Hình học tọa độ trong không gian và những sai lầm của học sinh

Saùng kieán kinh nghieäm
Đào
Anh Tuấn
Hình học tọa độ trong không gian và những sai lầm của học sinh
A.Lý do chọn đề tài:
- Toán học thường được xem là bộ môn khoa học căn bản, tuy vậy mỗi giờ học
toán thường rất căng thẳng và thường học sinh quan niệm rằng toán học là
những công thức, quy tắc,…
- Cùng một vấn đề, toán học bao giờ cũng có thể luận giải được bằng phương
pháp giải tích, phương pháp đại số, phương pháp hình học, hoặc bằng sự kết
hợp của các phương pháp đó.
-Với phương pháp toạ độ trong không gian chúng ta đã có sự kết hợp của tất cả
các phương pháp trên. Việc làm này đã làm cho việc học hình học không bắt
buộc phải tự dạy cụ thể và trực quan với những hình vẽ không gian 3 chiều,
tránh được tính trừu tượng, nhằm đạt tới sự khái quát hoá của hình học không
gian nói riêng và của toán học nói chung.
- Lý thuyết của phương pháp toạ độ trong không gian bao gồm tất cả những lý
thuyết của phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và những lý thuyết mở rộng
trong không gian với một khối lượng kiến thức đáng kể.
- Bài tập của PP toạ độ trong KG rất đa dạng, số lượng tương đối nhiều. Muốn
giải tốt các bài tập này đòi hỏi học sinh phải biết nhận dạng các đối tượng cơ
bản của HHKG, biết tìm sự liên hệ giữa chúng, biết kết hợp giữa PP toạ độ với
HHKG.
- Do thời gian phân phối chương trình cho phần này còn hạn chế: Có những bài
cả lý thuyết và bài tập chỉ có 1 tiết. Bản thân một số giáo viên chưa nhiều kinh
nghiệm. Đa số học sinh học toán với kỹ năng tính toán kém, tư duy tưởng tượng
HHKG không có, kiến thức HHKG lớp 11 nắm không vững , chỉ coi trọng công
thức, chưa hiểu đúng vai trò của lý thuyết với bài tập …
- Qua nhiều năm giảng dạy và qua theo dõi các bài làm, bài kiểm tra của học
sinh tôi nhận thấy các em có những sai lầm phổ biến sau:
1) Về lý thuyết:

Trang1
Saùng kieán kinh nghieäm
Đào
Anh Tuấn
Do trương trình sgk được viết ngắn gọn nên:
- Học sinh dễ ngộ nhận tất cả những khái niệm có trong HH phẳng là có trong
HHKG. Ví dụ như véc tơ pháp tuyến của đường thẳng.
- Học sinh không biết nhận ra sự giống và khác nhau gữa các công thức tính
theo toạ độ của PP toạ độ trong KG và PP toạ độ trong mặt phẳng. Dẫn đến tâm
lý căng thẳng cho rằng công thức phải thuộc là quá nhiều, khó nhớ.
- Các em không biết xâu chuỗi các kiến thức liên quan trong nhiều bài khác
nhau.
Ví dụ: có thể tìm được vtpt của mặt phẳng, nhưng khi tìm vtcp của đường thẳng
thì lại khó khăn.
- Kiến thức lý thuyết ở mỗi bài thường nhiều và tương đối khó, nhưng thời gian
để phân tích, chứng minh cho hs hiểu sâu lại không có.
2) Về bài tập:
- Học sinh không nhớ nhiều các kiến thức về PP toạ độ trong mặt phẳng có liên
quan đến PP toạ độ trong KG nên khi áp dụng làm các bài tập cụ thể gặp khó
khăn.
- Học sinh thường sử dụng công thức một cách khuôn mẫu, không biết vận
dụng triệt để các kiến thức của hình học KG lớp 11 có liên quan.
Ví dụ như khi tính thể tích một hình chóp học sinh thường áp dụng máy móc
công thức tính :
],),[(
6
1
ADACAB
mà đôi khi không ngĩ tới công thức tính thể tích
hình chĩp : V= 1/6.h.dt(đáy)

. Công thức được sử dụng đơn giản hơn nhiều.
- Kỹ năng trình bày, diễn đạt của Hs chưa tốt. Nhiều khi đứng trước một nội
dung đã hiểu nhưng lại không biết diễn đạt như thế nào, hoặc nếu có thì diễn đạt
không đủ ý, nhiều khi còn lủng củng.
- Đa số các em không biết phân loại các dạng bài tập và các phương pháp chung
cho từng loại bài tập đó Vì thế khi gặp các bài tập tương tự nhưng hỏi theo
cách khác các em lại tưởng như đó là một loại bài tập mới.
Trang2
Saựng kieỏn kinh nghieọm
o
Anh Tun
- ng trc mt bi tp m gi thit cho l nhng to , phng trỡnh ca cỏc
i tng c bn trong KG, cỏc em khụng bit liờn h gia gi thit vi kt lun
nh th no. Tc l khụng bit bt u t õu, khụng bit s dng trớ tng
tng HHKG v hỡnh v tỡm mi liờn h gia cỏc i tng ú.
T nhng nhn nh trờn, tụi xin a ra mt s gii phỏp nhm khc phc
nhng thiu sút ca hs, giỳp cỏc em hiu v gii c nhng bi tp loi ny.
T ú giỳp cỏc em phn khi hn khi hc mụn Toỏn, t tin hn khi bc vo
k thi hc k II, k thi TN THPT, k thi i hc. Nhng k thi ma cỏc bi tp
loi ny luụn luụn cú.
ú l lý do tụi chn ti trờn.
B)NI DUNG:
I) Mt s gii phỏp hn ch nhng sai sút v kin thc v k nng ca hc
sinh:
1) Vn lý thuyt:
- Khi dy lý thuyt a s cỏc giỏo viờn phi dy nhanh vỡ phõn phi chng
trỡnh rt hn ch v thi gian. Khi ú nhiu nh lý khụng hoc khụng chng
minh k c, hay mt s cụng thc tớnh khụng c ch ra, dn dt n nú
mt cỏch bi bn, rừ rng con ng i ti nú. T ú vic hc cụng thc cu
hc sinh rt mỏy múc, dn n khú thuc, do khụng c hiu mt cỏch rừ

rng, ch bit l phi thuc vn dng chỳng.
- Ngoi ra nu khụng i mi phng phỏp dy thỡ khụng cú thi gian cng
c cỏc kin thc liờn quan v a ra cỏc dng bi tp thng gp, ng thi ch
rừ nhng dng bi tp ú c vn dng lý thuyt tng ng no.
Chớnh vỡ vy yờu cu giỏo viờn khi dy phn lý thuyt ny trc ht phi phõn
bit cho hc sinh rừ trng tõm ca mi bi, phi th hin cỏch ghi bng sao cho
hc sinh ghi ớt nht nhng trong tõm nht trỏnh mt thi gian.
*) Khi dy cỏc cụng thc tớnh theo to nh : biu thc to ca tớch vụ
hng, di vec t, gúc gia hai vộc t, to vộc t tng, hiu hai vộc t,
Trang3
Saùng kieán kinh nghieäm
Đào
Anh Tuấn
điều kiện vuông góc giữa hai véc tơ, điều kiện cùng phương giữa hai véc tơ,
phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng, phương trình
mặt cầu, phương trình đường tròn,…Giáo viên có thể đặt câu hỏi: Các công
thức trên có quen không? Có những công thức nào không giống trong hình học
phẳng? Giúp các em trả lời được các câu hỏi trên, như vậy giáo viên đã gợi cho
học sinh thấy được sự giống và khác nhau với các công thức tương tự ở phương
pháp toạ độ trong mặt phẳng. Từ đó giúp học sinh dễ nhớ các công thức và
tránh nhầm lẫn khi vận dụng.
*) Giáo viên phải hướng dẫn học sinh xâu chuỗi các kiến thức có liên quan
trong nhiều bài khác nhau để có hướng chọn phương pháp khi gặp một bài tập.
VD: Khi nhận biết về 3 véc tơ đồng phẳng thì có thể sử dụng định nghĩa nếu bài
toán có hình vẽ cụ thể cho trước, nhưng cũng có thể sử dụng định lý về điều
kiện đồng phẳng của 3 véc tơ ( SGK.HH12.trang 71, dựa và tích có hướng của
hai vectơ ) nếu giả thiết cho các véc tơ với những toạ độ của chúng.
*) Ở mỗi một kiến thức lý thuyết cụ thể giáo viên có thể gợi ý cho học sinh các
dạng bài tập áp dụng để từ đó khi bắt tay vào giải bài tập các em có định hướng
rõ ràng hơn.

VD: Khi học về phương trình mặt phẳng gio vin cần cho học sinh biết rằng
một mặt phẳng xẽ xc định được khi biết một đường thẳng có hướng vuông góc
với nó và một điểm nằm trên mặt phẳng, để học sinh biết được khi viết mộ
phương trình mặt phẳng cần phải biết những yếu tố gì.
*) Khi dạy có thể sắp xếp lại thứ tự trình bày của kiến thức trong SGK cho hợp
lý hơn với thực tế vận dụng kiến thức đó vào bài tập.
VD: Khi xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng trong KG không nên chỉ ra việc
cho 2 đt bởi PTCT như SGK mà cho:
Đt (d) qua M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) , có VTCP
( )
cbau ;;
Đt (d’) qua M
0
’(x
0
’;y
0
’;z
0
’) , có VTCP
( )
';';'' cbau

( học sinh sẽ hiểu rằng đt cho bởi pt dạng nào đi nữa thì cũng phải khai thác từ
mỗi đt một điểm và một VTCP của nó )
Trang4
Saựng kieỏn kinh nghieọm
o
Anh Tun
Gv s dng hỡnh v minh ho giỳp cỏc em phõn bit c hai kh nng:
2 t cựng phng ( song song hoc trựng) v 2 thng khụng cựng phng
( ct hoc chộo ), sau ú mi phõn bit rừ 2 v trớ tng i trong mi kh nng
trờn. Qua quỏ trỡnh phõn tớch, so sỏnh cỏc v trớ tng i ca cỏc t i ti kt
lun:
+)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
000000
':':'':':'::' zzyyxxcbacbadd ==
+)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
000000
':':'':':'::'// zzyyxxcbacbadd =
+) (d) ct (d)
[ ]





=


0' . ',

':':'::
00
MMuu
cbacba
+) (d) v (d) chộo nhau

[ ]
0'M . ',
00
Muu
Chỳ ý vic tớnh
[ ]
'M . ',
00
Muu
ch thc hin khi hai vộc t ch phng khụng cựng
phng, trỏnh nhng phn tớnh toỏn tha.
*) i mi phng phỏp trong mi gi dy: Nu bi lý thuyt quỏ di khụng
th thi gian cho vic chng minh cỏc lý, cụng thc mt cỏch k lng thỡ
gv cú th ch ng son , dy bng giỏo ỏn in t
( trỏnh mt thi gian ghi bng ca c gv v hs).
Ngoi ra cũn cú th s dng c nhng hỡnh v sinh ng minh ho cho phn
chng minh.
Vớ d:
*) Lp cụng thc tớnh th tớch ca t din:
So sỏnh th tớch ca mt t din ABCD v th tớch ca mt khi hp cú
3 cnh xut phỏt t nh B l BA, BC, BD:
Coi ABCD l mt hỡnh chúp nh A, ỏy l
ABC
, BCED l mt ỏy ca

Trang5
Saùng kieán kinh nghieäm
Đào
Anh Tuấn
Hình hộp, ta thấy hình chóp và hình hộp có cùng
chiều cao AH. Nên:
V
ABCD
=
ABCDBCD
SAHSAH
2
1
.
3
1
.
3
1
=
∆
=
'''.
6
1
DEACBCED
V
=
[ ]
BABDBC .,

6
1
zzzzz
*) Một cách tính véc tơ chỉ phương của một đường thẳng cho bởi phương
trình tổng quát:
[ ]
βα
nnu
d
,
=
Hình vẽ minh hoạ:
2) Vấn đề bài tập:
- Số lượng bài tập ở mỗi mục đều rất nhiều nên không thể sửa tất cả trong giờ
bài tập, vì vậy giáo viên phải yêu cầu đại trà cả lớp làm các bài tập cơ bản bắt
buộc, đồng thời không giới hạn cho những hs khá, giỏi.
Trang6
A
B
C
D
H
E
D’
E’
C’
d
u
d
α

n
β
n
[ ]
βα
nn ,
β
α
Saùng kieán kinh nghieäm
Đào
Anh Tuấn
-khi dạy xong một phần lý thuyết, ngoài việc củng cố những lý thuyết cơ bản,
trọng tâm của bài , gv cần định hướng cho hs những thể loại bài tập có thể sẽ
gặp mà vận dụng lý thuyết vừa học. Nêu vấn đề về phương pháp để hs có
hướng về nhà tự tìm hiểu và giải bài tập. Trong giờ bài tập gv cùng các em giải
quyết các vấn đề đó và cuối cùng chốt lại thành phương pháp cụ thể cho từng
loại .
VD: Khi học xong bài PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU, qua các ví dụ được thể
hiện trong bài gv có thể gợi ý cho hs nêu lại các dạng bài tập có thể hỏi. Cụ thể
là những dạng bài tập sau:
+) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu cho bởi pt dạng:
x
2
+ y
2
+ z
2
-2ax – 2by – 2cz + d = 0 (1)
+) Tìm điều kiện của tham số để pt dạng (1) là pt của một mặt cầu.
+) Xác định tâm và bán kính của đường tròn là giao tuyến của một mặt

phẳng và một mặt cầu cho trước phương trình.
+) Lập phương trình mặt cầu có tâm I(a;b;c) và tiếp xúc với mp (P) cho
bởi pt :Ax + By + Cz + D = 0
+) Lập pt mặt cầu đi qua 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng
+) Xét vị trí tương đối giữa một mặt cầu và một mặt phẳng đã cho pt.
+) Viết pt tiếp diện của một mặt cầu cho trước tại một điểm cho trước
hoặc tiếp diện song song với một mặt phẳng cho trước.
Đồng thời nêu phương pháp cơ bản cho từng loại.
- Khi ôn tập cần phân loại các dạng bài tập thường gặp khi thi, nhắc lại phương
pháp giải cho từng loại, cho bài tập hs giải để ghi nhớ phương pháp và rèn
luyện kỹ năng. Cụ thể có những loại bài tập sau:
a) Viết pt của đường thẳng trong KG.
Phương pháp chung:
+) Xác định được VTCP và một điểm của đt rồi sử dụng PTTS
hoặc PTCT để viết.
Trang7
Saùng kieán kinh nghieäm
Đào
Anh Tuấn
+) Xác định được pt của 2 mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến là
đường thẳng phải tìm. (Chú ý sử dụng cho dạng bài tập viết pt đt là hình chiếu
vuông góc của một đt cho trước trên một mặt phẳng cho trước)
b) Viết pt của mặt phẳng:
Phương pháp chung:
Từ giả thiết tìm được toạ độ một điểm và VTPT của mặt phẳng , sau đó sử dụng
công thức: A(x – x
0
) + B(y - y
0
) + C( z – z

0
) = 0.
Hoặc dùng VTPT viết pt mp ở dạng Ax + By + Cz + D = 0, thế toạ độ của điểm
mà mp đó đi qua vào pt để tìm D. Từ đó kết luận pt của mp.
c) Viết pt của mặt cầu:
Phương pháp chung:
+) Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của mặt cầu rồi sử dụng pt dạng:
( x – a )
2
+ ( y – b )
2
+ ( z – c )
2
= R
2
để viết.
+) Gọi pt mặt cầu dạng : x
2
+ y
2
+ z
2
-2ax – 2by – 2cz + d = 0, sử dụng giả thiết
lập được một hệ pt với các ẩn là a,b,c,d. Giải hệ tìm được các ẩn đó và kết luận
pt mặt cầu.
d) Viết pt, xác định tâm và tính bán kính của đường tròn trong KG:
Phương pháp chung: Tìm được đường tròn là giao tuyến của một mặt phẳng và
một mặt cầu nào đó,suy ra pt đường tròn:




=+++
=+−−−++
0
0222
222
DCzByAx
dczbyaxzyx

Lập hệ pt tìm toạ độ tâm H của đường tròn:







=+++
=−
=−
=−
0DCzByAx
tCcz
tBby
tAax
Tính bán kính của đường tròn: r =
22
IHR −
e) Tính khoảng cách, góc giữa các đối tượng cơ bản của HHKG:
Phương pháp chung:

+) Xác định rõ các đối tượng cần tính khoảng cách và vị trí tương đối gữa
chúng để sử dụng công thức cho chính xác. Nếu là khoảng cách giữa 2 đường
thẳng song song thì được tính bằng k/c từ một điểm bất kỳ trên đt này đến đt
Trang8
Saùng kieán kinh nghieäm
Đào
Anh Tuấn
kia, sử dụng công thức tính k/c từ một điểm đến một đt. Khi 2 đt chéo nhau thì
sử dụng trực tiếp công thức k/c giữa 2 đt chéo nhau. Khi 2 đt trùng nhau thì k/c
giữa chúng bằng 0.
Nếu là k/c giữa 2 mặt phẳng song song thì tính bằng k/c từ một điểm bất kỳ của
mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
+) Xác định góc: Cách nhớ tóm tắt: Khi tính góc giữa hai đối tượng giống nhau
thì tính côsin của góc đó còn tính góc giữa hai đối tượng khác nhau thì tính sin.
+) Đôi khi còn dựa vào diện tích tam giác, thể tích khối hộp, thể tích khối chóp
để tính k/c giữa 2 đường thẳng chéo nhau, k/c từ một điểm đến một đường
thẳng, k/c từ một điểm đến một mặt phẳng…
g) Tìm chu vi, diện tích tam giác, thể tích khối hộp, thể tích tứ diện.
Phương pháp chung: Sử dụng toạđộ của các véc tơ, tích vô hướng, tích có
hướng của hai véc tơ, độ dài véc tơ và các công thức:
[ ] [ ] [ ]
CBCABABCACABS
ABC
,
2
1
,
2
1
,

2
1
===
∆
CBACABCV
ABC
++=
∆
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
DA . ,CA . ,BA . ,AD . ,
6
1
DD . ,CC . ,BB . ,AA . ,
''''
.
''''
DCDBCDCBBDBCACABV
DCDACDCBBABCADABV
ABCD
DCBAABCD
====
====

h) Loại bài tập chứng minh:
+) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
Phương pháp: Lấy lần lượt trên hai đt hai véc tơ khác véc tơ không, tính tích vô
hướng của chúng và khẳng định được bằng 0.
+) Chứng minh hai đt song song.
Phương pháp: Lấy lần lượt trên hai đt các véc tơ chỉ phương, dùng toạ độ chỉ ra

hai véc tơ đó cùng phương và không cùng nằm trên một đt.
+) Chứng minh 3 điểm thẳng hàng:
Trang9
Saùng kieán kinh nghieäm
Đào
Anh Tuấn
Phương pháp: Lấy hai véc tơ tạo bởi 3 điểm và chứng minh chúng cùng
phương.
+) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
Phương pháp: Lấy trên đt một véc tơ chỉ phương
a
, trên mặt phẳng lấy cặp véc
tơ chỉ phương
{ }
cb,
. CM





⊥
⊥
c
b
a
a
, từ đó kết luận.
+) Chứng minh một đường thẳng song song với một mặt phẳng :
Phương pháp: Lấy trên đt một véc tơ chỉ phương

a
, trên mặt phẳng lấy cặp véc tơ chỉ
phương
{ }
cb,
. Chứng minh: đt không thuộc mặt phẳng và
[ ]
cba ,⊥
, từ đó kết luận.
II)Thời gian thực hiện:
- Tiết: 22. 23. 24. 25: Hệ toạ độ ĐềCác vuông góc trong KG- toạ độ của
véc tơ và của đểm.
- Tiết: 26, 27, 28: Phương trình tổng quát của mặt phẳng.
- Tiết: 32, 33, 34, 35, 36, 37: Phương trình của đường thẳng.
- Ôn tập chương.
- Tiếp tục ôn trong thời gian học phụ đạo và ôn tập cuối năm.
III) Một số sai lầm của học sinh khi giải bài tập và cách khắc phục:
Ví dụ 1: Viết pt mặt phẳng (P) đi qua điểm M(-1;2;3) và có VTPT
)6;5;4(n

Bài giải của HS Sai lầm – Cách khắc
phục
Bài giải đúng
Pt mp (P) có dạng:
A(x-x
0
)+B(y-y
0
)+C(z-z
0

)=0
02432
0)6(3)5(2)4(1
=−++−⇔
=−+−+−−⇔
zyx
zyx
*) Sai lầm:
Học sinh đã sử dụng
ngược vai trò của toạ độ
VTPT và điểm mà mp đi
Mặt phẳng (P) có
VTPT
)6;5;4(n
nên có
pt dạng:
4x+5y +6z + D =0
Trang10
Saùng kieán kinh nghieäm
Đào
Anh Tuấn
qua khi thế vào công thức.
*) Khắc phục:
Để tránh sự nhầm lẫn này
gv hướng dẫn học sinh sử
dụng cách giải khác:
Sử dụng toạ độ VTPT viết
pt mp về dạng:
Ax+By+Cz+D=0
Sau đó thế toạ độ của

điểm M vào pt tìm D rồi
kết luận ptmp.
Điểm M (-1;2;3) thuộc
(P) nên ta có :
4.(-1) +5.2 + 6.3 + D =
0
24
−=⇔
D
Suy ra pt của mp (P):
4x+5y+6z -24 = 0
Bài tập tương tự: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(2;-2;5) và
vuông góc với đường thẳng có phương trình:
11
3
5
12
−
=
−
=
− zyx
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng và mặt phẳng
( )
02-z-5y3x :
1
1-z

3
9-y

4
12-x
:)( =+==∆
α
1) Tìm toạ độ giao điểm của đt
( )
∆
và mặt phẳng
( )
α
2) Viết phương trình đt
( )
'
∆
là hình chiếu vuông góc của
( )
∆
trên mặt phẳng
( )
α
Bài giải của HS Sai lầm – Cách khắc phục Bài giải đúng
1) Giải hệ pt :





=−−+
−

=
−
=
−
0253
1
1
3
9
4
12
zyx
zyx
Tìm được nghiệm là
( 0;0;-2)
2) Đt
( )
'
∆
là hình chiếu
vuông góc của
( )
∆
trên
*) Sai lầm: Ở câu 2) hs đã
hiểu sai sự xác định của đt
trong KG, coi sự xác định
một đt giống như trong mặt
phẳng. Đó là một đt có thể
được xác định bởi một điểm

và một VTPT của nó.
Vì thế đã dùng một véc tơ
1) Giải hệ pt :





=−−+
−
=
−
=
−
0253
1
1
3
9
4
12
zyx
zyx
Tìm được nghiệm là
( 0;0;-2)
Trang11
α
β
)(
∆

α
n
I
( )
'
∆
∆
u
Saùng kieán kinh nghieäm
Đào
Anh Tuấn
mặt phẳng
( )
α
Nên đt
( )
'
∆
đi qua điểm I
và nhận VTPT là
[ ]
( )
11;7;8,
'
−==
∆
∆
α
nun
Suy ra pt của đt

( )
'
∆
là:
-8(x – 0) +7(y –0)+11(z +
2) = 0
0221178 =+++−⇔ zyx

vuông góc với đt làm VTPT
và viết pt kiểu như phương
trình tổng quát của đt trong
mặt phẳng.
*) Cách khắc phục: Trước
khi giải bài tập loại này giáo
viên lưu ý cho hs: Một đt
trong KG chỉ có khái niệm
VTCP mà không có khái
niệm VTPT, vì một đt trong
KG có thể vuông góc với
nhiều đt có phương khác
nhau.
Sử dụng hình vẽ để minh
hoạ điều này:
Từ đó phân tích để hs hiểu
được sự xác định của đt
( )
'
∆
:
( )

'
∆
=
( ) ( )
βα
∩
Trong đó
( )
β
là mặt phẳng
đi qua đt
( )
∆
và vuông góc
với mp
( )
α
.
2) Gọi
( )
β
là mặt phẳng đi
qua đt
( )
∆
và vuông góc
với mp
( )
α
Mp

( )
β
đi qua điểm I
và nhận VTPT là
[ ]
( )
11;7;8, −==
∆
αβ
nun
Suy ra pt của mp
( )
β
là:
-8(x – 0) +7(y –0)+11(z +
2) = 0
0221178 =+++−⇔ zyx

Đt
( )
'
∆
=
( ) ( )
βα
∩
Suy ra pt của
( )
'
∆

là:



=+++−
=−−+
0221178
0253
zyx
zyx
Trang12
Saùng kieán kinh nghieäm
Đào
Anh Tuấn
Bài tập tương tự: Tìm phương trình hình chiếu vuông góc của đt (d) :
1
1
4
2
3
2
−
=
+
=
−
z
y
x

Lên mặt phẳng (P) : x + 2y + 3z + 4 = 0
Ví dụ 3: Lập phương trình đường vuông góc chung của 2 đường thẳng:
(d) :
1
9
2
3
1
7
−
−
=
−
=
− zyx
và (d’) :
3
1
2
1
7
3 −
=
−
=
−
− zyx
Bài giải của HS Sai lầm – Cách
khắc phục
Bài giải đúng

Đt (d) đi qua điểm
M
0
(7;3;9) và có VTCP
( )
1;2;1 −u
Đt (d’) đi qua điểm
M
0
’(3;1;1) và có VTCP
( )
3;2;7' −u
.
Gọi
( )
∆
là đường vuông
góc chung của (d) và
(d’) thì
( )
∆
có VTCP
[ ]
)16;4;8(,
'
=
d
d
uu
Hay

( )
4;1;2=
∆
u
Gọi (P) là mp chứa
( )
∆

và (d) suy ra (P) là mp
chứa (d) vàvuông góc
với (d’) . Như vậy mp
(P) qua M
0
và có VTPT
*) Sai lầm: Học
sinh đã nghĩ rằng
(P) là mp chứa
( )
∆

và (d) suy ra (P) là
mp chứa (d) và
vuông góc với (d’),
như vậy là đã ngộ
nhận rằng (d’) luôn
góc với (d). Thực tế
2 đt (d) và (d’) giả
thiết cho có thể
vuông góc với nhau
cũng có thể không,

và ở bài này là
không.
Tương tự hs đã sai
lầm ở sự xác định
*) Cách 1:
Đt (d) đi qua điểm M
0
(7;3;9) và có
VTCP
( )
1;2;1 −u
Đt (d’) đi qua điểm M
0
’(3;1;1) và
có VTCP
( )
3;2;7' −u
.
Gọi
( )
∆
là đường vuông góc chung
của (d) và (d’) thì
( )
∆
có VTCP
[ ]
)16;4;8(,
'
=

d
d
uu
Hay
( )
4;1;2=
∆
u
Gọi (P) là mp chứa
( )
∆
và (d) suy
ra (P) là mp qua M
0
và nhận VTPT
là:
[ ]
)3;6;9(, −−=
∆
uu
d
hay
)1;2;3( −−=
P
n
Suy ra pt mp (P):
3(x-7) – 2(y-3) – (z-9) = 0
Trang13
Saùng kieán kinh nghieäm
Đào

Anh Tuấn
( )
3;2;7
'
−
d
u
suy ra pt
(P) :
-7(x -7) + 2(y -3) +
+3(z -9) = 0
016327 =+++−⇔ zyx

Gọi (Q) là mp chứa
( )
∆

và (d’) suy ra (Q) là mp
chứa (d’) và vuông góc
với (d) . Như vậy mp
(Q) qua M
0
’ và có
VTPT
( )
1;2;1 −
d
u
Suy ra pt (Q) :
(x -3) +2(y -1) -(z -1) =

0
042 =−−+⇔ zyx

( ) ( ) ( )
( )



=−−+
=+++−
∆⇒
∩=∆
042
016327
:
zyx
zyx
pt
QP
mặt phẳng (Q).
*) Khắc phục: GV
hướng dẫn hs :
Trước hết phải kiểm
tra xem (d) và (d’)
có vuông góc với
nhau hay không.
Nếu chúng có
vuông góc thì giải
theo cách của các
em là đúng. Còn

nếu chúng chéo
nhau và không
vuông góc thì thông
qua hình vẽ: Giả sử
đt
( )
∆
đã dựng
được.
với
( )
∆
là đường
vuông góc chung
của d và d’suy ra
( )
∆
có VTCP là
[ ]
)16;4;8(,
'
=
d
d
uu
Tiếp đến gv chỉ ra
cho hs thấy mp (P)
chứa
( )
∆

và (d)
chính là mp chứa
M
0
và song song với
phương của
∆
u
nên
0623 =−−−⇔ zyx
Gọi (Q) là mp chứa
( )
∆
và (d’).
Như vậy mp (Q) qua M
0
’ và có
VTPT
[ ]
)11;34;5(,
'
−=
∆
uu
d
suy ra pt
(Q) :
5(x -3) + 34(y -1) -11 (z -1) = 0
( ) ( ) ( )
( )




=−−+
=−−−
∆⇒
∩=∆⇒
=−−+⇔
03811345
0623
:
03811345
zyx
zyx
pt
QP
zyx
*) Cách 2: Gọi HK là đoạn vuông
góc chung của (d) và (d’). H thuộc
(d) , K thuộc (d’).
Ptđt (d)





−=
+=
+=
⇔

tz
ty
tx
9
23
7
( )
1;2;1 −⇒
d
u
Ptđt (d’)





+=
+=
−=
⇔
sz
sy
sx
31
21
73
( )
3;2;7
'
−⇒

d
u

H là một điểm thuộc (d) và K là
một điểm thuộc (d’) suy ra:
( )
( )
( )
stststKH
sssK
tttH
38;222;74
31;21;73
9;23;7
−−−+++⇒
++−
−++
KH là đường vuông góc chung
của (d) và (d’)
⇔





⊥
⊥
⇔
'd
d

uKH
uKH
Trang14
Saùng kieán kinh nghieäm
Đào
Anh Tuấn
nhận VTPT là
[ ]
∆
uu
d
,
. Tương tự
cho mp (Q) qua M
0
’
và nhận VTPT là
[ ]
∆
uu
d
,
'
.
Hoặc có thể viết
phương trình đường
vuông góc chung
HK bằng cách tìm
cụ thể toạ độ của 2
đầu đoạn vuông góc

chung, với 2 giả
thiết H,K lần lượt
thuộc (d), (d’)và
HK cùng vuông góc
với (d), (d’).Từ đó
viết pt của
( )
∆
theo
kiểu pt đt đi qua 2
điểm phân biệt.
Hướng dẫn hs thứ
tự trình bày bài
toán.
)1;1;3();9;3;7(
0
0
0626
0
0)38(3
)222(2)74(7
0)38(
)222(2)74(
KH
s
t
st
st
st
stst

st
stst
⇔



=
=
⇔



=+
=+
⇔







=−−+
+−++++−
=−−−
−−++++
Suy ra
( )
∆
chính là đt KH và có pt:






+=
+=
+=
tz
ty
tx
49
3
27
Bài tập tương tự: Viết pt đường vuông góc chung của 2 đt (a) và (b)
(a) :
1
2
3
1
2
1 −
=
−
=
+ zyx
, (b) :
25
2
1

1
−
=
+
=
− zyx

Ví dụ 4 : Tìm điểm M’ đối xứng với M(4;3;10) qua đt
( )
5
3
4
2
2
1
:
−
=
−
=
−
∆
zyx
Bài giải của HS Sai lầm – Cách khắc
phục
Bài giải đúng
Trang15
P
Q
( )

∆
(d)
(d’)
H
K
Saựng kieỏn kinh nghieọm
o
Anh Tun
t
( )

qua I( 1;2;3) cú VTCP
).5;4;2(u
Gi (x;y;z) l to
ca M, ta cú :
( ) ( )
[ ] [ ]
( ) ( )





=+
+++
=++

=
=++






=


630)24(
152245
070542
,',
05).10(4).3(2).4(
'
2
22
;';
yx
xzzy
zyx
u
uIM
u

uIM
zyx
dd
uMM
MM
dn n khụng phng trỡnh
gii tỡm 3 n x;y;z.
Khụng hon thnh bi toỏn.
*) Sai lm: Hs ó khụng
khai thỏc iu kin
xỏc nh M l im i
xng ca M qua
( )


trong KG. Cha hiu
ỳng v v trớ i xng
ny. Khụng ch cn iu
kin:
( ) ( )
( )
1
'
;';





=

MM
dd
uMM
M cn cú MM v
( )


ct nhau, MM phi nm
trờn mt phng vuụng
gúc vi
( )

ti trung
im H ca MM. Nh
vy phi thụng qua to
ca im H mi tỡm
c to ca M
*) Khc phc: Khi gii
loi bi tp ny gv cn
lu ý hs s dng hỡnh v
tỡm iu kin trit
cho M l im i xng
ca M qua
( )

. Vic tỡm
to ca M l phi tỡm
3 to x;y;z, nờn
cn cú 3 phng trỡnh

3 n thỡ mi gii v tỡm
c.
T gi thit ta cú t
( )


quaI(1;2;3)cúVTCP
).5;4;2(u
Mp (P) qua M v
vuụng gúc vi
( )

cú
pt:
2(x-4)+4(y-3)+5(z-
10)=0
070542 =++ zyx
Pt tham s ca
( )

:





+=
+=
+=
tz

ty
tx
53
42
21
Gi H l hỡnh chiu ca
M trờn
( )

suy ra H l
giao ca
( )

v mp (P).
To H l nghim
ca h:
Trang16
P
M
M
( )

Saùng kieán kinh nghieäm
Đào
Anh Tuấn
Có thể dùng hình vẽ phụ
minh hoạ cho hình ảnh
MM’ thoả đk (1) nhưng
M’ lại không là điểm đx
của M qua

( )
∆
.
( )
∆





=
=
=
⇔







=−++
+=
+=
+=
8
6
3
070542
53

42
21
z
y
x
zyx
tz
ty
tx
H là trung điểm của
MM’ nên :
( )
6;9;2'
8
2
10
6
2
3
3
2
4
'
'
'
M
z
y
x
M

M
M
⇒









=
+
=
+
=
+
Bài tập tương tự: Trong Kg với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(1;2;-1)
và đt (d) :
2
2
2
2
3
1
−
−
=
−

−
=
+ zyx
Tìm điểm N đối xứng với M qua (d), từ đó tìm độ dài đoạn
MN.
( Đề thi ĐH – CĐ năm học 1997 )
Ví dụ 5 :
Trong Kg với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC với A(0;0;1), B(3;0;-2),
C(0;3;-2).
a) Viết phương trình mặt cầu (S) qua 3 điểm A,B,C và có tâm I nằm trên mặt
phẳng (Oxy).
b) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Trang17
M
M’
Saựng kieỏn kinh nghieọm
o
Anh Tun
Bi gii ca HS Sai lm Cỏch khc phc Bi gii ỳng
a) HS1: Gi pt mt cu (S)
l:
x
2
+y
2
+z
2
-2ax-2by-2cz+d = 0
(S) qua A,B,C nờn ta cú:

=+++
=+++
=+
04649
04649
021
dcb
dca
dc
Khụng iu kin tỡm
a,b,c,d, suy ra khụng vit
c pt mt cu (S)
HS2: Tõm I ca mt cu (S)
thuc mp (Oxy) suy ra
I(0;0;c)
Nh th pt mt cu (S) cú
dng: x
2
+y
2
+z
2
-2cz+d = 0
(S) qua A,B,C nờn ta cú:

=+++
=+++
=+
(3) 0449
(2) 0449
(1) 021
dc
dc
dc
Tr tng v (2) cho (1) ta
cú:
6c +12=0 , suy ra c = -2
Th vo (1) ta cú d = -5
Vy pt mt cu (S) l:
x
2
+y
2
+z
2
+ 4x - 5 = 0
Cõu a)*) Sai lm: HS1 ch
s dng gi thit mt cu
(S) qua 3 im A,B,C m
quờn khụng chỳ ý cũn mt
gi thit cho tõm mt cu
na.

HS2 s dng sai iu kin
ca tõm I. Em ó ngh rng I
thuc mp (Oxy) thỡ honh
v tung ca nú u
bng 0. Dn ti lp h pt
tỡm to tõm sai v dn ti
ỏp s sai.
*) Cỏch khc phc:
- Chỳ ý cho hs khi mun
vit c pt ca mt mt
cu thỡ phi tỡm c y
cỏc giỏ tr ca a,b,c,d
trong pt dng khai trin
hoc a,b,c,R
2
trong dng
tng quỏt. Nu trong quỏ
trỡnh gii m cha cú
iu kin tỡm c tt c
cỏc giỏ tr ú thỡ phi xem
li xem ó s dng cỏc
gi thit ca bi toỏn cho
hay cha.
- Ngoi ra cn phi khai
thỏc ỳng cỏc gi thit.
a) Tõm I ca mt cu
(S) thuc mp (Oxy) suy
ra I(a;b;0)
Nh th pt mt cu (S)
cú dng:

x
2
+y
2
+z
2
-2ax-2by+d =
0
(S) qua A,B,C nờn ta
cú:





=
=
=






=++
=++
=+
1
2
2

0649
0649
01
d
b
a
db
da
d
Suy ra pt mt cu (S) :
x
2
+y
2
+z
2
- 4x - 4y - 1 =
0
Trang18
Saùng kieán kinh nghieäm
Đào
Anh Tuấn
I thuộc mp toạ độ nào thì
toạ độ còn lại bằng 0.
- Củng cố lại các pt của các
mp toạ độ:
(Oxy) : z = 0
(Oyz) : x = 0
(Oxz) : y = 0.
- Hướng dẫn hs các bước

trình bày lời giải:
+) Xác định sự đặc biệt của
toạ độ tâm I, suy ra dạng pt
mặt cầu (S).
+) Sử dụng giả thiết A,B,C
thuộc mặt cầu để lập hệ pt
ẩn là a,b,d.
+) Giải hệ pt tìm a,b,d
+) kết luận pt mặt cầu (S).
Câu b):
Gọi I(x;y;z) là tâm đường
tròn ngoại tiếp
ABC∆
( )
( ) ( )
( )
( )



=+
=+
⇔








++−+=
=−++
+++−=
=−++
⇔





=
=
⇔



=
=
⇔
1266
1266
2)3(
1
23
1
(*)
2
22
2
22

2
2
2
2
22
22
22
zy
zx
zyx
zyx
zyx
zyx
ICIA
IBIA
ICIA
IBIA
b)
*) Sai lầm: Học sinh đã sử
dụng phương pháp tìm toạ
độ tâm đường tròn ngoại
tiếp như trong HH phẳng,
không hiểu rõ rằng trong
KG có vô số những điểm
cách đều điểm A, B, C.
Trong số đó chỉ có điểm
nằm trên mp (ABC) mới là
tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC∆
.

*) Khắc phục: Gv giúp hs
b)
( ) ( )
[ ]
( )
9;9;9,
3;3;0 AC ,3;0;3
=⇒
−−
ACAB
AB
Mp (ABC) có VTPT
( )
1;1;1n
01
:)(
=−++
⇒
zyx
ABCptmp
Mặt cầu (S) qua 3 điểm
A,B,C suy ra:
Đường tròn ngoại tiếp
ABC
∆
là giao tuyến của
mp(ABC) với mặt cầu
Trang19
Saùng kieán kinh nghieäm
Đào

Anh Tuấn
Không đủ tìm được toạ độ
tâm I, không viết được pt
đường tròn ngoại tiếp
ABC
∆
hiểu rõ tập hợp những điểm
cách đều A,B,C trong KG là
trục (d) của đường tròn
ngoại tiếp
ABC∆
, tâm I của
đường tròn này là giao điểm
của đường thẳng (d) với mp
(ABC). Như vậy ngoài đk
(*) toạ độ tâm I còn phải
thoả mãn pt mp (ABC) nữa.
Ngoài ra pt của một đường
tròn trong KG phải là một
hệ gồm pt một mặt phẳng và
pt của một mặt cầu, chúng
cắt nhau tạo nên giao tuyến
là đường tròn đó.
Vậy việc viết pt của một
đường tròn trong KG chính
là việc tìm ra pt của một mp
và một mặt cầu cùng chứa
đường tròn phải tìm, sau đó
ghép các pt đó thành một
hệ.

(S)nên có pt:





=−++
=
=−−−++
01
0
144
222
zyx
yxzyx
Bài tập tương tự: Trong KG với hệ toạ độ Oxyz cho A,B,C lần lượt là giao
điểm của mặt phẳng (P) có phương trình: x+y+z-1=0 với các trục Ox,Oy,Oz.
a) Viết pt mặt cầu (S) qua 4 điểm A,B,C, O.
b) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Ví dụ 6: Tìm khoảng cách sau:
a) Giữa hai đt
( ) ( )





+=
+−=
−=

∆





−=
−−=
+=
∆
tz
ty
tx
tz
ty
tx
33
32
32
:'
1
1
1
:
Trang20
B
C
A
O
(d)

Saùng kieán kinh nghieäm
Đào
Anh Tuấn
b) Giữa hai đt
( ) ( )
1
1
21
3
:'
11
1
2
1
:
−
==
−
−
∆
−
=
+
=
−
∆
zyxzyx
c) Từ điểm M(2;3;1) đến đt
( )
∆

:



=−+−
=+−+
0552
012
zyx
zyx
Bài giải của HS Sai lầm – Cách khắc phục Bài giải đúng
a)
( )
∆
qua M
0
(1;-1;1) và
có VTCP
)1;1;1( −−u
( )
'∆
qua M
0
’(2;-2;3) và
có VTCP
( )
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ]

( )
1
2
2
2' .',
2',)0;0;2(',
',
' .',
)2;1;1(')1;1;1('
';
00
00
';
00
==⇒
=
=⇒=
=⇒
−=⇒−
∆∆
∆∆
d
MMuu
uuuu
uu
MMuu
d
MMu
b)
( )

∆
qua M
0
(1;-1;0) và
có VTCP
)1;1;2( −u
( )
'∆
qua M
0
’(3;0;1) và có
a)*) Sai lầm:
-Hs đã tính
[ ]
',uu
sai.
- Không biết hai đường thẳng
đã cho ở vị trí tương đối nào,
cứ tính khoảng cách giữa hai
đt bằng công thức k/c giữa
hai đt chéo nhau.
*) Khắc phục:
- Hướng dẫn cách đặt toạ độ
của hai véc tơ chỉ phương
thẳng cột, lập định thức tính
véc tơ tích có hướng của
chúng, tránh được nhầm lẫn:
1 -1 -1 1
-1 1 1 -1
- Nhắc lại cách tính định thức

- Xét vị trí tương đối giữa hai
đt trước khi sử dụng công
thức tính khoảng cách . Nếu 2
đt song song thì k/c giữa
chúng bằng k/c từ một điểm
bất kỳ trên đt này đến đt kia.
Nếu hai đt cắt nhau hoặc
trùng nhau thì k/c quy ước
bằng 0. Nếu 2 đt chéo nhau
a)
( )
∆
qua M
0
(1;-1;1) và
có VTCP
)1;1;1( −−u
( )
'∆
qua M
0
’(2;-2;3) và
có VTCP
)1;1;1(' −u
( )
2;1;1'
00
−=MM
Nhận thấy:
1 : (-1): (-1)=

=(-1):1:1
2:)1(:1 −≠
( ) ( )
'// ∆∆⇒
[ ]
( )
( )
[ ]
6
3
23
111
099
,'
0;3;3,'
00
';
00
==
++
++
=
=⇒
=
∆∆
u
uMM
d
uMM
b) Cách 1:

( )
∆
qua M
0
(1;-1;0) và có
VTCP
)1;1;2( −u
( )
'∆
qua M
0
’(3;0;1) và có
VTCP
Trang21
Saùng kieán kinh nghieäm
Đào
Anh Tuấn
VTCP:
( )
[ ]
[ ]
( )
( )
[ ]
3
65
6
10
114
5.11).1(2.3

'M
' .',
1;1;2
35',
)5;1;3(',
1;2;1'
00
00
';
'00
=
=
++
+−+
=
=⇒
=
=⇒
−=⇒
−
∆∆
M
MMuu
d
MM
uu
uu
u
thì tính k/c giữa chúng theo
công thức k/c giữa hai đt chéo

nhau.
b) *) Sai lầm:HS đã sử dụng
công thức một cách khuôn
mẫu, trong đó có nhiều đại
lượng khó nhớ do đó các em
đã lẫn lộn khi sử dụng công
thức và tính toán sai.
*) Khắc phục:- Để tránh
việc sử dụng công thức khó
nhớ, trong câu này giáo viên
có thể hướng dẫn hs tính theo
một cách khác. Trước hết
kiểm tra để khẳng định 2 đt
chéo nhau. Sau đó sử dụng
cách tính k/c giữa hai đt chéo
nhau được học trong HHKG
lớp 11. Đó là được tính bằng
k/c giữa một trong hai đt đó
với mp (P) song song với nó
và chứa đt kia. Cụ thể được
tính bằng k/c từ một điểm đến
một mp.
- Giáo viên hướng dẫn thứ tự
trình bày cho bài toán:
+ Tìm trên mỗi đt một điểm
và một VTCP.
( )
[ ]
( )
[ ]

015.11).1(2.3
.',
1;1;2
)5;1;3(',
1;2;1'
'00
'00
=+−+=
=
=
−=⇒
−
MMuu
MM
uu
u
( )
[ ]
[ ]
7
352
',u
'M . ',u
00
';
=
=
∆∆
u
Mu

d

Cách 2:
( )
∆
qua M
0
(1;-
1;0) và có VTCP
)1;1;2( −u
( )
'∆
qua M
0
’(3;0;1) và có
VTCP
)1;2;1(' −u
[ ]
)5;1;3(', −=⇒ uu
Gọi (P) là mặt phẳng
chứa
( )
∆
và song song
với
( )
'∆
. Suy ra mp (P)
qua M
0

và nhận
[ ]
',uu
làm
VTPT. Pt mp (P) :
3(x-1)-(y+1)+5(z-0) = 0
( ) ( )( ) ( )( )
7
352
2519
41.53.3
0453
;','';
0
=
++
−+
=
===⇒
=−+−⇔
∆∆∆ PMP
ddd
zyx
Trang22
Saùng kieán kinh nghieäm
Đào
Anh Tuấn
+ Tìm tích có hướng của hai
VTCP đó.
+Viết pt mp (P) qua M

0
’ và
nhận VTPT là
[ ]
',uu
+ Tính k/c cần tìm bằng k/c
từ điểm M
0
’ đến mp (P).
Bài giải của HS Sai lầm – Cách khắc phục Bài giải đúng
c) HS 1:
( )
6
67

114
1132.2
;
=
++
+−+
=
∆M
d
HS 2:
( )
30
30

2514

51.532.2
;
=
++
−+−
=
∆M
d
c) *) Sai lầm: -HS đã nhầm
cách tính k/c từ một điểm đến
một đt thành cách tính k/c từ
một điểm đến một mặt phẳng,
với công thức gần giống như
công thức tính k/c từ một
điểm đến một đt trong HH
phẳng.
- Sử dụng chưa hết giả thiết
của bài toán nhưng lại không
biết như vậy là sai.
*) Khắc phục:- Chú ý cho
hs thấy rằng đây là bài toán
tìm k/c từ một điểm đến một
đt trong KG. Ta phải khai
thác trên đt đã cho một điểm
và một VTCP của nó và kết
hợp sử dụng công thức tính
k/c từ một điểm đến một đt
trong KG
- Hướng dẫn các bước trình
bày cho bài toán:

c) Từ pt đt
( )
∆
:



=−+−
=+−+
0552
012
zyx
zyx
Đặt z = t, thế vào hệ pt
trên suy ra pt tham số của
đt
( )
∆
:





=
+−=
−=
tz
ty
tx

33
1

Suy ra
( )
∆
đi qua M
0
(1;-
3;0) và cóVTCP
)1;3;1(−u
)1;6;1(
0
=MM
[ ]
( )
[ ]
11
94
191
8149

,
)9;2;3(,
0
;
0
=
++
++

=
=⇒
−=⇒
∆
u
uMM
d
uMM
M
Trang23
Saùng kieán kinh nghieäm
Đào
Anh Tuấn
+ Chuyển pt đt về dạng tham
số từ đó tìm được toạ độ M
0
và VTCP
)1;1;2( −u
+ Tính
[ ]
uMM ,
0
+ Tính
( )
[ ]
u
uMM
d
M
,

0
,
=
∆
Bài tập tương tự: Tìm khoảng cách giữa :
a)
( )



=++
=−+
052
0932
:d A(2;7;3)
zy
yx
b)
( ) ( )



=+−
=−+





=

=
=
022
0
:a'
3t 3z
t 8y
t
:
zyx
zyx
x
a
c)
( ) ( )



=−+
=−+
∆



=+
=+−
∆
08
082
:'

032
032
:
zx
zy
yx
yx
C. KẾT LUẬN
- Khắc phục sai lầm của học sinh thường mắc phải khi giải bài tập về
phương pháp toạ độ trong không gian: là mối băn khoăn của rất nhiều
giáo viên dạy khối 12. Phần lớn những sai lầm này là do các em chưa
thực sự quan tâm đến cách học toán nói chung và cách học hình học
không gian nói riêng, mà không ai hết các thầy cô giáo phải là những
người tạo ra hứng thú học tập cho học sinh. Tìm tòi, cải tiến phương
pháp dạy để học sinh có cơ hội tiếp thu được bài học một cách nhẹ nhàng
hơn, hiệu quả hơn, khắc phục được những sai lầm cơ bản đã nêu ở trên.
- Các chú ý về mặt giảng dạy lý thuyết cũng như phân loại các dạng bài tập
thường gặp khi thi là kinh nghiệm của cá nhân tôi cùng với sự học hỏi
đồng nghiệp liên tục sau nhiều năm giảng dạy khối 12.
Trang24
Saùng kieán kinh nghieäm
Đào
Anh Tuấn
- Các bài tập được đưa ra để giải quyết có ở SGK và một số sách tham
khảo cũng như ở các đề đã thi những năm trước, được chọn với mục
đích:
+ Các dạng bài tập đó là những bài tập cơ bản , thường có trong các kỳ
thi và hs thường mắc phải sai lầm .
+ Thời gian làm bài tập ở trên lớp không nhiều nên các bài tập tương tự
được đưa ra nhằm tạo điều kiện cho hs có bài tập tự luyện đúng hướng,

đúng trọng tâm. Sau đó giáo viên có thể kiểm tra lại để nắm được học
sinh đã khắc phục được những sai lầm đã nêu trong thể loại bài tập đó
hay chưa. Từ đó giáo viên có thể tiếp tục dẫn dắt, điều chỉnh cho phù
hợp.
- Những giải pháp khắc phục sai lầm trên đây, tôi đã thực hiện qua nhiều
năm giảng dạy của mình ở những giờ dạy theo phân phối chương
trình và cả những giờ phụ đạo, ôn thi tốt nghiệp.
- Vận dụng các giải pháp này đã làm giảm đi nhiều những sai sót thường
gặp của đa số học sinh. Kết quả là qua so sánh bài kiểm tra giữa chương,
kiểm tra trắc nghiệm cuối chương của các năm, phần trăm bài trên trung
bình tăng đáng kể: Từ 30% đến 35%.
- Các tài liệu tôi đã tham khảo để thuận lợi cho việc viết sáng kiến kinh
nghiệm này:
1. Sách giáo khoa hình học 12 ( sách chỉnh lý hợp nhất năm
2000) Tác giả : Văn Như Cương – Tạ Mân.
2. Để học tốt Hình học 12.Tác giả : Nguyễn Vĩnh Cận.
3. Sai lầm phổ biến khi giải toán ( Nhà Xuất bản giáo dục )
Tác giả : Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh
Quang.
4. Các đề thi tốt nghiệp THPT các năm học từ năm 1996 đến
nay.
Trang25