Chuyên đề: Tọa độ đường thang trong khong gian

Bài 9 : đờng thẳng trong không gian
A. Yêu cầu :
HS nắm đợc cách viết PTĐT ở 3 dạng và giải các bài toán liên quan nh : góc , khoảng cách ,
đờng vuông góc chung
B. Các ví dụ :
VD 1 : Viết PTCT của đờng thẳng (d) :
x 2y 3z 4 0
3x 2y 5z 4 0
+ =


+ =

VD 2 : Lập PTTS, PTCT, PTTQ của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(2; 0; -3) và vuông góc với mp
(P) : 2x 3y + 5z 4 = 0
VD 3 : Lập PTTS, PTCT, PTTQ của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(2; 0; -3) và vuông góc với 2 đ-
ờng thẳng : (d)
x y 1 0
4y z 1 0
+ =


+ + =

, (d) :
3x y 4z 1 0
2x 3y z 7 0
+ + =


+ + + =

VD 4 : Lập PTCT của đờng thẳng đi qua điểm M(1; 1; 2) và song song với đờng thẳng (d) :
3x y 2z 7 0
x 3y 2z 3 0
+ =


+ + =

VD 5 : Lập PTCT của đờng thẳng đi qua điểm M(1; 1; -2) và song song với mp (P) và vuông góc
với đờng thẳng (d) , biết :
(d) :
x 1 y 1 z 2
2 1 3
+
= =
, (P) : x y z 1 = 0
VD 6 : Cho 2 điểm A(0; 0; -3) , B( 2; 0 ; -1) và mp (P) : 3x 8y + 7z 1 = 0
a) Tìm tọa độ giao điểm I của đờng thẳng đi qua 2 điểm A, B với mp(P)
b) Tìm tọa độ điểm C nằm trên (P) sao cho tam giác ABC là tam giác đều
VD 7 : Tìm tập hợp tất cả các điểm P trong không gian cách đều 3 điểm A(1; 1; 1), B(-1; 2; 0) và
C(2; -3; 2)
VD 8 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mp(P) đi qua 3 điểm A(1; 3; 2), B(1; 2; 1) và
C( 1; 1; 3) . Viết PTTS của đờng thẳng (d) đi qua trọng tâm của tam giác và vuông góc với mp đó
VD 9 : Xét vị trí tơng đối của đờng thẳng (d) và mp(P) biết :
a) (d) :
2x 3y 6z 10 0
x y z 5 0
+ + =

+ + + =

và (P) : y + 4z + 17 = 0
b) (d) :
x 12 4t
y 9 3t
z 1 t
= +


= +


= +

và (P) : y + 4z + 17 = 0
c) (d) :
y 1 0
x y z 3 0
=


+ + =

và (P) : x + y 2 = 0
VD 10 : Hãy tính số đo góc tạo bởi đờng thẳng (d) và mp(P) biết :
(d) :
x 12 4t
y 9 3t

z 1 t
= +


= +


= +

và (P) : y + z - 5 = 0
VD 11 : Viết PT đờng thẳng qua A(1; 1; 1) và cắt cả 2 đờng thẳng (d) và (d) có PT :
(d) :
x y z 3 0
y z 1 0
+ + =


+ =

(d) :
x 2y 2z 9 0
y z 1 0
+ =


+ =

VD 12 : Viết PT đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng (

) và cắt cả 2 đờng thẳng (d

1
), (d
2
)
(

) :
x y 1 z 5
3 1 1

= =

,
( )
1
x 1 y 2 z 2
d :
1 4 3
+
= =
,
( )
2
x y 4z 3 0
d :
2x y z 1 0
+ =


+ =

VD 13 : Viết PT đờng thẳng (d) đi qua điểm A(1; 1; 1) và vuông góc với 2 đờng thẳng (a) và (b):
(a) :
x y z 3 0
y z 1 0
+ + =


+ =

(b)
x 2y 2z 9 0
y z 1 0
+ =


+ =

HD : (d) có VTCP là tích có hớng của 2 VTCP của (a) và (b)
VD 14 : Viết PTCT của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(1; 1; -2) , song song với mp(P) và vuông góc
với đờng thẳng (d) biết :
(d) :
x 1 y 1 z 2
2 1 3
+
= =
và (P) : x y z 1 = 0
VD 15 : Viết PT của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(1; 1; 0), vuông góc với (d) và cắt (d) , với :
(d) :
x 1 y 2 z

8 1 1
+
= =
và cắt (d) :
x y z 2 0
x 1 0
+ + =


+ =

VD 16: Viết PT của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 2; -3) vuông góc với vectơ
( )
a 6; 2; 3=
r
và
cắt đờng thẳng (d) :
x 1 y 1 z 3
3 2 5
+
= =

VD 17 : Xác định vị trí tơng đối của 2 đờng thẳng (d) và (d) có PT :
a) (d) :
x 3 2t
y 2 3t
z 6 4t
= +

= +


= +

(d) :
4x y 19 0
x z 15 0
+ =


+ =

; d) (d) : x = -y+1 = z 1 , (d) : -x +1 = y-1 = z
b) (d) :
x 1 2t
y 2 t
z 3 3t
= +


= +


= +

và (d) :
x 2 u
y 3 2u
z 1 3u

= +


= +


= +

c) (d) :
2x y 1 0
x y z 1 0
+ + =


+ =

, (d) :
3x y z 3 0
2x y 1 0
+ + =


+ =

VD 18 : Cho 2 đờng thẳng song song (d) vầ (d) có PT :
(d) :
x 7 y 5 z 9
3 1 4
+
= =

, (d) :
x y 4 z 18
3 1 4
+ +
= =

a) Viết PTmp chứa (d) và (d)
b) Tính khoảng cách giữa (d) và (d)
VD 19 : Cho hai đờng thẳng (d) và (d) cắt nhau và có PT :
(d) :
2x y 1 0
x y z 1 0
+ + =


+ =

, (d) :
3x y z 3 0
2x y 1 0
+ + =


=

a) Viết PTmp chứa (d) và (d)
b) Viết PT đờng phân giác của góc tạo bởi (d) và (d)
VD 20 : Cho hai đờng thẳng (d) và (d) có PT :
(d) :

x 8z 23 0
y 4z 10 0
+ + =


+ =

, (d) :
x 2z 3 0
y 2z 2 0
=


+ + =

a) Chứng tỏ rằng (d) và (d) chéo nhau
b) Tính khoảng cách giữa (d) và (d)
c) Viết PTmp (P) chứa (d) , mp(Q) chứa (d) sao cho (P) // (Q)
d) Viết PT đờng thẳng song song với Oz và cắt cả 2 đờng (d) và (d)
VD 21 : Cho hai đờng thẳng (d) và (d) có PT :
(d) :
x 1 2t
y 2 t
z 3 3t
= +


= +

= +

, (d) :
x 2 u
y 3 2u
z 1 3u
= +


= +


= +

a) CMR 2 đờng thẳng (d) và (d) chéo nhau
b) Tính khoảng cách giữa (d) và (d)
c) Viết PT đờng vuông góc chung của 2 đờng thẳng (d) và (d)
VD 22 : Cho hai đờng thẳng (d) và (d) có PT :
(d) :
x 2 t
y 1 t
z 2t
= +


=


=

, (d) :
x 2z 2 0
y 3 0
+ =


=

a) CMR 2 đờng thẳng (d) và (d) chéo nhau . Viết PT đờng vuông góc chung của 2 đờng thẳng
(d) và (d)
b) Viết PT mp cách đều (d) và (d)
VD 23 : Xác định hình chiếu
( )

của đờng thẳng (d) :
x y z 5 0
2x 3y z 4 0
+ =


+ + =

lên mp(P) :
3x 2y z + 15 = 0 ( Mp chứa (d) và vuông góc với (P) : 9x + 11y + 5z 21 = 0 )
VD 24 : Cho đờng thẳng (d) :
x my z m 0
mx y mz 1 0
+ =

+ =

a) Viết PT hình chiếu (d) của (d) lên mp Oxy
b) CMR , khi m thay đổi , (d) luôn tiếp xúc với 1 đờng tròn cố định trong mp Oxy
HD : a) P1 : Sử dụng PP chùm
PP 2 : Khử z từ PTTQ của (d) ta đợc : 2mx ( m
2
1)y m
2
1 = 0 (*)
c) PP1 : Gọi M(x ; y) là tập hợp các điểm trong mp(xOy) mà (d) không đi qua với mọi m

(*) vô nghiệm hay ( y + 1)m
2
2xm y + 1 = 0 vô nghiệm với mọi m hay x
2
+ y
2
< 1
Ta đi chứng minh (d) luôn tiếp xúc với đờng tròn (C) : x
2
+ y
2
= 1
PP2 : (*)


2
2 2
2m 1 m

x y 1 x.cos ysin 1
1 m 1 m

+ = + =
+ +
đờng thẳng này tiếp xúc với (C)
VD 25 : Viết PT hình chiếu
( )

của
( )
1

:
x 7 y 3 z 9
1 2 1

= =

theo phơng
( )
2

:
x 3 y 1 z 1
7 2 3

= =

lên mp : x + y + z + 3 = 0

HD : Đờng thẳng chứa
( )
1

và song song với
( )
2

có PT : 2x + y + 4z 53 =0
VD 26 : Cho đờng thẳng (d) và mp (P) có PT :
(d) :
x 1 2t
y 2 t
z 3t
= +


=


=

, (P) : 2x y 2z + 1 = 0
a) Tìm tọa độ các điểm thuộc đờng thẳng (d) sao cho k/c từ mỗi điểm đó đến mp (P) bằng 1
b) Gọi K là điểm đối xứng của điểm I ( 2; -1; 3) qua đờng thẳng (d) . Xác định tọa độ K
HD : a) A( 1 + 2t ; 2 t)
( )
d
, ta có d( A/(P)) = 1 , suy ra t = -2 hoặc t = 4
b)

( )
d
H d IH u
uur uur

VD 27 : Cho 2 điểm A( 1; 2; 3) và B( 4; 4; 5)
a) Viết PT đờng thẳng AB . Tìm giao điểm P của nó với mp xOy . CMR với mọi điểm Q trên
mp xOy , biểu thức | QA QB | có giá trị lớn nhất khi Q trùng với P
b) Tìm điểm M trên mp xOy sao cho tổng các đọ dài MA + MB nhỏ nhất
HD : a) Vì A, B cùng phía đối với mp xOy nên trong tam giác ABQ có | QA QB |

AB . Dấu
= xảy ra khi Q trùng P
b) M ( 17/8; 22/8; 0)
VD 28 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 điểm A( 1; 1; 0) và B( 3; -1; 4) và đờng thẳng
(d) có PT :
x 1 y 1 z 2
1 1 2
+ +
= =

. Tìm điểm M trên đờng thẳng (d) sao cho tổng các độ dài MA
+ MB nhỏ nhất .
HD : Gọi A, B là hình chiếu của A, B trên (d) , ta có :
AA'.u
uuuur r
= 0

A(0;0; 0) , B(2; -2;4)
Điểm N chia AB theo tỉ số AA/BB = -1

NA ' NB' =
uuuur uuuur
hay N(1; -1; 2)
Ta chứng minh M trùng N. Gọi A là điểm nằm trên mp xác định bởi B, (d) và A với B khác phía
đối với (d) và thoả mãn : AA = AA và AA vuông góc với (d) :
AA' A 'A'' A' A''
NA' NB A'',B, N
BB ' BB' BB'
= =
uuuur uuur
thẳng hàng
Vậy : MA + MB = MA + MB

AB = NA + NB . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi M trùng N