ứng dụng sự biến thiên của hàm số để giải một hệ phương trình

Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu

Chuyên đề
ỨNG DỤNG SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH
Huỳnh Chí Hào
I. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Các định lý
• Cho hàm số
y f (x)
=
có đạo hàm trên khoảng
(
)
;
a b
.
a) Nếu
(
)
f ' x 0
>
với mọi
(
)
x a; b
∈
thì hàm số
f (x)
đồng biến trên
(

)
;
a b
.
b) Nếu
(
)
f ' x 0
<
với mọi
(
)
x a; b
∈
thì hàm số
f (x)
nghịch biến trên
(
)
;
a b
.
• Nếu hàm số liên tục trên đoạn
[
]
a; b
và có đạo hàm
f '(x) 0
>
trên khoảng

(
)
a;b
thì hàm số f đồng
biến trên đoạn
[
]
a;b
.
• Nếu hàm số liên tục trên đoạn đọan
[
]
a;b
và có đạo hàm
f '(x) 0
<
trên khoảng
(
)
a;b
thì hàm số f
nghịch biến trên đoạn
[
]
a;b
.
2. Các tính chất
• Tính chất 1: Giả hàm số
(
)

y f x
=
đồng biến (nghịch biến) trên khoảng
(
)
a;b
và
(
)
u; v a;b
∈
khi
đó:
(
)
(
)
f u f v u v
= ⇔ =

• Tính chất 2: Nếu hàm số
(
)
y f x
=
đồng biến trên
(
)
a;b
và

(
)
y g x
=
làm hàm hằng hoặc là một
hàm số nghịch biến trên
(
)
a;b
thì phương trình
(
)
(
)
f x g x
=
có nhiều nhất một nghiệm thuộc
khoảng
(
)
a;b
.
Dựa vào tính chất trên ta suy ra:
Nếu có
(
)
0
x a; b
∈
sao cho

(
)
(
)
0 0
f x g x
=
thì phương trình
(
)
(
)
f x g x
=
có nghiệm duy nhất
0
x

trên
(
)
a; b
.
Chú ý: Khoảng
(
)
a; b
nêu trong tính chất có thể thay bởi các miền

(

)
(
]
[
]
(
]
[
)
(
)
[
)
(
)
; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;a a a b a b a b b b
−∞ −∞ +∞ +∞ −∞ +∞

II. ÁP DỤNG


Thí dụ 1. Giải phương trình
15 3 6
x x
− + − =
(1)
Lời giải.
• TXĐ:
(
]

;3
D
= −∞

• Xét hàm số
( ) 15 3
f x x x
= − + −
với
(
]
;3
x ∈ −∞
, khi đó:

(
)
(
)
(
)
1
1
ff x⇔ =
−
(2)
• Khảo sát tính đơn điệu của hàm số
f
trên nữa khoảng
(

]
;3
−∞

Ta có:
( )
1 1
'( ) 0 ;3
2 15 2 3
f x x
x x
= − − < ∀ ∈ −∞
− −

• Do
f
liên tục trên nữa khoảng
(
]
;3
−∞
và
(
)
(
)
' 0 ;3
f x x< ∀ ∈ −∞
nên
f

đồng biến trên nữa
khoảng
(
]
;3
−∞

• Suy ra:
(
)
2 1
x
⇔ = −

• Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất là
1
x
= −
.


Thí dụ 2. Giải phương trình
3 5 2 3 2 12
x x x
− + + = + −
(1)
Lời giải.
• TXĐ:
5
;12

3
D
 
=
 
 

Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu

Ta có:
(
)
1 3 5 2 3 12 2
x x x
⇔ − + + − − =
(2)
• Xét hàm số
( ) 3 5 2 3 12
f x x x x
= − + + − −
với
5
;12
3
x
 
∈
 
 
, khi đó:

(
)
(
)
(
)
1
3
f
f x⇔ =
(3)
• Khảo sát tính đơn điệu của hàm số
f
trên đoạn
5
;12
3
 
 
 

Ta có:
3 1 1 5
'( ) 0 ;12
3
2 3 5 2 3 2 12
f x x
x x x
 

= + + > ∀ ∈
 
− + −
 

Do
f
liên tục trên đoạn
5
;12
3
 
 
 
và
( )
5
' 0 ;12
3
f x x
 
> ∀ ∈
 
 
nên
f
đồng biến trên đoạn
5
;12
3

 
 
 

• Suy ra:
(
)
3 3
x
⇔ =

• Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất là
3
x
=
.


Thí dụ 3. Giải phương trình
7 3
3 5 4 3
x x x
− − = −
(1)
Lời giải.
• TXĐ:
5
;
4
D

 
= −∞


 

Ta có:
(
)
7 3
1 3 5 4 3
x x x
⇔ + − − =
(2)
• Xét hàm số
7 3
( ) 3 5 4
f x x x x
= + − −
với
5
;
4
x
 
∈ −∞


 
, khi đó:

(
)
(
)
(
)
1
1
f
f x⇔ =
(3)
• Khảo sát tính đơn điệu của hàm số
f
trên nữa khoảng
5
;
4
 
−∞


 

Ta có:
6 2
2 5
'( ) 21 3 0 ;
4
5 4

f x x x x
x
 
= + + > ∀ ∈ −∞
 
−
 

Do
f
liên tục trên đoạn
5
;
4
 
−∞ −


 
và
( )
5
' 0 ;
4
f x x
 
> ∀ ∈ −∞
 
 
nên

f
đồng biến trên nữa
khoảng
5
;
4
 
−∞ −


 

• Suy ra:
(
)
3 1
x
⇔ =

• Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất là
3
x
=
.


Thí dụ 4. Giải phương trình
2 2
2 23 4 2 2 7
x x x

+ = − + +
(1)
Lời giải.
• Ta có:
( )
2 2
1 2 23 2 7 4 2
x x x
⇔ + − + = −
(2)
Do VT(2) luôn dương với mọi x nên với
1
2
x
≤
thì (1) vô nghi
ệ
m
•
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
1
2
x
>

•

Xét hàm s
ố

2 2
( ) 4 2 2 7 2 23
f x x x x
= − + + − +
v
ớ
i
1
;
2
x
 
∈ +∞
 
 
, khi
đ
ó:

( ) ( ) ( )
2 2
2 4 2 2 7 2 23 0
1
x x f x
f

x⇔ − + + − + = ⇔ =
(3)
•

Kh
ả
o sát tính
đơ
n
đ
i
ệ
u c
ủ
a hàm s
ố

f
trên kho
ả
ng
1
;
2
 
+∞
 
 

Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu

Ta có:
2 2
1 1 1
'( ) 4 2 0 ;
2
2 7 2 23
f x x x
x x
 
 
= + − > ∀ ∈ +∞
 
 
 
+ +
 

Do
đ
ó
f

đồ
ng bi
ế
n trên kho
ả
ng
1
;

2
 
+∞
 
 

•

Suy ra:
(
)
3 1
x
⇔ =

•

V
ậ
y ph
ươ
ng trình (1) có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t là
3
x
=
.





Thí dụ 5. Giải phương trình
(
)
3
4 1 2 1 0
x x x x
+ − + + =
(1)
Lời giải.
• TXĐ:
1
;
2
D
 
= − +∞


 

• Ta có:
( ) ( )
(
)
3
3

2 2 2 1 21
1
x x x x
⇔ + +
+ +
= (2)
• Xét hàm đặc trưng
3
( )
f t t t
= +
với
t
∈
»
, khi đó:

( ) ( )
(
)
2 2 2 1
f x f x
⇔ = +
(3)
• Khảo sát tính đơn điệu của hàm số
f
trên
»

Ta có:

2
'( ) 3 1 0
f t t t
= + > ∀ ∈
»

Do đó
f
đồng biến trên
»

• Suy ra:
( )
2
0
0
1 5
3 2 1 2
1 5
4
4 2 1 0
4
x
x
x x x
x x
x
≥

≥


+

⇔ + = ⇔ ⇔ ⇔ =
 
±
− − =
=




• Vậy phương trình (1) có nghiệm là
1 5
4
x
+
=
.


Thí dụ 6. Giải phương trình
( )
(
)
(
)
2 2
2 1 2 4 4 4 3 2 9 3 0
x x x x x

+ + + + + + + =
(1)
Lời giải.
• TXĐ:
D
=
»

•
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 1 2 11 2 3
3 2 3
3x x x x
   
⇔ + + = + +
   
 
−

+ −

+
(2)

•

Xét hàm
đặ

c tr
ư
ng
(
)
2
( ) 2 3
f t t t
= + +
v
ớ
i
t
∈
»
, khi
đ
ó:

(
)
(
)
(
)
2 2 1 3
f x f x
⇔ + = −
(3)
•

Kh
ả
o sát tính
đơ
n
đ
i
ệ
u c
ủ
a hàm s
ố

f
trên
»

Ta có:
2
2
2
'( ) 2 3 0
3
t
f t t t
t
= + + + > ∀ ∈
+
»

Do đó
f
đồng biến trên
»

• Suy ra:
( )
1
3 2 1 3
5
x x x
⇔ + = − ⇔ = −
8
•

V
ậ
y ph
ươ
ng trình (1) có nghi
ệ
m là
1
5
x
= −
.


Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu
BÀI TẬP
Giải các phương trình sau
1.
3 1 8 1
x x
+ = − +

2.
9 2 4 5
x x
+ + + =

3.
6 8
6
3 2x x
+ =
− −

4.
(
)

(
)
(
)
(
)
2 2 1 3 6 4 2 2 1 3 2
x x x x x x
+ − − + = − + − + +

5.
3 2
3
8 36 53 25 3 5
x x x x
− + − = −

6.
(
)
3 2
3 4 2 3 2 3 1
x x x x x
+ + + = + +

7.
(
)
(
)

2 3 5
log log 2 1 log 7 9 3
x x x
+ − + − =

8.
2
2 2
1 1 2
1 1
2 2
2
x x
x x
x
− −
− = −

9.
222)1
2
1
(32
1
2
28
log
2
1
12

2
+++=++
+
+
+
+
x
x
x
x
xx






Hết

Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu

Chuyên đề

ỨNG DỤNG SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Huỳnh Chí Hào



Thí dụ 1. Giải hệ phương trình

x y 1 y 1 x 0 (1)
x 1 y 2 (2)

− + − − − =

+ − =


Lời giải.
• Điều kiện
{
0 x 1
0 y 1
≤ ≤
≤ ≤

• Khi đó:
(
)
x 1 x y 1 y )
1
(a
− − =⇔ − −

• Xét hàm đặc trưng:
(
)
f t t 1 t
= − −
với

[
]
t 0;1
∈

Ta có:
( ) ( )
1 1
f ' t 0 t 0;1
2 t 2 1 t
= + > ∀ ∈
−
và f liên tục trên đoạn
[
]
0;1

Suy ra:
(
)
f t
đồng biến trên đoạn
[
]
0;1

• Do đó:
(
)
(

)
(
)
f x f x y
a y
⇔
= ⇔ =

• Thay
x y
=
vào phươ
ng trình (2) ta
đượ
c ph
ươ
ng trình:

( ) ( )
1
x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 2 x 1 x 1 x
2
+ − = ⇔ + − + − = ⇔ − = ⇔ =

•

V
ậ
y nghi
ệ

m c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình là
( )
1 1
x; y ;
2 2
 
=
 
 
.




Thí dụ 2. Giải hệ phương trình
( ) ( )
3 3 2
2 2
8 6 6 9 2 0 (1)

4 1 4 3 1 3 1 0 (2)
x y y x y
x x y y


− + − − + =


+ − − − − + =




Lời giải.
• Điều kiện
1 1
,1 3
2 2
x y
− ≤ ≤ ≤ ≤

•

Khi
đ
ó:
3 3 2 3 3
(1) 8 6 6 9 2 ( ) 3( ) (2 2
) 3( )
2

2
(a)
x x yx y y y yx −⇔ − = − + − ⇔ − −= −

•

Do
1 1
2 2
x
− ≤ ≤
nên
1 2 1
x
− ≤ ≤
và
1 3
y
≤ ≤
nên
1 2 1
y
− ≤ − ≤
.
•

Xét hàm
đặ
c tr
ư
ng
3
( ) 3
f t t t

= −
, v
ớ
i
[
]
1;1
t ∈ −
.

Ta có
2 2
'( ) 3 3 3( 1) 0
f t t t
= − = − ≤
, v
ớ
i m
ọ
i
[
]
1;1
t ∈ −
.
Suy ra
(
)
f t
ngh

ị
ch bi
ế
n trên
đ
o
ạ
n
[
]
1;1
−
.

•

Do
đ
ó:
(
)
(2 ) ( 2) 2 2 2 2
a f x f y x y y x
⇔ = − ⇔ = − ⇔ = +
.
•

Thay
y 2x 2
= +

vào ph
ươ
ng trình (2) ta
đượ
c ph
ươ
ng trình:

2 2 2 2 4 2
2 3 3
4 2 1 4 1 0 4 1 2 1 4 16 24 3 0
2
x x x x x x x
−
− − + = ⇔ + = − ⇔ + − = ⇔ = ±

•

V
ậ
y nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình là
( ) ( )

2 3 3 2 3 3
; ; 2 2 3 3 ; ; 2 2 3 3
2 2
x y x y
   
− −
   
= + − ∨ = − − −
   
   
.


Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu


Thí dụ 3. Giải hệ phương trình
( )
3 2 2
3 2 3 2
1 (
1)

9 6 3 15 3 6 2 (2)
x x y x x y
x y x y x

− = − + +



− + − − = +


(1)
Lời giải.
• Ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
x x y x x y x x y x y x x y x x
⇔ − = − + + ⇔ − + − = + ⇔ − + = +


1 0
x y
⇔ − − =
(vì
2
1 0,
x x
+ > ∀

)
• Thay
y x 1
= −
vào phương trình (2) ta được phương trình

( ) ( )
(
)
3
3 2 3 2 32 2
9 6 6 3 6 2 3 3 (
1 1 6 2 6
a)
2x xx xx x x x−− + − = + − +⇔ = ++ +

• Xét hàm đặc trưng
3
( ) 3
f t t t
= +
, với
t
∈
»
.
Ta có
2
'( ) 3 3 0
f t t

= + >
, với mọi
t
∈
»
.
Suy ra
(
)
f t
đồng biến trên
»
.
• Do đó:
( )
3 3
2 2 3 2
( 1) ( 6 2) 1 6 2 9 3 3 0
a f x f x x x x x x
⇔ − = + ⇔ − = + ⇔ − + − =
.

( ) ( ) ( )
3
3 2
3
3
2 1
1 2 1 1 2 1
2 1

x x x x x
+
⇔ + = − ⇔ + = − ⇔ =
−

• Với
3
3 3
2 1 2
2 1 2 1
x y
+
=
⇒
=
− −

• Vậy nghiệm của hệ phương trình là
( )
3
3 3
2 1 2
; ;
2 1 2 1
x y
 
+
=
 
 

− −
 
.


Thí dụ 4. Giải hệ phương trình
3
2
(6 5) 2 1 2 3 0 (1)
2 4 23 (2)
x x y y
y x x x

+ + − − =


+ = + −




Lời giải.
• Điều kiện
2
2 1 0
2 5 2
0
2
2 4 23 0
x

x x
x x

+ ≥
− +

≥ ⇔ ≥


+ − ≥


•

Khi
đ
ó:
(
)
(
)
2
(1) 2 3 2 3 (a
2 1 2 1
)
x x y y⇔ + = +
 
 
+ +

•

Xét hàm
đặ
c tr
ư
ng
(
)
2 3
( ) 2 3 3 2
f t t t t t
= + = +
, v
ớ
i
[
)
0;t
∈ +∞
.

Ta có
2
'( ) 9 2 0
f t t
= + >
, v
ớ
i m

ọ
i
[
)
0;t
∈ +∞
.
Suy ra
(
)
f t

đồ
ng bi
ế
n trên
[
)
0;
+∞
.

•

Do
đ
ó:
(
)
( 2 1) ( ) 2 1

a f x f y x y
⇔ + = ⇔ + =
.
•

Thay
y 2x 1
= +
vào ph
ương trình (2) ta được phương trình:

2 2 2
2 2
2
2
2
2 1 2 4 23 3 1 2 2 2 4 23
2 2 2 24 0
4
2 6

2 36 0 4
9
2 4
2
x x x x x x x x x
x x x x
x
x x
x x x

x
x x
+ + = + − ⇔ + + + = + −
⇔ + − + − =
=


+ =


⇔ ⇔ + − = ⇔ ⇔ =

= −

+ = −



• Với
4 3
x y
= ⇒ =

• Vậy nghiệm của hệ phương trình là
(
)
(
)
; 4;3
x y =

.


Thí dụ 5. Giải hệ phương trình
(
)
( )
2
2 2
4 1 3 5 2 0
4 2 3 4 7
x x y y
x y x

+ + − − =


+ + − =



(1)

Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu
Lời giải.
• Điều kiện
3 5
,
4 2
x y

≤ ≤

• Khi đó:
(
)
(
)
2
4 2 5 2(1) 1 . 1 5 2
(a)
x x y y⇔ + = +− −

• Xét hàm đặc trưng
(
)
2 3
( ) 1
f t t t t t
= + = +
, với
t
∈
»
.
Ta có
2
'( ) 3 1 0
f t t
= + >
, với mọi

t
∈
»
.
Suy ra
(
)
f t
đồng biến trên
»
.
• Do đó:
( )
2
0
(2 ) ( 5 2 ) 2 5 2
5 4
2
x
a f x f y x y
x
y
≥


⇔ = − ⇔ = − ⇔

−
=



.
• Thay
2
5 4x
y
2
−
=
vào phương trình (2) ta được phương trình:

2
2 2
5
4 2 2 3 4 7 0 (b)
2
x x x
 
+ − + − − =
 
 

• Nhận thấy
0
x
=
và
3
4
x

=
không là nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình (b)
•

Xét hàm s
ố

2
2 2
5
( ) 4 2 2 3 4 7
2
g x x x x
 
= + − + − −
 
 
v
ớ
i
3
0;
4
x

 
∈
 
 
, khi
đ
ó:

( ) ( )
1
2
b g x g
 
⇔ =
 
 
(3)
•

Kh
ả
o sát tính
đơ
n
đ
i
ệ
u c
ủ
a hàm s

ố

g
trên kho
ả
ng
3
0;
4
 
 
 

Ta có:
( )
2 2
5 4 4 3
'( ) 8 8 2 4 4 3 0 0;
2 4
3 4 3 4
g x x x x x x x
x x
   
= − − − = − − < ∀ ∈
   
− −
   

Do
đ

ó
f

đồ
ng bi
ế
n trên kho
ả
ng
3
0;
4
 
 
 

•

Suy ra:
( )
1
3
2
x
⇔ =


•

V

ớ
i
1
2
2
x y
= ⇒ =

•

V
ậ
y nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình là
( )
1
; ;2
2
x y
 
=
 
 

.





Thí dụ 6. Giải hệ phương trình
( )
2
1
2
8
2
1
2
2 4 3(2 ) (1)
3 7
2 (2)
2 2
y
x
x y
y x
x y
+
+
+


− = −




+ + =



(*)
Lời giải.
• Điều kiện:
0
0
x
y
≥


≥


• Khi đó: (*)
( )





=++
+=+
⇔

+
+
+
+
732
43232
1
2
1
2
)4(
1
2
yx
yx
yx
y
x

• Xét hàm số
2
1
( ) 2 3
t
f t t
+
= +
với
[
)

0 ;t
∈ + ∞

Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu
Ta có:
( ) ( )
2
1
3
'( ) 2 .ln 2. 2 0 0;
2
t
f t t t
t
+
= + > ∀ ∈ +∞
và f liên tục trên
[
)
0 ;
+ ∞

Do đó
f
đồng biến trên khoảng
[
)
0 ;
+ ∞

• Suy ra: (1)



















=
=
⇔
=+
=
⇔
=+
=
⇔
5

1
5
4
1
4
)1()(
)4()(
y
x
yx
yx
fyxf
yfxf
.
• Vậy hệ phương trình có nghiệm là:
( )
4 1
; ;
5 5
x y
 
=
 
 
.


Thí dụ 7. Giải hệ phương trình
(
)

(
)
2 2 4 2
2
1 (1)
4 5 8 6 (2)
x x y y y
x y

+ = +



+ + + =


Lời giải.
• Điều kiện
5
4
x
≥ −

•
Nh
ậ
n th
ấ
y
0

y
=
không th
ỏ
a mãn h
ệ
•
Khi
đ
ó:
3
3
(1)
x x
y y
y y
 
⇔ + = +
 
 
(a)

•

Xét hàm
đặ
c tr
ư
ng
3

( )
f t t t
= +
, v
ớ
i
t
∈
»
.

Ta có
2
'( ) 3 1 0
f t t
= + >
, v
ớ
i m
ọ
i
t
∈
»
.
Suy ra
(
)
f t

đồ
ng bi
ế
n trên
»
.

•

Do
đ
ó:
( ) ( )
2
x x
a f f y y x y
y y
 
⇔ = ⇔ = ⇔ =
 
 
.
•

Thay
2
x y
=
vào ph
ươ

ng trình (2) ta
đượ
c ph
ươ
ng trình:

( )( )
( )( ) ( )
2
2
4 5 8 6 2 4 5 8 23 5
5 23
23
23
4 5
5
1
5
1
42 41 0
4 4 5 8 23 5
41
x x x x x
x
x
x
x
x
x x
x x x

x
+ + + = ⇔ + + = −

− ≤ ≤



≤
≤
  
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =
  
=

  
− + =
+ + = −




=



• Với
1 1
x y
=
⇒

= ±


• Vậy nghiệm của hệ phương trình là
(
)
(
)
(
)
(
)
; 1; 1 ; 1;1
x y x y= − ∨ =
.

BÀI TẬP
Giải các hệ phương trình sau


1.
6 1 2 1
6 1 2 1
x y
y x

+ − =


+ − =



2.
( )





=−+−+
−−=−
−
04122
2
3
22
2
2
2
2
2
1
xyxxyx
xy
y
x
x

3.
(

)
(
)
( ) ( )
2 2
2 2
log 4 log 4 2
4 10 2 . 2 1
x x y y
xy x y x y

+ + + + − =



− + + = + −

4.
( ) ( )
−

+
=

+


+ + = + + +

2 2

2
2
3 2
1


1
3log 2 6 2log 2 1
y x
x
e
y
x y x y


Hết