TĂNG CƯỜNG HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC CỦA HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC DẠY HỌC CÁC YẾU TỐ GIẢI TÍCH NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN ỞTRUNG HỌC PHỔTHÔNG!

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG
KHOA SƯ PHẠM




KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Ngành Sư Phạm Toán, Khóa 2004 - 2008

CHUYÊN NGÀNH : PHƯƠNG PHÁP GIẢNG DẠY MÔN TOÁN
ĐỀ TÀI:
TĂNG CƯỜNG HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC CỦA
HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC DẠY HỌC CÁC
YẾU TỐ GIẢI TÍCH NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN
Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG







GVHD:TS LÊ VĂN PHÚC
SVTH :DƯƠNG THỊ BÍCH HẠNH





AN GIANG, THÁNG 5 NĂM 2008

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN

Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh
GVHD : TS Lê Văn Phúc

MỤC LỤC
Nội dung ..............................................................................................Trang
LỜI CẢM ƠN ...................................................................................................................1
CÁC TỪ, CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN...................................................2
PHẦN MỞ ĐẦU...............................................................................................................3
I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:.................................................................................................3
II. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU: ...........................................................4
III.KHÁCH THỂ VÀ ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU:...................................4
1.Khách Thể Nghiên Cứu: ............................................................................................4
2.Đối Tượng Nghiên Cứu: ............................................................................................4
3.Phạm Vi Nghiên Cứu:................................................................................................4
IV.GIẢ THUYẾT KHOA HỌC: ......................................................................................4
V.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:................................................................................5
VI.LỢI ÍCH CỦA LUẬN VĂN:.......................................................................................5
VII.CẤU TRÚC CỦA LUẬN V
ĂN:................................................................................5
PHẦN NỘI DUNG ...........................................................................................................6
CHƯƠNG I: SỰ PHÁT TRIỂN TRÍ TUỆ CỦA HS THPT SƠ LƯỢC VỀ QUÁ
TRÌNH DẠY HỌC PHÁT TRIỂN TƯ DUY VÀ RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG SÁNG
TẠO CHO HS...................................................................................................................6
I.VÀI NÉT VỀ SỰ PHÁT TRIỂN TRÍ TUỆ CỦA HS THPT:........................................6
1.Đặc điểm hoạt động học tập:......................................................................................6
2.Đặc điểm của sự phát triển trí tuệ: .............................................................................6
3.Dạy học và sự phát triển trí tuệ:.................................................................................7
3.1. Khái niệm về sự

phát triển trí tuệ:......................................................................7
3.2.Vài nét về chỉ số của sự phát triển trí tuệ:...........................................................7
3.3.Quan hệ giữa dạy học và phát triển trí tuệ: .........................................................7
II.MỘT VÀI KHÁI NIỆM:...............................................................................................8
1.Khái niệm về hoạt động học: .....................................................................................8
2.Quá trình dạy học:......................................................................................................8
2.1.Quá trình dạy học là gì? ......................................................................................8
2.2.QTDH,về bản chất là QTNT của HS: .................................................................8
2.3.Các nhiệm vụ của QTDH :..................................................................................8
2.4.Logic của QTDH:................................................................................................9
III.PHÁT TRIỂN TƯ DUY, RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG SÁNG TẠO CHO HS:.........9
1.Mô hình nhận thức hoạt động toán họ
c:.....................................................................9
2.Tư duy và sáng tạo:..................................................................................................10
2.1. Tư duy là gì? .................................................................................................... 10
2.2. Sáng tạo là gì? ..................................................................................................10
2.3.Tư duy sáng tạo nổi lên các tính chất cơ bản:...................................................10
3. Rèn luyện khả năng sáng tạo:..................................................................................11
IV. KẾT LUẬN: ............................................................................................................11
CHƯƠNG II: NỘI DUNG NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN Ở THPT NHÌN TỪ QUAN
ĐIỂM HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC CỦA HỌC SINH................................................12
I.HỆ THỐNG LÝ THUYẾT:..........................................................................................12
1.Bài Nguyên Hàm:.....................................................................................................12
2. Bài tích phân : .........................................................................................................16
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN

Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh
GVHD : TS Lê Văn Phúc

3.Bài ứng dụng của tích phân trong hình học: ............................................................26

II.HỆ THỐNG BÀI TẬP: ...............................................................................................28
III. KẾT LUẬN:..............................................................................................................32
CHƯƠNG III: NHẬN THỨC CẦN THIẾT CỦA HỌC SINH ĐỂ GIẢI CÁC BÀI
TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN THÔNG QUA DẠY HỌC CÁC YẾU TỐ
GIẢI TÍCH VỀ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN .........................................................33
I.KHÁI NIỆM BÀI TOÁN:............................................................................................33
II. Ý NGHĨA CỦA VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN:........................................................33
III.KHÁI NIỆM THUẬT TOÁN:...................................................................................34
IV.DẠY HỌC THUẬT GIẢI VÀ QUY TẮC TỰA THUẬT GIẢI: .............................34
V. DẠY HỌC, NHẬN THỨC C
ẦN THIẾT GIẢI CÁC BÀI TẬP NGUYÊN HÀM –
TÍCH PHÂN: ..................................................................................................................35
1. Cơ Sở Lý Thuyết Sử Dụng Cho Việc Giải Các Bài Tập: .......................................35
2.Các Phương Pháp Và Kiến Thức Giải Các Bài Tập Về Nguyên Hàm- Tích Phân: 39
2.1.Sử dụng đạo hàm và định nghĩa nguyên hàm: ..................................................39
2.1.1.Dạng 1:Chứng minh F(x) là nguyên hàm của f(x):....................................40
2.1.2.Dạng 2:Xác định nguyên hàm với điều kiện ràng buộc: ...........................42
2.1.3.Dạng 3:Tìm điều kiện tham số để F(x) là nguyên hàm của f(x): ...............43
2.2.Sử dụng trực tiếp công thứ
c tính nguyên hàm: .................................................44
2.2.1.Dạng 1:Tính nguyên hàm- tích phân của hàm đa thức, hàm số chứa
căn, hàm số luỹ thừa:..........................................................................................45
2.2.2.Dạng 2:Tính nguyên hàm tích phân của hàm số có chứa e:......................46
2.2.3:Dạng 3:Tính nguyên hàm tích phân của hàm số lượng giác:....................47
2.2.4.Dạng 4: Tính nguyên hàm- tích phân của hàm phân thức: .......................48
2.3.Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm- tích phân từng phần: ........................51
2.3.1.Dạng 1: Hàm số dưới dấu tích phân là tích của hàm đa thức và hàm lượng
giác; đa thức và hàm số mũ:...............................................................................52
2.3.2.Dạng 2:Hàm số dưới dấu tích phân là tích củ
a hàm đa thức và logarit,

arcsinu, arccosu, arctanu: ..................................................................................54
2.3.3.Dạng 3:Tích phân luân hồi:.......................................................................56
2.3.4.Dạng 4: Các bài toán tổng hợp..................................................................57
2.3.5.Dạng 5:Tích phân truy hồi:........................................................................59
2.4.Sử dụng phương pháp đổi biến số :...................................................................62
2.4.1.Dạng 1: Nguyên hàm – tích phân của hàm số có chứa căn, mũ , luỹ thừa ,
logarit: ................................................................................................................64
2.4.2:Dạng 2:Tích phân hàm lượng giác dạng:
(sin ,cos )IRx xdx=
∫
..............66
2.4.4 Dạng 4:Tích phân dạng :
cos
n
dx
I
x
=
∫
......................................................70
2.4.5.Dạng 5: Tích phân dạng :
sin cos
dx
I
axbxc
=
+ +
∫
..................................70
2.4.6.Dạng 6: Tích phân liên kết : ......................................................................71

2.5.Sử dụng phép khử dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức dưới dấu tích phân:.......74
2.5.1. Dạng 1: Tích phân của hàm đa thức, hàm số có chứa căn số, luỹ thừa….:
.............................................................................................................................74
2.5.2.Dạng 2: Tích phân hàm lượng giác:..........................................................75
2.6.Sử dụng các định lý, tính chất tích phân để chứng minh bất đẳng thức tích
phân:........................................................................................................................76
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN

Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh
GVHD : TS Lê Văn Phúc

2.7.Sử dụng công thức đạo hàm- tích phân để chứng minh đẳng thức tổ hợp:.......79
2.7.1 Dạng 1: Chứng minh đẳng thức,giải phương trình
r
n
C
bằng đạo hàm .....79
2.7.2. Dạng 2:Chứng minh đẳng thức
r
n
C
bằng tích phân: .................................80
2.8.Sử dụng các công thức tính diện tích , thể tích :...............................................81
►Tính diện tích hình phẳng: ..............................................................................81
►Tính thể tích khối tròn xoay:...........................................................................88
CHƯƠNG IV: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM.................................................................94
I.MỤC ĐÍCH THỰC NGHIỆM: ....................................................................................94
II.NỘI DUNG THỰC NGHIỆM: ...................................................................................94
III.TỔ CHỨC THỰC NGHIỆM:....................................................................................94
IV.PHÂN TÍCH ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM:.........................................94

1.Nội Dung Kiểm Tra: ................................................................................................94
2.Phân Tích Định Tính:...............................................................................................95
3. Phân Tích Định Lượng:...........................................................................................95
4. Kết Luận Thực Nghiệm: .........................................................................................95
PHẦN KẾT LU
ẬN......................................................................................................... 96
I.NHỮNG KẾT QUẢ THU ĐƯỢC TỪ VIỆC NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI:......................96
II.NHỮNG HẠN CHẾ CỦA LUẬN VĂN: ...................................................................96
TÀI LIỆU THAM KHẢO...............................................................................................97
PHỤ LỤC........................................................................................................................98




LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN
Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh
GVHD : TS Lê Văn Phúc
1

LỜI CẢM ƠN


Lời đầu tiên em xin chân thành cảm ơn đến thầy Tiến sĩ Lê Văn Phúc,
người thầy đã tận tình chỉ dạy, hướng dẫn và giúp em hoàn thành bài luận
văn này.
Em xin cảm ơn quý thầy – cô của trường Đại Học An Giang trong thời
gian qua đã nhiệt tình giảng dạy, cung cấp cho em những kiến thức quý báu,
giúp em có cơ sở để tiến hành việc nghiên cứu của mình. Xin cảm ơn thầy
Nguyễn Thiết
đã giúp đỡ em trong việc tìm sách và tài liệu tham khảo của

bài luận văn.
Em xin chân thành biết ơn Ban Giám Hiệu trường THPT BÌNH MỸ
, thầy Trần Công Tư và tập thể lớp 12A3 đã tạo điều kiện cho em tiến
hành thực nghiệm trên thực tế học sinh.
Cuối cùng em xin được cảm ơn tất cả người thân, bạn bè đã động viên,
ủng hộ và giúp đỡ trong suốt thời gian làm bài nghiên cứu và hoàn thành.


Long Xuyên , tháng 5 năm 2008.

Sinh viên thực hiện
DƯƠNG THỊ BÍCH HẠNH

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN
Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh
GVHD : TS Lê Văn Phúc
2

CÁC TỪ, CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

Viết tắt ....................................................................Viết đầy đủ

GV........................................................................................Giáo viên
HS ........................................................................................Học sinh
QTDH..................................................................................Quá trình dạy học
QTNH..................................................................................Quá trình nhận thức
SGV .....................................................................................Sách giáo viên
SGK .....................................................................................Sách giáo khoa
T137-GT12..........................................................................Trang 137 giải tích 12
THPT...................................................................................Trung học phổ thông

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN
Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh
GVHD : TS Lê Văn Phúc
3
PHẦN MỞ ĐẦU
I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
“Quá trình dạy học là một quá trình hoạt động thống nhất giữa GV và HS, trong
đó GV giữ vai trò hướng dẫn , tố chức, điều khiển hoạt động của HS, HS giữ vai trò tự
tổ chức, tự điều khiển hoạt động của HS,HS giữ vai trò tự tổ chức, tự điều khiển hoạt
động học của mình, nhằm thực hiện các nhiệm vụ dạy h
ọc”.

“QTDH nhằm trang bị cho HS hệ thống những tri thức, kĩ năng kĩ xảo, phát triển
năng lực hoạt động trí tuệ và hình thành thế giới quan khoa học,giáo dục phẩm chất tốt
đẹp cho HS”.(Giáo dục học 2 (LLDH-LLGD)-Ths.Nguyễn Thị Cúc).
Qua đó ta có thể nhận thấy được GV là người có nhiệm vụ cung cấp kiến thức cho
HS, nhưng việc cung cấp kiến thức đó có hiệu quả hay không đ
ó là một vấn đề, tức là
HS có nhận thức được một cách rõ ràng về những kiến thức đã được cung cấp hay
không.
QTDH ở trung học phổ thông đang tồn tại mâu thuẫn giữa một bên là khối lượng
tri thức đã được đổi mới tăng lên phức tạp hơn một bên là thời gian học tập không thể
tăng lên được. Để phải giải quyết mâu thuẫn đ
ó phải đổi mới theo phương pháp tích cực
hóa hoạt động nhận thức của người học. Bản chất của hướng này là khơi gợi và phát
huy năng lực tìm tòi độc lập sáng tạo của người học. Nhờ vậy mà họ nắm vững tri thức
và học được cách học.
Vấn đề tích cực hóa hoạt động nhận thức của HS THPT vừa có ý nghĩa kích thích
các em học tập sáng tạ
o, đạt hiệu quả cao trong học tập, mà còn có ý nghĩa lâu dài: Giáo
dục các em trở thành những chủ thể tích cực, sáng tạo có khả năng thích ứng cao các
hoạt động xã hội sau này.
Việc nhận thức được toán học một cách sâu sắc có khả năng to lớn trong việc phát
triển tư duy, việc giảng dạy toán học luôn nhằm mục đích phát triển trí tuệ, mà trước hết
là sự đòi hỏi HS phải nhậ
n thức một cách chính xác từ những kiến thức căn bản, cốt lõi
nhất rồi đến những chi tiết của bài học. Từ đó hình thành ở HS những phẩm chất tư duy
cần thiết thông qua việc học toán, HS sẽ học được cách suy nghĩ độc lập, suy luận chính
xác, chặt chẽ, có một nền tảng kiến thức và kĩ năng cơ bản, chắc chắn. Đó là cơ
sở để
hoàn thiện con người trong xã hội hiện đại, tạo sự năng động sáng tạo, hòa nhập với xã
hội .

Một khi HS chưa nhận thức được đầy đủ các kiến thức bài học nào đó thì việc giải
những bài toán thuộc nội dung của bài học đó là việc hết sức khó khăn mặc dù một bài
tập có thể có nhiều cách giải.
Chủ đề nguyên hàm - tích phân có vị trí
đặc biệt quan trọng trong chương trình
toán học ở Trường THPT, nó chiếm một thời gian dài trong giảng dạy môn toán của lớp
12. Nó không chỉ có vai trò quan trọng trong chương trình của SGK GT 12 chưa cải
cách mà ngay cả trong chương trình của SGK GT 12 thí điểm đã cải cách cũng vậy.
Ngoài ra chủ đề nguyên hàm – tích phân cũng luôn có một vị trí trong các đề thi
tốt nghiệp và cao đẳng - đại học. Hiện nay, việc dạy học chủ đề này ở trường THPT g
ặp
khá nhiều khó khăn do HS không nắm được những khái niệm, tính chất của nguyên hàm
– tích phân và ứng dụng cũng như tầm quan trọng của nó. Đặc biệt là việc giải các bài
toán nguyên hàm – tích phân của một hàm số nào đó thực sự là một trở ngại cho HS
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN
Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh
GVHD : TS Lê Văn Phúc
4
trong các kì thi cao đẳng – đại học và một số kì thi khác. Lý do là HS không nhận thức
được một cách sâu sắc những khái niệm, tính chất và do đó HS không biết sử dụng được
những công thức nào, tính chất nào cho cùng một bài toán cụ thể, cũng như từng bài
toán cụ thể.
Vì những lý do trên chúng tôi quyết định chọn đề tài:
“TĂNG CƯỜNG
HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC CỦA HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC
DẠY HỌC CÁC YẾU TỐ GIẢI TÍCH NGUYÊN HÀM – TÍCH
PHÂN Ở TRƯỜNG THPT ”.
II. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU:

Luận văn này chúng tôi tập trung nghiên cứu và trình bày các vấn đề sau:

1.
Tìm hiểu về sự phát triển trí tuệ của HS THPT, sơ lược về quá trình dạy học,
phát triển tư duy và rèn luyện khả năng sáng tạo cho HS.

2.
Tìm hiểu hoạt động nhận thức của HS như thế nào và sự phát triển tư duy của
HS ở trường THPT thông qua việc phân tích SGK.

3.
Phân loại những nhóm các bài toán theo các phương pháp và kiến thức cần thiết
để giải các bài toán và đề xuất các phương pháp giải một số dạng toán quan trọng của
chủ đề nguyên hàm – tích phân.

4.
Kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của các phương pháp đã nêu.
III.KHÁCH THỂ VÀ ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI
NGHIÊN CỨU:

1.Khách Thể Nghiên Cứu:
Hoạt động nhận thức của HS THPT về toán học.
Sự phát triển tư duy của HS THPT trong toán học.

2.Đối Tượng Nghiên Cứu:

Hoạt động nhận thức của HS THPT thông qua dạy học chủ đề nguyên hàm –
tích phân.
Sự phát triển tư duy của HS THPT khi tìm cách giải các bài toán về chủ đề
nguyên hàm – tích phân.

3.Phạm Vi Nghiên Cứu:

Các yếu tố giải tích về nguyên hàm – tích phân ở trường THPT.
IV.GIẢ THUYẾT KHOA HỌC:
Việc phân loại những nhóm các bài toán theo các phương pháp và kiến thức cần
thiết để giải các bài toán đem lại hiệu quả cao cho hoạt động nhận thức của HS.
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN
Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh
GVHD : TS Lê Văn Phúc
5
V.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
Nghiên cứu lý luận: phân tích, đối chiếu các tài liệu toán học, tâm lý học, giáo dục
học, LLDH môn toán, nghiên cứu SGK và các tài liệu hướng dẫn giảng dạy.
Thực nghiệm sư phạm.
Tổng kết thực nghiệm.
VI.LỢI ÍCH CỦA LUẬN VĂN:
Luận văn này đã phân loại những nhóm, dạng các bài toán theo các phương pháp
và kiến thức cần thiết để giải các bài toán và đề xuất các phương pháp giải một số dạng
toán quan trọng của chủ đề nguyên hàm – tích phân, có thể giới thiệu với HS một số
phương pháp. Từ đó HS không còn gặp nhiều khó khăn trong việc tìm một cách giải
cho bài toán.
VII.CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN:
Luận văn bao gồm:
Phần mở đầu.
Phần nội dung:
Chương I:
Sự phát triển trí tuệ của HS THPT, sơ lược về quá trình dạy học, phát
triển tư duy và rèn luyện khả năng sáng tạo cho HS.
Chương II:
Nội dung nguyên hàm - tích phân nhìn từ quan điểm nhận thức của

HS.
I.Hệ thống lý thuyết.
II.Hệ thống bài tập.
III.Kết luận.
Chương III:
Nhận thức cần thiết của học sinh để giải các bài toán nguyên hàm –
tích phân thông qua việc dạy học các yếu tố giải tích nguyên hàm – tích phân.
Chương IV:
Thực nghiệm sư phạm.
Phần kết luận.







LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN
Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh
GVHD : TS Lê Văn Phúc
6
PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG I: SỰ PHÁT TRIỂN TRÍ TUỆ CỦA
HS THPT SƠ LƯỢC VỀ QUÁ TRÌNH DẠY
HỌC PHÁT TRIỂN TƯ DUY VÀ RÈN LUYỆN
KHẢ NĂNG SÁNG TẠO CHO HS
I.VÀI NÉT VỀ SỰ PHÁT TRIỂN TRÍ TUỆ CỦA HS
THPT:

1.Đặc điểm hoạt động học tập:

Nội dung và tính chất của hoạt động học tập ở thanh niên khác rất nhiều so với
hoạt động học tập của thiếu niên. Sự khác nhau cơ bản không phải chỉ ở chỗ nội dung
học tập ngày một nhiều hơn mà ở chỗ hoạt động của thanh niên đi sâu vào những tri
thức cơ bản, những quy luật của những bộ môn khoa học, phương pháp giảng dạ
y của
GV cũng có nhiều thay đổi.
Chính vì vậy, hoạt động học tập đòi hỏi thanh niên phải có tính năng động, độc
lập và sáng tạo ở mức độ cao hơn, đòi hỏi các em phải phát triển tư duy lý luận.

2.Đặc điểm của sự phát triển trí tuệ:

Ở HS THPT, ghi nhớ có chủ định giữ vai trò chủ đạo trong hoạt động trí tuệ,
mặt khác vai trò của ghi nhớ logic trừu tượng, ghi nhớ ý nghĩa ngày một tăng rõ rệt.
Nhưng có một số em còn ghi nhớ đại khái , chung chung, đánh giá thấp của việc ôn tập.
Hoạt động tư duy của các em tích cực, độc lập hơn. Các em thích khái quát hóa,
thích tìm hiểu những quy luật và những nguyên tắc chung của các hiện tượng hàng
ngày, của nhữ
ng tri thức phải tiếp thu. Tư duy của các em chặt chẽ hơn, có căn cứ và
nhất quán hơn, tính phê phán của tư duy cũng phát triển.
Những đặc điểm này tạo điều kiện cho các em thực hiện các thao tác tư duy
logic phân tích nội dung cơ bản của khái niệm trừu tượng.
Thiếu sót cơ bản trong tư duy của các em là thiếu tính độc lập, việc giúp các em
phát triển khả năng nhận thứ
c là một nhiệm vụ quan trọng của GV, GV cần hướng dẫn
các em tích cực suy nghĩ trong khi phân tích vấn đề.
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN
Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh
GVHD : TS Lê Văn Phúc
7

3.Dạy học và sự phát triển trí tuệ:

3.1. Khái niệm về sự phát triển trí tuệ:
Theo tâm lí học lức tuổi và tâm lí học sư phạm “Sự phát triển trí tuệ là sự
biến đổi về chất trong hoạt động nhận thức. Sự biến đổi đó được đặc trưng bằng sự thay
đổi cấu trúc cái được phản ánh và về phương thức phản ánh chúng.
Theo quan điểm này nổi lên các nội dung sau:
- Đã nói đến phát triển là có sự biến đổi, nhưng không phải mọi sự
biến đổi đều
phát triển.
- Điều đặc trưng nói lên bản chất của sự phát triển trí tuệ là ở chỗ vừa thay đổi
cấu trúc cái được phản ánh, vừa thay đổi phương thức phản ánh. Dó đó, sự phát triển trí
tuệ cần được hiểu là sự thống nhất giữa việc vũ trang tri thức và việc phát triển một cách
tối đa phương thức phả
n ánh chúng , con đường, cách thức giành lấy tri thức.

3.2.Vài nét về chỉ số của sự phát triển trí tuệ:

- Tính mềm dẻo của trí tuệ thường bộc lộ ở các kỹ năng sau:
+ Kỹ năng biến thiên cách giải quyết vấn đề phù hợp với biến thiên của điều
kiện,
+ Kỹ năng xác lập sự phụ thuộc những kiến thức đã có sang một trật tự khác
ngược với hướng trật tự đã tiếp thu.
+ Kỹ năng đề cậ
p cùng một hiện tượng theo những quan điểm khác nhau.
-Sự thấm sâu vào tài liệu, sự vật, hiện tượng nghiên cứu thể hiện rõ ở sự phân biệt
giữa cái bản chất và không bản chất, cái cơ bản và cái chủ yếu, cái tổng quát và cái bộ
phận…

3.3.Quan hệ giữa dạy học và phát triển trí tuệ:

Dạy học và phát triển trí tuệ có quan hệ chặt chẽ với nhau:
- Trong quá trình nắm tri thức, HS phải xây dựng cho mình những hệ thống hành
động trí tuệ sao cho phù hợp với hệ thống tri thức đó. Khi hệ thống hành động trí tuệ
này được củng cố, khái quát tạo thành nhũng kỹ xảo của hoạt động trí tuệ . Chính nhờ
những kỹ xảo này cho HS khả năng di chuyển rộng rãi và thành thạo, các phương pháp
ho
ạt động trí tuệ từ đối tượng này sang đối tượng khác để nhận thức và cải tạo chúng,
và khả năng này được xem như một trong những điều kiện cơ bản của sự phát triển trí
tuệ.
- Ngoài ra, trong quá trình nắm tri thức, những mặt khác của năng lực trí tuệ như:
óc quan sát trí nhớ, tưởng tượng cũng được phát triển. Cho nên có thể nói, việc dạy học
là một trong nh
ững con đường cơ bản để giáo dục và phát triển trí tuệ một cách toàn
diện.
- Việc nắm vững tri thức không chỉ ảnh hưởng đến sự phát triển năng lực trí tuệ,
mà còn ảnh hưởng đến toàn bộ nhân cách con người như: nhu cầu nhận thức, hứng thú
học tập, động cơ học tập, khát vọng tìm tòi,…
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN
Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh
GVHD : TS Lê Văn Phúc
8
Tóm lại , trong quá trình dạy học, việc nắm vững tri thức và phát triển trí tuệ tác
động qua lại hết sức chặt chẽ với nhau. Sự phát triển trí tuệ vừa là kết quả, vừa là điều
kiện của vịêc nắm vững tri thức.
II.MỘT VÀI KHÁI NIỆM:

1.Khái niệm về hoạt động học:
Hoạt động học là hoạt động đặc thù của con người chỉ có con người có hoạt
động học được điều khiển bởi mục đích tự giác là lĩnh hội những tri thức, kỹ năng , kỹ
xảo mới, những hình thức hành vi những dạng hoạt động nhất định.

Lĩnh hội là một khái niệm chỉ sự tiếp thu của HS những tri thức, năng l
ực,…
của loài người và sự vận dụng chúng vào những trường hợp cụ thể để hình thành những
năng lực và phẩm chất riêng của từng HS, nhờ đó tạo nên sự phát triển của các em.

2.Quá trình dạy học:


2.1.Quá trình dạy học là gì?

Theo giáo dục học( lí luận dạy học) “Quá trình dạy học là một quá trình
hoạt động thống nhất giữa GV và HS, trong đó GV giữ vai trò hướng dẫn , tố chức, điều
khiển hoạt động của HS, HS giữ vai trò tự tổ chức, tự điều khiển hoạt động của HS,HS
giữ vai trò tự tổ chức, tự điều khiển hoạt động học của mình, nh
ằm thực hiện các nhiệm
vụ dạy học”.
2.2.QTDH,về bản chất là QTNT của HS:
- QTNT của HS, cũng như QTNT của nhà khoa học( hay QTNT có tính chất xã
hội – lịch sử của loài người) là quá trình phản ánh thế giới quan vào ý thức con người,
đều diễn ra theo quy luật nhận thức của loài người. Quy luật này đã được phản ánh
trong công thức nỗi tiếng của V.I.Lê Nin: “ Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu
tượng, từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn, đó là con đường biện chứ
ng của sự nhận thức
chân lý, nhận thức hiện tượng khách quan”.

- QTDH là QTNT độc đáo của học sinh. Tính độc đáo này được thể hiện: HĐNT
được tiến hành trong QTDH với những điều kiện sư phạm nhất định, có sự hướng dẫn,
điều khiển của giáo viên thông qua việc lựa chọn nội dung phương pháp và các hình
thức tổ chức dạy học, mang tính giáo dục nhân cách rõ rệt.
- QTNT của học sinh không phải tìm ra cái mới cho nhân loại mà nhận thức cái

mới đố
i với bản thân. Những cái đã được rút ra từ kho tàng hiểu biết chung của loài
người, có chứa đựng khâu kiểm tra, đánh giá tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, phát triển năng
lực trí tuệ, nhằm biến chúng thành vốn riêng của học sinh và khi cần có thể tái hiện và
vận dụng được.
2.3.Các nhiệm vụ của QTDH :

2.3.1.
Tổ chức điều khiển người học nắm vững hệ thống những tri thức
khoa học phổ thông cơ bản, hiện đại, phù hợp với thực tiễn của đất nước về tự nhiên, xã
hội, tư duy, đồng thời rèn luyện cho các em hệ thống những kỹ năng, kỹ xảo tương ứng.
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN
Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh
GVHD : TS Lê Văn Phúc
9

2.3.2.
Tổ chức, điều khiển người học hình thành và phát triển năng lực
tư duy sáng tạo.

2.3.3.
Tổ chức điều khiển người học hình thành và phát triển thế giới
quan khoa học, nhân sinh quan và những phẩm chất tốt đẹp của người công dân, người
lao động có bản lĩnh trong cộng đồng.
2.4.Logic của QTDH:
Logic của QTDH là trình tự vận động hợp quy luật của nó đảm bảo cho HS đi từ
trình độ tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, sự phát triển năng lực hoạt động trí tuệ tương ứng với
lúc bắt đầu nghiên cứu vấn đề (môn học, một phần, một chương, một đề mục) nào đó
đến trình độ tri thức, kỹ năng, kỹ xảo và phát triển n
ăng lực hoạt động trí tuệ tương ứng

với lúc kết thúc vấn đề đó.
Logic QTDH vận động theo môn học và logic QTNT của HS.

QTDH diễn ra theo các khâu sau đây:
1.Kích thích thái độ học tập của người học.
2.Tổ chức, điều khiển người học lĩnh hội tri thức mới.
3.Tổ chhức, điều khiển người học củng cố tri thức.
4.Tổ chức, điều khiển người học hình thành kỹ năng ,kỹ xảo.
5.Kiểm tra , đánh giá và tổ chức, điều khiển người học tự ki
ểm tra., tự đánh giá
kết quả học tập.
6.Phân tích kết quả học tập và tự điều chỉnh hoạt động học tập nhằm hoàn thiện
QTDH.
Sự phân chia các khâu của QTDH là một quá trình trọn vẹn, các khâu có thể xen
kẽ, thâm nhập và bổ sung cho nhau. Do đó, trong QTDH không thực hiện các khâu theo
một trình tự máy móc mà tùy theo nhiệm vụ, nội dung dạy học mà vận dụng linh hoạt,
sáng tạo.
III.PHÁT TRIỂN TƯ DUY, RÈN LUYỆN KHẢ
NĂNG SÁNG TẠO CHO HS:
1.Mô hình nhận thức hoạt động toán học:
Dạy học môn toán ở trường phổ thông cần có sự phối hợp một cách hợp lý việc
dạy học các tri thức toán với dạy học hoạt động nhận thức lĩnh hội các tri thúc đó. Nói
cách khác, dạy học môn toán về thực chất là dạy học các hoạt động nhận thức toán học.

Xét mô hình chứa cả ba mặt cơ bản của hoạt động nhận thức toán học.

M
1
: Toán học hóa các tình huống cụ thể .

M
2
:
Xây dựng lý thuyết suy diễn bao gồm tổ chức, sắp xếp logic các chất liệu
toán nhận thức được từ bước một.Sử dụng công cụ toán học để giải quyết bài toán trong
mô hình toán học.

M
3
:
Vận dụng lý thuyết chuyển kết quả tìm được ở bước hai sang lời giải của
bài toán thực tế.
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN
Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh
GVHD : TS Lê Văn Phúc
10
Ba mặt cơ bản của hoạt động nhận thức toán học hàm chứa trong đó các thủ thuật
tư duy đặc trưng của toán học.
Các mặt hoạt động nhận thức Các thủ thuật tư duy
M
1
M
2
M
3
Quy nạp + +
Suy diễn + +
Phân tích + + +
Tổng hợp + + +
So sánh + +

Đối chiếu + +
Phân loại + +
Khái quát hóa + +
Trừu tượng hóa + +
Cụ thể hóa +
2.Tư duy và sáng tạo:
2.1. Tư duy là gì?
Tư duy là QTNT, phản ánh những thuộc tính bản chất , những mối quan hệ có tính
quy luật của sự vật và hiện tượng.
Theo từ điển Tiếng Việt, Tư duy là “ giai đoạn cao của QTNT, đi sâu vào bản
chất và phát hiện ra tính quy luật của sự vật bằng những hình thức như biểu tượng,
phán đoán và suy lí ”.
2.2. Sáng tạo là gì?
“ Sáng tạo là hoạt động của con người trên cơ sở các quy luật khách quan của thực
tiễn, nhằm biến đổi thế giới tự nhiên, xã hội phù hợp với các mục đích và nhu cầu của
con người. Sáng tạo là hoạt động được đặc trưng bởi tính không lặp lại, tính độc đáo và
tính duy nhất”.
Theo từ điển Tiếng Việt “ Sáng tạo là những giá trị mới về vậ
t chất hoặc tinh
thần, hay: sáng tạo ra cái mới, cách giải quyết mới, không bị gò bó phụ thuộc vào cái
đã có”.
2.3.Tư duy sáng tạo nổi lên các tính chất cơ bản:
+ Tính mềm dẻo: khả năng dễ dàng chuyển hoạt động trí tuệ này sang hoạt động
trí tuệ khác.
+ Tính nhuần nhuyễn: khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và
tình huống khác nhau.
+ Tính độc đáo: khả năng tìm kiếm và giải quyết, phương thức giải quyết lạ hoặc
duy nhất.
+ Tính hoàn thiện: khả năng lập kế hoạch, phối h
ợp các ý nghĩa và hành động,

phát triển ý tưởng, kiểm tra và chứng minh ý tưởng.
Ngoài các tính chất cơ bản trên đây còn có những yếu tố quan trọng khác như: tính
chính xác, năng lực định giá trị, năng lực định nghĩa lại.
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN
Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh
GVHD : TS Lê Văn Phúc
11
3. Rèn luyện khả năng sáng tạo:
Sáng tạo thông qua việc trang bị cho HS các phương tiện, các thủ pháp của các
hoạt động nhận thức với hai đặc trưng cơ bản : hướng tiếp cận algorit và hướng tiếp cận
ơrixtic.
Khi đó có thể phân biệt bốn loại hình bài toán học tập ở trường phổ thông ( theo
Polya: bài toán là hệ thông tin xác định, bao gồm các điều kiện và những yêu cầu luôn
luôn không phù hợp với nhau, dẫn đến nhu cầu khắc phục b
ằng cách biến đổi chúng).

Sự đòi hỏi khả năng tư duy tăng dần theo thứ tự các loại bài toán sau:

Loại 1:
Bài toán algorit: đó là một bài toán mà cách giải đã đuợc xác định theo
một algorit.

Loại 2:
Bài toán algorit – ơrixtic

Loại 3:
Bài toán ơrixtic – algorit

Loại 4:
Bài toán ơrixtic: các bài toán thuộc dạng tìm kiếm. Người giải phải có sự

chọn lựa từ nhiều phương án và không có gì đảm bảo rằng , sau một số hữu hạn các
bước có thể dẫn đến kết quả. Để có thể giải được bài toán ơrixtic, đòi hỏi ngừơi giải
không chỉ năng lực tư duy logic mà đôi khi cả trực giác, sự lanh trí, thông minh, sáng
tạo.
●Những phương pháp rèn luyện khả năng sáng tạo toán học ở trường phổ
thông:
-

Đặc biệt hóa, tổng quát hóa , tương tự.
-

Vận dụng đặc biệt hóa, tổng quát hóa , tương tự để giải các bài toán.
-

Mò mẫm và dự đoán.
-

Mở rộng, đào sâu, hệ thống hóa kiến thức.
-

Chủ động học tập, rèn luyện khả năng sáng tạo toán học.
IV. KẾT LUẬN:
Qua việc nghiên cứu về sự phát triển trí tuệ của HS THPT, hoạt động học, QTDH
và phát triển tư duy, rèn luyện luyện khả năng sáng tạo cho HS, có thể rút ra một số kết
luận như sau:
●Việc dạy học của GV tác động trực tiếp đến QTNT của HS. Do đó, người GV
trong QTDH cần phải giúp cho HS nắm vững, đào sâu kiến thức, GV cần có những
phương pháp dạy tạo đ
iều kiện cho HS phát triển tư duy và rèn luyện luyện khả năng
sáng tạo.

●Việc nhận thức của HS cần có sự phối hợp một cách hợp lý giữa việc dạy học
các tri thức toán với dạy học việc dạy học hoạt động nhận thức lĩnh hội các tri thức đó.
●Sự phát triển tư duy và khả năng sáng tạo cần có sự ti
ếp cận, giải quyết vấn đề
từ thấp đến cao, từ đơn giản đến phức tạp và việc rèn luyện đó phải được tiến hành
thường xuyên.


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN
Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh
GVHD : TS Lê Văn Phúc
12
CHƯƠNG II: NỘI DUNG NGUYÊN HÀM -
TÍCH PHÂN Ở THPT NHÌN TỪ QUAN ĐIỂM
HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC CỦA HỌC SINH
Hiện nay, SGK thí điểm đã được hoàn chỉnh và đang tiến hành dạy ở một số
trường THPT. Giữa SGK thí điểm và SGK chính thức sau này đưa vào một cách đại trà
thì cơ bản ít có sự thay đổi.
Vì vậy chúng tôi lựa chọn bộ SGK thí điểm Giải tích 12 - Ban khoa học tự nhiên
bộ 2 ( Trần Văn Hạo ( tổng chủ biên ), Vũ Tuấn ( chủ biên ), Lê Thị Thiên Hương,
Nguyễn Tiến Tài, Cấn Vă
n Tuất ).
I.HỆ THỐNG LÝ THUYẾT:
Nhìn tổng thể thì SGK đã trình bày các kiến thức về nguyên hàm – tích phân theo
thứ tự: Nguyên hàm, Tích phân, Ứng dụng của tích phân trong hình học.
1.Bài Nguyên Hàm:
Chúng ta đã gặp bài toán dẫn đến định nghĩa khái niệm đạo hàm là bài toán
tìm vận tốc tức thời của một chuyển động , hay về mặt toán học là bài toán tìm đạo hàm
của một hàm số tại một điểm, trên một khoảng hay một đoạn.
Bây giờ đưa vào khái niệm nguyên hàm nhằm giải bài toán ngược của phép

tính đạo hàm hay phép tính vi phân. Trên cơ sở đó hình thành khái niệm tích phân
không xác định ( thường gọi là họ
nguyên hàm ). Hay nói cách khác khái niệm nguyên
hàm xuất hiện từ bài toán tìm lại hàm số nếu biết đạo hàm hoặc vi phân của nó trên một
khoảng hay một đoạn.
Trước khi vào định nghĩa nguyên hàm trên một khoảng, SGK đã có một số
hoạt động:
Tìm hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) :

() ( ) ()
2
2
1
)3 ;;) ;
cos 2 2
a f x x vôùi x b f x vôùi x
x
π π
⎛⎞
= ∈ −∞ +∞ = ∈ −
⎜⎟
⎝⎠

Trên cơ sở đó dẫn đến khái niệm nguyên hàm của một hàm số : “Cho hàm số
f(x) xác định trên khoảng (a ; b). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số
f(x) trên khoảng (a ; b), nếu F’(x) = f(x) với mọi x
∈
(a ; b)”. Từ định nghĩa này giúp cho
HS nhận thấy mối quan hệ chặt chẽ giữa hai khái niệm nguyên hàm và đạo hàm.
Định nghĩa của đạo hàm một hàm số mang tính kiến thiết, thì định nghĩa

nguyên hàm lại có tính “ hình thức”, nên SGK không đưa ra quy trình tìm nguyên hàm
bằng định nghĩa mà phải kiểm tra qua đạo hàm để xác định nguyên hàm của hàm số đã
cho.
Để HS có thể hiểu được định nghĩa một cách cụ thể SGK đã đư
a ra ví dụ1
dưới hình thức kiểm tra qua đạo hàm.
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN
Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh
GVHD : TS Lê Văn Phúc
13

Ví dụ 1:
a)

Hàm số F(x) = x
2
là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x trên khoảng
()
;−∞ +∞
, vì F’(x) = (x
2
)’ = 2x ,
( )
;x∈ −∞ +∞
.
b)

Hàm số F(x) = lnx là một nguyên hàm của hàm số
()
1

fx
x
=
trên khoảng
()
0;+∞

vì F’(x) = (lnx)’ =
1
x
,
( )
0;x∈+∞
.
Giáo viên cần đưa ra thêm ví dụ đơn giản (chỉ nhờ bảng đạo hàm) giúp HS
nhanh chóng làm quen với nguyên hàm. Ở hoạt động 2 SGK yêu cầu: Hãy tìm thêm
những nguyên hàm khác của các hàm số nêu trong ví dụ 1, đã thể hiện rõ nội dung của
định lý 1 và định lý 2. Hai định lý này chỉ rõ hai chiều suy luận:

Định lí 1:
“Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b), thì với mỗi
hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng đó”.

Định lí 2:
“Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b), thì mọi nguyên
hàm của f (x) đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số”.
Hai định lý trên cho thấy:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b), thì tập hợp tất cả
các nguyên hàm ( gọi tắt là họ nguyên hàm ) của f(x) có dạng
F(x) + C , C

∈
R
Kí hiệu họ nguyên hàm của f(x) là
()fxdx
∫
. Khi đó:

()f xdx
∫
= F(x) + C.

∫
là dấu nguyên hàm ( hay tích phân không xác định), f(x) là hàm số dưới
dấu nguyên hàm .
Ở ví dụ 2 SGK đã dùng kí hiệu thể hiện nội dung ví dụ 1, a).

Ví dụ 2:

( )
()
()
2
);,2
1
)0;,ln
);,cossin
aVôùix xdx x C
b Vôùi t dt t C
t
cVôùis sds s C

∈−∞+∞ = +
∈+∞ =+
∈−∞+∞ = +
∫
∫
∫

Do yêu cầu của việc đưa ra định nghĩa khái niệm tích phân ở bài sau được
gọn nhẹ, ta cần đến khái niệm nguyên hàm của hàm số trên một đoạn. Để định nghĩa
khái niệm nguyên hàm trên một đoạn, ta cần xét đạo hàm một bên tại một điểm. Tuy
phần đạo hàm HS đã được học ở chương V: Đạo hàm (vào cuối chương trình của lớp
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chun nghành PPGD MƠN TỐN
Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh
GVHD : TS Lê Văn Phúc
14
11), trong chương này SGK GT11(nâng cao) chỉ đưa nội dung đạo hàm một bên vào bài
đọc thêm.
Do đó, để HS có thể nắm được khái niệm ngun hàm của hàm số trên một
đoạn SGK GT12 đã đưa vào định nghĩa đạo hàm một bên.Trên cơ sở đó
định nghĩa
khái niệm ngun hàm trên một đoạn
:
“Cho hàm số f(x) xác định trên đoạn [a ; b]. Hàm số F(x) được gọi là một ngun
hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a ; b] nếu :
a)

F(x) là ngun hàm của f(x) trên khoảng (a ; b);
b)

Tại a và b, F(x) lần lượt có đạo hàm bên phải và bên trái sao cho

F’(a
+
) = f(a) và F’(b
-
) = f(b) ”.

Chú ý:
Các định lý 1 và 2 nói trên vẫn đúng nếu thay khoảng (a ; b) bởi đoạn [a ;
b]. Do đó, ngun hàm có thể được xét trên khoảng (a ; b) hoặc trên đoạn [a ; b], ta gọi
chung là ngun hàm .

Tính chất 1:

( )
()
() ' () ()' ()fxdx fxvà fx dx fx C
==+
∫∫

Tính chất này nói lên mối quan hệ giữa ngun hàm và đạo hàm khi thực hiện liên
tiếp nhau. Phép tính ngun hàm tiến hành trước thì “phép tính đạo hàm khử nhau”; nếu
phép tính đạo hàm tiến hành trước phép tính ngun hàm thì nhận được hàm số trong
dấu ngun hàm, sai khác một hằng số cộng (hai hàm số có đạo hàm bằng nhau sẽ sai
khác nhau một hằng số).

Tính chất 2:

( )
() () 0kf x dx k f x dx k là hằng số khác=
∫∫

Tính chất 3
:

( )
() () () ()f x gx dx fxdx gxdx+= +
∫∫∫

Chú ý:
( )
() () () ()fx gx dx fxdx gxdx−= −
∫∫∫

Tính chất 2 và tính chất 3 nói lên tính chất tuyến tính của họ ngun hàm .
Tính chất 2 nhấn mạnh đến hằng số k
≠
0 . Vì nếu k = 0 nói chung khơng đúng ,
xét ví dụ sau đây:

( )
( )
()
()
()
2
0.2 0
0. 2 0 0
xdx dx Cvôsố
còn x dx x C chỉ một

==
=+=
∫∫
∫

Đẳng thức chỉ xảy ra khi C = 0.
Việc khẳng định một hàm số f(x) khi nào có ngun hàm là vấn đề quan
trọng. Ở đây ta thừa nhận định lý 3 (T136-GT12).
Trước khi lập bảng ngun hàm các hàm số sơ cấp quen thuộc, SGK đưa ra hoạt
động 5 (T136-GT12). Hoạt động này nhằm mục đích từ đạo hàm suy ngược ra hàm gốc
(tức là ngun hàm ), chẳng hạn:
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN
Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh
GVHD : TS Lê Văn Phúc
15

2
1
'( ) ( ) tan
cos
fx fx xC
x
=⇒=+

Bảng nguyên hàm (T137-GT12) được xây dựng dựa trên bảng đạo hàm, cần vận
dụng linh hoạt bảng nguyên hàm trong khi làm toán, nhất là sử dụng bảng nguyên hàm
khi hàm sơ cấp cho ở dạng hàm số hợp, yêu cầu của hoạt động 10 nhằm mục đích đó.
Phần này HS cần được luyện tập nhiều. GV ghi ra nhiều dạng nguyên hàm , yêu
cầu HS trả lời ( đạt mức nhuần nhuyễn).
Tuy nhiên dựa vào bảng ta chỉ tìm

được nguyên hàm của một số ít hàm số sơ cấp
đơn giản, trong khi vẫn còn nhiều hàm số mà việc tìm nguyên hàm của chúng không áp
dụng được trực tiếp bảng nguyên hàm . Dó đó cần phải có các phương pháp tính nguyên
hàm .
Về phương pháp tính nguyên hàm SGK chỉ giới thiệu hai phươnng pháp tổng quát
và chủ yếu: Phương pháp tính nguyên hàm từng phần và Phương pháp đổi biến số.
Phương pháp tính nguyên hàm từng phần:

Hoạt động 6 (T138-GT12) nhằm gợi ý đi đến công thức tổng quát tính nguyên
hàm từng phần, phương pháp này dựa trên quy tắc tính vi phân của hai hàm số
d(uv) = udv + vdu
Nội dung phương pháp này thể hiện ở
định lí

1
(T138-GT12):
Nếu hai hàm số u(x) và v(x) có đạo hàm liên tục trên một khoảng hay đoạn nào
đó, thì trên khoảng hay đoạn đó

()'() ()() '()()
.
=−
=−
∫∫
∫ ∫
uxv xdx uxvx u xvxdx
hay udv uv vdu

Để áp dụng được phương pháp này đòi hỏi HS phải linh hoạt trong việc lựa chọn
cách phân tích biểu thức f(x)dx thành udv (hay u.v’dx) ở trong dấu

∫
, hoạt động 8
(T139-GT12) nhằm tập cho HS khả năng phân tích f(x)dx.
Về mặt nhận thức đòi hỏi HS nắm vững công thức, còn về mặt thực hành cần phải
trải qua luyện tập. Việc làm các hoạt động trước khi đưa ra phương pháp là rất quan
trọng. GV cần chọn thêm nhiều hoạt động để hình thành phương pháp cho HS.Khi thực
hành cần lưu ý sự phân tích biểu thức f(x)dx thành udv một cách thích hợp sao cho
nguyên hàm vdu
∫
nói chung đơn giản hơn udv
∫
thì mới hi vọng đi đến kết quả cuối
cùng. Có thể gặp trường hợp áp dụng liên tiếp tính nguyên hàm từng phần một số lần.

Ví dụ:

2
1) sin , 2) cos
t
Tính e t dt Tính x x dx
∫ ∫

Đối với phương pháp đổi biến số, trước hết SGK đưa ra hoạt động 9 (T139-
GT12) gợi ý về cách đổi biến số trong nguyên hàm .
Định lí 2 (T139-GT12) được phát biểu và chứng minh về phương pháp (hay
quy tắc) đổi biến số khi tính nguyên hàm .


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chun nghành PPGD MƠN TỐN
Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh

GVHD : TS Lê Văn Phúc
16

Định lí 2:

() ()
() ( ) ( ) ,
() '() () .
Nếu f t dt F x C và t u x là hàm số có đạo hàm liêntục thì
fux uxdx Fux C
=+ =
=+
∫
∫

Vì u’(x)dx = du, nên nếu đặt u = u(x) thì định lí 2 được phát biểu cách khác như sau:

() () () ()=+⇒ =+
∫∫
fxdx Fx C fudu Fu C

Và
Hệ quả
:
()
1
() () ( ) ( ) 0f x dx F x C f ax b dx F ax b C a
a
=+⇒ += ++ ≠
∫∫

Về ngun tắc, khi đổi biến số đối với một ngun hàm , ta dẫn đến ngun hàm
mới của biến số mới phải tính được ( tức là có trong bảng ) hay ít nhất phải có dạng đơn
giản hơn so với ngun hàm ban đầu.
Đối với phương pháp này cần lưu ý:
●Phép đổi biến số đặt t = u(x) hay x =
ϕ
(t) , nói chung khơng có ngun tắc, do
đó người làm tốn phải khơn khéo trong việc lựa chọn hàm số u(x) hay
ϕ
(t) . GV cần
soạn những bài tốn tìm ngun hàm với phép đổi biến dễ nhận ra hoặc hướng dẫn cách
đặt hàm t = u(x) hoặc
x =
ϕ
(t).
●Khi thực hiện đổi biến số, tính được ngun hàm theo biến mới, ta phải chuyển
về ngun hàm theo biến ban đầu.
●Trong SGV phần kiến thức bổ sung đề cập khá đầy đủ về phương pháp đổi biến
số trong tính ngun hàm giúp GV nắm vững hơn về vấn đề này.
2. Bài tích phân :
SGK bắt đầu bằng bài tốn tìm diện tích hình thang cong. Trước hết xét việc
tìm diện tích của hình thang (thẳng) với cạnh xiên cho bởi hàm số y = 2x + 1 (đường
thẳng ) và dẫn đến diện tích S (x) của hình thang cong với
15x
≤ ≤
là một ngun hàm
của f(x) = 2x + 1,
[ ]
1;5x∈

( Hoạt động 1 ( T143 – GT12).
Hoạt động 1 có 2 điều gợi ý sau đây :
+ Tính trực tiếp diện tích của một hình thang vng được cho bởi các đường
thẳng (dưới dạng đồ thị các hàm số ). Diện tích đó bằng :
31
428
2
+
=
.
+ S (x) =
2
32 1
(1) 2
2
x
x xx
++
− =+−
, diện tích hình thang (H2 – T143 –
GT12) là hàm số xác định trên đoạn
[ ]
1;5
. Vì S’(x) = 2x + 1, x
[ ]
1;5∈
nên S(x) là một
ngun hàm của f(x) = 2x + 1 ( đây là phương trình cạnh xiên của hình thang ). Do đó
diện tích hình thang T là S(5) – S(1) = 28 – 0 = 28. ( Hiệu số của giá trị ngun hàm tại
x = 5 và x = 1 ).

SGK đưa ra khái niệm hình thang cong : Trong mặt phẳng Oxy cho hình
phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hồnh và các đường x = a, x = b
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN
Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh
GVHD : TS Lê Văn Phúc
17
(a < b), trong đó f(x) là hàm số liên tục, không âm trên đoạn
[ ]
;
ab
( H.3 – T143-GT12).
Hình phẳng như vậy được gọi là hình thang cong (ở H.3 có thể cạnh aA hoặc bB thu lại
một điểm trên trục hoành ).
Ta đã biết cách tính diện tích hình chữ nhật, hình tam giác,…khái niệm hình thang
cong giúp ta giải quyết bài toán tìm diện tích một hình phẳng được giới hạn bởi một
đường cong khép kín. Bằng cách quy bài toán phức tạp về bài toán đơn giản, cuối cùng
ta giải quyết bài toán tìm diện tích hình thang cong với “cạnh trên” là đồ thị hàm số đơn
đ
iệu trên một đoạn (H.5 – T144 – GT12)
Một hình thang cong được tổng quát và dẫn đến kết luận :
“ Giả sử y = f(x) là hàm số không âm, liên tục trên đoạn
[ ]
;ab
và F(x) là
một nguyên hàm của f(x), khi đó diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị
hàm số f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là S = F(b) – F(a) ”
Chú ý : trường hợp đặc biệt, hàm số f(x) = c không đổi trên đoạn
[ ]
;ab
công thức

S(b) = F(b) – F(a) = cb – ca = c(b – a) (diện tích hình chữ nhật ).
Ngoài ra chúng ta cần chú ý :
1. Một hình phẳng bất kỳ đều có thể chia được một số hữu hạn hình thanh
cong và hình đối xứng với hình thang cong qua trục hoành. Do đó ta tính được diện tích
của hình phẳng bất kỳ nhờ tính cộng được của diện tích.
2. Người ta chứng minh được rằng mọi hình bị chặn trong mặt phẳng Oxy có
biên (cạnh) được cho bởi các đường cong thuộc các dạ
ng sau đây:
a) y = f(x), f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b] ,
b) x = g(y), g(y) là hàm số liên tục trên đoạn [c ;d] ,
c)
()
,
()
x t
yt
ϕ
ϕ ψ
ψ
=
⎧
⎨
=
⎩
là các hàm số có đạo hàm trên đoạn
[ ]
;
α β
và
[ ]

22
''0,;t
ϕ ψαβ
+≠∈
đều có diện tích.
Câu hỏi 2 và 3 trong hoạt động 1 là gợi ý cho quá trình xác định diện tích hình
thang cong, đồng thời gián tiếp phục vụ cho định nghĩa khái niệm tích phân. Chuẩn bị
phát biểu định nghĩa tích phân, ta tiến hành hoạt động 3. Việc chứng minh đẳng thức
F(b) – F(a) = G(b) – G(a).
Điều quan trọng cần rút ra là: Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a;b]
, thì hiệu số F(b) – F(a) không phụ thuộc việc lựa chọn nguyên hàm. Đó là cơ sở khoa
học để đưa ra định nghĩa tích phân. Định nghĩa này luôn luôn tồn tại vì mọi hàm số liên
tục trên một đoạn đều có đạo hàm trên đoạn đó.

Định nghĩa tích phân:
Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của
f(x) trên đoạn [a;b] . Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích
phân xác định trên đoạn [a;b] ) của hàm số f(x).
Kí hiệu tích phân từ a đến b của hàm số f(x) là
()
b
a
fxdx
∫

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN
Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh
GVHD : TS Lê Văn Phúc
18
Ta còn dùng kí hiệu

b
F(x)
a
để chỉ hiệu số F(b) – F(a) .Vậy:

() () () ()
b
a
b
f xdx Fx Fb Fa
a
==−
∫

Công thức trên được gọi là công thức Newton-Leibnitz (Niu-tơn-Lai-bơ-nit) .
Ta gọi
b
a
∫
là dấu tích phân với a là cận dưới và b là cận trên, f(x) là hàm số dưới
dấu tích phân và f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân.
SGK cũng đưa ra các trường hợp đặc biệt:
Trường hợp a = b , ta định nghĩa

()
a
a
fxdx
∫
= 0.

Trường hợp a > b , ta định nghĩa
()
b
a
fxdx
∫
= -
()
a
b
fxdx
∫

SGK nêu những ví dụ đơn giản ( ví dụ 3-T148-GT12) cho HS làm quen và áp
dụng công thức
Nhận xét:
1) Vì
() () () () ()
bbb
aaa
f x dx f t dt f u du F b F a== =−
∫∫∫
, nên tích phân
()
b
a
fxdx
∫

chỉ phụ thuộcvào f và các cận a , b mà không phụ thuộc vào chữ dùng làm biến số trong

tích phân.
2)Ý nghĩa hình học của tích phân:
Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a;b], thì tích phân
()
b
a
fxdx
∫
là
diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của f(x) , trục Ox và hai đường thẳng
x = a , x = b (H.3-T143-GT12)
Do đó: S =
()
b
a
fxdx
∫

Chúng ta cần chú ý thêm là:
Công thức Newton-Leibnitz:

() () () ()
b
a
b
f xdx Fx Fb Fa
a
==−
∫

Chỉ áp dụng được nếu biết nguyên hàm F(x) của f(x) trên đoạn [a;b].
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN
Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh
GVHD : TS Lê Văn Phúc
19
Tích phân
()
b
a
fxdx
∫
là một số, khác với nguyên hàm là một (họ) hàm số.
Định nghĩa tích phân ở đây được đưa ra đối với lớp hàm số liên tục trên một đoạn.
Định nghĩa này hẹp. Ở phần bài đọc thêm (T161-GT12) đưa ra định nghĩa tích phân một
cách tổng quát ( đối với lớp hàm xác định và bị chặn trên đoạn [a;b] ).
Về tính chất của tích phân, SGK chỉ nêu bốn tính chất cơ bản của tích phân.
Các tính ch
ất này nói lên các đặc trưng của tích phân là tuyến tính, cộng tính (về miền
lấy tích phân) và tính bảo toàn bất đẳng thức. Để giúp HS nắm vững các tính chất này
GV cần minh họa hình học.
Tính chất 1:

()
b
a
kf x dx
∫
=
()
b

a
kfxdx
∫
(k là hằng số)
Tính chất 2:

[]
() ()
b
a
fx gx dx
±
∫
=
()
b
a
fxdx
∫

()
b
a
gxdx
±
∫

Ở hoạt động 4 SGK yêu cầu chứng minh các tính chất 1 và 2, giúp cho HS hiểu rõ
vấn đề và mang tính thuyết phục.
Ví dụ 4(T149-GT12) được đưa ra sau khi đã nêu tính chất 1 và 2, để làm ví dụ này

HS phải áp dụng cả hai tính chất trên.
SGK đưa ra tính chất 3 , 4 và chứng minh cả hai tính chất. Sau mỗi tính chất đều
có ví dụ minh họa.
Tính chất 3:

()
b
a
fxdx
∫
=
()
c
a
fxdx
∫
+
()
b
c
fxdx
∫
(a <c <b)
Tính chất này cần minh họa hình học, đó là tính cộng được của diện tích.
Tính chất 4:
Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a;b] thì
() 0
b
a
fxdx

≥
∫

Và tính chất 4 có
hệ quả
là:
() (), [;] () ()
bb
aa
fx gx x ab fxdx gxdx≥∈⇒ ≥
∫∫

Để thực hiện hoạt động 5 tức là chứng minh hệ quả của tính chất 4 bằng cách xét
hàm số h(x) = f(x) – g(x)
0, [ ; ]x ab
≥∈
.
Ở tính chất 4 xảy ra dấu
""≥
, nếu hàm số f(x) liên tục và dương trên đoạn [a;b], ta
cũng có
()
b
a
fxdx
∫
> 0
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chun nghành PPGD MƠN TỐN
Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh
GVHD : TS Lê Văn Phúc

20
Vì f(x) > 0 , x
∈
[a;b] nên ngun hàm F(x) của nó tăng trên đoạn này.
Do đó, với a < b ta có :
0()()() () 0
b
a
b
Fb Fa Fx f xdx
a
<−= ⇒ >
∫

(GV có thể dựa vào phần chứng minh của tính chất 4 để có thể giải thích rõ hơn)
Ta có thể nhận thấy được nhờ tính chất 3, ta chứng minh được

()
b
a
fxdx
∫
= -
()
a
b
fxdx
∫
(b<a).
Để nắm vững các tính chất cơ bản của tích phân, GV đọc thêm phần kiến thức bổ

sung trong SGVGT12-T179.
Cơng thức Newton-Leibnitz và các tính chất của tích phân, ta có thể tính được một
số tích phân. Tuy nhiên nhiều tích phân thường gặp mà các cách trên chưa tính được.
Trong những trường hợp này ta cần đến các phương pháp khác.
SGK đưa ra 2 phương pháp tính tích phân cơ bản là: phương pháp tính tích phân
từng phần và phương pháp đổi biến số. Đây là 2 phương pháp quan trọng và điển hình
nh
ất trong việc giải các bài tốn tính ngun hàm - tích phân .
Hoạt động 6 (T152-GT12) nhằm dẫn dắt HS đến với phương pháp tính tích phân
từng phần, tương tự như hoạt động 6 (ở bài ngun hàm T138-GT12). Để thực hiện
hoạt động 6 trước hết ta tính các tích phân
()
00
cos cos 'x dx và x x dx
ππ
∫∫
nhờ cơng thức
Newton-Leibnitz.
Ta có:

()()
00
cos sin 0 , cos ' cos
00
xdx x x x dx x x
ππ
ππ
π
== = =−
∫∫

() ( )
000
(cos)'cos sin ,
cos ' cos sin
Vì x x x x x nên
x x dx x dx x x dx
πππ
=−
=+−
∫∫∫


()()
000
sin cos ' cos (*)Do đó x x dx x x dx x dx
πππ
π
−= −=−
∫∫∫


()
0
:sin .Vậy x x dx
π
π
=
∫

Ở đây cần phân tích cho HS thấy rằng nếu đặt u=x và dv = -sinxdx thì
()
0
sinx xdx
π
−
∫
có
dạng
0
udv
π
∫
, và
0
cos x dx
π
∫
có dạng
0
vdu
π
∫

Đẳng thức (*) thuộc dạng
LUN VN TT NGHIP HAG - Chuyờn nghnh PPGD MễN TON
Sinh viờn: Dng Th Bớch Hnh
GVHD : TS Lờ Vn Phỳc
21

()
bb b b
aa a a
b
udv d uv vdu uv vdu
a
==


Khi ú vic phỏt biu v chng minh nh lớ v phng phỏp tớnh tớch phõn tng
phn s d dng c ún nhn.
nh lớ(phng phỏp tớnh tớch phõn tng phn ):
Nu u(x) v v(x) l hai hm s cú o hm liờn tc trờn on [a;b] thỡ

()
()'() ()() '()()
bb
aa
bb
aa
b
uxv xdx uxvx u xvxdx
a
b
hay udv uv vdu
a
=
=

SGK a ra 3 vớ d rt in hỡnh cho phng phỏp tớnh tớch phõn tng phn l

Tuy nhiờn cng nờn a ra vớ d v tớch phõn luõn hi nh tớnh

1
cos(ln )
:
1
cos(ln )
sin(ln )
:
e
Ixdx
Giaỷi
ux
du x
ẹaởt
x
dv dx
vx

=


=
=

=


=




1
11
1
1
:
1
cos(ln ) . sin(ln ) 1 sin(ln ) 1
1
sin(ln )
ee
e
Do ủoự
e
I xx x xdx xdx I
x
Tớnh I x dx

= + = + = +
=




1
sin(ln )
cos(ln )
:
ux
du x
ẹaởt
x
dv dx
vx

=
=




=


=

1
11
1
: sin(ln ) . cos(ln ) cos(ln )
1
ee
e
Do ủoự I x x x x dx x dx I
x


= = =



:1
1
21
2
Vaọy I I
II



=

==

Phng phỏp i bin s rt cú hiu qu khi tớnh nguyờn hm. Trong vic tớnh tớch
phõn, phng phỏp ny li cng cn thit hn na. phn ny SGK a ra 2 dng i