Bài gợi ý và hướng dẫn giải 20 đề toán ôn thi đại học

1 | P a g e

BÀI GỢI Ý HƯỚNG DẪN GIẢI 20 ĐỀ TOÁN ÔN TẬP
CỦA TRUNG TÂM LTĐH VĨNH VIỄN


ĐỀ 1
Câu II
2/ Đặt
tyx 

Câu IV
ABCS
MQNS
ABCDS
MNPQS
V
V
V
V
.
.
.
.
.2
.2


SC
SN
SA

SQ
SB
SM

. Ta có
4
3
,
3
2

SC
SN
SI
SK
SB
SM

Tính
m
SA
SQ

?

K2

SAmSISQSK 
3
2

SCSA
m
SAm
SCSA
3
1
)
3
31
(
)
2
(
3
2








QN

SAmSCSQSN 
4
3

QK

và
QN
cùng phương nên:
5
3
9
4
4
3
3
1
3
31



m
m
m

Vậy
.
.
2 3 3 3

3 5 4 10
S MNPQ

S ABCD
v
V


Câu V
điều phải chứng minh

lnx – ln(4 – x) – x < lny – ln(4 – y) – y
đặt f(t) = lnt – ln(4 – t) – t ; 0 < t < 4

f’ (t) > 0 , 0 < t < 4

f đồng biến trên (0,4)

điều phải chứng minh
Câu VI
2/ Gọi
0

là hình chiếu của d trên mặt phẳng


D là 1 đường thẳng bất kì trên mặt phẳng

qua I
Ta cm sin(d,
0

)


sin(d, D)
Vậy đường thẳng

cần tìm là hình chiếu của d trên mặt phẳng



ĐỀ 2
Câu II
2 | P a g e

1/ phương trình
sin 1 0
(2sin 1)(sin3 1) 0
x
xx




  



sin 1
1
sin
2
sin 1

x
x
x










2/
22
2
2
1(1)
(2)
xy
xy
xy
x y x y

  




  





Điều kiện: S = x + 4

0
(1)

P = xy

0

0
0
x
y






(2)
2
x y x y x x     

Đặt f(t) =
2
tt

, t > 0.
Câu IV
Gọi x là cạnh hình lập phương

ACB D

là tứ diện đều cạnh
2x

(*)
IA MA AH x MA
IH MH x MH

  

∙MA =
AB

.
36
22
x


∙MH =
16
36
x
CM 

∙AH =
22
23
3
x
MA MH

(*)
23
2 3 24 3x x V x   

Câu V
3
1 1 3
(1 )(1 ) 8 8 4
x y z x
yx

  


3 3 3 3
2 4 2 4 4
x y z
P

     

min
3

,
4
P 
khi x = y = z = 1
Câu III
I =
2
0
3
sin
.
8sin
3
x
dx
x







Đặt t = x +
3


3 | P a g e

5

6
3
3
13
sin cos
13
22
8 sin 8
tt
I dt
t



  



ĐỀ 3
Câu I
2/ (C) có 3 điểm cực trị

m < 0
2
1
( , 2),M m m   
2
2
( , 2)M m m  

12
32
1
2
2 0( ì 0)
m
MM
m m m vnv m




    



Câu II
1/
2
33xx  
có nghiệm duy nhất x = 1
Vì f(x) = VT đồng biến trên


0,

x = 1 cũng thỏa phương trình còn lại
2/ Điều kiện: cos2x

0, sinx


0
Đặt t = tanx
Câu IV
∙Cos
BSA
ˆ
=
6
4

2
ˆ
CosASB 6
SM a
SN SB   


N

đoạn SB và
2
3
SN
SB


33
. . .
.

8 24
S ABC S MNC S ABC
a SM SN a
V V V
SA SB
   

Câu V
∙
4
3 4 1 1 1 4 4 4
a a a
     

8
3 4 2 4
aa
  

Tương tự cho
3 4 , 3 4
bc


Cộng theo từng vế

điều phải chứng minh.

ĐỀ 4
Câu I

2/ Giả sử (C) cắt trục Ox tại 2 điểm A, B với AB =
32
2


3 2 3 2
,0 ; ;0
44
AB
   

   
   
   

4 | P a g e

A, B

(C)
2
1
11 17
8
50
17
4 64
40
m
mm

m



    






Thử lại nhận m =
1
8

( m =
17
40

4 gđ loại )
Câu II
1/ phương trình
2
3 4 2 3 4
9 3( 3 4) 9 3(3 4)
x x x
x x x
  
      

Đặt f(t) =
93
t
t

2/
33
2sin 4cos 3sinx x x
. Đặt t = tanx
Câu IV
1/ M là trung điểm CD

()BM ACD

BA = BC

MA = MC (= MD)


ACD vuông tại A
2/ BM là trục của ACD
âùmc
R
= R đường tròn ngoại tiếp

BCD = a
Câu V
∙
3
( 3 ) 1 1 3 2

3
33
a b a b
ab
    
  

Tương tự cho
33
3 3 , 3 3ca

Cộng theo từng vế

điều phải chứng minh.

ĐỀ 5
Câu II
2/ Điều kiện:
13
22
x  

2
13
2
22
VT
xx
VP



    




Câu IV
IJ =
1
2
, SE = a
EC =
22
5EB BC a

5sinEH a



5cosHC a



1
.
2
EHC
S EH HC



5 | P a g e


2
22
1
5 sin cos
2
55
sin 2 sin2
48
EIH
a
a S a




  

3
15
. sin2
3 24
EHIJ EIH
V S IJ a


  

EHIJ
V
lớn nhất
4




Câu V
33
33
3
33
3
33
13
1
2 1 1 3
34
2 1 1 3
34
2
a b ab
ab
a a a
ab
b b b
ba
ab


  



    


  

    







4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3( ) 2 3 . 3 . 2 (4 ) (4 ) 2 4( ) 8a b a b a a bb a b ab b a a b a b a b            

ĐỀ 6
Câu II
2/ Đặt t =
2
1
x
x
, -1 < x < 1.
Câu V

Cách 1: Quy đồng mẫu số, biến đổi tương đương ra điều hiển nhiên đúng

điều phải
chứng minh.
Cách 2:
22
1 ( 1)
a
a ab a
b

    




2
1 ( 1) ( 1)
a
ab a
b

    



Vậy
2
2
11

( 1)
1 ( 1)
11
( 1)
1 ( 1)
a
a
ab
b
b
b
ab
a








  













Cộng theo từng vế

điều phải chứng minh.
Câu VI
2/ (C) tâm O; bán kính R = 1
Gọi PA, PB là 2 tiếp tuyến
Trường hợp 1: APB =
60
o

Lúc này P nằm trên đường tròn
1
()C
tâm O,
1
2R 

Trường hợp 2: APB =
120
o

Lúc này P nằm trên đường tròn
2
()C
tâm O
6 | P a g e

Bán kính
2
2
3
R 

Yêu cầu bài toán
2
(0, ) 2
3
dd  


2
2
2
3
2
2
3
2
3
m
m
m

   



   






ĐỀ 7
Câu II
1/ phương trình
1
2(sin2 cos2 ) sin2 cos2 2 2 0
2
x x x x     

Đặt t = sin2x + cos2x
2/ Đặt t =
1
x

3
3
21 20 0(1)
21 20 0(2)
ty
yt

  



  



(1) – (2):
(t – y)
2
2
3
21 0
24
yy
t t y


     






Thế vào (1) ta tìm được:

1
1
x
y









1
4
4
x
y










1
5
5
x
y









Câu III
4
0
4sin2 cos2
3 cos2
xx
I dx
x




. Đặt t = 3 + cos2x
Câu V
Điều kiện:
3
2x 

phương trình


3
23
1 2 ( 3) 2 5x x x       



23
2
3
33
22
2
3
2 2 2 3
3
9 27
( 3)
25
1 2 1 4
3
3 3 9
1
( 1) 2 1 4 2 5
xx
x
x
xx
x
x x x
x x x

   

   




  




     


CMR (1) vô nghiệm
7 | P a g e

Vậy nghiệm phương trình đã cho là x = 3
Câu VI
1/ phương trình 4 cạnh hình vuông

12
34
: ( 2) 1; : ( 3) 5
11
: ( 0) 1; : ( 3) 1
d y k x d y k x
d y x d y x
kk
     




       



gt
1
3
k
hay
7k 

Câu VII
Đặt W = x + yi, z = a + bi
gt
2
5
xy
a


;
25
5
xy
b
  


Khi đó
22

2 3 ( 2) 9z a b     

22
( 3) ( 4) 45xy    


ĐỀ 8
Câu II
1/ phương trình
2
(3tan 1)(tan 1 sin ) 0x x x    

2/ Điều kiện: x

1
Thế (2) vào (1) ta có:

32
8 1 ( 1) 0(*)x x x     



( ) (*) ông ên ên 1;
(2) 0
f x VT d bi tr
f

 







Nên nghiệm hệ phương trình là
2
1
x
y






Câu IV
AE 
3 3 3
,
2 3 6
a a a
AH HE  

22
22
2 2 2
3
3
23
tan

.3
12
A ABC
ba
AH
A H b a
HE a
a b a
V







  



2 2 2
3
4
ABCA B C
a b a
V
  



2 2 2
3
6
A BB CC ABCA B C AABC
a b a
V V V
      

   

Câu V
8 | P a g e

Đặt t =
2
2x 


22
( 1) 2 0t x t x x    

12tx  
hay t = x
∙
27
12
3
t x x

   

∙
tx
vô nghiệm

ĐỀ 9
Câu I
2/ d: y = k (x – 4) – 1
d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt

k

0
Tiếp tuyến tại
1 1 1 2 2 2
( , ), ( , )M x y M x y
song song khi
12
1
( ) ( )
3
f x f x k

   

Câu II
1/ Điều kiện: sin2x

1
phương trình

42
sin 2 10sin 2 9 0xx   

2/ Đặt t =
3 2 ;x

0t 

Ta có
2 2 2
( 1) ( 7)(1 )t t t   

1
1
3
03
3
2
x
t
t
x









  




Câu III
Đặt t =
2
3tan 1x 

Câu V
Đặt
1
2
10
ax
by
cz











2 2 2

1, 2, 10
0, 0, 0
1
x a y b z c
abc
a b c

     

   


  


2
2 2 2
2 2 2
1
( ) 3
3 2 7
2
10 10 2( 10)
ab
a b c c
A
c c c

   
  

  

Đặt f(c) =
2
2
27
2( 10)
cc
c


; c
1

Lập bất phương trình
1
()
4
A f c  

9 | P a g e

Dấu = xảy ra khi
1
2
2
ab
c










59
, , 14
44
x y z   

Câu VII
Đặt z = x + iy
22
2 2 2 2
2 3 2z i x y x
i
z x y x y










Yêu cầu bài toán

22
30
3
20
0
x
y
xy
x
x














ĐỀ 10
Câu I
2/

2
10

2 2 0(*)
x
x mx m




   


y = 3 – x nên y < 3

x>0
Vậy ycbt

(*) có 2 nghiệm dương phân biệt khác 1
Câu II
2/ Điều kiện: x

1 hay x = -1
∙x = -1 thỏa phương trình
∙x

1: phương trình
2( 3) 1 2 1x x x     



x = 1
Câu IV

∙Chọn hệ trục như hình vẽ
∙
1
,.
6
SMPD
V SM SP SD




∙d(AN, SD) =
,.
,
AN SD AD
AN SD





Câu V
3
3
3
23
2
23
2
23

2
a b c
a
bc
b c a
b
ca
c a b
c
ab


  





  





  



cộng theo từng vế


điều phải chứng minh.
10 | P a g e


ĐỀ 11
Câu II
1/ phương trình

2cosx + 2cos3x + 2cos5x = 1
∙sinx = 0 không thỏa phương trình
∙sinx

0 nhân 2 vế cho sinx
2/ t =
Bất phương trình
2 (3 2) 9 2 0(*)
t
tt    

Ta có
2 (3 2) 9 2 0
t
tt   

92
2 2 0
32
t
t
tt

t

     


Câu IV
gt
là trung diem
là trung diem
M SC
N SD







1
4
S ABMN S AMN
S ABCD S ACD
VV
VV


Câu VII
phương trình
( 1)( 3)( 2) 10z z z z    

22
( 2 3)( 2 ) 10z z z z    

Đặt t =
2
2zz
.

ĐỀ 12
Câu II
1/ phương trình
(cos 1)(1 2sin )(1 2cos ) 0x x x    

2/ hệ phương trình
2
22
1 [4 ( )](1)
2( 1) [( ) 7](2)
x y x y
x y x y

   



   



(2) 2(1)
2
( ) 2( ) 15 0x y x y

     


x + y = 3 hay x + y = - 5
Câu III
Đặt t =
2
x


ta chứng minh được
22
33
00
3sin 2cos 2sin 3cos
(sin cos ) (sin cos )
x x x x
I dx dx J
x x x x

  
  



 

2
2
0
1
cot 1
4
(sin cos ) 2
1
2
dx
I J x
xx
I


     




Câu IV
32
1
sin cos
6
Va



11 | P a g e

32
1
sin (1 sin )
6
a



Đặt t =
sin

, 0 < t < 1
KSHS
33
1
()
6
V a t t

Ta suy ra
max
V
khi t =
1
sin
3



Câu V
cos3 2cos [1 cos( )] cos3 1S A A B C A      

min
1S 
khi
ABC
đều

ĐỀ 13
Câu III
ln5
ln2
(10 ). 1
x
xx
e dx
I
ee




Đặt t =
1
x
e 

2
2

2
2
1
13
2. ln
9 3 3
15
ln
32
dt t
I
tt
I

  




Câu IV
A A A B A C
  



Hình chiếu của
A

trên (ABCD) là tâm H của
ABD

1/
.
ABCD
V S A H





ABD đều , AO = a

22
,
3
3
aa
AH DB  


22
2
3
42
3
2
3
86
9
ABCD

a
A H AA AH
a
S
x
V

   



2/ Kẻ AK
( , )OO d A BDDB AK
  
  


.cos .cos .
AH
AK AO OAK AO AA H AO
AA


  



42
22
3

23
a
a
a
a


12 | P a g e

Câu V
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 4 1 1 4 4
2 (1)
a b a b a b a b ab
   
    
   

   

mà
22
4
4 32( )
(2)
()
ab
ab a b






4
( ) 0ab  
nên (2) đúng
(1) & (2)

điều phải chứng minh.

ĐỀ 14
Câu IV
2
1
14
ab
a
b




Tương tự cho
22
11
;
1 4 1 4
b c c a
ca





Cộng theo từng vế ta có
2 2 2
3
3 3 3 3 3
( ) .3
1 1 1 4 4 4 4 2
a b c
a b c abc
b c a
        
  
.

ĐỀ 15
Câu II
1/ phương trình

2cosx + 2cos3x + 2cos5x = 1
sinx = 0 không là nghiệm phương trình trên
phương trình
sin (2cos 2cos3 2cos5 ) sinx x x x x   

2/ Đặt t =
2
( 1)
1
x

x
x



; Điều kiện:
21xx   

Câu III
88
88
cos 8 cos7
1 2cos5 1 2cos5
x x cos x x
I dx dx
xx










0 +
8
8
8 cos7

1 2cos5
cos x x
dx
x







=
8
8
2 2 2
(cos3 cos2 )
32
x x dx




  


Câu IV
Chọn hệ trục như hình vẽ
∙
( , , )MN a a x x  

(0 )xa


( , , )
.0
AC a a a
MN AC MN AC



  

∙
2 2 2
2 2 2MN x ax a  

Nên MN nhỏ nhất

x = a
Câu V
13 | P a g e

Đặt
5 4 1
()
5 4 2 1 6
tt
ft
tt
  


   

5
1
4
t

  



( ) 0,ft


Vậy
1
min ( ) ( 1)
3
f t f  


ĐỀ 16
Câu II
2/ Điều kiện:
0, 0xy

∙y = 0 không thỏa hệ phương trình
∙y


0 đặt
x t y


3
2
3
89
2
4
( 1) 5
4
t y t y x
t
y
yt
y


   




  










Câu V
3 3 3
22
3 ( )( )
a a a
b b ab bc ca b c b a

     

mà
3
3
( )( ) 8 8 4
a b c a b a
b c b a

  


nên
3
3
3 2 5 2 2
3 4 8 8
a a a b c a b c
b

   

  




Làm tương tự cho
33
22
;
33
bc
ca

Cộng theo từng vế ta có:
3 3 3
2 2 2
3( )
3
3 3 3 4 4 4
ab bc ca
a b c a b c
b c a


    
  

Câu VI

x =
abcd

Trường hợp 1: a
 
2,4,6,8

4 cách chọn a
4 cách chọn d

a

2
8
A
cách chọn bc


Có 16
2
8
A
số
Trường hợp 2: a
 
3,5,7,9

4 cách chọn a
5 cách chọn d

2
8
A
cách chọn bc


Có 20
2
8
A
số
Vậy tất cả có 36
2
8
A
số.

14 | P a g e

ĐỀ 17
Câu II
1/ phương trình
2
3(1 sin2 ) 2(cos 1) 0xx    


1 sin 2 0
cos 1 0
x
x







phương trình vô nghiệm
Câu III


12
22
01
17
( ) (2 )
6
V x dx x dx


   


Câu V
7a + 5b + 12ab – 9
22
11
7 5 12 9
44
a b ab
   

     
   
   

22
2 2 2 2
2
7 5 12 6
(9 8 7 6) 2( 2 )
2( ) 0 7 5 12 9
a b ab
a ab b a ab b
a b a b ab
   
      
       

Câu VI
1/ Gọi C(O,O,C) là giao điểm của
()

và trục Oz
Kẻ OH

AB, ta có OH =
2
5

6
tan

5
OC
OH



12 12
55
5
( ): 1
1 2 12
CC
x y z

    
  


ĐỀ 18
Câu II
2/ Điều kiện:
1x 

phương trình
22
5 (1 )(1 2( 1)x x x x     

Đặt u = 1 + x, v = 1 – x +
2
x

Ta có
22
4 17 4 0u uv v  


4uv
hay
1
4
uv

Câu V
Đặt a =
2
2
3(1 )
x
x




1
; cos ,1
3 3 2
a t a

   
     

   
   

15 | P a g e

2
( ) 2 1,y f t t t    

1
,1
2
t





Câu VI
1/
,0nn




()

cắt
()


Gọi d là giao tuyến của
( ),( )


(P) là mặt phẳng cần tìm
∙
(0,0,1) ( )A d A P  

22
( ): 0
( , , ); ( , , )
. 0,
dp
dp
P Ax By Cz C
a m m m m n A B C
a n m A B C
    
   
    

Vậy
d 
mặt phẳng cố định (P): x + y – z – 1 =0
2/ (C):
2 2 2
( ) ( )x a y b R   

gt
2

3
3
2
êu
a
b
R a b
R
IBCd
  




   







Vậy (C):
 
 
2
2
2 3 4xy   

ĐỀ 19
Câu I
2/
3
,
1
o
o
o
x
Mx
x






432
2
2
2 2 6 9
()
( 1)
o o o o
o
o
x x x x
f x OM
x

   



Câu II
2/ Hệ phương trình
2
2
1
6
1
5
y
y
xx
y
x














Đặt
1
a
x
by








Câu III
1
0
(1 )
1
x
x
xe
I dx
xe





Đặt
1
x
t xe

16 | P a g e

Câu IV
phương trình
2 2 2 2
2( 1) ( 1) ( 1)( 1)x x x x x x x x          

22
22
11
21
11
x x x x
x x x x
   
  
   

Đặt t =
2
2
1
1
xx
xx



(t > 0)
Câu VII
1
3
( ) 24( )! 24 1 1
24
( 3)! ( 2)( 3) 2 3
K
K
K KH KH
C K K K K K



   

    


Lần lượt thay K = 1, 2, …, n vào 2 vế và cộng lại ta có:
0 1 1
4 5 3
1.2 2.3 ( 1) 8

3
n
n
n n n

C C C n



   


Vậy yêu cầu bài toán
8 64
8
3 11
n
n
n
   

.

ĐỀ 20
Câu II
1/ phương trình
   
2
2sin .cos6 2sin 0
44
x x x

    

2/ phương trình

22
log 8(2 4) log 2 .(2 12)
x x x
   
   
   

Câu IV
SI =
cot ,
22
a

OI =
3
6
a

2
22
3
2
.
2
3cot 1
12 2
3cot 1
24 2
3
cot

12 2
S ABC
xq
a
SO
a
V
a
S




  


  


Câu V
Đặt
22
2,a x y xy  

1a 

∙y = 0: M =
2
1
2

x 

∙y

0: Đặt t =
x
y
. Khi đó:

2
2
1 6 2 2 1
()
2 1 7 2
Mt
ft
a t t

   


Vậy min M là
62
7


17 | P a g e

Câu VI
1/

d 




2 1 0
( ) 1 0
0
Kx y z
d ozy x Ky z
x
   


     




có vô số nghiệm.
1K
.