Kiểm tra Toán 11 - Học kì 2 - Đề số 2

Đề số 2
ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 – 2011
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
a)
x
x
x x
2
3
3
lim
2 15
→
−
+ −
b)
x
x
x
1
3 2
lim
1
→
+ −
−
Câu 2: (1,0 điểm) Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = –1:
x x

khi x
f x
x
a khi x
2
2
1
( )
1
1 1

− −

≠ −
=

+

+ =

Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
y x x x
2 2
( )(5 3 )= + −
b)
y x xsin 2= +
Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA ⊥ (ABCD).
a) Chứng minh BD ⊥ SC.
b) Chứng minh (SAB) ⊥ (SBC).

c) Cho SA =
a 6
3
. Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD).
II. Phần riêng
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm:
x x x
5 2
2 1 0− − − =
Câu 6a: (2,0 điểm) Cho hàm số
y x x x
3 2
2 5 7= − + + −
có đồ thị (C).
a) Giải bất phương trình:
2 6 0y
′
+ >
.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ
x
0
1= −
.
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm:
x x x
4 2
4 2 3 0+ − − =

Câu 6b: (2,0 điểm) Cho hàm số
y x x
2
( 1)= +
có đồ thị (C).
a) Giải bất phương trình:
y 0
′
≤
.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d:
y x5=
.
Hết
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .
1
ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2010 – 2011
MÔN TOÁN LỚP 11 – ĐỀ SỐ 2
CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM
1 a)
x x
x x
x x
x x
2
3 3
3 3
lim lim
( 3)( 5)
2 15

→ →
− −
=
− +
+ −
0,50
3
1 1
lim
5 8
x
x
→
= =
+
0,50
b)
( )
x x
x x
x
x x
1 1
3 2 1
lim lim
1
( 1) 1 1
→ →
+ − −
=

−
− + +
0,50
1
1 1
lim
4
3 2
x
x
→
= =
+ +
0,50
2 f(1) = a +1 0,25
x x x
x x
f x x
x
1 1 1
( 1)( 2)
lim ( ) lim lim( 2) 1
1
→ → →
+ −
= = − = −
+
0,50
f(x) liên tục tại x = 1 ⇔
x

f x f a a
1
lim ( ) (1) 1 1 2
→
= ⇔ + = − ⇔ = −
0,25
3 a)
y x x x
2 2
( )(5 3 )= + −
4 3 2
3 3 5 5y x x x x⇒ = − − + +
0,50
3 2
' 12 9 10 5y x x x⇒ = − − + +
0,50
b)
x
y x x y
x x
cos 2
sin 2 '
2 sin 2
+
= + ⇒ =
+
0,50
4 a)
O
A

B
D
C
S
0,25
ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD (1)
0,25
SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BD (2)
0,25
Từ (1) và (2) ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ SC
0,25
b)
BC ⊥ AB (ABCD là hình vuông) (3)
0,25
SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BC (4)
0,25
Từ (3) và (4) ⇒ BC ⊥ (SAB)
0,25
⇒ (SAB) ⊥ (SBC)
0,25
c)
SA ⊥ (ABCD) ⇒ hình chiếu của SC trên (ABCD) là AC
0,25
Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là
·
SCA
0,25
( )
·
a

SA
SC ABCD SCA
AC
a
6
3
3
tan ,( ) tan
3
2
⇒ = = = =
0,25
⇒
·
0
30SCA =
0,25
5a
Đặt
f x x x x
5 2
( ) 2 1= − − −
⇒
f x( )
liên tục trên R. 0,25
f(0) = –1, f(2) = 23 ⇒ f(0).f(1) < 0
0,50
⇒
f x( ) 0=
có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0; 1)

0,25
2
6a a)
y x x x
3 2
2 5 7= − + + −
⇒
y x x
2
6 2 5
′
= − + +
0,25
BPT
y2 6 0
′
+ >
x x x x
2 2
12 4 16 0 3 4 0⇔ − + + > ⇔ − − <
0,25
4
1;
3
x
 
⇔ ∈ −
 ÷
 
0,50

b)

y x x x
3 2
2 5 7= − + + −

0
1x = − ⇒
0
9y = −
0,25
⇒
y ( 1) 3
′
− = −
0,25
⇒ PTTT:
y x3 12= − −
0,50
5b
Đặt
f x x x x
4 2
( ) 4 2 3= + − −
⇒
f x( )
liên tục trên R. 0,25
f f f f( 1) 4, (0) 3 ( 1). (0) 0− = = − ⇒ − <
⇒ PT có ít nhất 1 nghiệm
c

1
( 1;0)∈ −
0,25
f f f f(0) 3, (1) 2 (0). (1) 0= − = ⇒ <
⇒ PT có ít nhất 1 nghiệm
c
2
(0;1)∈
0,25
c c
1 2
≠
⇒ PT có ít nhất 2 nghiệm trên khoảng (–1; 1) 0,25
6b a)
2 3 2 2
( 1) ' 3 2y x x y x x y x x= + ⇒ = + ⇒ = +
0,25
BPT
2
' 0 3 2 0y x x≤ ⇔ + ≤
0,25
x
2
;0
3
 
⇔ ∈ −
 
 
0,50

b)
Vì tiếp tuyến song song với d:
y x5=
nên tiếp tuyến có hệ số góc là k = 5 0,25
Gọi
x y
0 0
( ; )
là toạ độ của tiếp điểm.

y x x x
2
0 0 0
'( ) 5 3 2 5= ⇔ + =
x
x x
x
0
2
0 0
0
1
3 2 5 0
5
3

=

⇔ + − = ⇔


= −


0,25
Với
x y
0 0
1 2= ⇒ =
⇒ PTTT:
y x5 3= −
0,25
Với
x y
0 0
5 50
3 27
= − ⇒ = −
⇒ PTTT:
y x
175
5
27
= +
0,25
3