Ứng dụng tính liên tục của hàm số để giải toán

Ph ơng pháp hàm số
Phơng trình và hệ phơng trình bất phơng trình
Bài 1 (KD_2006)
CMR với mọi a>0 Hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất
ln(1 ) ln(1 ) (1)
(2)
x x
e e x y
y x a

= + +

=

HD
ĐK x,y>-1
Từ (2) thay và (1) chỉ ra f(x)>0 khi a>0 và x>-1
F(x) đồng biến và liên tục (-1;+)

1
( ) ( )
x x
Limf x Limf x
+
= = +
Kết luận phơng trình có nghiệm duy nhất
Bài 2 (KD_2004)
CMR phơng trình sau có đúng một nghiệm
5 2
2 1 0x x x =
Bài 3 (Đề DB _2004)

CMR phơng trình sau có đúng một nghiệm duy nhất
1
( 1)
x x
x x
+
= +
Bài 4 (Đề DB _2004)
Cho hàm số
2
( ) sin .
2
x
x
f x e x= +
Tìm GTNN của hàm số và CMR ph-
ơng trình f(x)=3 có đúng 2 nghiệm
Bài 5 Giải phơng trình
( )
1 cos (2 4 ) 3.4
cosx cosx
x+ + =
HD: Đặt cosx=y , -1y1 theo bài ra ta có phơng trình
( )
1 (2 4 ) 3.4
y y
y+ + =

hay f(y)=0 với
3.4

( ) 1 0
2 4
y
y
f y y= =
+
Tính f(y)=0 là phơng trình bậc 2 theo 4
y
có không quá 2 nghiệm . Vởy theo định lý Rolle thì phơng trình f(y)=0 có
không quá 3 nghiệm mặt khác ta có y=0; y=1/2; y=1 là 3 nghiệm của phơng
trình f(y)=0 : suy ra phơng trình đã cho có nghiệm là . . . .
Bài 6 (Đề DHQG _2000) Cho
( )
2
( ) 1 6 2 1
6
x
x
f x m m= + +
Tìm m để
[ ]
1
( 6 ). ( ) 0 0;1


x
x f x voi moi x

HD: x=1 bất phơng trình thoả mãn không phụ thuộc vào m chỉ cần tìm m sao
cho bất phơng trình thoả mãn với mọi x thuộc [0;1)

Chú ý
1
1
( ) 6 6
6
x
x
h x x x


= =
ữ

là hàm số đồng biến và h(1)=0 thì h(x)<0 với
mọi x thuộc miền đang xét . Do đó chỉ ccần tìm m sao cho f(x) 0 với mọi x
Đặt t=6
x
sử dụng BBT trên [1;6] dáp số m1/2
Bài 7 Cho phơng trình
( ) ( )
1 3 3 1x x x x m+ + + + =
1) Giải phơng trình khi m=2
2) Tìm m để phơng trình có nghiệm
HD
1 3 2 2 2 2x x m= =
Bài 8 Cho phơng trình
( )
= +
2
2 1cos x m cos x tgx

1) Giải phơng trình khi m=1
2) Tìm m để phơng trình có nghiệm thuộc
0;
3
x





HD Đặt t=tgx
0; 3t



Đa phơng trình về dạng
2
1
( )
1
t
f t m
t

= =
+

Chỉ ra f(t)<0 với t thuộc miền trên ĐS
2
1

1 3
m


+
Bài 9 Cho phơng trình
2
4 3
2
x
x x m + = +
Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình
HD:
(
] [
)
;1 3;D = +

2
( ) 4 3
2
x
f x x x m= + =
Lập BBT:
KL:
m<-1/2 vô nghiệm
3 1
;
2 2
m

ữ


có 1 nghiệm duy nhất
1
;
2
m

+
ữ


có 2 nghiệm
Chứng minh bất ẳng thức
Bài 1 Chứng minh rằng
sin 2 sin
sin sin
2
x nx
x nx
n
+ + + >
trong đó n là số
nghuyên lớn hơn 1 và
0 x
n

< <
HD: Xét hàm số
sin 2 sin
( ) sin sin 0;
2
x nx
f x x nx voi x
n n


= + + +
ữ



Lấy đạo hàm
= + + + '( ) cos cos2 cos cosf x x x n n nx
Dễ thấy y=cost nghịch
biến trên [0;) và cost=0 khi t=0 từ đó
1
'( ) (cos cos ) 0
n
i
f x ix nx
=
= >

Suy ra hàm
số f(x) tăng thực sự trên
0;

n


ữ

nên f(x)>0
Bài toán cực trị
Bài 1 (Đề DB _2004)
Gọi (x;y) là nghiệm của hệ phơng trình
2 4
3 1
x my m
mx y m
=


= = +

Tìm GTLN của biểu thức
2 2
2A x y x= +
khi m thay đổi
Bài 2 (KB_2006)
Cho x,y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau
( ) ( )
2 2
2 2
1 1 2A x y x y y= + + + + +
HD
Xét M(1-x;y) và N(1+x;y) ta có OM+ONMN

Suy ra
( ) ( )
2 2
2 2 2
1 1 4 4x y x y y + + + + +
xày ra khi x=0
2
2 1 2 ( )A y y f y + + =
Lập Bảng biến thiên khi y>2 và y<2
Qua BBT suy ra
1
min 2 3 ( ; ) 0;
3
A khi x y

= + =
ữ

Bài 3 (Đề DB _2004)
Cho hàm số
2
( ) sin .
2
x
x
f x e x= +
Tìm GTNN của hàm số và CMR ph-
ơng trình f(x)=3 có đúng 2 nghiệm
Bài 4: Tìm GTNN của hàm số
4 2

( ) sin cos .sinf x cos x x x x= + +
HD
2
sin 2 sin 2
( ) 1 sin 2
4 2
x x
f x Dat t x= + + =
ĐS ẳ
Bài 5 Tìm GTNN, GTLN của hàm số
4 2
( ) sin cos .sinf x cos x x x x= + +
HD
2
sin 2 sin 2
( ) 1 sin 2
4 2
x x
f x Dat t x= + + =
với t thuộc [-1;1]
2
3
( ) 1
4 2
a
f t t t= + +
Tìm GTLN,GTNN của f(t) theo tham số a
Vì f(t) có nghiệm t=a/3 so sánh với 1 ĐS

2

1
3 12
LN
a a
y f

= = +
ữ


[ ]
1
3 0
4 2
min (1); ( 1)
1
0 3
4 2
NN
a
neu a
y f f
a
neu a

+


= =

Dùng đạo hàm để tính giới hạn của hàm số
Chú ý
Nêu định nghĩa của đạo hàm
Bài 1 Tính giới hạn
3 2
2
1
5 7
lim
1
x
x x
A
x

+
=

(ĐHTCKT 2001)
HD :
( )
3 2
( ) 5 7 1 0f x x x f= + =
( ) ( )
2 2
3

1 2 5
' ' 1
12
2 5
3 ( 7)
x
f x f
x
x

= =

+
Suy ra
( ) ( )
( )
( )
1
1
1
lim
' 1
5
1
lim 1 2 24
x
x
f x f
f
x

A
x





= = =
+
Bµi 2 TÝnh giíi h¹n
3 2
0
2 1 1
lim
sin
x
x x
A
x
→
+ − +
=
(§HQGHN 2000)
HD :
( )
3 2
( ) 2 1 1 0 0f x x x f= + − + ⇒ =
( ) ( )
2 2
3

1 2
' ' 0 1
2 1
3 ( 1)
x
f x f
x
x
= − ⇒ =
+
+
v×
0
sin
lim 1
x
x
x
→
=
Suy ra
( ) ( )
( )
0
0
' 0
0
lim 0
1
x

f x f
f
x
A
sinx
x
→
−
−
= = =
Bµi 3 TÝnh giíi h¹n
0
1 2 1
lim
3 4 2
x
x sinx
A
x x
→
− + +
=
+ − −
(§H GTVT 1998)
HD :
( ) ( )
( ) 1 2 1 0 0, ' 0 0f x x sinx f f= − + + ⇒ = =
( ) ( ) ( )
1
3 4 2 0 0, ' 0

4
g x x x g g= + − − => = = −
Suy ra
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
0
0
' 0
0
lim 0
0
' 0
0
x
f x f
f
x
A
g x g
g
x
→
−
−
= = =
−
−
Bµi 4 TÝnh giíi h¹n

sin 2 sin
0
lim
sin
x x
x
e e
A
x
→
−
=
(§H Hµng H¶i 1999)
HD :
( )
sin 2 sin
( ) 0 0,
x x
f x e e f= − ⇒ =
Suy ra
( )
sin 2 sin
0
' 0
0
lim 1
sin
1
x x
x

e e
f
x
A
x
x
→
−
−
= = =
Bµi 5 TÝnh giíi h¹n
3
2
4
1
lim
2sin 1
x
tgx
A
x
π
→
−
=
−
(§H Hµng H¶i 1999)
HD :
3
( ) 1 0,

4
f x tgx f
π
 
= − ⇒ =
 ÷
 
( )
2
2sin 1 0,
4
g x x g
π
 
= − => =
 ÷
 
Suy ra
2
'
1
4
3
2 3
'
4
f
A
g
π

π
 
 ÷
 
= = =
 
 ÷
 
Bµi 6 TÝnh giíi h¹n
( )
2
9
0
2001 1 5 2001
lim
x
x x
A
x
→
+ − −
=
(§H Hµng H¶i 1999)
HD :
( )
( )
2
9
( ) 2001 1 5 2001 0 0,f x x x f= + − − ⇒ =
( ) ( )

( )
0
0
5.2001
lim ' 0
0 9
x
f x f
A f
x
→
−
−
= = =
−
Bµi 7 TÝnh c¸c giíi h¹n sau
lim ( 0)
x a
x a
a x
a
x a
→
−
>
−
3
1
2
2 2 6

lim
2 2
x x
x x
x
−
− −
→
+ −
−
3 2 3 3
0
1 1
lim
x
x x x
x
→
+ + − +
2
2
0
3 cos
lim
x
x
x
x
→
−

(§HSP2 2000)
2
2 3 2
0
1
lim
ln(1 )
x
x
e x
x
−
→
− +
+
3
2
0
1 2 1 3
lim
x
x x
x
→
+ − +
(§H Thuû Lîi)