưu phi xạc âënh chênh xạc vng giạ trë ca biãún do âọ
âãø lm âỉåüc âiãưu ny ta thỉåìng dng âảo hm âãø xẹt räưi suy ra âiãưu kiãûn ca biãún.
21. Tçm âiãøm m âäư thë hm säú khäng âi qua (hồûc âi qua) våïi mi m (m l tham säú).
Ta cọ âiãøm m âäư thë hm säú khäng âi qua våïi mi m bao gäưm nhỉỵng âiãøm tải âọ hm
säú khäng xạc âënh hồûc âäư thë cọ âiãøm cäú âënh A(x
A
; y
A
) (âiãøm ny âäư thë ln âi qua våïi
mi m – âc k âãư l dãù nháûn ra làõm) thç nhỉỵng âiãøm ny l âiãøm m âäư thë khäng âi qua
(hồûc âi qua).
22. CM h âỉåìng cong tiãúp xục nhau:

 tçm âiãøm cäú âënh A(x
A
; y
A
)
 mi âỉåìng cong âãưu âi qua A(x
A
; y
A
)
0
'( ) ;k y x const m   

 Vç k l hàòng säú do âọ mi âỉåìng cong âãưu cọ tiãúp tuún chung tải âiãøm A nãn
chụng tiãúp xục nhau!
23. Mäüt vi lỉu :
23.1 Phỉång trçnh báûc 3 bao giåì cng cọ nghiãûm.
23.2 Càûp âiãøm cạch âãưu 2 trủc ta â l
0 0
y x 

23.3 Qu têch dảng x
2
+ y
2
+ 2ax + 2by =C (C>0) l âỉåìng trn tám O(-a;-b)
23.4 Tçm 2 âiãøm thüc 2 nhạnh ca âäư thë (C) sao cho khong cạch giỉỵa chụng l nh
nháút?
Ta cọ tiãûm cáûn âỉïng: x= x
0


x
1
< x
0
< x
2

Âàût x
1
= x
0
– a v x
2
= x
0
+ b

a; b >0
23.5 CM x
0
l trủc âäúi xỉïng v tênh duy nháút ca nọ?
Ta láúy 2 âiãøm âäúi xỉïng nhau qua x
0
räưi kiãøm tra xem
0 0
( ) ( ); xf x x f x x   
hay khäng.
23.6 CM tám âäúi xỉïng I(x

I
;y
I
) v tênh duy nháút.
Ta c/m nãúu x
0
+ x
MXD
thç x
0
– x cng
MXD
 
0 0
0
( ) ( )
;
2
f x x f x x
y x
  
  


Caùch giaới toaùn


PTX

Moỹi chi tióỳt thừc mừc xin lión hóỷ:

www. fb.com/toansocaphue


7
23.7 Khi gỷp haỡm sọỳ maỡ yù nghộ laỡ duỡng õóỳn õaỷo haỡm thỗ haỡm sọỳ õoù phaới laỡ 1 ỏứn sọỳ.
23.8 Tỗm hóỷ sọỳ goùc cuớa õổồỡng thúng qua õióứm A(a;b) vaỡ õióứm B(c;d)
Ta coù: Hóỷ sọỳ goùc laỡ
d b
k
c a



suy ra phổồng trỗnh õổồỡng thúng laỡ
d b d b
y kx m x a b
c a c a




23.9 Tởnh tióỳn õọử thở: tổỡ õọử thở y= f(x) suy ra caùc õọử thở sau:
ọử thở y= f(x+a)




ọử thở y= f(x)+b

23.10 Vồùi haỡm phỏn thổùc: yóu cỏửu tỗm õióứm cọỳ õởnh maỡ (C) tióỳp xuùc vồùi õổồỡng thúng cọỳ
õởnh taỷi õióứm õoù thỗ laỡm theo caùch: tỗm õióứm cọỳ õởnh thuọỹc (C) rọửi vióỳt phổồng trỗnh
õổồỡng thúng cọỳ õởnh ỏỳy!
23.11 Haỡm õa thổùc thỗ ta tỗm tióỳp tuyóỳn tọứng hồỹp bũng caùch: Goỹi A(x
0
;y
0
) laỡ õióứm maỡ
õổồỡng thúng f(x): y = ax+ b luọn tióỳp xuùc vồùi (C): g(x) tổỡ õoù thay vaỡo hóỷ phổồng trỗnh sau
õóứ giaới:
0 0
0 0
'( ) '( )
( ) ( )
f x g x
m
f x g x






vồùi m: tham sọỳ
23.12 Khọng thóứ xeùt dỏỳu y do cn thổùc phổùc taỷp. óứ giaới quyóỳt, ta cho giaù trở cuớa ỏứn sọỳ x
bỏỳt kỗ taỷi thuọỹc õoaỷn õang xeùt vaỡo y. Nóỳu:
Kóỳt quaớ cho ra giaù trở dổồng thỗ y > 0
Kóỳt quaớ cho ra giaù trở ỏm thỗ y < 0

23.13 Nóỳu õóử yóu cỏửu 2 cổỷc trở cuớa haỡm sọỳ nũm vóử 2 phờa cuớa Ox thỗ: y
1
.y
2
<0 vaỡ ngổồỹc laỷi
Nóỳu õóử yóu cỏửu 2 cổỷc trở cuớa haỡm sọỳ nũm vóử 2 phờa cuớa Oy thỗ: x
1
.x
2
<0
24. Cm õọử thở haỡm sọỳ bỏỷc 3 khọng tọửn taỷi 2 õióứm sao cho tióỳp tuyóỳn taỷi õoù vuọng goùc
nhau. Xeùt y: chuù yù nóỳu: y>0
x

0 1
;x x
sao cho y(x
0
).y(x
1
) = -1 õióửu phaới c/m
25. ởnh tham sọỳ m õóứ (C
m
) cừt Ox lỏỷp thaỡnh cỏỳp sọỳ cọỹng:
25.1 Haỡm bỏỷc 3: y = ax
3
+ bx
2
+ cx+d coù y = 3ax
2

+ 2bx + c
óứ (C
m
) cừt Ox lỏỷp thaỡnh cỏỳp sọỳ cọỹng thỗ y = 0 coù 3 nghióỷm phỏn bióỷt
Nóỳu a> 0: tởnh tióỳn sang traùi a õồn vở
Nóỳu a < 0: tởnh tióỳn sang phaới õồn vở
Nóỳu b> 0: tởnh tióỳn lón phờa trón b õồn vở
Nóỳu b < 0: tởnh tióỳn xuọỳng dổồùi õồn vở
Cạch gii toạn


PTX

Mi chi tiãút thàõc màõc xin liãn hãû:
www. fb.com/toansocaphue


8

1 3 2
1 2 3
2
2
0
3
' 3 0
x x x
b
x x x
a

b
y
a
b ac
  






  







 



 

 



   





2
x m
räưi thỉí lải âãø kiãøm tra
25.2 Hm trng phỉång: y= ax
4
+ bx
2
+ c
Âãø (C
m
) càõt Ox láûp thnh cáúp säú cäüng thç y = 0 cọ khäng êt hån 3 nghiãûm phán biãût. Ta âàût
t = x
2
 0 thç
2
1 2
1 2 1
1 2
1 2 1 2
0
9
10
0
9
0
9

. .
b
t
t t
a
P
b b
t t t
S
a a
c c
t t
t t t t
a a





 







 
  
    

  

  
  


 
 



26. Mún âoạn trủc âäúi xỉïng ca hm trng phỉång báûc 4 (hm chàơn), ta tçm trung bçnh
cäüng cạc nghiãûm ca phỉång trçnh y’ = 0, âọ chênh l trủc âäúi xỉïng ca âäư thë hm säú â
cho.
27. Âënh giạ trë ca m (tham säú) âãø hm säú âảt giạ trë Max, Min trãn âoản hồûc khong â
cho:
Cạch lm:
xẹt f’(x) xem thỉí f’(x) nh hån hay låïn hån khäng v xy ra dáúu bàòng tải vë trê 
no. Tỉì âọ suy ra giạ trë max, min chênh l f() våïi  âiãøm thüc âoản hồûc khong âang
xẹt. Vê dủ âoản


;


,…
28. Tçm trãn âäư thë (C) càûp âiãøm âäúi xỉïng nhau A, B qua I (a,b). Ta tiãún hnh nhỉ sau:
Thỉûc hiãûn âäøi hãû trủc ta âäü
( , )


OI
T a b
Oxy IXY



. Ta cọ A, B âäúi xỉïng nhau qua I trong hãû
ta âäü Oxy

A, B âäúi xỉïng nhau qua gäúc ta âäü I trong hãû ta âäü måïi
( ) ( )
( ) ( )
Y X f X
Y X f X




   

cäüng vãú theo vãú
X
Y




tỉì âọ suy ra âỉåüc x,y

càûp âiãøm A, B

29. Âäư thë (C) ca hm f(x) cọ tiãúp tuún tải âiãøm I l âỉåìng thàóng d: y= ax + b
 Nãúu f(x) < ax +b : âäư thë (C) nàòm dỉåïi d
 Nãúu f(x) > ax +b : âäư thë (C) nàòm trãn d
30. Tçm âiãưu kiãûn âãø hm säú f(x) cọ cỉûc tiãøu m khäng cọ cỉûc âải:
Ta viãút lải f(x) thnh (x- ).g(x) = 0 tỉì âọ suy ra âãø tha mn âiãưu kiãûn bi toạn thç
 G(x) = 0 cọ nghiãûm kẹp
 G(x) = 0 vä nghiãûm
Cạch gii toạn


PTX

Mi chi tiãút thàõc màõc xin liãn hãû:
www. fb.com/toansocaphue


9
 x =  l 1 nghiãûm ca g(x) = 0. Trong âọ hãû säú a ca g(x) låïn hån khäng.
31. Tçm cỉûc trë ca hm lỉåüng giạc:
Dng âiãưu kiãûn â thỉï 2, âọ l tçm y”(x
0
) våïi x
0
l nghiãûm ca pt y’(x) = 0.
a)
2
0
A B
A B
B



 



d)
2
0
0
0
A
B
A B
B
A B
 






 










e)
2
0
0
B
A B A
A B



  





b)
0
.
0
A
A B AB
B


 




f)
0B
A B
A B


 




c)
0 0
A B A B
A B
B A
 
 
  
 
 
 

1. NỌI CHUNG KHI BÀÕT ÂÁƯU LM TOẠN LOẢI NY TIÃÚN HNH NHỈ SAU:
 NHÁÛP PHỈÅNG TRÇNH VO MẠY TÊNH
 GẠN NGHIÃÛM ÂÀÛC BIÃÛT NHỈ TRÇNH BY ÅÍ DỈÅÏI ÂÁY, KIÃØM TRA XEM CỌ BÀỊNG
0 ?
 CỌ ÂỈÅÜC NGHIÃÛM ÂÀÛC BIÃÛT BÁY GIÅÌ TA MÅÏI VIÃÚT LẢI PHỈÅNG TRÇNH NY!

 VD: viãút lải pt nhỉ sau: pt

(X-1)(3X
2
+2X-
5
) = 0
2. Phỉång phạp nhán liãn håüp
2.1 Dảng 1:
ax b cx d kx h    
(nhán lỉåüng liãn thỉïc
0
)
Dng mạy tênh cáưm tay tçm nghiãûm âàûc biãût.(thỉåìng l cạc säú ngun sau: -2; -1;
0; 1; 2 hồûc cạc säú nhỉ -1.5; -1.25; -0.75; -0.5; 0.5; 0.75; 1.25; 1.5). Cạch dng
mạy tênh nhỉ sau: Nháûp c biãøu thỉïc vo mạy (chuøn hãút vãư 1 vãú räưi nháûp) sau
âọ dng lãûnh Shift+ Solve gạn giạ trë x = bao nhiãu âọ vo (cạc säú nhỉ trãn) räưi
áún dáúu =. Nãúu cho kãút qu bàòng 0 thç giạ trë x gạn vo âọ l nghiãûm. Cạch ny ráút
hiãûu qu v tuût våìi!
2.2 Dảng 2:
2
ax b
kx h
cx d


 
 

2.3 Dảng 3:

ax b
kx h
cx d


 
 

Cạch gii toạn


PTX

Mi chi tiãút thàõc màõc xin liãn hãû:
www. fb.com/toansocaphue


10
Cạch lm hon ton tỉång tỉû nhỉ dảng 1, tuy nhiãn, chụ 1 chụt l nãúu
cx d

 
khäng biãút dáúu thç ta xẹt thãm trỉåìng håüp
0cx d

  
trỉåïc khi lm
hè.
3. Âàût áøn phủ
3.1 Dảng 1:

n
a ax b ax b  
thç ta âàût
n
t ax b 
v âỉa vãư hãû âäúi xỉïng.
3.2
( ) ( ) ; , 2
n m
a f x b f x c m n

     

Âàût
( )
( )
( )
( )
n
n
n m
m
m
u a f x u v c
u a f x
u v a b
v b f x
v b f x

   


 

 
 
  
  
 

 




tỉì âọ dãù dng gii âỉåüc u, v
räưi tçm nghiãûm ca phỉång trçnh
4. Dng phỉång phạp kho sạt hm säú:
g(x)= f(m) cọ nghiãûm
x D


hm f(m) cọ
f g
T T

5. Phỉång phạp Vẹc Tå:
. .a b a b
   

a b a b  

   
dáúu bàòng xy ra khi
a

cng phỉång, chiãưu
b

hồûc
0a 

hồûc
0b 


6. Phỉång phạp âäúi láûp chỉïng minh:
a) f(x)

g(x) b) f(x)

g(x) c) f(x)

A

g(x)
d) f(x)

A

g(x)
e) f(x) càõt g(x) tải 1 âiãøm duy nháút. Xẹt dáúu “=” xy ra bàòng cạch sỉí dủng Báút

âàóng thỉïc Cosi, Bunhiacopxki, hm f(u) = f(v)
7. Phỉång phạp lỉåüng giạc họa:
7.1.1 Khi áøn x
 
;a a 
âàût
 
sin ; ;
2 2
cos ; 0;
x a t t
x a t t
 

 
 
 

 
 


 


7.1.2 Khi áøn
0 x a 
âàût
2
2

sin ;0 t
2
cos ;0 t
2
x a t
x a t



  



  



7.1.3 Phỉång trçnh chỉïa càn thỉïc:
2 2
x a
âàût
 
; 0;
cos
a
x t
t

 
2

; ;
sin 2 2
a
x t
t

 
 
 
 

 
 
 
 
 
0







7.1.4 Phỉång trçnh chỉïa càn:
2
x a
âàût
tan ;x a t t 
;

2 2
 

 
 
 

8. Phỉång phạp phn chỉïng: âọ l chỉïng minh hãû vä nghiãûm
Cạch gii toạn


PTX

Mi chi tiãút thàõc màõc xin liãn hãû:
www. fb.com/toansocaphue


11
9. Khi gii phỉång trçnh càn thỉïc m 2 vãú khäng thãø bçnh phỉång hồûc láûp phỉång âỉåüc
(nãúu âỉåüc thç ráút khọ khàn) ta nghé ngay âãún viãûc chia 1 vãú phỉïc tảp cho vãú âån gin
räưi dng âảo hm tçm nghiãûm ca phỉång trçnh ny!
10. Âäi lục phỉång phạp hãû ta âäü cng âỉåüc sỉí dủng 1 cạch linh hoảt, giụp bi toạn tråí
nãn âån gin hån. Chn âiãøm cọ ta âäü l 1 hm theo phỉång trçnh â cho,…
11. Chụ : Khi gii phỉång trçnh càn thỉïc, ta hản chãú bçnh phỉång 2 vãú hồûc 1 vãú ca
phỉång trçnh khi phỉång trçnh càn thỉïc âọ khạ phỉïc tảp (vç nhỉ váûy s lm bản räúi
hån). Tuy nhiãn khäng hàón khi no cng loải b phỉång phạp bçnh phỉång ny, bản
phi khẹo lẹo, tinh khi lỉûa chn phỉång ạn ny (gi sỉí rụt gn båït cạc pháưn tỉí bàòng
cạch âàût áøn phủ), biãút âáu nọ l chça khọa âãø gii toạn!
a)
2 2

0B
A B A B
A B


   

 


b)
2 2
0B
A B B A B
A B


     




c)
A B A B A B     

d)
2 2
A B A B  
;
2 2

A B A B  
hồûc
( )( ) 0A B A B  

e)
, 0
, neuA 0
A neuA
A
A
 






f)
2 2
A B A B  

g)
0 0
( ) 0
( ) 0 ( ) 0
A A
a A bf x
aA bf x aA bf x
 
 

   
 
   
 

h) NÃÚU A, B  R THÇ
- A>B 
3 3
A B

- A=B 
3 3
A B

- A>B>0 
2 2
A B

-
2 2
, 0
A B
A B
A B


 




1
' '
2
ax by c
a x b y c
 


 

cọ D
' '
ab a b 
;
'
1 2
;
x
D c b c b 

'
2 1y
D ac a c 

Cạch gii toạn


PTX

Mi chi tiãút thàõc màõc xin liãn hãû:
www. fb.com/toansocaphue


12
Nãúu D ≠ 0 hồûc
' '
a b
a b

hãû cọ nghiãûm duy nháút.
x
y
D
x
D
D
y
D










Nãúu D=0 v

0
0
x
y
D
D





hồûc
' ' '
a b c
a b c
 
thç hãû vä nghiãûm
Nãúu D=Dx=Dy= 0 hồûc
' ' '
a b c
a b c
 
hãû cọ vä säú nghiãûm
 Khi gii hãû phỉång trçnh m 1 phỉång trçnh tçm âỉåüc nghiãûm dãù dng (tảm gi l pt1) cn
phỉång trçnh cn lải tçm khọ ra, hồûc chỉa ra (tảm gi l pt2) thç ta nghé ngay âãún dng
phỉång phạp âảo hm v dng âảo hm chỉïng minh phỉång trçnh ny (pt2) cng cọ nghiãûm
tha mn phỉång trçnh kia (pt1)!
 Ngoi ra cn cọ cạc phỉång phạp sau: cäüng trỉì vãú theo vãú (ta tçm BSCNN ca 1 trong 2 áøn åí 2
phỉång trçnh ca hãû räưi thỉûc hiãûn cäüng-trỉì), xem 1 áøn (gi sỉí y ) l tham säú gii phỉång trçnh
theo áøn cn lải (gi sỉí x), phỉång phạp âäøi biãún, phỉång phạp âàût áøn phủ, phỉång phạp hãû

ta âäü (tỉì âãư bi khẹo lẹo chn càûp âiãøm, âiãøm cọ ta âäü l hm theo x, y ),…
a c a c a b c d
b d b d b d
  
   


1. Hm f(x) cọ dảng báûc 2 / báûc 1

âỉa vãư phán têch thnh báûc nháút. Vd:
2
4
3
t
dt
t




2. Dảng f(x) cọ dáúu giạ trë tuût âäúi thç lỉu vãư dáúu f(x): ám, dỉång trong khong no


dng
( ) ( ) ( ) ;
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx 
  

 
;c a b

Vd:
2
0 0
2
cosx cos cos 2dx xdx xdx

 

  
  
; do cosx

0 trong
0;
2

 
 
 
; cosx<0 trong
;
2


 
 
 

3. Têch phán:
- Biãún âäøi:
 
( )
'
( )
( ) ( ) ( )
u b
b
a u a
u x f u x dx f u du
 

Cạch gii toạn


PTX

Mi chi tiãút thàõc màõc xin liãn hãû:
www. fb.com/toansocaphue


13
Chụ :
khi biãún âäøi phi xem âäøi biãún cọ nghéa khäng nãúu khäng mi tênh toạn s
vä nghéa
- Tỉìng pháưn:
'
( ). ( ) u( ).v(x) ( ). ( )

b b
b
a
a a
u x v x dx x u x v x dx 
 

Dng têch phán biãún âäøi
Dng têch phán tỉìng pháưn
Khi hm liãn tủc [a,b] v cọ âảo hm
quan hãû láùn nhau trong biãøu thỉïc hm
säú (chụ âc ké âãư, âạnh giạ, nháûn xẹt
kãút håüp c so sạnh nỉỵa khi lm, khäng
väüi vng)
cos
( ) sinx ;
e
b
a
x
x
I P x dx
 
 

 
 
 


sin
cos
ax
b
ax
a
e bx
I dx
e bx
 

 
 



âàût
( )
cos
sinx
x
u P x
e
dv x dx



 

 



 

 

 


ln
arctanx
( ) ;
arcsinx
arccosx
b
a
x
I P x dx
 
 
 

 
 
 


âàût
ln
arctanx

arcsinx
arccosx
( )
x
u
dv P x dx

 

 

 


 

 

 






4. Phạt hiãûn quan hãû âảo hm giỉỵa tỉí v máùu

âäøi biãún säú
Vd:
sinx cosx

1 sin 2
dx
x



. Phạt hiãûn ra l 1+sin2x=(sinx+cosx)
2
m
 
'
sinx cosx cos sinx (sinx cosx)x     
âàût áøn phủ
sinx cosxt  

dãù dng viãút lải âỉåüc nhỉ sau:
2
;
dt dt
t
t

 
 

5. Nãúu máùu hồûc tỉí cọ dảng
2 2
ax a x m 



trủc càn thỉïc åí máùu hồûc tỉí.
6. Khi khäng phạt hiãûn âỉåüc mäúi quan hãû âảo hm hồûc khäng âàût âỉåüc áøn phủ


dng têch phán ton pháưn.
7. Gàûp dảng
(tanx)
cos 2
f
dx
x

hồûc
(tanx)
sin 2
f
dx
x

thç
2
2 2 2
2
2
sin
2  cos (1 ) cos (1 tan )
cos
sin 2 x 2sinx .cosx 2cos .tanx
x
cos x x x x

x
x

   



 


Caùch giaới toaùn


PTX

Moỹi chi tióỳt thừc mừc xin lión hóỷ:
www. fb.com/toansocaphue


14
Khi õoù õỷt t = tanx thỗ
2
cos
dx
dt
x


8. Gỷp
sinx cosx tanx 1

tan( )
sinx cosx 1 tanx 4
x




;
1 sinx 2 sin( )
2 4
x



du=dx

u=x+C (C laỡ hũng sọỳ) d(1+sin
2
x)=sin2xdx; d(1+cos
2
x)= -
sin2xdx
nóỳu gỷp daỷng coù cos
2
x, sin
2
x, sinx.cosx;thỗ chia cho cos
2
x
nóỳu gỷp daỷng

( ). ( )
n m
f x f x
õỷt
.
.
(x) ( )
m n
m n
f t t f x

nóỳu gỷp daỷng
x
ae b
thỗ õỷt
x
t ae b

nóỳu gỷp daỷng
1
x
ae b


thỗ nhỏn caớ tổớ vaỡ mỏựu cho e
x
(õóứ goỹn gaỡng hồn khi laỡm)
nóỳu gỷp daỷng

( ).ln ( )p x f x

vồùi p(x) laỡ haỡm õa thổùc hoỷc lổồỹng giaùc thỗ õỷt

ln ( )
( )
u f x
dv p x dx









2 2 1
(tan 1) (tan 1) (tanx)
m m
x dx x d




1
cos .sin
m n
dx
x x

nóỳu

+
,m n
leớ thỗ nhỏn cho sin
p
x. p laỡ sọỳ nguyón leớ
+
,m n
chụn thỗ 1=sin
2
x+cos
2
x

chuyóứn vóử
1
2
tan 1
2
cos
x
x


Tờch phỏn maỡ coù cỏỷn
;
4 2

thỗ tổỡ
4

tanx hoỷc cotx; tổỡ
2


sinx hoỷc cosx.
Tờch phỏn maỡ coù cỏỷn

0;1x

nghộ ngay õóỳn sint vaỡ cost . õỷt x= sin
2
t

dt = sin2tdt

2 2
1 1 1 1
ln
2 2
du u a
du
u a a u a u a a u a

;

2 2
1 1 1 1
ln
2 2
du u a
du
a u a u a u a a u a








Khi nhỏn lổồỹng lión hồỹp nhồù rũng mỏựu phaới khaùc khọng


'
2
2
1
tanx tan 1 ;
cos
x
x

'
2
2
1
cotx cot 1 ;
sin
x
x




tan ln cosxdx x

;
cot ln sinxdx x



Gỷp x
3
; x
4
; tỗm caùch ruùt goỹn muợ vaỡ õỷt u hoỷc v= x
3
,x
4

Gỷp lnx, e
-x
,
2
.
x
x e

, tỗm caùch ruùt goỹn vaỡ õỷt du hoỷc dv= lnxdx; dv= e
-x
dx; dv=
2
.
x
x e

dx


Gỷp f(x) = cos(lnx).dx

u= cos(lnx) vaỡ dx=dv


Gỷp
2
1
1 x

õỷt x= tant;
;
2 2
t









2
1
cos
dx dt
t



Caùch giaới toaùn


PTX

Moỹi chi tióỳt thừc mừc xin lión hóỷ:
www. fb.com/toansocaphue

15

Gỷp
2
1
1 x


õỷt x= sint;
;
2 2
t









cosdx tdt


Gỷp
sin .cos
a b
x x

õỷt u = cosx nóỳu b>a; hoỷc u = sinx nóỳu b<a


Nóỳu coù mọỳi quan hóỷ giổợa tan
2
x+ 1 vaỡ cos
2
x thỗ õỷt
2
1
1 tanx 2
cos
u udu dx
x




Nóỳu coù mọỳi quan hóỷ giổợa cot
2
x+ 1 vaỡ sin
2
x thỗ õỷt
2
1
1 cotx 2
sin
u udu dx

x



tanx vaỡ cos
2
x luọn õi õọi vồùi nhau. tổồng tổỷ cho cotx vaỡ sin
2
x

Gỷp
2 2
1
x a


vióỳt thaỡnh
1 1 1
2 x a x a







chuù yù: vióỳt x-a trổồùc x+a


Gỷp y=

2
a x

tờnh
0
a
ydx

thỗ õỷt
sinx a t
hoỷc
cosx a t
vồùi
t



Gỷp
2
dx
x a



lión hóỷ õóỳn
2
ln x x a

Gỷp haỡm lổồỹng giaùc ồớ mỏựu, chuù yù cọỳ gừng phỏn tờch õổồỹc ồớ tổớ daỷng tổồng tổỷ nhổ ồớ
mỏựu hoỷc daỷng õaỷo haỡm cuớa mỏựu

caùch laỡm hay vaỡ nhanh nhỏỳt loaỷi naỡy!

Vd:
.sin .cosx (c.cosx d.sinx) ( sin cos )
c.cosx d .sinx c.cosx d .sinx
a x b m n c x d x


ta tióỳn haỡnh õọửng nhỏỳt hóỷ
sọỳ ồớ tổớ rọửi õỷt t= b-x

dt = -dx

Khi gỷp tọứng hoỷc hióỷu cuớa 1 bióứu thổùc x 1 bióứu thổùc ta nón taùch ra thaỡnh nhióửu tờch
phỏn tổỡng phỏửn õóứ tờnh (õọi khi laỷi dóự daỡng hồn so vồùi khi õóứ nguyón maỡ tờnh)


Gỷp
2 2
( , )R u u a du

õỷt
2
sin
cos cos
a a t
u du dt

t t




Gỷp
2
(x, ) ;R ax bx c dx


( 0)a
nóỳu:

-
a>0 õỷt
2
ax bx c t ax


-
c>0 õỷt
2
ax bx c xt c


tióỳn haỡnh bỗnh phổồng lón 2 vóỳ rọửi ruùt x theo t thay vaỡo tỗm


-
nóỳu

2
0ax bx c
coù 2 nghióỷm phỏn bióỷt x
1
; x
2
thỗ õỷt
2
1
( )ax bx c t x x

Gỷp
, , ,
m r
n s
ax b ax b
R x dx
cx d cx d










thỗ õỷt
k

ax b
t
cx d



; k: bọỹi chung nhoớ nhỏỳt cuớa
;
m r
n s


,
a x
R x dx
a x







vồùi a>0,
a x
a x


coù nghộa khi
a x a

nón x+a>0
2
( )x a x a

Caùch giaới toaùn


PTX

Moỹi chi tióỳt thừc mừc xin lión hóỷ:
www. fb.com/toansocaphue


16
Do õoù:
2 2 2 2 2 2
a x a x dx xdx
dx dx a
a x
a x a x a x





õỷt x=asint,
;
2 2
t

Daỷng


2
;
n
Ax B dx
x ax bx c





, 0n a
õỷt
1
x
t



ọi khi bióứu thổùc dổồùi dỏỳu tờch phỏn laỡ caùc bióứu thổùc cuớa haỡm lổồỹng giaùc bỏỷc nhỏỳt vd:
cosx, sinx, ta õỷt
tan

2
x
t

Haỡm dổồùi dỏỳu tờch phỏn (haỡm bỏỷc nhỏỳt) laỡ haỡm leớ (chụn) thỗ õỷt t = x
Haỡm dổồùi dỏỳu tờch phỏn laỡ cn thổùc
( )f x
thỗ õỷt t=
( )f x

9. ặẽng duỷng tờch phỏn tờch dióỷn tờch, thóứ tờch:
9.1 Dióỷn tờch hỗnh thang cong: haỡm y = f(x) lión tuỷc trón [a, b] thỗ tờch phỏn giồùi haỷn bồới
4 õổồỡng
( )
x b
y a
y f x
Ox










suy ra dióỷn tờch laỡ:
( )

b
a
S f x dx


9.2 Tờch phỏn giồùi haỷn bồới
( )
( )
x a
x b
y f x
y g x











thỗ tỗm f(x) = g(x) rọửi suy ra x vaỡ dióỷn tờch hỗnh
phúng laỡ :
( ) ( )
b
a
S f x g x dx

9.3 Goỹi x laỡ haỡm cuớa bióỳn y thỗ dióỷn tờch giồùi haỷn bồới caùc õổồỡng:
(y)
(y)
y c
y d
x f
x g











suy ra dióỷn
tờch:
( ) ( )
d
c
S f y g y dy


9.4 Thóứ tờch vỏỷt thóứ:
( )
b

a
V S x dx


9.5 Thóứ tờch vỏỷt thóứ giồùi haỷn bồới
( )y f x
x a
x b
Ox










laỡ
2
( )
b
a
V f x dx



quay quanh truỷc hoaỡnh.
Cạch gii toạn

PTX

Mi chi tiãút thàõc màõc xin liãn hãû:
www. fb.com/toansocaphue


17
9.6 Thãø têch váût thãø giåïi hản båíi
(y)
y c
y d
x g
Oy










l
2
(y)
d
c

V g dy



quay quanh trủc tung.
Våïi hm säú y= f(x) liãn tủc trãn [a, b] v
   
 
min ,c f a f b
;
   
 
max ,d f a f b

9.7 Thãø têch váût thãø giåïi hản båíi
( )
( )
x a
x b
y f x
g g x












l
2 2
( ) ( )
b
a
V f x g x dx

 

quay quanh Ox.
9.8 Thãø têch váût thãø giåïi hản båíi
(y)
(y)
y a
y b
x g
x h












l
2 2
(y) (y)
b
a
V g h dy

 

quay quanh Oy.

1. ÂÀÛT ÁØN PHỦ
2. NHỌM ÁØN SÄÚ, ÂÀÛT NHÁN TỈÍ CHUNG SAU ÂỌ ẠP DỦNG CÄNG THỈÏC RỤT GN
3.
tan( ).tan( ) 1
4 4
x x
 
   

4. Gàûp dảng asinx + bcosx + c = 0; chia 2 vãú cho
2 2
a b
phỉång trçnh ny cọ nhiãûm khi
c 
2 2
a b

5. Gàûp dảng
2 2

sin sin .cos cosa x b x x c x d  
thç chia 2 vãú cho
2
cos x
nãúu cosx =0 khäng
l nghiãûm
a
b
x
y
O
f(x)
g(x)
x
y
O
g(y)
h(y)
b
a
Caùch giaới toaùn


PTX

Moỹi chi tióỳt thừc mừc xin lión hóỷ:
www. fb.com/toansocaphue


18

6. Gỷp daỷng tanx + cotx hoỷc cosx + sinx thỗ õỷt
tanx cotx ; 2t t

hoỷc
cos sinx t ;cosx sinx 2 sin( ) t 2
4
x x


;
daỷng tanx cotx thỗ õỷt
2 cot 2 ;t x x

7. Gỷp daỷng
3
sinx sin cosx x
hoỷc
3
sinx cos cosx x
coù muợ laù muợ bỏỷc 3 vaỡ muợ bỏỷc 1
thỗ chia hai vóỳ phổồng trỗnh cho
3
cos x
nóỳu
3
cos x
= 0 khọng laỡ nghióỷm phổồng trỗnh.
8.
3 1
tan 2 1;cot 2 1; tan

8 8 12
3 1





9. ồn thổùc sinx, cosx coù bỏỷc cuỡng leớ hoỷc cuỡng chún thỗ daỷng õúng cỏỳp. Nhỏỷn xeùt
2
x k



hay cosx = 0 coù laỡ nghióỷm cuớa phổồng trỗnh hay khọng. Chia 2 vóỳ cho
cos
k
x
õỷt t= tanx.
10. ióứm 0 õổồỹc bióứu dióựn thaỡnh
2k


11. Caùc cọng thổùc lổồỹng giaùc cỏửn nhồù:
sin2x=2sinx.cosx =
2
2cos tanx x
;
2 2 2 2 2 2
cos 2 x cos (1 tan ) sin (cot 1) 2 cos 1 1 2sinx x x x x x

cosx sinx 2 sin( ) 2 cos( )
4 4
x x



3
sinx cosx 2 sin( ) 2 cos( )
4 4
x x



cosx sinx 2 sin( ) 2 cos( )
4 4
x x



sinx.siny=

1
cos( ) cos( )
2
x y x y

sinx.cosy=

1
sin( ) sin( )

2
x y x y

cosx.cosy=

1
cos( ) cos( )
2
x y x y

cosx + cosy=
2cos cos
2 2
x y x y


cosx - cosy=
2sin sin
2 2
x y x y


sinx + siny=
2sin cos
2 2
x y x y


sinx - siny=
2cos sin

2 2
x y x y


tanx tany tanx tany
tan( ) ; tan( )
1 tanx. tany 1 tanx.tany
x y x y




2
x k
m


õổồỹc bióứu dióựn bồới m õióứm.
Cạch gii toạn


PTX

Mi chi tiãút thàõc màõc xin liãn hãû:
www. fb.com/toansocaphue


19
Âàût t= tanx thç
2

2 2
2 1
sin 2 x ;cos 2
1 1
t t
x
t t

 
 

12. Dng kho sạt hm säú gii phỉång trçnh lỉåüng giạc dng khi cọ säú hảng x tỉû do vê dủ:
x, x
2
, x
3
…
y = a
x
l hm gim khi a(0;1)
sinx sinx
2
m n
n m x k

    

cos cosx
2
m n

x n m x k

    

sinx sinx
m n
n m x   

cos cosx
m n
x n m x   

13. Dng âäúi láûp âãø gii phỉång trçnh lỉåüng giạc:
2
2
sin x sin x sin x; m n 2
cos x cos x cos x; m n 2
m n
m n
    
    

14. Gàûp pt dảng x
6
-3x
2
+…=0. Ta âàût: 2cosu = x;
0;
2
u


 

 
 

2cos3 0u u x    

15. Bi toạn dảng m khi chia cå säú láùn nhau ta âỉåüc:
2
2 2
2 1
; ;
1 1
x x
x x

 

Âàût
tan
2
x


våïi
0 0
2 4 2
  


    

Hồûc phỉång trçnh báûc 3 cọ cạc dảng nhỉ …+ t
3
– 3t + ….(phỉång trçnh báûc 3 khäng
nháøm âỉåüc nghiãûm âàûc biãût) ta cng âàût: 2cos = t
16. Tçm max, min ca hm lỉåüng giạc: dng âiãưu kiãûn hm säú cọ nghéa tỉïc l dng âảo
hm chỉïng minh nọ âäưng biãún hồûc nghëch biãún räưi ạp dủng cạc âiãưu kiãûn sau:
2 2
sinx 1 1 sinx 1
cos 1 1 cosx 1
cos sin 1
tanx,cotx
x
x x
    
    
 


17. Cạc chụ vãư ké nàng khi lm bi: ÂC ÂÃƯ THÁÛT KÉ, NHÁÛN XẸT räưi ÂẠNH GIẠ

SO
SẠNH räưi ẠP DỦNG CÄNG THỈÏC!
Cäng thỉïc täøng quạt:
 
0 0
. .b . .b
n n
n

k k n k k n k k
n n
k k
a b C a C a
 
 
  
 

Caùch giaới toaùn


PTX

Moỹi chi tióỳt thừc mừc xin lión hóỷ:
www. fb.com/toansocaphue


20
Hoaùn vở
Chốnh hồỹp
Tọứ hồỹp
! ( 1)( 2) 3.2.1
n
P n n n n

!
;(0 )
( )!
k

n
n
A k n
n k



!
;(0 )
k!( )!
k
n
n
C k n
n k



;
k n k
n n
C C



1
1
k k k
n n n
C C C

1. z=a+bi õổồỹc goỹi laỡ sọỳ phổùc;
,a b
trong õoù: a laỡ phỏửn thổỷc vaỡ b laỡ phỏửn aớo.
ồn vở aớo: i
2
=-1
Khi z=0+bi goỹi laỡ sọỳ aớo hay sọỳ thuỏửn aớo
Khi z=0+0i goỹi laỡ sọỳ vổỡa thổỷc vổỡa aớo
Khi z=a+0i goỹi laỡ sọỳ thổỷc.
2. Tỏỷp hồỹp sọỳ phổùc:

coù thóứ noùi:


3. Hai sọỳ phổùc bũng nhau: z=z

a+bi=a+bi vồùi a,b,a,b

khi õoù ta coù:
'
'
a a
b b

4. Bióựu dióựn hỗnh hoỹc sọỳ phổùc: z=a+bi bióứu dióựn bồới õióứm M(a;b) hay bồới
( ; )u a b

trong mp
phổùc Oxy
2 2
.z a b z z OM

: mọ õun sọỳ phổùc
5. Caùc pheùp toaùn trong sọỳ phổùc:
5.1 sọỳ phổùc
z a bi
goỹi laỡ sọỳ phổùc lión hồỹp cuớa z
- nóỳu z laỡ sọỳ thổỷc thỗ z=
z

- nóỳu z laỡ sọỳ aớo thỗ z=-
z

5.2
2 2
z a b
laỡ mọ õun cuớa sọỳ phổùc.
0;z z
vaỡ
0 0z z

5.3 Sọỳ õọỳi cuớa z =a+bi laỡ z =-z = -a-bi;
;a b

5.4 Caùc pheùp toaùn:
*
' 'z z z z
*
'
'
z z
z
z




*
' ' ; , 'z z z z z z

*
. ' . 'z z z z
*
. ' . 'z z z z
*
' '
0
'
'
z
z

z z
z
z
w z wz
z











* z+z=(a+a)+(b+b)I * z.z= aa-bb+(ab+ab)i
* z-z=(a-a)+(b-b)I *
1
2
. '
. '
'
'
z z z
z z
z
z

6. Quyợ tờch sọỳ phổùc: z=a+bi
Cho 2 sọỳ phổùc z=x+yi vaỡ z =x+yi coù õióứm bióứu dióựn tổồng ổùng laỡ M vaỡ M thỗ
Caùch giaới toaùn


PTX

Moỹi chi tióỳt thừc mừc xin lión hóỷ:
www. fb.com/toansocaphue


21
2 2
' ( ') ( ')z z x x y y
: khoaớng caùch MM
6.1 Tỏỷp hồỹp phổùc:
z a b z z a
trung trổỷc cuớa M
1
; M
2
vồùi M
1
(a;0); M
2
(-a;0)
6.2 Tỏỷp hồỹp phổùc:
z a b
laỡ õổồỡng troỡn tỏm I(a;0) vồùi R=b

6.3 Tỏỷp hồỹp phổùc:
z a z a b
laỡ mọỹt elip
6.4 Tỏỷp hồỹp phổùc:
z a z a b
laỡ mọỹt hypebol
7. Cn bỏỷc hai sọỳ phổùc:
Sọỳ phổùc z=x+yi laỡ cn bỏỷc hai cuớa sọỳ phổùc w =a+bi thỗ w=z
2
.
2 2
2 2
2
2
2
a a b
x
x y a
b
xy b
y
x
x ai

Chuù yù:
- Sọỳ 0 coù mọỹt cn bỏỷc hai laỡ 0
- Sọỳ phổùc khaùc 0 coù õuùng 2 cn bỏỷc hai laỡ 2 sọỳ õọỳi nhau
8. Phổồng trỗnh bỏỷc hai: Az
2
+Bz+C=0; (A 0)
B LE B CHễN (ỷt B = B/2)
Lỏỷp
2 2
4B AC
Lỏỷp

2 2
' 'B AC

0
. Phổồng trỗnh coù 2 nghióỷm phỏn bióỷt
laỡ
2
B
z
A


. Vồùi

laỡ sọỳ phổùc coù cn
bỏỷc hai laỡ


' 0
. Phổồng trỗnh coù 2 nghióỷm phỏn bióỷt
laỡ
' 'B
z
A


. Vồùi
'
laỡ sọỳ phổùc coù cn
bỏỷc hai laỡ

'


0
. Phổồng trỗnh coù nghióỷm keùp laỡ
2
B
z
A


. Vồùi

laỡ sọỳ phổùc coù cn bỏỷc hai laỡ


' 0
. Phổồng trỗnh coù nghióỷm keùp laỡ
'B
z
A


. Vồùi
'
laỡ sọỳ phổùc coù cn bỏỷc hai laỡ
'


10. Caùc daỷng toaùn

10.1 Daỷng 1: tỗm cn bỏỷc 2 cuớa sọỳ phổùc õồn giaớn a. roợ raỡng coù 2 nghióỷm laỡ
1
2
.
.
z a i
z a i







10.2 Tỗm cn bỏỷc hai sọỳ phổùc dổồùi daỷng bỗnh phổồng: vd:

2
2 2
2 2 0 1 1x x x i x i

10.3 Tỗm hai sọỳ phổùc khi bióỳt tọứng vaỡ tờch cuớa chuùng:
Ta coù:
1 2
1 2
.
z z S
z z P

thóỳ
2 1
z S z
vaỡo ta coù:
1 1
0z Sz P

vồùi

vồùi

Cạch gii toạn


PTX

Mi chi tiãút thàõc màõc xin liãn hãû:
www. fb.com/toansocaphue


22
10.4 Tçm phỉång trçnh báûc 2 våïi hãû säú thỉûc nháûn  lm nghiãûm
Gi sỉí phỉång trçnh báûc 2 dảng Ax
2
+Bx+C=0 vç  l nghiãûm nãn A
2
+B+C=0 ta
tiãún hnh âäưng nháút thỉïc âỉåüc





10.5 Âënh l Viet cho nghiãûm phỉïc:cho pt Az
2
+Bz+C=0 cọ 2 nghiãûm phỉïc l z
1
v
z
2
lục âọ ta cọ
1 2
1 2
.
B
z z
A
C
z z
A

  








10.6 Gàûp dảng
2
z z a 
hồûc
z z b 
hồûc
2
z z c 
…ta tiãún hnh gii quút
nhỉ 9.4 hồûc âàût z=x+yi
10.7 Tçm pt báûc 2 nháûn 2 säú
;
 
lm nghiãûm. R rng ta tháúy ràòng
;
 
l
nghiãûm ca phỉång trçnh X
2
-SX+P=0 våïi
; .S P
   
  

10.8 DẢNG LỈÅÜNG GIẠC CA SÄÚ PHỈÏC:
(cos sin )z r i
 
 

- Ln mang dáúu dỉång
- r>0
- z= hàòng säú

khäng cọ Acgumen
10.8.1 Nhán, chia 2 säú phỉïc:
(cos sin )z r i
 
 
v
' '(cos ' sin ')z r i
 
 

Suy ra:
 
' '
cos( ' ) sin( ' )
z r
i
z r
   
   

 
. ' . ' cos( ' ) sin( ' )z z r r i
   
   

Våïi

2 2
;r a b 

cos ;sin
a b
r r
 
 
v

l acgumen ca säú phỉïc z
10.8.2 Cäng thỉïc Moavro
Våïi
; 1n n 
thç
 
(cos sin ) (cosn sinn )
n
n
r i r i
   
  

10.8.3 Càn báûc 2 säú phỉïc dảng lỉåüng giạc: säú phỉïc
(cos sin )z r i
 
 
(r>0) cọ 2
càn báûc 2 l
1

2
cos sin
2 2
cos sin cos sin
2 2 2 2
z r i
z r i r i
 
   
 

 
 
 

 


 
     
      

     
 
     
 


10.8.4 Sỉû bàòng nhau ca 2 säú phỉïc dảng lỉåüng giạc:
(cos sin )z r i

 
 
v
' '(cos ' sin ')z r i
 
 
thç z=z’
'
' 2
r r
k
  




 

hồûc
'
' (2 1)
r r
k
  
 


  

våïi

k 

Pháưn thỉûc = Pháưn thỉûc
Pháưn o = Pháưn o
Cạch gii toạn


PTX

Mi chi tiãút thàõc màõc xin liãn hãû:
www. fb.com/toansocaphue


23
1. Dảng 1:
Gàûp phỉång trçnh dảng
.
u v
a b c
våïi a, b, c>0. u, v l biãøu thỉïc chỉïa áøn säú ta thỉåìng
logarit âỉa vãư
log log log log log
u v
a a a a a
a b c u v b c    
ta tçm mäúi quan hãû giỉỵa
log
a
b
v

log
a
c
räưi âàût nhán tỉí chung. Vd:
1
3
3 .8 36 2 (log 2 1)
x
x
x
x x

      

2. Dảng 2:
Trong pt logarit m cå säú v biãøu thỉïc dỉåïi dáúu logarit cọ dảng
a x
 
thç sỉí sủng cäng
thỉïc biãún âäøi logarit âãø âỉa cạc säú hảng vãư cng cå säú a. âàût t= log
a
x
3. Dảng 3:
Khi gii phỉång trçnh m m cå säú cọ liãn håüp nhau thç tçm cạch âỉa vãư têch cạc cå säú
bàòng 1. Âàût áøn phủ âãø âỉa vãư phỉång trçnh báûc 2.
4. Dảng 4:
Khi gii bpt m hai vãú cå säú khạc nhau, sau khi biãún âäøi, rụt gn ta âàût 1 vãú bàòng t


chuøn vãư báút pt m. Vd:

3
3 2log (2 1) 1
x
x  
âàût t=
3
log (2 1)x 
3 2 1
3 2 1
t
x
x
t

 



 


dng âảo
hm

hãû cọ nghiãûm x=t…
5. Dảng 5:
Nãúu trong pt cọ chỉïa
log
t
a

x x a 
chuøn vãư phỉång trçnh m. Vd:
2 2
2log 1 log 3
2
3 2 8 0
x
x x

  
âàût t=
log
2
x
2
t
x 
.
6. Dảng 6: Bpt dảng
log log
a b
u v
ta thỉåìng gii: âàût t=
log
a
u
(hồûc t=
log
b
v

) âỉa vãư phỉång
trçnh m räưi sỉí dủng chiãưu biãún thiãn hm säú âãø suy ra nghiãûm
7. Dảng 7: pt dảng
log log
a b
u v
âàût t=
log log
a b
u v

t
t
a u
b v








sỉí dủng phỉång phạp thãú
âãø âỉa vãư phỉång trçnh m âãø tçm t (thỉåìng cọ nghiãûm duy nháút) suy ra nghiãûm x
8. Dảng 8: bpt dảng
log
a
u
u v

v
 
våïi u, v >0 ta âàût f(t) =
log
a
t t

( ) ( )f u f v u v   

do hm âäưng biãún hồûc nghëch biãún ty âãư.
9. Dảng 9: âoạn nghiãûm v chỉïng minh nghiãûm ny duy nháút. Vd:
3 3
log log 2
4 2 ;( 0)
x
x x  

nháûn tháúy x=3 l nghiãûm ca phỉång trçnh â cho v xẹt tênh âäưng biãún nghëch biãún bàòng
âảo hm Suy ra x=3 l nghiãûm duy nháút.
10. Dảng 10: bpt dảng nhỉ sau:
  
( ) ( )
( ) 1 ( ) ( ) 0
( ) ( )
( ) 0
g x h x
f x g x h x
f x f x
f x


  

 




chụ :
   
( )log ( ) ( )log ( )
( )
( ) 10
a
g x f x g x f x
g x
f x a 

Cạch gii toạn


PTX

Mi chi tiãút thàõc màõc xin liãn hãû:
www. fb.com/toansocaphue


24
  
( ) ( )
( ) 1 ( ) ( ) 0

( ) ( )
( ) 0
g x h x
f x g x h x
f x f x
f x

  

 




vd:
2
2
( 2) 2
a
x x
x x

  

11. Dảng 11: pt dảng
log log
ax c
d bx m 
ta chuøn vãư dảng
log

log
log
c
c
c
d
bx m
ax
  
gii pt
ny.
12. Dảng 12:
log log
.log 10
a a
x x n
a
x m x

 
ta âàût
t log
a
x
; x>0 thç
t
x a
>0 ;
t 

13. Dảng 13: pt m dảng
2
. .
x
x x
m a m b c 
; nãúu cạc hãû säú a,b,c liãn quan våïi nhau âọ l a+b=c
2

hồûc a.b=c thç thỉûc hiãûn phẹp chia 2 vãú cho
2
2
x
x
a a


hồûc c
x
nãúu c > a; räưi chuøn vãư
phỉång trçnh m thưn tụy. Vd:
2 2
2
15 1
15 1 4 1
16 16
x x
x
x
   

    
   
   

14. Dảng 14: âàût áøn phủ nhỉng váùn cn áøn säú x. ta thỉûc hiãûn phẹp âạnh giạ nháûn xẹt âãø suy ra
âỉåüc âiãưu phi tçm.
15. Dảng 15: pt m dảng
   
x x
x k
a b a b c

   
. Thỉåìng cọ nghiãûm duy nháút, ta s chia
2 vãú cho c
x
sau âọ dng âảo hm chỉïng minh vãú trại âån âiãûu, tiãún hnh âoạn nghiãûm
bàòng mạy tênh räưi chỉïng minh v nghiãûm ny l duy nháút.
16. Mäüt säú chụ cå bn:
- Trong pt cọ säú hảng
( )
log ( )
u x
v x
thç âiãưu kiãûn tỉång ỉïng l
0 ( ) 1
( ) 0
u x
v x
 





lục âọ âàût
( ) ( )
1
log ( ) log ( )
u x u x
t v x v x
t
  

-
log log
c c
b a
a b
; nãúu x> 0 thç
2
log 2 log
n
a a
x n x
; nãúu
\{0}D  
thç
2
log 2 log
n

a a
x n x


1. Phỉång phạp biãún âäøi tỉång âỉång chỉïng minh âãún 1 báút âàóng thỉïc âụng
vd: c/m
a) a
2
+ b
2
+ c
2
 ab + bc + ac våïi mi a, b, c  R
b) a
2
+ b
2
+ 1  ab + a + b våïi mi a, b
2. Biãút xút phạt tỉì báút âàóng thỉïc âụng, dng suy lûn toạn hc  âpcm
vd: cho hai säú dỉång a,b tha mn 3a + 2b = 1. C/m
1
24
ab 

3. ỈÏng dủng báút âàóng thỉïc tçm Max v Min hm säú
vd: tçm max hm y=(x+2)(3-x) våïi -2  x  3