Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG
KHOA SƯ PHẠM






NGƯỜI THỰC HIỆN:
DIỆP HOÀNG ÂN
MSSV:DTN020672









GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN:
ThS. HOÀNG HUY SƠN

An Giang, 2004


Diệp Hoàng Ân

Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành


1
LỜI CẢM ƠN


Tôi xin trân trọng cảm ơn thầy Hoàng Huy Sơn, thầy Hồ Văn Các
dã hướng dẫn tận tình và đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành
đề tài này, cũng xin trân trọng cảm ơn Hội đồng khoa học Khoa Sư
phạm đã hướng dẫn tôi làm các thủ tục nghiên cứu.

Diệp Hoàng Ân

Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành


2

LỜI MỞ ĐẦU



hương rình Đại số đại cương được dạy và học trong trường đại
học cao đẳng có nhiều khái niệm đưa kèm phần bài tập mà phạm
vi ứng dụng khá rộng. Nhưng do hạn chế về thời gian nên phần lớn này chỉ
được giới thiệu lướt qua. Do đó, các bài tập liên quan cũng khó giải quyết
thuạn lợi. Cho nên việc nghiên cứu các khái niệm này là rất cần thiết. Thứ
nhất, nó giúp cho ng
ười học hiểu cặn kẻ hơn những khái niệm trong Đại số
đại cương. Thứ hai, nó có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành
toán trong việc học tập nghiên cứu môn này.
C
Với lý do đó, cần nên phải nghiên cứu đối tượng này. Tuy nhiên, vì thời
gian có hạn và hạn chế về trình độ nên người nghiên cứu chỉ nhắm đến các
khái niệm trong vành giao hoán có đơn vị. Để hoàn thành nhiệm vụ nghiên
cứu của mình yêu cầu người nghiên c
ứu phải làm việc nghiêm túc, trình bày
kết quả nghiên cứu một cách có hệ thống, chặt chẽ, rõ ràng mạch lạc và dễ
hiểu.
Để đảm bảo yêu cầu đó, phần nội dung của đề tài sẽ trình bày bố
phần. Mỗi phần gồm ba đề mục:Định nghĩa, tính chất và bài tập có lời
giải.Sau bốn phần sẽ là các bài tập d5ề nghị. Với cách trình bày như vậy , tôi
mong nó sẽ là t
ư liệu tham khảo thuận lợi đối với sinh viên bước đầu học Đại

số đại cương. Tuy nhiên, do mới bước đầu nghiên cứu và trình bày nên đề tài
chắc có nhiều khiếm khuyết. Em rất mong được sự chỉ dẫn của các thầy cô
trong Hội đồng Khoa học Khoa Sư phạm, cũng như các bạn đọc khác để
hoàn thiện đề tài. Xin chân thành cảm ơn.
Người viết đề tài
Diệ
p Hoàng Ân









Diệp Hoàng Ân

Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành


3

MỤC LỤC


Phần Thứ Nhất Trang
IDÊAN NGUYÊN TỐ VÀ IDÊAN TỐI ĐẠI TRONG VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ 4
Phần Thứ Hai
PHẦN TỬ LUỸ LINH VÀ NIL-CĂN TRONG VÀNH 14
Phần Thứ Ba
IĐÊAN CĂN CỦA MỘT IĐÊAN CỦA VÀNH 18
Phần Thứ Tư
TẬP CON NHÂN CỦA VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ VÀ IĐÊAN CỦA VÀNH CÁC
THƯƠNG 21
MỘT SỐ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 29
KẾT LUẬN 30
TÀI LIỆU THAM KHẢO 31

Diệp Hoàng Ân

Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành


4

Phần Thứ Nhất

IDÊAN NGUYÊN TỐ VÀ IDÊAN TỐI ĐẠI TRONG VÀNH
GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ

I. ĐỊnh Nghĩa:
Cho X là vành giao hoán có đơn vị, iđêan nguyên tố và tối đại của X được
định nghĩa như sau:
Iđêan P của X, là iđêan nguyên tố nếu và chỉ nếu P
≠
X và với x, y
∈
X
sao cho xy
∈

P thì x
∈

P hoặc y

∈

P. (hoặc nếu và chỉ nếu
XP ≠
và với
sao cho
Xyx ∈, PxyPyx ∈⇒∉,
)
Iđêan A của X là iđêan tối đại nếu và chỉ nếu A
≠
X và mọi iđêan của X
chứa A là chính A hoặc X
II. Mội số tính chất liên quan:
1. Cho X là vành giao hoán có đơn vị, chứng minh các khẳng định sau:
a) P là iđêan nguyên tố của X khi và chỉ khi X/P là miền nguyên.
b) A là iđêan tối đại của X khi và chỉ khi X/A là trường.
Giải
a) P là iđêan nguyên tố thì X/P là miền nguyên:


Diệp Hoàng Ân

Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành


5
Thật vậy, vì X là vành giao hoán có đơn vị nên X/P cũng là vành giao
hoán có đơn vị. Vì P
≠
X nên X/P có nhiều hơn một phần tử.

Mặt khác, với x + P, y + P
∈
X/P. Sao cho (x + P) (y + P) = xy + P = 0 +
P. Ta có xy
∈
P ⇒ x
∈
P hoặc y
∈

P
Nếu x
∈
P thì x + P = P
Nếu y
∈
P thì y + P = P
Do đó X/P không có ước của không. Vậy X/P là miền nguyên.
Ngược lại, nếu X/P là miền nguyên thì P là iđêan nguyên tố.
Thật vậy, vì X/P là miền nguyên nên X/P có từ hai phần tử trở lên nghĩa
là X
≠
P. Vì X/P không có ước của không nên
∀
x, y
∈
X sao cho xy
∈
P tức
là xy+ P = P thì x + P = P hoặc y + P = P tức là x

∈
P hoặc y
∈
P. Vậy P là
iđêan nguyên tố.
b) Cách 1:
A là iđêan tối đại thì X/A là trường.
Thậy vậy, vì X là vành giao hoán có đơn vị nên X/A là vành giao hoán
có đơn vị. Hơn nữa do X
≠
A

nên X/A có nhiều hơn một phần tử.

Mặt khác,
∀
x
∈
X sao cho x + A
≠
A tức là
Ax ∉
. Gọi I = A + xX, thế thì I là
iđêan của X chứa A thực sự. Vì A là iđêan tối đại nên I = X. Suy ra 1
∈
I. Do I
= A + xX nên tồn tại a
∈
A, x
/

∈
X sao cho 1 = a + xx
/
.
Suy ra: 1 + A = a + xx
/
+ A = xx
/
+ A .
= (x + A) (x
/
+ A ).
x⇒
/
+ A là phần tử nghịch đảo của x + A. Vậy X/A là trường
Ngược lại, X/A là trường thì A là iđêan tối đại. Thật vậy, vì X/A là
trường nên X/A có từ hai phần tử trở lên nên A ≠ X. Ta gọi I là một iđêan bất
kỳ của X chứa A thực sự. Khi đó tồn tại x
∈
I nhưng x∉A tức là x+A ≠A, do
X/A là trường nên tồn tại x
/
+A≠A sao cho (x+A)(x
/
+A) = xx
/
+A=1+A. Do I là
iđêan của X nên xx
/

∈
I, suy ra xx
/
=1+a
∈
I 1= xx⇒
/
-a I⇒ I=X. Vậy A là
iđêan tối đại.
∈
Cách 2:
A là iđêan tối đại của X thì X/A là trường cũng như cách 1 ta luôn có X/A là
vành giao hoán, có đơn vị và có nhiều hơn một phần tử.
Gọi B là iđêan của X/A thế thì q
-1
(B) là iđêan của X. (Trong đó q: X
→
X/A
là một toàn cầu chính tắc). Khi đó
∀
x
∈
A
⇒ x+A = q(x) = A
∈
B q⇒
-1
(x+A)
∈
q

-1
(B) A q⇒
⊂
-1
(B). Do A là iđêan tối đại của
X nên suy ra q
-1
(B)=A hoặc q
-1
(B)=X.
. Nếu q
-1
(B)=A,
∀
x+A
∈
B⇒ x
∈
q
-1
(B)=A x+A = A B={0+A} (iđêan
0 của vành X/A).
⇒ ⇒
. Nếu q
-1
(B)=X, 1⇒
∈
q
-1
(B)=1+A

∈
B B = X/A. Rõ ràng với mọi iđêan
B của X/A thì B là iđêan 0 hoặc chính là X/A nên X/A là trường.
⇒


Diệp Hoàng Ân

Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành


6
Chiều ngược lại, nếu X/A là trường ta cũng có X≠A. Gọi B là iđêan của
X sao cho A
B X B/A là iđêan của X/A. Thật vậy, x+A
⊂ ⊂
⇒
∀
∈
X/A,
b+A
∈
B/A. Ta có (x+A)(b+A)=(b+A)(x+A)=xb+A
∀
∈
B/A. Vì X/A là trường nên
B/A ={0+A} hoặc B/A = X/A.
. Nếu B/A ={0+A} ⇒ B=A.
.Nếu B/A = X/A ⇒ B=X.
Vậy A là iđêan tối đại của X.

2. X là vành giao hoán có đơn vị thế thì mọi iđêan tối đại của X cũng là
iđêan nguyên tố của X.
Giải
A là iđêan tối đại
⇔ X/A là trường⇒ X/A là miền nguyên A là iđêan
nguyên tố.
⇔
3. Nếu f : X
→
Y là đồng cấu vành P là iđêan nguyên tố của Y thì f
–1
(P)
là iđêan nguyên tố của X.
Chứng minh:
Từ f : X
Y ta định nghĩa ánh xạ
→

f
: X Y/P
→
x
→
f(x) + P rõ ràng
f
là một đồng cấu vành. Thật vậy,
∀
x,y
∈
X

ta có :
f
(xy) = f(xy) + P = f(x)f(y) + P = (f(x) + P)(f(y) + P) =
f
(x)
f
(y)
f
(x+y) = f(x+y) + P = (f(x) + P)+(f(y) + P) =
f
(x)+
f
(y)
Ker
f
= { x
∈
X :
f
(x) = f(x)+P = P }
= { x
∈
X : f(x) = f(x)
∈
P } = f
–1
(P)
Theo tính chất của đồng cấu vành ta có X / Ker
f
≅

Im
f
=
f
(X)
⊂
Y/P
mà Y/P là miền nguyên (do P là iđêan nguyên tố) X / Ker
→
f
= X / f
–1
(P) là
miền nguyên, nên f
–1
(P) là iđêan nguyên tố của X.
4. Nếu f : X
→
Y là đồng cấu vành và A là iđêan tối đại của Y thì f
–1
(A)
là iđêan tối đại của X.
Chứng minh tương tự tính chất 3.
III.
Một số bài tập liên quan:
1. Giả sử X là vành có đơn vị sao cho x
2
=x với x
∈
X, chứng minh.

a) X là vành giao hoán và mọi iđêan nguyên tố đều tối đại.
b) Nếu X là miền nguyên thì X là trường gồm hai phần tử {0,1}
Giải
a)
∀
x
∈
X ta có x = x
2
= (-x)
2
= -x


Diệp Hoàng Ân

Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành


7
Suy ra a,b
∈
X ta có (a+b)
∀
2
= a
2
+ ab + ba + b
2
= a + ab +ba + b = a + b

⇔ ab + ba = 0
⇔ ab = -ba = ba
Vậy X là vành giao hoán.
Gọi A là iđêan nguyên tố của X và B là iđêan của X chứa A thật sự. Khi
đó tồn tại x
∈
B nhưng x∉A, ta có x
2
– x = 0
∈
A (do x
2
=x).
⇒ x(x-1)
∈
A x-1⇒
∈
A⇒ x-1
∈
B⇒ 1= x-(x-1)
∈
B⇒ B=X vậy A là iđêan
tối đại.
b) Nếu X là miền nguyên thì
∀
x
∈
X ta có x
2
-x = 0 ⇒ x(x-1) = 0 x=0

hoặc x=1. Vậy X={0,1} là một trường. Vành có tính chất trên là vành Boole.
⇒
2. Cho X là vành giao hoán có đơn vị
∀
x
∈
X tồn tại n
∈
N
*
sao cho x
n
=x
chứng minh mọi iđêan nguyên tố của X đều tối đại (chứng minh tương tự bài
tập 1a).
3. Giả sử X là tập hợp khác rỗng
℘
(X) là tập các tập con của X. Ta định
nghĩa phép cộng và phép nhân như sau.
A+B = (A\B)
(B\A)
∪
AB = A
∩
B
Chứng minh
℘
(x) là vành giao hoán và mọi iđêan nguyên tố đều tối đại.
Giải
Dễ dàng kiểm tra được

℘
(X) là một vành với đơn vị là X. Mặt
khác
∀
A
∈
℘
(X), ta có A
2
= A.A = A
∩
A = A.
Vậy
℘
(X) là vành Boole. Áp dụng bài 1a) ta có điều phải chứng minh.
*4. Iđêan tối đại không chứa phần tử khả nghịch. Thật vậy, giả sử I là
iđêan tối đại của X, khi đó I
≠
X nên 1∉I. Gỉa sử tồn tại x
∈
X khả nghịch thoả
x
∈
I. Khi đó xx
/
= 1
∈
I vô lý. Vậy I không chứa phần tử khả nghịch của X. Từ
kết quả trên ta có (bài tập 5)
5. Cho I là iđêan tối đại của X, khi đó tồn tại phần tử không khả nghịch

thuộc I. Thật vậy, giả sử
∀
x không khả nghịch thoả x∉I khi đó
∀
y khả nghịch
thì y∉I. Suy ra I rỗng vô lý. Vậy
∃ x
∈
I.
6. Xét nhóm G =
K
P
k
U 1
1
∞
=
với phép nhân thông thường. Trên G ta xây dựng
phép cộng là phép nhân thông thường x
⊕
y =xy, và phép nhân (*) là phép
nhân không x*y=0 chứng minh vành G không có đơn vị và không có iđêan tối
đại.
Giải
Vì phép nhân (*) là phép nhân không nên hiển nhiên G không có đơn vị.
Giả sử A là Iđêan tối đại của G khi đó G/A là trường. Do G là vành không có


Diệp Hoàng Ân

Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành


8
đơn vị nên G/A không có đơn vị nên G/A không phải là trường, mâu thuẩn
với đều giả thiết A là iđêan tối đại. Vậy G không có iđêan tối đại.
Từ chứng minh trên ta cũng thấy G không có iđêan nguyên tố.
7. Cho A
1
, A
2
là các vành giao hoán có đơn vị và X = A
1 x
A
2
Chứng minh.
a) P là iđêan nguyên tố của X khi và chỉ khi P có dạng P = P
1 x
A
2
hoặc
P = A
1 x
P
2
với P
1
, P
2
là iđêan nguyên tố của A

1
, A
2
.
b) M là iđêan tối đại của X khi và chỉ khi M có dạng M = M
1 x
A
2
hoặc
M = A
1 x
M
2
với M
1
, M
2
là iđêan tối đại của A
1
, A
2
.
Giải
a) Gọi P
1
là iđêan nguyên tố của A
1
. Thế thì P
1 x
A

2
là iđêan nguyên tố
của X = A
1 x
A
2
.
Thật vậy,
a
∀
1
, b
1
∈
A
1
sao cho a
1
b
1
∈
P
1
. Tức là
∀
(a
1
,a
2
)(b

1
,b
2
)
∈
X sao
cho (a
1
,a
2
)(b
1
,b
2
)
∈
P = P
1 x
A
2
Do P
1
là iđêan nguyên tố nên hoặc a
1
∈
P
1
hoặc b
1
∈

P
1
điều này có nghĩa là
(a
1
,a
2
)
∈
P hoặc (b
1
,b
2
)
∈
P. Vậy P là iđêan nguyên tố của X.
Tương tự, nếu P
2
là iđêan nguyên tố của A
2
thì P = A
1 x
P
2
là iđêan nguyên
tố của X = A
1 x
A
2
.

Ngược lại, giả sử P là iđêan nguyên tố của X = A
1 x
A
2
. Ta chứng minh
P = P
1 x
A
2
hoặc P = A
1 x
P
2
với P
1
là iđêan nguyên tố của A
1
, P
2
là iđêan
nguyên tố của A
2
.
Ta có (1,0)(0,1) = (0,0)
∈
P Suy ra : (1,0)
∈
P hoặc (0,1)
∈
P

Nếu (1,0)
∈
P,
∀
a
1
∈
A
1
ta có (a
1
, 0)(1,0) = (a
1
, 0)
∈
P
Gọi P
2
= {a
2
∈
A
2
/ (0,a
2
)
∈
P }
Ta chứng minh P
2

là iđêan nguyên tố của A
2
. Thật vậy,
∀
a
2
,b
2

∈
P
2
ta có :
(0 , a
2
) – (0 , b
2
) = (0, a
2
- b
2
)
∈
P ⇒ a
2
- b
2

∈
P

2

∀
α
2
∈
A
2
ta có : (0 ,
α
2
) . (0 , a
2
) = (0,
α
2
a
2
)
∈
P ⇒
α
2
a
2

∈
P

∀

α
2
,
β
2
∈
A
2
sao cho
α
2
β
2
∈
P
2
(0,⇒
α
2
β
2
)
∈
P⇒ (0,
α
2
)
∈
P hoặc
(0,

β
2
)
∈
P ⇒
α
2

∈
P
2
hoặc
β
2
∈
P
2
.
Vậy P
2
là iđêan nguyên tố của A
2
. Ta cần chứng minh thêm P = A
1 x
P
2.

∀
(a
1

,a
2
)
∈
A
1 x
P
2
⇒ (a
1
,a
2
) = (a
1
,0) + (0,a
2
)
∈
P (do (a
1
,0)
∈
P , (0,a
2
)
∈
P
).

∀

(a
1
,a
2
)
∈
P do (a
1
,0)
∈
P ⇒ (0,a ) = (a
1
,a
2
) - (a
1
,0)
∈
P
2
⇒a
2
∈
P
2
⇒ (a
1
,a
2
)

∈
A
1 x
P
2

Vậy nếu (1,0)
∈
P thì P = A
1 x
P
2
với P
2
là iđêan nguyên tố của A
2
.
Tương tự nếu (0,1)
∈
P ta sẽ chứng minh được P có dạng P = P
1 x
A
2
với
P
1
là iđêan nguyên tố của A
1
.
Kết luận P là iđêan nguyên tố của X = A

1 x
A
2
khi và chỉ khi P có dạng
P = A
1 x
P
2
hoặc P = P
1 x
A
2
với P
1
là iđêan nguyên tố của A
1
, P
2
là iđêan
nguyên tố của A
2
.


Diệp Hoàng Ân

Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành


9

b) Nếu M
1
là iđêan tối đại của A
1
thì M
1 x
A
2
là iđêan tối đại của X = A
1 x

A
2
. Thật vậy, nếu M
1 x
A
2
= M không phải là iđêan tối đại của X thì tồn tại
iđêan B của X, B = B
1 x
A
2
sao cho M B X
≠
⊂
≠
⊂
⇒ M
1 x
A

2
B
≠
⊂
1 x
A
2
≠
⊂ A
1 x
A
2

⇒ M
1
≠
⊂ B
1
≠
⊂ A
1
Mặt khác vì B = B
1 x
A
2
là iđêan của X thì B
1
là iđêan của A
1
. Vậy M

1

không phải là iđêan tối đại của A
1
vô lý.
Tương tự nếu M
2
là iđêan tối đại của A
2
thì A
1 x
M
2
là iđêan tối đại của X.
Ngược lại, nếu M là là iđêan tối đại của X thì M là iđêan nguyên tố của X
do đó theo a) M có dạng M = M
1 x
A
2
hoặc M = A
1 x
M
2
. Trong đó M
1
, M
2
là
iđêan nguyên tố lần lượt của A1, A2. Gỉa sử M
1

không phải là iđêan tối đại
của A
1
thì tồn tại iđêan B
1
sao cho M
1
≠
⊂ B
1
≠
⊂ A
1
.
⇒ M
1 x
A
2
≠
⊂ B
1 x
A
2
≠
⊂ X. Vô lý, do M
1 x
A
2
là iđêan tối đại nên M
1

phải là
iđêan tối đại của A
1
.
Tương tự, ta chứng minh được M
2
là iđêan tối đại của A
2
. Bài toán được
chứng ming xong.
8. Chứng minh trong vành chính X mọi iđêan nguyên tố khác không đều tối
đại.
Chứng minh
Cho X là vành chính, P là iđêan nguyên tố khác không của X. Khi đó tồn
tại phần tử p
∈
X, p
≠
0, p không khả nghịch sao cho <p> = P.
∀
x,y
∈
X sao
cho xy
∈
P = <p>, thì x
∈
<p>, hoặc y
∈
<p>. Tức là p/ xy thì p/ x hoặc p/ y p

là phần tử nguyên tố nên nó cũng là phần tử bất khả quy nên <p> =P là
iđêan tối đại .
⇒
9. Giả sử X là vành chính và A là iđêan của vành X. Chứng minh.
a) Mọi iđêan của vành X/A đều là iđêan chính.
b) Vành thương X/A là vành chính khi và chỉ khi A là iđêan nguyên tố.
Giải
a) Giả sử B là iđêan của vành X/A thế thì
1−
P (B) là iđêan của X
(p:X
X/A là toàn cấu chính tắc). Vì X là vành chính nên
→
1−
P (B) = <b>. Suy
ra B = <
b
>
b)Theo a) mọi iđêan của X/A đều là iđêan chính. Do đó X/A là vành chính
X/A là miền nguyên ⇔
A là iđêan nguyên tố ⇔


Diệp Hoàng Ân

Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành


10
10. Trong vành Ơclit mọi iđêan nguyên tố khác không đều tối đại. Thật

vậy, vì vành Ơclit là vành chính nên lọi iđêan nguyên tố khác không đều tối
đại.
11. Giả sử X là vành Ơclit và A là iđêan của X. Chứng minh vành thương
X/A là vành Ơclit A là iđêan nguyên tố. ⇔
Giải
X/A là vành Ơclit thì X/A là miền nguyên. Khi đó A là iđêan nguyên tố của
X.
Ngược lại A là iđêan nguyên tố của vành Ơclit X thì A = {0} hoặc A là
iđêan tối đại. Khi đó X/A = X/{0}
≅
X là vành Ơclit Hoặc X/A là trường cũng
là vành Ơclit.
12. Chứng minh A [x]/<x>
≅
A
Do đó <x> là iđêan nguyên tố của A[x] nếu A là miền nguyên và là iđêan tối
đại của A[x] nếu A là trường.
Giải
Xét ánh xạ
θ
: A[x]
→
A


0
0
)0()( afxaxf
i
n

i
i
==
∑
=
a
Dễ thấy
θ
là toàn cấu vành và
Ker
θ
= {
}0)(/][)(
0
=∈=
∑
=
fxAxaxf
i
n
i
i
θ
={
}0/][)(
0
0
=∈=
∑
=

axAxaxf
i
n
i
i
={
>=<∈ xxxfxAxf })(/][)( M

Theo tính chất của đồng cấu vành ta có:
A[x]/<x>
A. Suy ra
≅
<x> là iđêan nguyên tố
⇔ A là miền nguyên
<x> là iđêan tối đại
⇔ A là trường
13. Cho A là vành giao hoán có đơn vị. chứng minh các khẳng định sao
tương đương:
a)A là trường
b) A[x] là vành Ơclit
c) A[x] là vành chính
Giải
Hiển nhiên ta có a) ⇒ b) c). TA cần chứng minh: c)⇒ a). Ta có thể
chứng minh theo hai cách:
⇒


Diệp Hoàng Ân

Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành

11
Cách 1: Giả sử A[x] là vành chính. Khi đó A[x]/<x> A là miền nguyên
do đó <x> là iđêan nguyên tố của A[x]. Do A[x] là vành chính nên <x> là
iđêan tối đại. Suy ra A[x]/<x>
≅
≅
A là trường.
Cách 2: Giả sử a
∈
A, a
≠
0, iđêan <x,a> là một iđêan chính nên <x,a>=
<d> với d
∈
A[x]. Vì d/x, d/a nên d khả nghịch, do đó <x,a> = A[x] tức là
1
∈
<x,a>.
Suy ra 1 =
)()( xagxxf +
với x = 0 ta có 1 = ag(0). Vậy a khả nghịch
và A là trường.
14. Cho I là iđêan của vành giao hoán có đơn vị A. Chứng minh rằng:
a)Tập con

= {
][ xI
IaxAxaxf

i
i
n
i
i
∈∈=
∑
=
/][)(
0

là một iđêan của vành đa thức A[x].
},....,1,0 n
i
=∀
b)A[x]/I[x]
(A/I)[x]
≅
c) I là iđêan nguyên tố của A
⇔ I[x] là iđêan nguyên tố của A[x].
d) I là iđêan tối đại của A thì I[x] có là iđêan tối đại của A[x] không ?
Giải
a) Dễ thấy tổng hai đa thức thuộc I[x] là một đa thức thuộc I[x].
Gọi

][)(
0
xIxaxf
i
n

i
i
∈=
∑
=

][)(
0
xAxbxg
i
n
i
i
∈=
∑
=
Thế thì
i
nm
i
i
xcxh
∑
+
=
=
0
)(
Trong đó
Ibac

i
lki
ki
∈=
∑
+=
do I là iđêan của A.
Vậy h(x)
∈
I[x]
Nên I[x] là iđêan của A[x]
b) Xét ánh xạ
])[/(][: xIAxA →
θ

i
n
i
i
i
n
i
i
xaxfxaxf
∑∑
==
==
00
)()( a
là một toàn cấu vành và

Ker
θ
= {
}0)(/][)(
0
=∈=
∑
=
fxAxaxf
i
n
i
i
θ


Diệp Hoàng Ân

Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành


12
= {
}0/][)(
00
=∈=
∑∑
==
i
n

i
i
i
n
i
i
xaxAxaxf

= {
}0/][)(
0
=∈=
∑
=
i
i
n
i
i
axAxaxf

= {
][}/][)(
0
xIIaxAxaxf
i
i
n
i
i

=∈∈=
∑
=
Theo định lý toàn cấu vành ta có:
A[x]/I[x] = A[x]/ker
θ

≅
(A/I)[x]
c) I là iđêan nguyên tố trong A
⇔ A/I là miền nguyên (A/I)[x] là miền
nguyên A[x]/I[x] là miền nguyên
⇔
⇔
⇔ I[x] là iđêan nguyên tố của A[x]
d) Nếu I là iđêan tối đại thì I[x] không là iđêan tối đại của A[x] vì A[x]/I[x]
(A/I)[x] không là trường.
≅
*15. Trong vành giao hoán có đơn vị luôn tồn tại iđêan tối đại.
Giải
Gọi T(A) là tập hợp tất cả các iđêan A của X khác X chỉ số hoá tất cả
các phần tử A của T(A). Ta có:
T(A) = {
IA ∈
α
α
/
}
Ta đặt:
A = : Khi đó A là một iđêan của X khác X và chứa tất cả các

iđêan của X khác X. Tức là A là cận trên của dây chuyền (
)
α
α
AU
X∈
α
A
I∈
α
. Khi
đó, theo bổ đề Zorn, trong T(A) = {( )
α
A
I∈
α
} tồn tại phần tử tối đại P.
Nghĩa là, với mọi iđêan M của X khác X sao cho P là con của M thì P = M.
Điều này có nghĩa là P là iđêan tối đại của X.
*16. Cho X là vành giao hoán, có đơn vị. Bất kỳ một phần tử không khả
nghịch của X đều thuộc một iđêan tối đại nào đó.
Giải
Với x là một phần tử không khả nghịch bất kỳ của x. Ta có <x>
≠
X.
Thật vậy, nếu <x> = X thì 1
∈
<x>. Khi đó tồn tại x
/

∈
X sao cho 1 = xx
/

∈
<x>
nghĩa là x khả nghịch vô lý.
Vì <x>
≠
X nên <x> chứa trong một iđêan tối đại nào đó. Nên x thuộc một
iđêan tối đại nào đó.
*17. Cho A là iđêan của X, A
≠
X. Nếu với mọi b ∉A đều khả nghịch thì A
là iđêan tối đại duy nhất của X.