ứng dụng sự biến thiên của hàm số để giải một phương trình và hệ phương trình

Chuyên đề BDHSG K10

ỨNG DỤNG SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Huỳnh Chí Hào

I. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Hàm số hợp
Định nghĩa:
Cho hai hàm số
,
f g
có miền xác định
,
f g
D D
tương ứng. Giả sử ta có


f
g x D
 với mọi
g
x D
 .
Khi đó ta định nghĩa hợp của hai hàm số
f
và
g
, ký hiệu

f g

, là hàm số xác định trên
f
D
và

g
x D
  ,






f g x f g x
 

 


Ví dụ: Với


1
f x x
 
,



2
g x x

thì
+








2 2
1
f g x f g x f x x
 
   
 


+











2
1 1
g f x g f x g x x
 
    
 


2. Tính đơn điệu của hàm số
Định nghĩa:
 Hàm số f được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu





1 2 1 2 1 2
x ,x K,x x f x f x
    
Có thể thay bởi mệnh đề:
1 2
,
x x K
 
và
1 2
x x


,




2 1
2 1
0
f x f x
x x




 Hàm số f được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu





1 2 1 2 1 2
x ,x K, x x f x f x
    
Có thể thay bởi mệnh đề:
1 2
,
x x K
 
và

1 2
x x

,




2 1
2 1
0
f x f x
x x




Tính chất:
Giả hàm số


y f x
 đồng biến (nghịch biến) trên khoảng


a;b
và


u;v a;b

 khi đó
:





f u f v u v
  

II. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Thí dụ 1. Giải phương trình


3
4 1 2 1 0
x x x x
    
(1)
Lời giải.
 TXĐ:
1
;
2
D
 
  


 

 Ta có:
   


3
3
2 2 2 1 21
1
x x x x
  
 
 (2)
 Xét hàm đặc trưng
3
( )
f t t t
 
với
t


, khi đó:

   


2 2 2 1
f x f x
  

(3)
 Khảo sát tính đơn điệu của hàm số
f
trên



1 2 1 2
, ,
t t t t
  

, ta có:
   


3 3
2
2
2 2 1 1
2 1
2 2
2 2
1 1 2 2 1
2 1 2 1
3
0
2 4
  


 
       
 
 
 
t t t t
f t f t
t t
t t t t t
t t t t

Do đó
f
đồng biến trên


 Suy ra:
 
2
0
0
1 5
3 2 1 2
1 5
4
4 2 1 0
4
x
x
x x x

x x
x






      
 

  





 Vậy phương trình (1) có nghiệm là
1 5
4
x

 .
Thí dụ 2. Giải hệ phương trình
 
3 2 2
3 2 3 2
1 (
1)

9 6 3 15 3 6 2 (2)
x x y x x y
x y x y x

    


     


(1)
Lời giải.
 Ta có:










3 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
x x y x x y x x y x y x x y x x
                


1 0

x y
   
(vì
2
1 0,
x x
  
)
 Thay
y x 1
 
vào phương trình (2) ta được phương trình

   


3
3 2 3 2 32 2
9 6 6 3 6 2 3 3 (
1 1 6 2 6
a)
2x xx xx x x x         
 Xét hàm đặc trưng
3
( ) 3
f t t t
 
, với
t



.

1 2 1 2
, ,
t t t t
  

, ta có:
   


3 3
2
2
2 2 1 1
2 1
2 2
2 2
1 1 2 2 1
2 1 2 1
3 3
3
3 3 0
2 4
  

 
         
 

 
 
t t t t
f t f t
t t
t t t t t
t t t t

Suy ra


f t
đồng biến trên

.
 Do đó:
 
3 32 2 3 2
( 1) ( 6 2) 1 6 2 9 3 3 0
a f x f x x x x x x
            
.

     
3
3 2
3
3
2 1
1 2 1 1 2 1

2 1
x x x x x

         


 Với
3
3 3
2 1 2
2 1 2 1
x y

  
 

 Vậy nghiệm của hệ phương trình là
 
3
3 3
2 1 2
; ;
2 1 2 1
x y
 


 
 
 

 
.
Thí dụ 4. Giải hệ phương trình




2 2 4 2
2
1 (1)
4 5 8 6 (2)
x x y y y
x y

  



   


Lời giải.
 Điều kiện
5
4
x
 

 Nhận thấy
0

y

không thỏa mãn hệ
 Khi đó:
3
3
(1)
x x
y y
y y
 
   
 
 
(3)
 Xét hàm đặc trưng
3
( )
f t t t
 
, với
t


.

1 2 1 2
, ,
t t t t
  


, ta có:
   


3 3
2
2
2 2 1 1
2 1
2 2
2 2
1 1 2 2 1
2 1 2 1
3
0
2 4
  

 
       
 
 
 
t t t t
f t f t
t t
t t t t t
t t t t

Suy ra


f t
đồng biến trên

.
 Do đó:
   
2
3
 
     
 
 
x x
f f y y x y
y y
.
 Thay
2
x y

vào phương trình (2) ta được phương trình:





    

2
2
4 5 8 6 2 4 5 8 23 5
5 23
23
23
4 5
5
1
5
1
42 41 0
4 4 5 8 23 5
41
x x x x x
x
x
x
x
x
x x
x x x
x
        

  






  
    
  


  
  
   







 Với
1 1
x y
   


 Vậy nghiệm của hệ phương trình là









; 1; 1 ; 1;1
x y x y    .

BÀI TẬP

Bài 1:
Giải phương trình:


3 2
3 4 2 3 2 3 1
x x x x x
     


Bài 2:
Giải phương trình:
3
3 2 2
4 5 6 7 9 4
x x x x x
     


Bài 3:
Giải hệ phương trình:
3 3 2
5 3
2 3 4

1 0
x x y y y
x y

    


  



Bài 4:
Giải hệ phương trình:
3 3 2
2 2 2
12 6 16 0
4 2 4 5 4 6 0
x x y y
x x y y

    


     




Bài 5:
Giải hệ phương trình:



  
3 1 4 2 1 1 3
2 4 6 3
x x y y
x y x y x y

     


     







Hết