7- MỘT HỆ PHƯƠNG TRÌNH 4 ẨN

BÀI TẬP :Tìm các số thực a , b , c , d thỏa mãn :

a+c= 1 (1)
ac+b+d= 7 (2)
ad+bc=1 (3)
bd =6 (4)


- Cộng bốn đẳng thức trên vế theo vế được: a + c + ac + b + d+ ad + bc + bd = -1
 (a + b) + (c + d) + c(a + b) + a(c + d) + d(a + b) + 1= 0
 (a + b) + (c + d) + (a + b)(c + d) + 1= 0  (a + b + 1)(c + d + 1) = 0
 
a+b=1 (5)
c+d=1 (6)

.
Do đó :
- Trường hợp 1 : a + b = -1 (5) thì từ (1) và (5) suy ra b = c Hệ trên trở thành :

a+c= 1 (1)
c(a+1)+d= 7 (2)
ad+c
2
=1 (3)
cd=6 (4)

(Thế a + 1 = -c ở (1) vào (2) )  
a+c+1= 0 (1)
c
2
+ d = 7 (2)

ad+c
2
=1 (3)
cd=6 (4)


Từ (4) suy ra d  0. Nhân 2 vế của (2) với d  0 được c
3
+ cd + 7c = 0
 c
3
7c 6 = 0 Giải phương ẩn c được ba giá trị : c
1
= -2 c
2
= -1 và c
3
= 3
a/ Trường hợp c = -2 ,b = c thay vào các phương trình của hệ ta được:

a2+1 = 0 (1)
4+d = 7 (2)
ad+4 = 1 (3)
2d=6 (4)

 a = 1 ; b = c = - 2 ; d = - 3
b/ Trường hợp c = -1 ,b = c thay vào các phương trình của hệ ta được:

a1+1= 0 (1)
1 + d = 7 (2)

ad+1=1 (3)
1d=6 (4)

 a = 0 ; b = c = - 1 ; d = - 6
c/ Trường hợp c = 3 ,b = c thay vào các phương trình của hệ ta được:

a+3+1= 0 (1)
9 + d = 7 (2)
ad+9=1 (3)
3d=6 (4)

 a = -4 ; b = c = 3 ; d = 2
- Trường hợp 2 : c + d = - 1 (6) thì từ (1) và (6) suy ra d = a Hệ trên trở thành :


a+c= 1 (1)
ac+b+a= 7 (2)
a
2
+bc=1 (3)
ba=6 (4)

 
a+c+1= 0 (1)
a

c+1

+ b = 7 (2)
a

2
+bc=1 (3)
ba=6 (4)

Thế c + 1 = - a ở (1) vào (2) được:


a+c+1= 0 (1)
a
2
+ b = 7 (2)
a
2
+bc=1 (3)
ba=6 (4)

Nhân hai vế của (2) với a  0 được:
a
3
+ ba = 7a a
3
7a 6 = 0  a
1
= -2 a
2
= -1 và a
3
= 3



a+c+1= 0 (1)
a
3
7a6 = 0 (2)
a
2
+bc=1 (3)
ba=6 (4)


Do đó :
a/ Trường hợp a = -2 , a = d thay vào các phương trình của hệ ta được:

a+c+1= 0 (1)
a
2
+ b = 7 (2)
a
2
+bc=1 (3)
ba=6 (4)

 
2+c+1= 0 (1)
4 + b = 7 (2)
4+bc =1 (3)
2b=6 (4)

 a = d = - 2 ; b = - 3 ; c = 1
b/ Trường hợp a = -1 , a = d thay vào các phương trình của hệ ta được:


a+c+1= 0 (1)
a
2
+ b = 7 (2)
a
2
+bc=1 (3)
ba=6 (4)

 
1+c+1= 0 (1)
1 + b = 7 (2)
1+bc =1 (3)
1b=6 (4)

 a = d = - 1 ; b = - 6 ; c = 0
c/ Trường hợp a = 3 , a = d thay vào các phương trình của hệ ta được:

a+c+1= 0 (1)
a
2
+ b = 7 (2)
a
2
+bc=1 (3)
ba=6 (4)

 
3+c+1= 0 (1)

9 + b = 7 (2)
9+bc=1 (3)
3b=6 (4)

 a = d = 3 ; b = 2 ; c = - 4
Trả lời : Hệ có sáu nghiệm : 1/ a = 1 ; b = c = - 2 ; d = - 3
2/ a = 0 ; b = c = - 1 ; d = - 6
3/ a = -4 ; b = c = 3 ; d = 2
4/ a = d = - 2 ; b = - 3 ; c = 1
5/ a = d = - 1 ; b = - 6 ; c = 0
6/ a = d = 3 ; b = 2 ; c = - 4




Thị trấn Lạt , 04/03/2011
TRẦN ĐỨC NGỌC