Bài tập lớn môn phương pháp tính SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ

Bài Tập Lớn Phương Pháp Tính
Nhóm 5

Mơn : Phương Pháp Tính
…………..o0o…………..

Bài Tập Lớn
GVHD : Th.S Nguyễn Văn Phú
Nhóm SV thực hiện : nhóm 5
STT
1

410BK031

Đỗ Khánh

Hịa

2

410BK051

Phạm Duy

Hải

3

410BK250

Nguyễn Chí

Luyến

4

410BK036

Nguyễn Chiến

Thắng

5

410BK025

Võ Chí

Cơng

6

410BK271

Trần Thị Trúc

Linh

7

410BK231

Nguyễn Thảo

Nguyên

8

410BK328

Nguyễn Thị Thanh

Huệ

9

410BK157

Nguyễn Quốc

Anh

10

410BK285

Hồ Trọng

11

Lớp

Mã Số SV

Họ và Tên

410BK252

Phạm Đăng

BK10HTĐ – Đại Học Bách Khoa T.p Hồ Chí Minh
T.p Hồ Chí Minh, Ngày 09 tháng 12 năm 2011

Lời Mở Đầu
Phương Pháp Tính

Page 1

Thăng
Hiển


Bài Tập Lớn Phương Pháp Tính
Nhóm 5

Phương Pháp Tính là một môn học quan trọng đối với sinh viên các ngành
khoa học tự nhiên, kỹ thuật, kinh tế và cả một số ngành khoa học xã hội.

Môn này cung cấp cho sinh viên những khái niệm cơ bản của lý thuyết
phương pháp tính. Sinh viên hiểu được việc vận dụng các phương pháp tính để
giải quyết các bài tốn . Các kiến thức phương pháp tính học được phải có tính

thực tiễn để người học có thể áp dụng vào thực tế của ngành học.

Trang bị cho sinh viên các khái niệm cơ bản của lý thuyết phương pháp tính
tốn như: giải hệ phương trình, tìm sai số, tính gần đúng….

Nâng cao khả năng tính tốn, phân tích của sinh viên.
Trong bài làm của chúng em không tránh khỏi những sai sót,mong thầy cho ý
kiến nhận xét , đánh giá để chúng em có thể rút kinh cho lần sau.
Chúng em chân thành cảm ơn thầy!
TPHCM, Ngày 09 tháng 12 năm 2011
Sinh Viên Nhóm 05

Nhận Xét
Phương Pháp Tính

Page 2


Bài Tập Lớn Phương Pháp Tính
Nhóm 5

Trong thời gian 3 tuần vừa qua, nhóm chúng em đã rất cố gắng hồn thành bài tập
lớn mơn “Phương Pháp Tính“. Trong q trình hồn thành bài tập lớn, chúng em đã
rút ra được nhiều kinh nghiệm và kiến thức rất bổ ích, giúp chúng em hiểu biếc nhiều
hơn về môn “ Phương Pháp Tính“.
Sinh viên nhóm 5

Phương Pháp Tính

Page 3

Bài Tập Lớn Phương Pháp Tính
Nhóm 5

Chương 1:

SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ
I.
-

TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
I.1
Sai Số:
Định nghĩa: số a được gọi là số gần đúng của số chính xác A,
kí hiệu là a A ( đọc là a xấp xỉ A), nếu a khác A không đáng kể
và được dùng thay cho A trong tính tốn. Đại lượng a gọi là
sai số thật sự của số gần đúng a. Trong thực tế, so không biết
A, ta ước lượng một đại lượng dương càng bé càng tốt thỏa
điều kiện:
| A – a|
(1.1)
Được gọi là số gần đúng a. Từ công thức (1.1) ta có:
A- A a+
(1.2)
Tuy nhiên trong thực tế ta quy ước viết công thức (1.2) dưới
dạng :
A=a
Sai số tương đối của số gần đúng a so với A là đại lượng
được tính theo cơng thức:

Nếu khơng biết A, ta có thế thay thế
Gọi , và ..........,, là các giá trị chính xác và giá trị gần đúng
của đối số và hàm số. Nếu f là hàm khả vi liên tục thì
||
Trong đó các đạo hàm riêng được tính tại các điểm trung
gian. Do liên tục và khá bé ta có thể xem:

Phương Pháp Tính

Page 4


Bài Tập Lớn Phương Pháp Tính
Nhóm 5

Là sai số tuyệt đối cần tìm của hàm số và do đó ta có cơng
thức tính sai số tương đối:
II.

Bài tập ví dụ:
Bt 4 chương 1: Cho hình cầu bán kính R = 5 0.005 (m), , tính
sai số tuyệt đối của thể tích hình cầu.
Giải:
Ta có : thể tích hình cầu được tính bằng cơng thức:
Theo cơng thức :
Ta có :
Xem V như là hàm của 2 biến và R, ta có: và
Vậy , = 4 3.14 x0.002 + 1.9033

Phương Pháp Tính

Page 5


Bài Tập Lớn Phương Pháp Tính
Nhóm 5

Chương hai:
a)

phương trình phi tuyến

Lí thút:
a)

Cách tìm khoảng cách li nghiệm:
Cách1: tìm bằng phương pháp giải tích
Cách2: tìm bằng phương pháp đồ thị

b)

Cơng thức đánh giá sai sơ:

Định lí 2.2: giả sử hàm liên tục trên đoạn [a,b], khả vi (a,b). nếu là nghiệm gần
đúng của nghiệm chính xác trong [a,b] và . Thế thì ta có cơng thức đánh giá sai
số tổng qt sau đây

c)

Phương pháp chia đơi:

Xét phương trình f(x)=0 (1) có nghiệm chính xác là trong khoảng cách
li nghiệm [a.b]
Đặt:

Tính
Nếu =0 thì là nghiệm cần tìm :
Phương Pháp Tính

Page 6


Bài Tập Lớn Phương Pháp Tính
Nhóm 5

Nếu đặt:

Nếu đặt:

d)

Phương pháp lặp đơn:
Tìm nghiệm gần đúng của phương trình (1) trong khoảng
cách li nghiệm [a,b]

Nội dung phương pháp lặp:
Chuyển phương trình (1)về dạng tương ứng
(2)
Trong đoạn [a,b]
Chọn một giá trị tùy ý xây dựng dãy lặp {} theo công

Lưu ý: nghiệm của phương trình (2) cịn được gọi là điểm bất động
của hàm
Định nghĩa2.1: hàm được gọi là hàm co trong đoạn [a,b] nếu với
tồn tại một số Q sao cho
(3)
Số q trong bất đăng thức (3) được gọi là hệ số co
Định lí 2.3: nếu là hàm co trên đoạn [a,b] thì nó liên tục trên [a,b]
Định lí 2.4: nếu hàm liên tục trên [a,b],khả vi trong [a,b] và1 sao cho thì
la hàm co trên (a,b) với hệ số co là
Định lí 2.5: (nguyên lí ánh xạ co) giả sử hàm là hàm co trên đoạn [a,b]
với hệ số co là q. đồng thời, . Khi đó với mọi giá trị ban đầu trong [a,b], dãy lặp
xác định theo công thức sẽ hội tụ về điểm duy nhất của phương trình ) va ta
có cơng thức đánh giá sai số
Phương Pháp Tính

Page 7


Bài Tập Lớn Phương Pháp Tính
Nhóm 5

Hoặc:

e)

Phương pháp newton:

Định lí: giả sử hàm có đạo hàm đến cấp hai liên tục và các đạo hàm ; khônh
đổi dấu trong đoạn [a,b]. nếu các đạo hàm cấp 1và 2 cung dấu thì chọn ngược

dấu thì chọn khi đó
Nghiện gần đúng của phương trình được xác định theo cơng thức

Ta có cơng thức đánh giá sai số:

Với
f)

Phương pháp dây cung:
Tìm nghiệm gần đúng của phương trình

Giả sử liên tục trên khoảng cách li nghiệm [có đạo hàm đến cấp hai liên
tục

Khi đó nghiện gấn đúng sẽ được tính như sau:
Nếu ta xác định dãy lặp theo công thức

Nếu ta xác định dãy lặp theo công thức :

Đánh giá công thức sai số theo cơng thức :

Với

Phương Pháp Tính

Page 8


Bài Tập Lớn Phương Pháp Tính
Nhóm 5

Bài tập 11:giải hệ phương trình sau đây, tìm ,theo phương pháp
Newton:
c)

 x2 + y 2 = 1

3
y = x

F ( x0 , y0 ) =

cho

x0

= 0.5 ,

= 0.8

-0.11

δF
Fx′( x0 , y0 ) = δ x ( x0 , y0 ) =
δF
(x , y ) =
Fy′( x0 , y0 ) = δ y 0 0
Gx ( x0 , y0 ) =

G ′ ( x0 , y0 ) =

y

1.64

1.85

-0.675

δG
′
Gx ( x0 , y0 ) = δ x ( x0 , y0 )

Phương Pháp Tính

y0

=-0.3

δG
( x0 , y0 )
δy

=-0.875

Page 9


Bài Tập Lớn Phương Pháp Tính
Nhóm 5

 Fx′ Fy′   1.64 1.85 
J ( x0 , y0 ) = 
÷ 
÷
y
 Gx′ G ′   −0.3 −0.875 
=

Vậy :

F ( x0 , y0 ) Fy′( x0 , y0 )
1
x1 = x0 −
′
J ( x0 , y0 ) Gx ( x0 , y0 ) G y ( x0 , y0 )

0.5 −
=

1

−0.11

1.75

 1.64 1.85  −0.675 −0.875
 −0.3 −0.875 ÷



=1.9517

Fx′( x0 , y0 ) F ( x0 , y0 )
1
y1 = y0 −
J ( x0 , y0 ) Gx′ ( x0 , y0 ) G ( x0 , y0 )
0.8 −
=

1

1.64

−0.11

 1.64 1.85  −0.3 −0.675
 −0.3 −0.875 ÷



= -0.49545
Bài tập 12: Vận tốc rơi của 1 vật được tính theo cơng thức:
Phương Pháp Tính

Page 10


Bài Tập Lớn Phương Pháp Tính
Nhóm 5

V=

gm
( 1 − e −( c / m ) / t )
c

Với g = 9,8 m/. Biết c = 13,5kg/s, hãy xác định khối lượng m để cho v
= 36m/s tại thời điểm t = 6s. Tính đến ba chữ số đáng tin sau dấu
thập phân.
Giải: ta có

V=

36 =

36 =

gm
( 1 − e −( c / m ) / t )
c

9,8.m
( 1 − e−( 13.5/ m) /6 )
13.5
98.m
( 1 − e−81/ m )
135

m = 75.2098

Phương Pháp Tính

Page 11


Bài Tập Lớn Phương Pháp Tính
Nhóm 5

CHƯƠNG 3 : HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
3.1 PHƯƠNG PHÁP GAUS
Xét hệ ptđstt ở dang ma trận AX = B
A=
X=

B=

A gọi là ma trận của hệ số X là ma trận ẩn số B goi là ma trận cột vế phải qua các biến đổi sơ
cấp
-

Nhân một hàng cho một số khác 0
Đổi chỗ hai hàng cho nhau
Cộng hàng với hàng sau khi nhân hàng với một số khác 0
Ma trận bậc thang là ma trận thỏa
Các hang khác 0 bao giờ cũng nằm trên các hàng 0 .
Trên hai hàng khác không phần tử khác 0 đầu tiên ở hàng bên dưới bao giờ cũng
nằm bên phải cột chứa phần tử khác 0 nằm ở hàng bên trái đầu tiên
Để giải hệ phương trình :
AX = B ta thực hiện

A/B

Trong đó
3.2 PHƯƠNG PHÁP PHÂN TỬ LU
Xét hệ AX = B trong đó A khác 0

Nội dung của phương pháp
Phân tích A thành LU , L là ma trận tam giác dưới , U là ma trận tam giác trên
L =
Phương Pháp Tính

Page 12


Bài Tập Lớn Phương Pháp Tính
Nhóm 5

U=
AX = B

LUX= B
Y= UX
LY =B

a/ Phương pháp Doolittle
là phương pháp A = LU
trong đó L là ma trận tam giác dưới nhưng các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1
các phần tử L ,U được tính theo cơng thức :
u1j = a1j

1

li1 =

2

uij = aij -

ik

uki

1

lij = ( aij -1

b/ phương pháp choleski
Phương pháp choleski là trường hợp riêng của pp nhân tử LU nó áp dụng cho a là ma trận
xác định
Định lý ma trận xác định dương:
A=

=
=
Ma trận A xác định dương khi tất cả các định thức con của nó đều dương
3.4 chuẩn vectơ và chuẩn ma trận
Xét khơng gian tuyến tính thực ch̉n vectơ x thuộc một số thực

Phương Pháp Tính

Page 13


Bài Tập Lớn Phương Pháp Tính
Nhóm 5

Định nghiã 3.1 : chuẩn ma trận tương ứng với chuẩn vectơ được xác định theo công thức
= max =
3.5 phương pháp lặp
Kỹ thuật lặp dùng để giải hệ phương trình đại số tuyến tính cũng tương tuwj như phương
pháp lặp xét trong chương 2 . muốn thế chúng ta chuyển 3.3 về dạng tương đương x=Tx +
cvowis t là một ma trận vuông cấp n và c là vec tơ đã biết
= T +c

Với m = 1,2,3 ……….. ta có định lí
Định lí 3.6 : Nếu < 1 thì dãy lặp các vec tơ theo công thức ( 3.12 ) sẽ hội tụ về nghiệm của

hệ với mọi vec tơ lặp ban đầu

. Khi đó ta có cơng thức đánh giá sai số :

Bây giờ chúng ta sẽ xét ma trận hệ số của hệ phương trình Ax = b mà có thể chuyển dễ dàng
về
dạng x= Tx + c

II. BT ví dụ:

3.Sử dụng phương pháp nhân tử LU dể giải các hệ
phương trình sau:

a)

2 x1 − 5 x2 + 4 x3 = 1

3x1 + 3x2 + 9 x3 = 0
3x + 6 x + 5 x = 4
2
3
 1

Ta có ma trận hệ số

A= LU =

Phương Pháp Tính

Page 14


Bài Tập Lớn Phương Pháp Tính
Nhóm 5

U 33 = a11 = 2
U12 = a12 = −5
U13 = a13 = 4

a21 3
l21.u11 = a21 ⇒ l21 =
=
u11 2

l21.u12 + u22 = a22 ⇒ u22 = a22 − l21 .u12
3
= 3 − .(−5)
2
21
=
2
l21.u13 + u23 = a23
3
→ u23 = a23 − l21.u13 = 9 − .4 = 3
2
l31.u12 + l32 .u22 = a32
3
6 − .(−5)
a − l .u
9
2
→ l32 = 32 31 12 =
=
21
u22
7
2
l31.u13 + l32 .u23 + u33 = a33
→ u33 = a33 − (l31.u13 + l32 .u23 )

Phương Pháp Tính

Page 15

Bài Tập Lớn Phương Pháp Tính
Nhóm 5

9  −34
3
= 5 −  .4 + .3 ÷ =
7 
7
2
Y=

LY=B =

 
1
 
 −3 
⇒Y =
2
 31 
 
7

0
Y =1 
 
 −2 
 
1 −2 −1  x1   0 

= 0 1 1   x2  =  1 

   
0 0 1   x2   −2 

   
x = ( 4 3 2)

d)

 x1 + x2 − x3 + x4 = 1
 x − x + 4 x + 3x = 2
 1 2
3
4

2 x1 − x2 + 2 x3 + 4 x4 = 3
2 x1 + x2 + 2 x3 + 3 x4 = 2


Phương Pháp Tính

Page 16


Bài Tập Lớn Phương Pháp Tính
Nhóm 5
Ta có ma trận hệ số

1

1

−1 1 1

1 −1
A=
2 −1
2 1

4
2
2

32
43
32

1 0
l
1
 21
A = LU =
l31 l32

l41 l42

0
0
1

l43

0  u11 u12
0   0 u22

0  0
0

1  0
0

u11 = a11 = 1
u12 = a12 = 1
u13 = a13 = −1
u14 = a14 = 1
l21.u11 = a21 → l21 =

a21
=1
u11

l21.u12 + u22 = a22 → u22 = a22 − l21 .u12
= −1 − 1.1 = −2
l21.u13 + u23 = a23 → u23 = a23 − l21.u13

= 4 − 1.( −1) = 5
Phương Pháp Tính

Page 17

u13 u14 
u23 u24 

u33 u34 

0 u44 


Bài Tập Lớn Phương Pháp Tính
Nhóm 5

l21.u14 + u24 = a24 → u24 = a24 − l21.u14

= 3 − 1.1 = 2

l31.u12 + l32 .u22 = a32
→ l32 =

a32 − l31 .u12 −1 − 2.1 3
=
=
u22
−2
2

l31.u11 = a31 → l31 =

a31
=2
u11

l31.u13 + l32 .u23 + u33 = a33
→ u33 = a33 − (l31.u13 + l32 .u23 )

= 4 − (2.(−1) + 1.5) = −

7
2

l31.u14 + l32 .u24 + u34 = a34
→ u34 = a34 − (l31.u14 + l32 .u24 )

= 4 − (2.1 + 1.2) = −1
41

.u11 + l42 .u22 = a42

l41.u11 = a41 → l41 =

Phương Pháp Tính

a41
=2
u11

Page 18


Bài Tập Lớn Phương Pháp Tính
Nhóm 5

l41.u12 + l42 .u22 = a42
→ l42 = a42 −

a42 − l41.u12
u22

1 − 2.1 1
=
=
−2
2
l41.u13 + l42 .u23 + l43 .u33 = a43
→ l43 =

a43 − (l41.u13 + l42 .u23 ) 3
=
u33
2

l41.u14 + l42 .u24 + l43 .u34 + u44 = a44
→ u44 = a44 − (l41.u14 + l42 .u24 + l43 .u34 )

1
3
−3
= 3 − (2.1 + .2 + .1) =
2
2
7

Phương Pháp Tính

Page 19


Bài Tập Lớn Phương Pháp Tính
Nhóm 5

 y1 
Y =  y2 
 
 y3 
 
1
1

LY =  2


2



0
1
3
2
1
2

0
0   y1   1 
   
  y2  =  2 
1 0
 y3   3
   
y
−3
2
1  4   

7

0
0

1
1
 
Y =  −1 
2
 
 −1 
4
 
1 1
0 −2


U . X = Y = 0 0


0 0



Phương Pháp Tính

−1
5
−7
2
0

1
1
2   x1   1 
   
  x2  =  −1 
−1 
 x3   4 
   
−3   x4   −1 
 14 
7
 


Page 20

Bài Tập Lớn Phương Pháp Tính
Nhóm 5

 −4 
3
 
1 
3
→x= 
−1
 
3
5
 
3

Phương Pháp Tính

Page 21