Một số đề thi HSG cấp huyện năm học 2010-2011

Phòng GD&ĐT Huyện Yên Thành
Đề thi chọn học sinh giỏi huyện năm học 2010-2011
Môn: Toán - Lớp 9
(Thời gian làm bài:120 phút)
B i 1 : Cho biu thc: A =
1
3
x
x
+

+
3
x
x +
+
5 6 24
9
x x x x
x
+

a. Tỡm tp xỏc nh v rỳt gn A.
b. Tỡm giỏ tr nh nht ca A.
B i 2 : Gii cỏc phng trỡnh:
a.
1 4 3x x + + =
b. x
2
+ 9x + 20 = 2
3 10x +

B i 3 Chng minh cỏc bt ng thc:
a. a
2
+b
2
+1

ab +a +b
b.
2
( )
2
a b+
+
4
a b+


a
b
+ b
a
B i 4 : Cho tam giỏc ABC cõn nh A cú gúc A nhn, ng cao BH Chng minh:
a. AB
2
+BC
2
+CA
2
=CH

2
+2AH
2
+3BH
2
(1)
b. Nu
à
0
A 60=
thỡ h thc (1) tr thnh 3AB
2
= 4BH
2
.
c. Gi D i xng vi C qua A. Ly im M thuc cnh BD, im N thuc tia
i ca tia HB sao cho
1
3
BM HN
BD HB
= =
. Chng minh gúc
ã
0
90CNM =

B i 5 : Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh: x
3
+2x = y

2
-2009
Hết
Ngời coi thi không giải thích gì thêm
Phũng GD&T huyn Yờn Thnh
ĐÒ THI CHỌN HỌC SINH DỰ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH
NĂM HỌC 2010 – 2011
Môn thi : Toán 9
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1: a) Cho A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + n (n+1)(n+2).
Chứng minh rằng
4 1A +
là số tự nhiên
b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:

4 2 2
4y y x x+ + = −
Câu 2:
a) Giải phương trình sau:

2 2
17 17 9x x x x+ − + − =
b) Giải hệ phương trình:

2 2
2
3
1 0
x xy y
z yz


− + =


− + =


Câu 3: a) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3.
Chứng minh rằng:

2 2 2
3
1 1 1 2
a b c
b c a
+ + ≥
+ + +
.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
100 10
10 10M x x= − +
Câu 4: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Đường tròn (M; R)
tiếp xúc với AB ở P, tiếp xúc với AC ở Q. Điểm K chạy trên cung nhỏ PQ (K khác
P, Q). Tiếp tuyến của đường tròn (M; R) tại K cắt AB, AC lần lượt tại E, F.
a) Chứng minh góc BME bằng góc MFC.
b) Xác định vị trí của điểm K sao cho diện tích tứ giác BEFC nhỏ nhất.
Câu 5: Cho tam giác ABC, I là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Các tia AI, BI, CI
cắt BC, CA, AB lần lượt tai M, N, K. Chứng minh rằng:
3 2
IA IB IC

IM IN IK
+ + ≥
Hết
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
PHÒNG GD & T DI N CHÂUĐ Ễ
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN VÒNG I
NĂM HỌC 2010 – 2011
Môn Toán 9 (Thời gian làm bài 120 phút)
Câu I. (4,5 điểm)
1. Tìm số tự nhiên bằng 59 lần tổng các chữ số của số ấy.
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x
2
+ xy + y
2
- 3x - 3y + 2010
Câu II. (5 điểm)
1. Giải phương trình nghiệm nguyên: x
2
y
2
– x
2
– 8y
2
= 2xy
2. Giải phương trình: x
2
+ 2 =
3
2 x 1+

Câu III. (4,5 điểm):
1. Cho x và y dương, chứng minh rằng:
1 1 4
x y x y
+ ≥
+
2. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng ming rằng :
3 3 3
2 2 2 2 2 2
a b c a b c
a b b c c a 2
+ +
+ + ≥
+ + +
Câu IV. (6 điểm)
Cho hình thang ABCD (AB//CD), giao điểm hai đường chéo là O. Đường thẳng qua
O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N.
1. Chứng minh :
1 1 2
AB CD MN
+ =
;
2. Biết S
AOB
= a
2
; S
COD
= b
2

. Tính S
ABCD
;
3. Tìm điểm K trên đường chéo BD sao cho đường thẳng qua K song song với AB
bị hai cạnh bên và hai đường chéo của hình thang chia thành ba đoạn bằng nhau.
Hết