toán bất đẳng thức

BẤT ĐẲNG THỨC - GTLN VÀ GTNN

Ngọc Vinh

1
Bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiakôpxki
1) bất đẳng thức Cauchy.
Với
n321
a, ,a,a,a
là những sôù dương , ta luôn có
n
n321
n321
a aaa
n
a aaa



Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
n
aaaa 
321

2) Bất đẳng thức Bunhiakôpxki hay Cauchy-Svaxơ
Với mọi
n321
a, ,a,a,a
,
n221

b, ,b,b,b
ta luôn có
2
n
2
3
2
2
2
1
2
n
2
3
2
2
2
1
nn332211
a bbba aaa
ba bababa



Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
n
n
3
3
2

2
1
1
b
a

b
a
b
a
b
a


Đặc biệt .
   
  































0b,a
ba
4
b
1
a
1
0b,a
ab4baba
0b,a
ab4ba
0b,a
0ba

22

Chúng ta nên nhận biết trước điểm rơi của các bất đẳng thức thò việc chứng minh có thể dễ hơn
một ít.
Ngoài ra có nhiều cách chứng minh bất đẳng thức như khảo sát , phương pháp đồ thò , phương
pháp tương đương , vectơ , tam thức ,điều kiện có nghiệm ……
I.Cauchy ngược dấu
Bài 1.
Cho
0,, cba
và
3cba 
. Tìm giá trò nhỏ nhất
222
a1
c
c1
b
b1
a
A







Giải
(Với bài này ta nhận xét do tính đối xứng của (a;b;c) mà điểm rơi của đẳng thức có thể là

1 cba
)
Ta có
2
ab
a
b1
a
ab2b1
b1
ab
a
b1
a
2
2
2
2
2














Cũng chứng minh tương tự và cộng vế theo vế ta được :
 
1)cabcab(
2
1
cbaA 

Mà:
   
( )
2
3 3 2ab bc ca a b c ab bc ca        

Vậy từ
 
1
và
 
2
ta được
2
3
A

BẤT ĐẲNG THỨC - GTLN VÀ GTNN

Ngọc Vinh

2
Đẳng thức xảy ra khi :








c1
b1
a1
và








ac
cb
ba
hay
1cba 

Bài 2.
Chứng minh rằng


số dương
cba ,,
,
d
ta luôn có:

2
dcba
ad
d
dc
c
cb
b
ba
a
22
3
22
3
22
3
22
3











Giải
Ta có
3 2
3
2 2 2 2
2 2
2 2
2
2
a ab
a
a b
a
a b a b
a b
a b ab

 

  
 



 




;
3 3
2 2 2 2
2 2
b c c d
b c
b c c d
   
 
;
2
a
d
ad
d
22
3



Cộng vế theo vế ta được đpcm:
2
dcba
ad
d
dc
c

cb
b
ba
a
22
3
22
3
22
3
22
3










Bài 3.
Chứng minh rằng

số dương
cba ,,
,ta luôn có:

3

22
3
22
3
22
3
cba
acac
c
cbcb
b
baba
a 







Giải
Ta có
 
 
3
3
2 2 2 2
2 2
2 2
3 3

2
ab a b
a
ab a b
a
a a b
a a
a ab b a ab b
a ab b ab
a b ab
 

 


    
   

 

 


Chứng minh tương tự ta có.
   
;
3 3
2 2 2 2
3 3 3 3
bc b c ca c a

b b c c c a
b b c c
b bc c bc c ca a ca
 
 
       
   

Cộng vế theo vế ta được điều phải chứng minh:
3
cba
acac
c
cbcb
b
baba
a
22
3
22
3
22
3








Bài 4.

a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác với chu vi 2p. Chứng chứng minh rằng :
     
) ; )
1 1 1 1 1 1
2
8
abc
a p a p b p c b
p a p b p c a b c
 
        
 
  
 

Giải
a) p dụng bất đẳng thức Cauchy với 2 số dương ta có .
BẤT ĐẲNG THỨC - GTLN VÀ GTNN

Ngọc Vinh

3
           
    
;1 2
2 2 2 2
3

2 2
p a p b c p b p c a
p a p b p b p c
p c p a b
p c p a
     
       
  
   

Trong đó
p
cba


2
nhân vế theo vế
   
321
ta được :
   
8
abc
cpbpap 
(đpcm)
b) như chứng minh trên ta có .
;
1 1 4 4 1 1 4 4
1 1 4 4
p a p b p a p b c p b p c p b p c a

p c p a p c p a b
     
         
  
    

Cộng vế theo vế ta được đpcm:











 c
1
b
1
a
1
2
cp
1
bp
1
ap

1

Bài tập.
1) Cho
0,, cba
và
3cba 
. Chứng minh rằng
1
a21
c
c21
b
b21
a
3
2
3
2
3
2







2) Cho
0,,, cba

ø Chứng minh :
abc
1
abcac
1
abccb
1
abcba
1
333333







3) Cho
0,,, cba
và
4dcba 
. Chứng minh
2
ba1
d
ad1
c
dc1
b
cb1

a
2
2
2
2
2
2
2
2









4) Cho
0,,, cba
. Chứng minh
2
cba
ac
ca
cb
bc
ba
ab 








5) Cho
20,10  yx
. Chứng minh :
   
4421

yxyx
.Đẳng thức xảy ra khi nào
6) Cho
z,y,x
là các số dương thỏa mãn
20
z
1
y
1
x
1


7) Chứng minh rằng .
5
y2xz
1

x2zy
1
z2yx
1







II. Điểm rơi của Cauchy .
Bài 1.
Cho
0,, yx
và
1yx
22

. Tìm giá trò nhỏ nhất
33
yxA 

Giải
(Với bài này ta nhận xét do tính đối xứng của (x;y) mà điểm rơi của đẳng thức có thể là
2
1
yx 
). áp dụng Cauchy cho 3 số dương.
. . ; . .

3 3 3 3 2 3 3 3 3 2
3 3
1 1 1 1 1 1
3 3 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2
x x x x x y y y y y       

Cộng vế theo vế ta được .
( )
3 3 2 2
1 1 1
2 2 3
2 2 2
x y x y A     
.
2
1
. AMin

Bài 2.
BẤT ĐẲNG THỨC - GTLN VÀ GTNN

Ngọc Vinh

4
Cho
0,, zyx
và
3zyx
222


. Tìm giá trò nhỏ nhất
444
zyxA 

Giải
(Với bài này ta nhận xét do tính đối xứng của (x;y) mà điểm rơi của đẳng thức có thể là
1 yx
)
áp dụng Cauchy cho 4 số dương .
. . ; . .
. .
4
4 4 4 4 2 4 4 4 4 2
4
4
4 4 4 4 2
1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 4
1 1 4 1 1 4
x x x x x y y y y y
z z z z z
         
    

cộng vế theo vế ta được .
( ) ( )
4 4 4 2 2 2 4 4 4
2 6 4 12 3x y z x y z x y z          
.
3A.Min 

Bài 3.
Cho
0,, yx
,
ba 
và
1yx
aa

. Tìm giá trò nhỏ nhất
bb
yxA 

Giải
áp dụng Cauchy cho b số dương ta có .
.
( )
.
1 1 1
2 2 2 2
a
b b b
a a a a
b b b b a
a
b a
bx
x x x



       



Tương tự ta có .
.
( )
.
1 1 1
2 2 2 2
a
b b b
a a a a
b b b b a
a
b a
by
y y y


       



Cộng vế theo vế ta được :
a.
)ab(
a
b

2
b
2
1
)ab(2A.a



.
( ) ( )
. ( ) min
1 1 1
2
2 2 2 2 2
a a a a
b a b a b a b a
b
a A b a A A
   
      

Bài 4.
Cho
0,y,x 
, và
1byax
22

. Tìm giá trò nhỏ nhất
33

dycxA 

Giải
Gọi số
m
là số dương giả đònh và áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương .
3
2
2
3
33
m.ax3m.
c
a
cxcx 
;
3
2
2
3
33
m.by3m.
d
b
dydy 

Cộng vế theo vế ta được:
3
2
3

2
3
m3.m.
d
b
c
a
A2 









(*)
Đẳng thức xảy ra khi .
m.
d
b
c
a
A
m
c
b
dy
m

c
a
cx
2
3
2
3
2
3
3
2
3
3



















do đó từ (*) ta được:
32323
33
3
2
3
2
3
)cbda(
dc
mm3m.
d
b
c
a
2












BẤT ĐẲNG THỨC - GTLN VÀ GTNN

Ngọc Vinh

5
Khi đó giá trò nhỏ nhất là :
2323
cbda
cd
A



Bài tập.
1) Cho
0z,y,x 
, và
3zyx
444

. Tìm giá trò nhỏ nhất
666
zyxA 

2) Cho
0,y,x 
, và
1yx
22

. Tìm giá trò nhỏ nhất

2
2
yxA
33


3) Cho
0,y,x 
, và
1y4x3
22

. Tìm giá trò nhỏ nhất
33
y6x5A 

4) Cho
0,y,x 
, và
1y4x3
22

. Tìm giá trò nhỏ nhất
33
y6x5A 

5) Cho
0,y,x 
, và
1y8x7

22

. Tìm giá trò nhỏ nhất
33
y10x9A 

III.Cauchy thuận- phép tương đương-Bunhiacôpxki hay Cauchy-Svaxơ.
Bài 1.
1) Cho ba số
cba ,,
bất kỳ Chứng minh rằng :
cabcabcba
222


Giải
Cách1
p dụng Cauchy cho hai số dương ta luôn có .
ababba 22
22

.Tương tự :
;
2 2 2 2
2 2 2 2b c bc bc c a ca ca
     

Cộng vế theo vế ta ra điều phải chứng minh .
Cách2
Dùng phép biến đổi tương đương ,ta chứng minh

( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2a b c ab bc ca a b c ab bc ca          

     
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 0
0
a b ab b c bc c a ca
a b b c c a
        
      

Bất đẳng thức luôn luôn đúng với mọi
cba ,,

Cách3
dùng tam thức bậc hai
bccba)cb(a)a(f
222


Ta cần chứng minh
aaf  0)(

( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
4 3 6 3 3 0

a
b c b c bc b cb c b c             

Vậy
a0)a(f 
hay
cabcabcba
222


Bài 2.
Cho
cba ,,
ba số dương thỏa mãn điều kiện :
2
c1
1
b1
1
a1
1






. Chứng minh rằng
125,0c.b.a 

Giải
Từ giả thuyết ta có .
1 1 1 1 1 1
2 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
b c
a b c a b c b c
         
       
ù
áp dụng Cauchy cho hai số dương ta có .
  
c1b1
bc
2
c1
c
b1
b
a1
1








BẤT ĐẲNG THỨC - GTLN VÀ GTNN

Ngọc Vinh

6
Tương tự ta có :
  
a1c1
ca
2
a1
a
c1
c
b1
1







  
b1a1
ab
2
b1
b
a1
a

c1
1








Nhân vế theo vế ta được .
    
. . ,
1 1 1 1
8 0 125
1 1 1 1 1 1 8
abc
abc
a b c a b c
   
     

Bài 3.
Cho ba số
0,, cba
. Chứng minh rằng :
   
 
3
3

1111 abccba 

Giải
Ta có .
   
(*)abccabcabcba1c1b1a1 

áp dụng Cauchy với ba số dương ta được.
 
;
2
3
3
3 3a b c abc ab bc ca abc     

           
 
(*)
2
2
3 3
3
1 1 1 1 3 3 1 1 1 1a b c abc abc abc a b c abc             

Bài 4.
Cho ba số
0,, cba
. Thỏa mãn :
abccabcab 

CMR:
3
222
222222






ca
ca
bc
bc
ab
ab
(*)
Giải
Từ giả thuyết ta có
0c,b,a 

abccabcab 
1
c
1
b
1
a
1


 
3
111111111
*
222222222

aacccbbba
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki
ta có .
222222
zyx.111zyx 

Do đó ta có .







b
1
b
1
a
1
3
1
b

1
b
1
a
1
222
;







c
1
c
1
b
1
3
1
c
1
c
1
b
1
222








a
1
a
1
c
1
3
1
a
1
a
1
c
1
222

Cộng vế theo vế ta được :













c
1
b
1
a
1
3
3
1
cb
c2a
bc
b2c
ab
a2b
222222


3
cb
c2a
bc
b2c
ab

a2b
222222







Bài 5.
Cho ba số
c,b,a
bất ky. Chứng minh rằng :
   
cbaabc3cabcab
2


Dùng phép biến đổi tương đương.
BẤT ĐẲNG THỨC - GTLN VÀ GTNN

Ngọc Vinh

7
   
         
2
2 2 2 2
3
0 0

ab bc ca abc a b c
ab bc ca abc a b c ab bc bc ca ca ab
    
             

Bất đẳng thức cuối cùng luôn luôn đúng nên bất đẳng thức cần chưng minh đúng .
Bài 6.
Cho ba số
0 cba
bất ky.ø Chứng minh rằng :
222222
cba
9
c
1
b
1
a
1



Giải
Đặt











2
2
2
cz
by
ax
từ đó bài toán được chứng minh là
Với
0,0,0  zyx
chứng minh :
zyx
9
z
1
y
1
x
1



( )( )1 1 1 9
9
xy yz zx x y z
x y z x y z xyz
   

    
 

áp dụng Cauchy cho ba số dương ta có :
 
;
2
3
3
3 3xy yz zx xyz x y z xyz     

Nhân vế theo vế ta được .
(
zxyzxy 
)(
zyx 
)
xyz9

9
xyz
)zyx)(zxyzxy(



(đpcm)
Bài tập.
1) Cho
dcba ,,,
ba số dương thỏa mãn điều kiện

3
d1
1
c1
1
b1
1
a1
1








chứng minh rằng:
81
1
c.b.a 

2) Chứng minh rằng với mọi
yx,
dương ta có:
 
yx2
y
1
x

1
yx
22

.
3) Chứng minh rằng với mọi
yx,
dương ta có :
 
4
y
1
x
1
xy1 










IV.Cauchy - Cauchy-Svaxơ ket hơïp khảo sát
Bài 1.
Giả sử
yx,
là những số dương thỏa mãn điều kiện:

1yx 

Hãy tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức
xy
1
xyP 

Giải
áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương
4
1
xyxy2yx1 

đặt
4
1
t0xyt 
.
/
; ( , ]
2
1 1 1
1 0 0
4
P t p x
t t
      

Để phương trình có nghiệm:
4

17
)
4
1
(PP 
,
2
1
yx
1yx
4
1
xy
4
17
Pmin 









BẤT ĐẲNG THỨC - GTLN VÀ GTNN

Ngọc Vinh

8

Bài 2.
Cho
zyx ,,
thay đổi
1zyx
222

tìm giá trò lớn nhất , và nhỏ nhất của
zxyzxyzyxP 

Giải
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxky ta có
2 2 2 2 2 2
1 1 1 3x y z x y z x y z          

Ta lại có :
 
zx2yz2xy21zyx
2

. Đặt
3tzyxt 

2
1
tt
2
1
)t(fP
2


trê đoạn
3t 
. Đạo hàm
( ) ; ( )1 0 1f t t f t t
 
     

Bảng biến thiên.


x



3


1

3






)(tf

-

0
+

31


31



)(tf


1


Từ bảng biến thiên ta có :
31Pmax;1Pmin 

Bài 3.
Cho
,, yx
thay đổi thỏa mãn điều kiệ:









1yx
0y
0x
,hãy tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhấtcủa biểu
thức :
yx
93P 


Giải
2
2
9
3 9 3 3 3
3
x x x y x
x
P P      
. Đặt
   
3.1t1,0x,3t
x


ta khảo sát hàm số
2
t
9
tP 

trên đoạn
 
3,1
đạo hàm :
,
3
3
18
1 0 18P P t
t
 
    

Ta có










4)3(P
4
9
3)18(P
10)1(P
3

3









10Pmax
4
9
3Pmin
3

Bài tập

1) Cho
z,y,x
thay đổi là những số dương sao cho
1zyx
222

tìm giá trò lớn nhất , và nhỏ nhất
của:
zxyzxyzyxP 

2) Tìm giá trò lớn nhất , và nhỏ nhất của hàm số:
1

x1
x4
cos
x1
x2
sin
22





y =