Phát triển tư duy sáng tạo của học sinh qua việc khai thác bài toán cơ bản và hình thành bài toán mới

A. ĐẶT VẤN ĐỀ

I. Lí do chọn đề tài
Trang bị những tri thức, phương pháp và phát triển tư duy sáng tạo cho
học sinh là các mục tiêu được đặt lên hàng đầu trong các mục tiêu dạy học môn
toán.
Muốn vậy người thầy giáo phải giúp học sinh xem xét một bài toán dưới
nhiều góc độ khác nhau, kích thích sự liên tưởng, kết nối giữa dữ kiện với yêu cầu
của bài toán, giữa bài toán chưa biết cách giải với bài toán quen thuộc đã biết cách
giải .
Trong quá trình dạy học, tôi luôn tìm tòi các ví dụ điển hình và tổng hợp
thành các phương pháp giải cụ thể cho học sinh, đồng thời hướng dẫn học sinh
biết nhận dạng bài toán và phát triển các bài toán mới.
Với lý do đó tôi chọn đề tài ” Phát triển tư duy sáng tạo của học sinh
qua việc khai thác bài toán cơ bản và hình thành bài toán mới”

II. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài đề ra là rèn luyện tri thức theo hướng vận
dụng bài toán cơ bản và lí thuyết để sáng tạo bài toán mới. Qua đó nhằm nâng cao
hiệu quả của việc dạy học hình học ở trường phổ thông.
Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.

III. Đối tượng nghiên cứu
Đề tài này chủ yếu giành cho các đối tượng học sinh ở khối 10. Nội dung
kiến thức cơ bản trong đề tài là kiến thức chuẩn trong chương trình toán THPT
hiện hành và rất gần gũi với thực tế.
Vì vậy, tôi mong rằng đề tài này sẽ giúp các em học sinh ngày càng yêu
Toán và tự tin học tốt môn Toán hơn. Với chút kinh nghiệm ít ỏi của mình tôi
mong sẽ mang lại những điều lí thú, hữu ích cho các thầy, cô giáo và bạn bè đồng
nghiệp yêu Toán.

IV. Phương pháp nghiên cứu
+) Một số kinh nghiệm giảng dạy Toán lớp 10
+) Tài liệu










B. NỘI DUNG

I. Ta bắt đầu đi từ bài toán cơ bản trong sách giáo khoa Hình Học 10 – Nâng
cao.
Bài toán 1: (Bài 7 trang 70)
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến kẻ
từ B và C vuông góc với nhau là

(1)
Lời giải:
Giáo viên dễ dàng hướng dẩn cho học sinh một số cách giải cho bài toán.
Dễ thấy điều kiện hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông
góc với nhau với những điều kiện
sau.
+) Tam giác ABC vuông tại G.

+) Tam giác GCM vuông tại G
( hay tam giác GBM vuông tại G).
+)
+)
+)
(Với G là trọng tâm tam giác ABC và E,
M, N lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB).
Cách 1:
Gọi G là trọng tâm .
Ta có vuông tại G
(đpcm)
Cách 2:
Ta có:

Vậy BM CN
(đpcm)

Cách 3:
Gọi E là trung điểm của BC, G là trọng tâm của tam giác ABC, hai đường trung
tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau khi và chỉ khi tam giác ABC vuông tại G
(đpcm)
Cách 4:
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và AB, G là trọng tâm của tam giác ABC
Ta có: BM CN GMC vuông tại G
(đpcm)
Cách 5:
Ta có:
=
= = =
= = =0

Vì MN NC Suy ra
(đpcm)
Cách 6:
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
Hai đường trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau
( vì )
(đpcm)

II. Từ bài toán (1) ta khai triển bài toán mới.
Nhận xét: Bài toán (1) là bài toán liên quan đến tam giác, do đó ta liên hệ bài toán
(1) và các công thức quen thuộc ta sẽ được một số bài toán.

1.Từ các công thức:
, , và
Ta có: (1) GA= a
(2)
(Với G là trọng tâm của tam giác ABC)
(1) (3)
(1) (4
)
(1) (
5)
2. Liên hệ với công thức.

Ta có: (1)
(6)
3. Liên hệ với công thức:

Ta có: (1) (7)
4. Liên hệ với công thức:

, ,
Ta có: (1)
(8)
(1)
(9)
(1) (10)
5. Liên hệ với công thức:
,

Ta có: (1)
(11)
(1) (12)
(1) (13)
6. Liên hệ với công thức:
, ,
Ta có: (1)
(14)
(1)
(15)
(1)
(16)
(1)
(17)
7. Liên hệ với công thức:
( vì )
((O, R) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, G là trọng tâm tam giác ABC)
Ta có: (1)
(18)
(1)
(19)

8. Liên hệ với công thức:
hay ( H là trực tâm tam giác ABC)
Ta có:
(1)
(20)
(1)
(21)
…………
Nhận xét 1.1: Những kết quả trên cho ta sáng tạo bài toán mới ở dạng "điều kiện
cần và đủ" hay "khi và chỉ khi". Chẳng hạn:

a) Từ công thức (14) ta có bài toán:
Bài toán 2: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai trung
tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau là:


b) Từ công thức (17) và (20) ta có bài toán:
Bài toán 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O, R). H là trực tâm của tam
giác. Chứng minh rằng
CotA= 2(cot B+ cot C) khi và chỉ khi


Nhận xét 1.2: Từ các kết quả trên và các đánh giá quen thuộc cho ta công thức:
(*)
(**)

Từ nhận xét trên ta sẻ suy ra được một số kết quả.
Kết quả 1: Từ (2), (18) và OA = R suy ra
(22)
(23)

Kết quả 2: Từ (*), (**) và (1) suy ra
)
(24)
)
(25)
Kết quả 3: Từ (24) và
Suy ra (26)
Kết quả 4: Từ (*) và (8) hoặc (9) và (25) ta suy ra:
(27)
(28
)
(29
)

(30)
Kết quả 5: Từ (24)và (10) suy ra

(31)
Kết quả 6: Từ (24) ta suy ra
(32
)
Kết quả 7: Từ (28) và công thức suy ra

(33)
Kết quả 8: Từ (33) và (24) suy ra
(3
4)
Kết quả 9: Từ (28) và công thức suy ra
(3
5)

Kết quả 10: Từ (35) và (25) suy ra

(36)
Kết quả 11: Từ (17) và (30) suy ra
(37
)
Kết quả 12: Từ (33) và (18) suy ra

(38)
(3
9)
Kết quả 13: Từ (20) và (33) hoặc từ (38), (39) và OH= 3OG suy ra
(4
0)
(4
1)
Kết quả 14: Từ (24) và công thức suy ra
(42)
Kết quả 15: Từ (38), (40), (42) và công thức suy ra
(43
)
(44
)
(45
)
Kết quả 16: Từ (27), (31) và công thức suy ra
hay (46
)
hay
(47)

hay
(48)

(49)

(50)
Kết quả 17: Từ (47) và công thức
((I; r) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC)
Suy ra
(51)
Kết qủa 18: Từ (50) và công thức , suy ra

(52)
Kết quả 19: Từ (9) và công thức suy ra
. Kết hợp với (25) suy ra
(53)
Kết quả 20: Từ (53) và công thức ( là độ dài đường phân giác
trong của góc A của tam giác ABC). Suy ra
(54)
Kết quả 21: Từ (54) và (33) suy ra

(55)
Kết quả 22: Từ (54) và (2) suy ra

(56)
Kết quả 22: Từ (35) và (26) và công thức S= pr suy ra
(57)
Kết quả 23: Từ (57) và (25) suy ra

(58)

Kết quả 24: Từ (58) và (33) suy ra

(59)
Kết quả 25: Từ các công thức
Kết hợp với (24) suy ra hay
(60)
……………

Kết quả 26: Từ các đẳng thức xẩy ra ở các bất đẳng thức khai thác được ở trên

Nhận xét 1.3:
Như vậy cho tam giác ABC với giả thiết là hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông
góc với nhau ( hoặc một trong các khẳng định tương đương với khẳng định đó) ta
suy ra được các kết luận là các kết quả trên. Vì vậy ta có thể sáng tạo bài toán mới
ở dạng chỉ rỏ giả thiết và kết luận.

a) Với giả thiết là hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau và kết luận là
khẳng định (37) ta có bài toán:
Bài toán 4:
Cho tam giác ABC có hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau.
Chứng minh rằng:
b) Với giả thiết là hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau và kết luận là
khẳng định (27) ta có bài toán
Bài toán 5:
Cho tam giác ABC có hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau.
Chứng minh rằng

c) Với giả thiết là khẳng định (1) và kết luận là khẳng định (59) ta có bài toán
Bài toán 6:
Cho tam giác ABC có b

2
+ c
2
= 5a
2
. Gọi R và r lần lượt là bán kính của các
đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng

d) Với giả thiết là khẳng định (14) và kết luận là khẳng định (22), (23) ta có bài
toán
Bài toán 7:
Cho tam giác ABC có S = a
2
tanA. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. (O;
R) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng
i)
ii)
…………

+Vận dụng điều kiện để đẳng thức xảy ra ở các bất đẳng thức ở trên ta sẻ sáng tạo
bài toán mới ở dạng chứng minh: Tam giác cân hay nhận dạng tam giác. Chẳng
hạn:
Bài Toán 8
Cho tam gác ABC có hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau và
có (trong đó R và r theo thứ tự là bán kính của các đường tròn ngoại
tiếp và nội tiếp tam giác ABC ).Chứng minh rằng tam giác ABC cân.
Hướng dẫn
) Từ giả thiết hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau

(vận dụng (60))

Đẳng thức xảy ra ở bất đẳng thức này
(tức )

Vậy cân tại A (đpcm)
………….
) Với E là trung điểm của BC
Ta có
( , theo thứ tự là diện tích của các tam giác BAE,CAE )
,

Kết hợp với (1) và (2) ta có :
(61)
Kết hợp (61) và (36) ta có:
(62)

) Với giả thiết là hai tung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau và kết luận là
khẳng định (62) ta có bài toán.
Bài toán 9 :
Cho tam giác ABC có hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau.Gọi E
là trung điểm của BC .Chứng minh rằng


) Từ (2) ta có
(E là trung điểm của BC)
,A không thuộc đường thẳng BC.
(63)
(Vì A,B,C là ba đỉnh của một tam giác )
Vậy ta có bài toán về tập hợp điểm
Bài toán 10:
Tìm tập hợp đỉnh A của tam giác ABC sao cho Biết rằng

B và C là hai điểm cố định
Nhận xét 1.4:
Vì bài toán xuất phát của ta là bài toán hình học nên từ việc khảo sát hình vẽ
của bài toán đó ta cũng sáng tạo được các bài toán mới khác nữa.
Ví dụ:
a) Xét hình vẽ của bài toán 1 (với G là trọng tâm
của tam giác ABC,E.M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,CA,AB)
Lấy đối xứng với A qua E
Từ (2) ta có

Khi đó hình bình hành có hai
đường chéo AA
’
, BC thỏa mãn: AA
’
= 3BC
Kết hợp với (30) ta có
Vậy ta có bài toán về hình bình hành
Bài toán 11:
Cho hình bình hành ABCD có AC= 3BD.
Chứng minh rằng

b) xét tam giác EAB có EA,EB là hai cạnh bên.N là
trung điểm của AB,
Từ (2) ta có hay EA=3EB
, kết hợp với (28)
Vậy ta có bai toán.
Bài toán 12
Cho tam giác ABC có AC=3AB.Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh
rằng

Hướng dẫn :
Gọi là điểm đối xứng với B qua
A
Từ giả thiết ta có AC=3AB
D là trung điểm của BC suy ra
Vậy tam giác có trung tuyến CA
Thỏa mãn điều kiện
Tương tự (28) ta có
suy ra (đpcm)