Đề thi HSG Toán 9 năm học 2010-2011

UBND HUYỆN ĐĂK HÀ
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2010 – 2011
MÔN TOÁN 9
Ngày thi: 01/3/2011
Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1(1,0 điểm): Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) A = 3x
2
– 8x + 4 b) B = 4b
2
c
2
– (b
2
+ c
2
– a
2
)
2
.
Câu 2 (1,5 điểm): So sánh - và
Câu 3 (1,5 điểm): Tính A = khi a = +
Câu 4 (1,0 điểm):

Giải hệ phương trình sau.
2 2 2 2
2 2 2 2
( ) 185
( ) 65

x xy y x y
x xy y x y

+ + + =


− + + =


(*)
Câu 5 (1,0 điểm): Chứng minh rằng số N = 27195
8
– 10887
8
+ 10152
8
chia hết cho 26460.
Câu 6 (1,0 điểm): Cho tam giác ABC. Chứng minh: cos
4
B – sin
4
B = 2cos
2
B - 1
Câu 7 (3,0 điểm):
Cho đường tròn (O,R), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên AB lấy
điểm E sao cho AE = R, vẽ dây CF đi qua E. Tiếp tuyến của đường tròn tại F cắt đường
thẳng CD tại M, vẽ dây AF cắt CD tại N. Chứng minh rằng:
a) MF // AC.
b) CF là tia phân giác của góc BCD.

c) MO
2
= OD
2
+ MN
2
.
……………………… Hết………………………
Giám thị không giải thích gì thêm.
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 9
Câu Nội dung Điểm
Câu 1
a A = 3x
2
– 8x + 4 = 3x
2
– 6x – 2x + 4 0,25
0.5đ = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2) 0.25
b B = (2bc)
2
– (b
2
+ c
2
– a
2
)
2
= (2bc – b
2

– c
2
+ a
2
)(2bc + b
2
+ c
2
– a
2
) 0.25
0.5đ = [a
2
– (b – c)
2
][(b + c)
2
– a
2
]
= (a – b + c) (a + b – c) (b + c + a)(b + c – a) 0,25
Câu 2
1.5đ
- = -
= - = -
= - = = =
Vậy - =
0,25
0.5
0.5

0.25
Câu 3 1.5đ
A = =
A = ||

Ta có: a = + =
Nên A
8
15. 4 4
15
= − =
0,5
0,5
0,5
Câu 4 1đ
Cộng theo từng vế của hệ phương trình (*), ta được:
(x
2
+ y
2
) = 125 => x
2
+ y
2
= 25. Từ đó ta có xy = 12

2 2 2
25 ( ) 49
12 12
x y x y

xy xy
 
+ = + =
⇔
 
= =
 

7
12
7
12
x y
xy
x y
xy
 + =



=

⇔

+ = −




=



Vậy hệ phương trình (*) có nghiệm: (3;4); (4;3); (-3;-4); (-4;-3).
0,25
0.5
0.25
Câu 5
1đ
Ta có 26460 = 2
2
.3
3
.5.7
2
N = (27195
8
– 10887
8
) + 10152
8
. Ta nhận thấy 10152 = 2
3
.3
3
.47 nên chia hết
cho 2
2
.3
3
. Mà (27195

8
– 10887
8
) chia hết cho (27195 – 10887) = 16308.
Do 16308 = 2
2
.3
3
.151 nên (27195
8
– 10887
8
) chia hết cho 2
2.
3
3
Suy ra N chia hết cho 2
2
.3
3
(1)
N = 27195
8
– (10887
8
- 10152
8
). Ta nhận thấy 27195 = 3.5.7
2
.37 nên chia hết

cho 5.7
2
. Mà (10887
8
- 10152
8
) chia hết cho (10887 – 10152) = 735.
Do 735 = 3.5.7
2
nên (10887
8
- 10152
8
) chia hết cho 5.7
2
Suy ra N chia hết cho 5.7
2
(2)
Từ (1) và (2) suy ra N chia hết cho tích 2
2
.3
3
.5.7
2
= 26460.
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu 6 1đ Ta có: cos

4
B – sin
4
B = (cos
2
B – sin
2
B)(cos
2
B + sin
2
B)
Do cos
2
B + sin
2
B = 1 nên ta có cos
4
B – sin
4
B = cos
2
B – sin
2
B
Mà sin
2
B = 1 – cos
2
B

Nên cos
4
B – sin
4
B = cos
2
B – (1 – cos
2
B) = 2cos
2
B - 1
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 7
3đ
a
1đ
K
x
M
N
R
F
E
O
D
C
B

A
Vì OA = OC = R. Theo định lí Pi-ta-go, ta có AC = R= AE
Tam giác ACE cân tại A =>
·
ACE
=
·
AEC
Mặt khác
·
CFx
= (sđ
»
BC
+ sđ
»
FB
) và
·
AEC
= (sđ
»
AC
+ sđ
»
FB
)
Mà AC = BC nên
»
AC

=
»
BC

Do đó nên
·
ACE
=
·
CFx
(so le trong) => MF//AC
0,25
0,25
0,25
0,25
b
1đ
Vẽ tia FO cắt đường tròn (O) tại K.
Vì MF//AC (cmt) và MF
⊥
OF => FK
⊥
AC
=>
»
KA
=
»
KC
và

»
FA
=
»
FC
Mặt khác
»
AD
=
»
BC
nên
»
FD
=
»
FB
=>
·
FCD
=
·
FCB
Vậy CF là tia phân giác của góc BCD.
0,25
0,25
0,25
0,25
c
1đ

Ta có:
·
AFM
= (sđ
»
AD
+ sđ
»
FD
)

·
DNF
= (sđ
»
AC
+ sđ
»
FD
)
Mà
»
AC
=
»
AD
=>
·
AFM
=

·
DNF
Nên tam giác MNF cân tại M => MF = MN
Ta có OM, OF, MF là độ dài 3 cạnh của tam giác vuông MFO.
Mà OD = OF = R; MN = MF
Suy ra OM, OD, MN cũng là độ dài 3 cạnh của một tam giác vuông.
Vậy MO
2
= OD
2
+ MN
2
.
0,25
0,25
0,25
0,25
* Ghi chú: - Nếu HS làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Làm tròn điểm tới 0,5đ (0,25 -> 0,5; 0,75 -> 1,0)