Kiểm tra Toán 11 - Học kì 2 - Đề số 1

Đề số 1
ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 – 2011
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
a)
n n
n n
3
3 2
2 3 1
lim
2 1
+ +
+ +
b)
x
x
x
0
1 1
lim
→
+ −
Câu 2: (1,0 điểm) Tìm m để hàm số sau liên tục tại điểm x = 1:
x x
khi x
f x
x
m khi x

2
1
( )
1
1

−

≠
=

−

=

Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
y x x
2
.cos=
b)
y x x
2
( 2 ) 1= − +
Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
(ABC) tại B, ta lấy một điểm M sao cho MB = 2a. Gọi I là trung điểm của BC.
a) (1,0 điểm) Chứng minh rằng AI ⊥ (MBC).
b) (1,0 điểm) Tính góc hợp bởi đường thẳng IM với mặt phẳng (ABC).
c) (1,0 điểm) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (MAI).
II. Phần riêng: (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần sau:

1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm:
x x x
5 4 3
5 3 4 5 0− + − =
Câu 6a: (2 điểm) Cho hàm số
y f x x x x
3 2
( ) 3 9 5= = − − +
.
a) Giải bất phương trình:
y 0
′
≥
.
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1.
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau có đúng 3 nghiệm:
x x
3
19 30 0− − =
Câu 6b: (2,0 điểm) Cho hàm số
y f x x x x
3 2
( ) 5= = + + −
.
a) Giải bất phương trình:
y 6
′
≤

.
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 6.
––––––––––––––––––––Hết–––––––––––––––––––
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .
1
ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2010 – 2011
MÔN TOÁN LỚP 11 – ĐỀ SỐ 1
CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM
1 a)
3
2 3
3 2
3
3 1
2
2 3 1
lim lim
2 1
2 1
1
n n
n n
I
n n
n
n
+ +
+ +
= =
+ +

+ +
0,50
I = 2 0,50
b)
( )
0 0
1 1
lim lim
1 1
x x
x x
x
x x
→ →
+ −
=
+ +
0,50
0
1 1
lim
2
1 1
x
x
→
= =
+ +
0,50
2 f(1) = m 0,25

x x x
x x
f x x
x
1 1 1
( 1)
lim ( ) lim lim 1
1
→ → →
−
= = =
−
0,50
f(x) liên tục tại x = 1 ⇔
x
f x f m
1
lim ( ) (1) 1
→
= ⇔ =
0,25
3 a)
2 2
cos ' 2 cos sinxy x x y x x x= ⇒ = −
1,00
b)
x x
y x x y x
x
2 2

2
( 2)
( 2 ) 1 ' 1
1
−
= − + ⇒ = + +
+
0,50
2
2
2 2 1
'
1
x x
y
x
− +
=
+
0,50
4 a)
I
B
C
A
M
H
0,25
Tam giác ABC đều cạnh a , IB = IC =
a

2
⇒ AI ⊥ BC (1) 0,25
BM ⊥ (ABC) ⇒ BM ⊥AI (2)
0,25
Từ (1) và (2) ta có AI ⊥ (MBC)
0,25
b)
BM ⊥ (ABC) ⇒ BI là hình chiếu của MI trên (ABC)
0,50
⇒
( )
·
· ·
MB
MI ABC MIB MIB
IB
,( ) , tan 4= = =
0,50
c)
AI ⊥(MBC) (cmt) nên (MAI) ⊥ (MBC)
0,25
MI MAI MBC BH M I BH MAI( ) ( ) ( )= ∩ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥
0,25
d B MAI BH( ,( ))⇒ =
0,25
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 4 17 2 17
17
4 4
a

BH
BH MB BI a a a
= + = + = ⇒ =
0,25
2
5a
Với PT:
x x x
5 4 3
5 3 4 5 0− + − =
, đặt
f x x x x
5 4 3
( ) 5 3 4 5= − + −
0,25
f(0) = –5, f(1) = 1 ⇒ f(0).f(1) < 0
0,50
⇒ Phuơng trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 1)
0,25
6a a)
y f x x x x
3 2
( ) 3 9 5= = − − +
⇒
y x x
2
3 6 9
′
= − −
0,50

y x x x
2
' 0 3 6 9 0 ( ;1) (3; )≥ ⇔ − − ≥ ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞
0,50
b)
0 0
1 6x y= ⇒ = −
0,25
( )
' 1 12k f= = −
0,50
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = –12x + 6 0,25
5b
Với PT:
x x
3
19 30 0− − =
đặt f(x) =
x x
3
19 30 0− − =
0,25
f(–2) = 0, f(–3) = 0 ⇒ phương trình có nghiệm x = –2 và x = –3
0,25
f(5) = –30, f(6) = 72 ⇒ f(5).f(6) < 0 nên
c
0
(5;6)∃ ∈
là nghiệm của PT
0,25

Rõ ràng
0 0
2, 3c c≠ − ≠ −
, PT đã cho bậc 3 nên PT có đúng ba nghiệm thực 0,25
6b a)
y f x x x x
3 2
( ) 5= = + + −
⇒
2
' 3 4 1y x x= + +
0,25
2
' 6 3 2 1 6y x x≥ ⇔ + + ≥
0,25
2
3 2 5 0x x⇔ + − ≥
0,25
( )
5
; 1;
3
x
 
⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞
 ÷
 
0,25
b)
Gọi

x y
0 0
( ; )
là toạ độ của tiếp điểm ⇒
y x
0
'( ) 6=
0,25
x x
2
0 0
3 2 1 6⇔ + + =
x
x x
x
0
2
0 0
0
1
3 2 5 0
5
3

=

⇔ + − = ⇔

= −



0,25
Với
x y PTTT y x
0 0
1 2 : 6 8= ⇒ = − ⇒ = −
0,25
Với
x y PTTT y x
0 0
5 230 175
: 6
3 27 27
= − ⇒ = − ⇒ = +
0,25
3