Tiểu luận môn xác suất thống kê Đại lượng ngẫu nhiên Vectơ ngẫu nhiên

 ất Thống Kê
LỜI MỞ ĐẦU
Hiện nay, một trong những bộ phận quan trọng của toán học phải được
nhắc đến đó là môn “Xác Suất Thống Kê ”. Đây là một bộ môn nghiên cứu các
hiện tượng ngẫu nhiên được ứng dụng rộng rãi vào các ngành khoa hoc tự
nhiên, khoa học xã hội, y học, sinh học…. Đặc biệt khi học “Xác Suất Thống
Kê ”, bộ môn này còn trang bị cho sinh viên chúng ta một số vấn đề cơ sở của
lý thuyết xác suất thống kê, để từ đó chúng ta có thể tiếp cận vào việc nghiên
cứu lý thuyết vận dụng vào công tác phân tích số liệu, nghiên cứu phương pháp
thu thập thông tin chọn mẫu, xử lý thông tin, nhằm đưa ra những kết luận hoặc
những quyết định cần thiết.
Nhận biết được những ưu điểm của bộ môn này , để có thể am hiểu và
nhận thức ngày càng cao hơn về những ưu điểm đó. Hôm nay, được sự chỉ dẫn
của thầy bộ môn Th.S Nguyễn Văn Phú, Sinh viên nhóm 4 chúng em đã tiến
hành nghiên cứu và phân tích sâu hơn về “Xác Suất Thống Kê ” thông qua
việc làm quyển bài tập lớn môn “Xác Suất Thống Kê” này nhằm để bổ sung
thêm cho sự hiểu biết của chúng em. Quyển bài tập bao gồm có 7 chương:
 Chương I: Đại cương về xác suất
 Chương II: Đại lượng ngẫu nhiên. Vectơ ngẫu nhiên
 Chương III: Các đặc trưng đại lượng ngẫu nhiên
 Chương IV: Các quy luật phân phối
 Chương V: Lý thuyết mẫu
 Chương VI: Lý thuyết ước lượng
 Chương VII: Kiểm định giả thuyết thống kê
Nhóm sinh viên chúng em xin chân thành cảm ơn sự chỉ dẫn tận tâm của
thầy trong suốt thời gian vừa qua, nhưng với sự hiểu biết và lượng kiến thức
còn hạn hẹp, nhóm sinh viên chúng em vẫn chưa thể hoàn thành bài tập này
một cách hoàn chỉnh nhất, vì vậy xin thầy thông cảm.Cuối cùng, nhóm sinh
viên chúng em rất mong nhận được sự nhận xét và đánh giá của thầy cho quyển
bài tập này của chúng em.
Xin chân thành cảm ơn!

TP.HCM, ngày 08 tháng 12 năm
2011
Sinh viên nhóm 04
1
 ất Thống Kê

CHƯƠNG I
ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT
Cơ sở lý thuyết :
I. Các quy tắc đếm.
1. Quy tắc cộng:
Nếu 1 công việc được chia ra làm k trường hợp để thực hiện, trường hợp 1 có cách
thực hiện xong công việc,…, trường hợp k có cách thực hiện xong công việc và
không có bất kỳ một cách thực hiện nào ở trường hợp này lại trùng với 1 cách thực
hiện ở trường hợp khác, thì có cách thực hiện xong công việc.
2. Quy tắc nhân:
Nếu một công việc chia làm k giai đoạn, giai đoạn 1 có cách thực hiện, giai đoạn
2 có cách thực hiện,…,giai đoạn k có cách thực hiện, thì có cách thực hiện xong
công việc.
3. Chỉnh hợp:
Một chỉnh hợp chập k từ n phần tử là một bộ có kể thứ tự gồm k phần tử khác nhau
lấy từ n phần tử đã cho:
(k =
4. Chỉnh hợp lặp:
Một chỉnh hợp lặp chập k từ n phần tử là một bộ có kể thứ tự gồm k phần tử không
cần khác nhau lấy từ n phần tử đã cho:
5. Hoán vị:
Một hoán vị từ n phần tử là một bộ có kể thứ tự gồm n phần tử khác nhau đã cho:
6. Tổ hợp:
Một tổ hợp chập k từ n phần tử là một tập hợp con gồm k phần tử lấy từ n phần tử

đã cho:
(k =
7. Công thức nhị thức Newton:
II. Biến cố:
1. Phép thử ngẫu nhiên, biến cố:
Phép thử ngẫu nhiên là sự thực hiện những điều kiện đã đặt ra để nghiên cứu một
hiện tượng ngẫu nhiên nào đó. Mỗi kết quả của phép thử gọi là 1 biến cố.
Có 3 loại biến cố:_Biến cố trống(Ф)
_Biến cố chắc chắn(Ω)
_Biến cố ngẫu nhiên
2. Biến cố bằng nhau:
2
 ất Thống Kê
Biến cố A gọi là kéo theo biến cố B nếu A xảy ra thì B xảy ra, ký hiệu A ⊂ B. Nếu
đòng thời có A ⊂ B và B ⊂ A thì các biến cố A và B gọi là bằng nhau, ký
hiệu A=B.
3. Các phép toán trên biến cố: Cho 2 biến cố A và B khi đó ta gọi:
Tổng của A và B hay A cộng B là biến cố xảy ra khi A xảy ra hoặc B xảy ra,
ký hiệu A + B.
Hiệu của A và B hay A trừ B là biến cố xảy ra nếu A xảy ra nhưng B không
xảy ra, ký hiệu A – B.
Tích của A và B hay A nhân B là biến cố xảy ra nếu A và B đồng thời xảy ra,
ký hiệu AB.
Biến cố đối lập của A là biến cố xảy ra nếu A không xảy ra và không xảy ra
nếu A xảy ra, ký hiệu .
III. Định nghĩa xác suất:
1. Định nghĩa cổ điển:
Ta gọi các trường hợp đồng khả năng là các trường hợp mà khả năng của chúng
ngang bằng nhau. Ta gọi 1 trường hợp thuận lợi cho biến cố A nếu trường hợp này
xảy ra thì A xảy ra.

2. Định nghĩa hình học:
Ta gọi độ đo của 1 tập trên 1 đường là độ dài, trong một mặt là diện tích, trong
không gian là thể tích của tập đó.Trong mặt phẳng các tập nằm trên 1 đường có độ đo
bằng 0, trong không gian các tập nằm trên 1 mặt có độ đo bằng 0.
3. Định nghĩa thống kê:
Giả sử trong n phép thử với điều kiện như nhau biến cố A xuất hiện k lần, khi
đó ta gọi:
là tần suất xuất hiện của biến cố A trong n phép thử.
4. Định nghĩa theo tiên đề: thống nhất các định nghĩa trên ta được định nghĩa theo tiên
đề có 3 tính chất sau:
a. 0 P(A) 1 với mọi biến cố A
b. P(Ω) = 1, P(Ф) = 0
c. Nếu A và B xung khắc thì: P(A+B) = P(A) + P(B).
5. Xác xuất của biến cố đối lập: Với mọi biến cố A ta có:
6. Các định lý cộng xác suất:
a. Nếu là các biến cố đôi một xung khắc thì:

b. Với các biến cố tùy ý A và B ta có:
3
 ất Thống Kê
P(A+B) = P(A) + P(B) P(AB)
IV. Xác suất có điều kiện :
1. Định nghĩa và công thức tính: Cho 2 biến cố A và B. Ta gọi xác suất của biến cố A
khi biến cố B đã xảy ra là xác suất của A với điều kiện B, ký hiệu . Công thức:
2. Định lý nhân xác suất, tính độc lập của các biến cố:
a. Với các biến cố tùy ý A và B ta có:
b. Hai biến cố A và B gọi là độc lập nếu xác suất của biến cố này không phụ thuộc vào
xác suất xảy ra của biến cố kia, tức là:
c. Nếu A và B độc lập thì:
3.Công thức xác suất đầy đủ. Công thức Bayès:

a. Công thức xác suất đầy đủ: Với mọi biến cố F ta có:
b. Công thức Bayès: Với mỗi , ta có:
4. Công thức Bernoulli:
Trong đó : p = P(A)
q = 1 p

4
 ất Thống Kê
BÀI TẬP CHƯƠNG I
Đề bài:
1.13
Có bao nhiêu cách sắp xếp 15 cuốn sách khác nhau vào 3 ngăn kéo sao cho ngăn
thứ nhất có 6 cuốn,ngăn thứ 2 có 7 cuốn.
1.14
Có bao nhiêu người tham gia vào cuộc thi đấu cờ,nếu biết rằng cuộ đấu đó có tất
cả 10 ván cờ và mỗi đấu thủ phải đấu với mỗi đấu thủ khác 1 ván?
1.15
Giải các phương trình:
a)+ = 101
b) = 1
c) : : = 5 : 5 : 3 theo các biến m và n.
1.16
Trong 1 ngăn buồng trên xe lửa có 2 dãy ghế đối mặt nhau,mỗi dãy có 5 chỗ ngồi
có đánh số. Trong số 10 hành khách vào ngăn đó có 4 người muốn quay mặt về hướng
tàu đi, 3 người muốn quay mặt về hướng ngược lại. Hỏi có thể có bao nhiêu cách sắp
xếp chỗ ngồi cho họ sao cho các yêu cầu trên đều được thỏa?
1.17
Mô tả biến cố đối lập của các biến cố sau:
5
 ất Thống Kê

a)Hai mặt hình lật lên khi tung 2 đồng tiền kim loại.
b)Được bi trắng khi rút 1 bi từ hộp gồm 2 bi trắng, 3 bi đen và 4 bi đỏ.
c)Khi bắn 3 phát thì trúng cả 3.
d)Ít nhất 1 phát trúng khi bắn 5 phát.
e)Trúng không quá 2 phát khi bắn 5 phát.
f)Đấu thủ thứ nhất thắng trong 1 ván cờ vua.
1.18
Bắn 3 phát vào bia.Gọi là phát thứ i trúng (i=1,2,3). Biểu diễn các biến cố sau
qua các và các biến cố đối lập của chúng:
a) Cả 3 phát đều trúng.
b) Cả 3 phát đều trật.
c) Ít nhất 1 phát trúng.
d) Ít nhất 1 phát trật.
e) Không ít hơn 2 phát trúng.
f) Không quá 1 phát trúng.
g) Trúng không sớm hơn phát thứ 3.

6
 ất Thống Kê
BÀI LÀM
1.13
Cách sắp xếp sách vào ngăn:
1 2 3
6 7 2
-Ngăn thứ I : Chọn 6 cuốn trong 15 cuốn => = 5005 (cách chọn)
-Ngăn thứ II : Chọn 7 cuốn trong 9 cuốn => = 36 (cách chọn)
-Ngăn thứ III : Chọn 2 cuốn trong 2 cuốn => = 1 (cách chọn)
Vậy số cách sắp xếp sách vào ngăn là :
x x = 5005 x 36 x 1= 180180 (cách chọn).
1.14

-Gọi số người tham gia vào cuộc đấu cờ là x. Mỗi đấu thủ phải thi đấu với 1 đấu thủ
khác 1 ván.
=>Số ván cờ bằng số cách chọn 2 trong x người tham gia ta được:
= 10
 = 10
 - x – 20 = 0 
Vậy số người tham gia vào cuộc đấu cờ là 5 người.
7
 ất Thống Kê
1.15 Giải các phương trình :
a) + = 101 (*)
Điều kiện  2 x - 2 2  x = 4
Thay x = 4 vào phương trình (*) ta được :
+ = 101  2 + 1 = 101 ( vô lý)
Vậy phương trình vô nghiệm.
b) = 1
Điều kiện => 2 x 1 ( vô lý )
Vậy phương trình vô nghiệm
c) : : = 5 : 5 : 3
Điều kiện =>m+1 n+1  m n
Ta có : = =1
 =
 =
(m+1)!(n-m)! = m!(n-m+1)!
 (m+1).m!(n-m)! = m!(n-m+1).(n-m)!
 m+1 = n-m+1
 2m = n  2m-n = 0 (1)
Và =
3 = 5
 3 = 5

 =
 =
 =
8
 ất Thống Kê
 5m = 3n-3m+6  8m-3n=6 (2)
Từ (1) và (2) =>  (thỏa điều kiện)
Vậy nghiệm của phương trình là:
1.16
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10

Có tất cả 10 hành khách:
Gọi 4 người muốn quay mặt về hướng tàu đi là : A ; B ; C ; D
3 người muốn quay mặt về hướng ngược lại là : E ; F ; G
3 người còn lại là : H ; I ; J
+ A có 5 cách chọn là { 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 }
 B có 4 cách chọn
 C có 3 cách chọn
 D còn lại 2 cách chọn
+ E có 5 cách chọn là { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 }
 F có 4 cách chọn
 G có 3 cách chọn
+ H ; I ; G ta sắp xếp vào 3 vị trí còn lại => có 3! cách chọn
Vậy số cách sắp xếp chỗ ngồi là:
5 4 3 2 5 4 3 3! = 43200 ( cách chọn ).
1.17 Mô tả các biến cố đối lập:
a) Gọi A là biến cố 2 mặt hình lật lên khi tung 2 đồng tiền kim loại =>biến cố đối
:là biến cố xuất hiện 2 mặt chữ hoặc 1 mặt hình và 1 mặt chữ lật lên.
b) Gọi B là biến cố được bi trắng khi rút 1 bi từ hộp gồm 2 bi trắng ,3 bi đen và

4 bi đỏ => biến cố đối là biến cố được bi đen hoặc bi đỏ khi rút 1 bi từ hộp
9
Hướng tàu đi
 ất Thống Kê
c) Gọi C là biến cố khi bắn 3 phát trúng cả 3 => biến cố đối là biến cố ít nhất
có 1 phát trật
d) Gọi D là biến cố có ít nhất 1 phát trúng khi bắn 5 phát => biến cố đối là
biến cố cả 5 phát đều trật
e) Gọi E là biến cố trúng không quá 2 phát khi bắn 5 phát => biến cố đối là
biến cố trúng ít nhất 3 phát khi bắn 5 phát
f) Gọi F là biến cố đấu thủ thứ nhất thắng trong 1 ván cờ vua => biến cố đối
là biến cố đấu thủ đó thua hoặc hòa.
1.18
Gọi là phát thứ i trúng (i=1;2;3)
Gọi là phát thứ I trật (i=1;2;3)
a) Gọi A là biến cố cả 3 phát đều trúng => A=A
1
A
2
A
3
b) Gọi B là biến cố cả 3 phát đều trật => B=
c) Gọi C là biến cố có ít nhất 1 phát trúng => C =A
1
+A
2
+A
3
d) Gọi D là biến cố có it61 nhất 1 phát trật => D =
e) Gọi E là biến cố không ít hơn 2 phát trúng => E = A

1
.A
2
+A
2
.A
3
+A
1
.A
3
f) Gọi F là biến cố không quá 1 phát trúng => F= + A
1
+A
2
+A
3
g) Gọi G là biến cố trúng không sớm hơn phát thứ 3 => G =

CHƯƠNG II
ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN. VECTƠ NGẪU NHIÊN
Cơ sở lý thuyết
I. Đại lượng ngẫu nhiên
1. Định nghĩa và phân loại:
10
 ất Thống Kê
Giả sử là 1 nhóm đầy đủ các biến cố. Khi đó có 1 quy tắc X đặt mỗi biến
cố với với 1 số gọi là 1 đại lượng ngẫu nhiên. Đại lượng ngẫu nhiên còn gọi là
biến ngẫu nhiên. Đại lượng ngẫu nhiên theo định nghĩa trên là đại lượng ngẫu
nhiên bậc thang. Đại lượng ngẫu nhiên tổng quát là giới hạn của 1 dãy các đại

lượng ngẫu nhiên bậc thang.
2. Bảng phân phối xác suất các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc:
Cho là 1 đại lượng ngẫu nhiên rời rạc. Đặt Khi đó ta được bảng
phân phối xác suất của X:
X

P

II. Hàm phân phối xác suất. Hàm mật độ xác suất
1. Hàm phân phối xác suất:
Cho X là 1 đại lượng ngẫu nhiên. Ta gọi hàm:
là hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên có các tính chất sau:
không giảm
Nếu X là 1 đại lượng ngẫu nhiên rời rạc với thì hàm phân phối của X
là:
Nếu hàm phân phối F(x) của đại lượng ngẫu nhiên X liên tục tại x = a
thì:
2. Hàm mật độ xác suất của đại lượng ngẫu nhiên liên tục: Cho X là 1 đại
lượng ngẫu nhiên liên tục, có hàm phân phối F(x) là 1 hàm có đạo hàm. Khi đó
ta gọi hàm: là hàm mật độ xác suất của X có các tính chất sau:
III. Vectơ ngẫu nhiên
1. Khái niệm vectơ ngẫu nhiên: Cho các đại lượng ngẫu nhiên xác định trên kết
quả của 1 phép thử. Khi đó ta gọi: Z =( là vectơ ngẫu nhiên n chiều.
2. Vectơ ngẫu nhiên rời rạc 2 chiều:
11
 ất Thống Kê
a. Bảng phân phối xác suất đồng thời: Cho

Đặt ; ta có bảng sau đây gọi là bảng phân phối xác suất đồng thời của
Z = (X,Y):

Y
X
…
…
…
… … … … …
…
Ta có: và
b. Phân phối lề của X và Y: Đặt
Ta được bảng phân phối xác suất lề của X:
X


Đặt
Ta được bảng phân phối xác suất lề của Y:
Y


c. Phân phối có điều kiện:
Bảng xác suất của X với điều kiện của là:
X


Bảng xác suất của Y với điều kiện của là:
Y


12
 ất Thống Kê
d. Điều kiện độc lập của X và Y:

X và Y độc lập 

e. Hàm phân phối xác suất (X,Y)
3. Vectơ ngẫu nhiên liên tục 2 chiều:
a. Hàm mật độ đồng thời: Hàm mật độ đồng thời của vectơ ngẫu nhiên (X,Y) là hàm
f(x,y) xác định trên toàn mặt phẳng có các tính chất:
b. Mật độ lề của X và Y: Cho vectơ ngẫu nhiên (X,Y) có hàm mật độ đồng thời là khi đó
:
là mật độ lề của X
là mật độ lề của Y
c. Mật độ có điều kiện: Hàm mật độ của X với điều kiện Y = y là:
Hàm mật độ của Y với điều kiện X = x là:
d. Điều kiện độc lập của X và Y : Hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y gọi là độc lập nếu :
e. Hàm phân phối của (X,Y)
IV. Hàm và các phép toán trên các đại lượng ngẫu nhiên.
1. Hàm của một đại lượng ngẫu nhiên
a. Trường hợp rời rạc:
Giả sử là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc. Bằng cách tính các giá trị ta tìm
được các giá trị mà Y nhận. Xác suất tương ứng để Y nhận là:
b. Trường hợp liên tục:
Giả sử là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ ta có hàm phân
phối của Y:
Với
2. Hàm của 2 đại lượng ngẫu nhiên:
a. Trường hợp rời rạc:
Giả sử , đã biết bảng phân phối xác suất đồng thời của (X,Y). Ta cần tìm
phân phối xác suất của Z. Bằng cách tính ta tìm được các giá trị có thể nhận của Z.
Xác suất tương ứng để Z nhận là :
13
 ất Thống Kê

b. Trường hợp liên tục:
Giả sử f(x,y) là hàm mật độ đồng thời của (X,Y). Ta cần tìm hàm mật độ
của . Theo định nghĩa ta có hàm phân phối của Z:
3. Phép toán các đại lượng ngẫu nhiên:
Cho hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y. Khi đó phân phối của X+Y chính là
phân phối của; phân phối của XY chính là phân phối của
Trường hợp X và Y rời rạc thì X+Y và XY có bảng phân phối xác suất lần
lượt là:
X+Y

P

Trong đó:

BÀI TẬP CHƯƠNG II
Đề Bài:
2.13
Cho biến đổi ngẫu nhiên X hàm mật độ:
=
Tính xác suất để trong 3 phép thử độc lập có 2 lần x nhận giá trị
trong khoảng ( 0 ;)
2.14
Cho biến ngẫu nhiên x có hàm mật độ :
=
Tìm xác suất để trong 3 phép thử độc lập có 2 lần x nhận giá trị
trong khoảng [1;3]
2.15
Cho biến cố ngẫu nhiên x có hàm phân phối:
F
(x)

= A + B arctg x; x R
a) Tìm A,B
c) Tính xác suất (P(-1


14
 ất Thống Kê
BÀI LÀM
2.13
Ta có: P(0) = x = = = =
Đặt p =1- P( 0) = 1-
Áp dụng công thức Bernoulli:ta có xác suất để trong 3 phép thử độc lập có 2 lần x
nhập giá trị (0;) => n = 3; k = 2
P
3
(2,p) = = = = 0.2967
2.14
Ta có P(1 = = = = p
*q = 1 – p = 1 - =
Áp dụng công thức Bernoulli:ta có xác suất để trong 3 phép thử độc lập có 2 lần
x nhập giá trị trong khoảng [1;3] => n =3 ; k = 2
 P
3
(2,p) = = = 0,1030
2.15
a) Áp dụng biểu thức giới hạn F(+∞) = 1 ; F(-∞) = 0
F(x) = F(+∞) = A + B arctg(+∞) = A + B = 1 (1)
F(x) = F(-∞) = A + B arctg(-∞) = A – B = 0 (2)
(1) Và (2) 
b) Xác suất P(-1 = P(-1

= F (1) – F (-1)
= 0.5
CHƯƠNG III
CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
15
 ất Thống Kê
Cơ sở lý thuyết
I. Kỳ Vọng
1. Định nghĩa kỳ vọng
Cho X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có các bảng phân phối xác suất:
X x
1
x
2 …
x
n …
P p
1
p
2 …
p
n …
Khi đó ta gọi kỳ vọng của X là số:
E(X) = x
1
p
1
+ x
2
p

2
+ … + x
n
p
n
+ … = (3.1)
Trong trường hợp có vô hạn x
n
thi ta nói X có kỳ vọng và E(X) là kỳ của nó nếu
chuổi (3.1) hội tụ tuyệt đối.
Vì = 1 , nên :
Min x
i
≤E(X)≤max x
i
Do đó E(X) là một giá trị trung bình của các x
i
, mỗi x
i
được tính với tỷ trọng p
i
.
Vậy : kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên là trung bình theo xác suất các giá trị có
thể nhận của đại lượng ngẫu nhiên đó.
Trường hợp X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì vai trò của hàm mật độ xác suất
f(x) giống như bảng phân phối xác xuất, tổng (1) tương ứng với tích phân . Do đó :
Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f(x) thì kỳ vọng của X là số :
E(X) = (3.2)
Ta nói X có kỳ vọng nếu tích phân (3.2) hội tụ tuyệt đối.
2. Tính chất của kỳ vọng

 Định lý :
Với mọi đại lương ngẫu nhiên X, Y va hằng số C ta có :
(i) E( C ) = C
(ii) E (X + Y) = E(X) + E(Y)
16
 ất Thống Kê
(iii) E(CX) = CE(X)
E(XY) = E(X)E(Y) nếu X và Y độc lập.
II. Phương sai
1. Định nghĩa phương sai
Cho x là một đại lượng ngẫu nhiên có kỳ vọng E(X). Khi đó ta gọi phương sai của
X là kỳ vọng của bình phương độ sai khác giữa X và E(X), ký hiệu là D(X). Vậy :
D(X) = E[(X – E(X))
2
]
Ký hiệu : a = E(X), thì :
D(X) = E[(X – a)
2
] = E(X – a)
2
2. Tính chất của phương sai
 Định lý :
Với mọi đại lượng ngẫu nhiên X, Y và hằng số C ta có:
(i) D(X) ≥ 0, D( C ) = 0
(ii) D(CX) = C
2
D(X)
(iii) D(X) = E(X
2
) – ( E(X))

2
(iv) D(X + Y) = D(X) + D(Y) nếu X và Y độc lập.
D(X + C) = D(X)
III. Một số đặc trưng khác của đại lượng ngẫu nhiên
1. Mốt của đại lượng ngẫu nhiên
Cho X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất :
X
x
1
x
2
… x
n
…
P
p
1
p
2
p
n
…
Nếu = max p
k
thì ta gọi mốt của X là :
Mod(X) =
Mốt của X gọi là số có khả năng nhất
Cho X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f(x). Nếu f(x
0
) =

maxf(x) thì ta gọi mốt của X là :
Mod(X) = x
0
2. Trung vị của đại lượng ngẫu nhiên
Cho x là một đại lượng ngẫu nhiên. Số m gọi là trung vị của X, ký hiệu là
med(X) nếu :
17
 ất Thống Kê
(X < m) ≤ và P( X > m) ≤
3. Momen trung tâm
Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên có kỳ vọng E(X) = a. Ta gọi momen trung
tâm cấp k của X là :
µ
k
= µ
k
(X) = E(X – a)
k
Ta gọi momen gốc cấp k là : . Ta có : y
1
= a
Theo công thức nhị thức Newton :
µ
n
= E(X – a)
n
= E = a
k
E(X
n-k

)
hay: µ
n
= ϒ
n-k
ϒ
k
1

Theo định nghĩa ta có ngay:
µ
0
= 1, µ
1
= 0, µ
2
= D(X)
với n ≥ 2, do ϒ
0
= 1 nên:
µ
n
= ϒ
n-k
+ (-1)
n-1
(n-1)
từ công thức này ta có:
µ
2

= ϒ
2
-
µ
3
= ϒ
3
- 3 ϒ
2
ϒ
1
+ 2
µ
4
= ϒ
4
- 4 ϒ
3
ϒ
1
+ 6 ϒ
2
- 3
…
IV. Đặc trưng của vecto ngẫu nhiên hai chiều và nhiều chiều
1. Kỳ vọng
Cho vecto ngẫu nhiên hai chiều Z = (X, Y); ta gọi kỳ vọng của Z là vecto
E(Z) = (E(X), E(Y)) R
2
2. Kỳ vọng của hàm một vecto ngẫu nhiên

a.
Giả sử (X, Y) có phân phối đồng thời phân phối (X = x
i
, Y = y
j
) = p
ij
và Z =
ϕ(X , Y), khi đó ta có
E(Z) = P(ϕ(X , Y) = z
i
) = ϕ (x
i,
y
j
) p
ij
b.
Giả sử (X, Y) có hàm mật độ đồng thời là f(x, y) va Z = ϕ(X, Y). Khi đó ta có
E(Z) = (x, y)f(x,y)dxdy
3. Kỳ vọng có điều kiện
a.
Với các ký hiệu nhu7trong muc 2.3 ta có các kỳ vọng điều kiện
E(X/Y = y
j
) = , j =
E(Y/X = x
i
) = , i =
b. Trường hợp liên tục

18
 ất Thống Kê
Với các kí hiệu như trong mục 2.3, ta có các kỳ vọng có điều kiện:
E(X/y) = E(X/Y = y) = (x)dx
E(Y/x) = E(Y/X =x) = (y)dy
Ta cũng ký hiệu E(X/Y) là đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị E(X/y) khi Y = y
và E(Y/X) là đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị E(Y/x) khi X = x.
 Đinh lý (công thức toàn phần )
E (E(X/Y)) = E(X)
4. Covarian. Ma trận tương quan
Cho vecto ngẫu nhiên Z = (X,Y). Khi đó ta gọi covarian của z là :
Cov(X,Y) = E
Bằng biến đổi đơn giản ta có
Cov(X,Y) = E(XY) – E(X)E(Y)
Khi tính covarian, cần chú ý rằng trong trường hợp rời rạc thì :
E(XY) =
Và trong trường hợp liên tục thì :
E(XY) =
Từ định nghĩa ta có :
D(X) = cov(X,X)
Ta gọi ma trận tương quan (hay ma trận hiệp phương sai) của (X,Y) là :
D(X,Y) = =
5. Hệ số tương quan
Ta gọi số : R
XY
= =
Là hệ số tương quan giữa X và Y.
 Định lý :
Với mọi (X, Y), ta có
(i) ≤ 1

(ii) R
XY
=

và chỉ nếu X và Y tương quan tuyến tính, tức là tồn tại các số A,
B, C sao cho : AX + BY = C

19
 ất Thống Kê
BÀI TẬP CHƯƠNG 3
Đề bài :
3.17
Có 3 đồng tiền gồm 2 đồng công bằng , 1đồng thiên vị (cả 2 mặt đều là
ngửa).Tung cả 3 đồng tiền đó , gọi X là số mặt sấp , Y là số mặt ngửa xuất hiện.
a) Lập bảng phân phối xác suất đồng thời của X và Y, X và Y có độc lập không?
b)Tính hệ số tương đương giữa X và Y.
c) Tính cov(X , Y).
d)Tìm D(X , Y).
3.18
Cho (X , Y) có hàm mật độ đồng thời
=
a) Tìm hàm mật độ có điều kiện (x)
b) Tìm kỳ vọng có điều kiện E
c) Tìm xác suất có điều kiện
E; P; P
20
 ất Thống Kê
BÀI LÀM
3.17
Xét phép thử “ Tung 3 đồng tiền ,,

Gọi 3 đồng tiền lần lượt là A;B;C
X là số mặt sấp => X={0;1;2}
Y là số mặt ngửa => Y{1;2;3} (vì đồng tiền C luôn ngửa)
Ta có các trường hợp :
+1 mặt sấp và 2 mặt ngửa: A ngửa, B sấp, C ngửa
=>=0.50.51=0.25
và A sấp, B ngửa, C ngửa
=>=0.50.51=0.25
Vậy P ==0.25+0.25=0.5
+2 mặt sấp và 1 mặt ngửa: A và B sấp, C ngửa
=>P=0.50.51=0.25
+3 mặt ngửa: A, B, C ngửa
=>P=0.50.51=0.25
Bảng phân phối xác suất:
Y
X
1 2 3
0 0 0 0.25 0.25
1 0 0.5 0 0.5
2 0.25 0 0 0.25
21
 ất Thống Kê
0.25 0.5 0.25 1
Ta có:
Vậy X và Y là 2 biến cố không độc lập.
3.18
a)
=
=
Nên

=
=
b) =
c) =
Ta có:
=
==
=
=>

CHƯƠNG IV
CÁC QUY LUẬT PHÂN PHỐI
Cơ sở lý thuyết
I. CÁC PHÂN PHỐI RỜI RẠC
1. Phân phối nhị thức
Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X = { 0, 1, 2, … , n } gọi là có phân phối nhị thức
nếu tồn tại số p (0, 1) sao cho:
P
k
= P(X = k) = p
k
q
n-k
, q = 1- p, k =
22
 ất Thống Kê
Trong trường hợp này ta ký hiệu X ~ B(n, p).
Định nghĩa trên hợp lý vì:
= p
k

q
n-k
= (p + q)
k
= 1
 Định lý 1 :
Nếu X là số lần thành công trong dãy n phép thử Bernoulli với xác suất
thành công p thì X ~ B(n, p).
Ta sẽ chứng minh định lý sau nói về các đặc trưng của phân phối nhị thức.
 Định lý 2 :
Nếu X ~ B(n, p) thì E(X) = np và D (X) = npq.
2. Phân phối siêu bội
Đại lượng ngẫu nhiên X = {0, 1, 2, … , n} gọi là có phân phối siêu bội nếu tồn
tại các số tự nhiên N, M sao cho n ≤ M ≤ N và
P
k
= P(X = k) = , k =
Trong trường hợp này ta ký hiệu X ~ H (N, M, n)
Định nghĩa trên là hợp lý vì theo định nghĩa tổ hợp và quy tắc nhân
= = = 1
 Định lý :
Nếu X ~ H (N, M, n) thì
E(X) = np, D(X) = npq
Trong đó: p = , q = 1 – p.
3. Phân phối Poisson
Đại lượng ngẫu nhiên
X = {0, 1, 2, … , n, …}
Gọi là có phân phối Poisson nếu tồn tại số a > 0 sao cho
p
k

= P(X = k) = , k = 0, 1, 2…
23
 ất Thống Kê
Trong trường hợp này ta ký hiệu X ~ P (a). Số a gọi là tham số của phân phối Poisson
Định nghĩa vừa nều là hợp lý vì = e
-a
= e
-a
.e
a
= 1
Định lý 4.4 Nếu X ~ P (a) thì E (X) = D (X) = a.
II. CÁC PHÂN PHỐI LIÊN TỤC
1. Phân phối đều
Đại lượng ngẫu nhiên X gọi là có phân phối đều trên đoạn [a, b] nếu hàm mật
độ của X là
f(x) =
Trong trường hợp này ta ký hiệu X ~ U(a, b).
Định nghĩa vừa nêu là hợp lý vì
= 1
 Định lý:
Nếu X ~ U (a, b) thì
E (X) = , D (X) =
2. Phân phối mũ
Đại lượng ngẫu nhiên X gọi là có phân phối mũ với tham số ( > 0) nếu hàm
mật độ của X là
f(x) =
Trong trường hợp này ta ký hiệu X ~ E ()
Định nghĩa vừa nêu là hợp lý vì
dx = -e

-x
 Định lý :
Nếu X ~ E () thì E(X) = , D(X) =
3. Phân phối chuẩn
24
 ất Thống Kê
Đại lượng ngẫu nhiên X gọi là có phân phối chuẩn nếu hàm mật độ của X có
dạng
f(x) = ,  > 0
Trong trường hợp này ta ký hiệu
Áp dụng tích phân Poisson
dt =
Và bằng phép đổi biến t = hay x = a + t
Ta có = dt = 1
Vậy định nghĩa trên là hợp lý
Cũng áp dụng tích phân Poisson, dễ dàng nhận được:
 Định lý:
Nếu X ~ N (a, ) thì E(X) = a, D(X) =
Theo định lý 4.7, nói X có phân phối chuẩn với kỳ vọng a, phương sai 
2
có nghĩa là
X ~ N (a, 
2
).
4. Phân phối chuẩn chuẩn tắc
Đại lượng ngẫu nhiên X ~ N (0, 1) gọi là có phân phối chuẩn chuẩn tắc.
Nếu X có phân phối chuẩn tắc thì hàm mật độ của X là
f(x) =
gọi là hàm mật độ Gauss. Hàm mật độ Gauss là hàm chẵn, ta có
maxf(x) = f(0) = = 0.3989

= 0.5
Mọi phân phối chuẩn đều có thể chuẩn tắc hóa nhờ định lý sau đây:
 Định lý : Nếu X ~ N (a, 
2
) thì Y ~ N(0,1).
5. Tích phân Laplace
Cho f(x) là hàm mật độ Gauss. Khi đó ta có hàm phân phối Gauss
25