luyện tập : Hệ tọa độ vuông góc trong không gian, tọa độ véc tơ, tọa độ điểm.

Hệ toạ độ Đêcac vuông góc trong không gian
Tọa độ của vectơ và của điểm
A. Lý thuyết
- Hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz hay hệ toạ độ Oxyz là hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc
với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O, có các vectơ đơn vị tương ứng trên các trục là
.
Ox: trục hoành, Oy: trục tung, Oz: trục cao, O: gốc của hệ toạ độ.
- Trong hệ toạ độ Oxyz cho một vectơ tuỳ ý , có duy nhất bộ ba số (x; y; z) sao cho:
.
- Bộ (x; y; z) gọi là toạ độ của vectơ , kí hiệu là . x: hoành độ, y:
tung độ, z: cao độ.
- Nếu thì :
- Nếu điểm M trong không gian thoả mãn: thì (x; y; z)
gọi là toạ độ điểm M, kí hiệu: M(x; y; z) hay M = (x; y; z).
- Nếu thì .
- Cho điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k, tức là , trong đó
1
, ,i j k
r r r
v
r
v xi y j zk
= + +
r r r r
v
r
( ) ( )
; ; hay ; ;v x y z v x y z
=
r r
( ) ( )

; ; , ' '; '; 'v x y z v x y z
= =
r ur
( )
( )
( )
. , . , . ' '; '; '
' ' '; '; '
' ' ; ; , .
'
x v i y v j z v k v v x x y y z z
x x v v x x y y z z
v v y y kv kx ky kz k R
z z
= = = + = + + +

= − = − − −


= ⇔ = = ∈


=


rr r r r r r ur
r ur
r ur r
( )
; ; hayOM x y z OM xi y j zk

= = + +
uuuur uuuur r r r
( ) ( )
A ; ; , B ; ;
A A A B B B
x y z x y z
( )
AB ; ;
B A B A B A
x x y y z z
= − − −
uuur
MA MBk
=
uuuur uuur
1
A = (x
A
; y
A
; z
A
), B = (x
B
; y
B
; z
B
), thì toạ độ M là
- M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì

- G là trọng tâm tam giác ABC thì
B. các câu hỏi trắc nghiệm khách quan
Câu 1: Trong hệ toạ độ Oxyz với các vec tơ đơn vị , cho Khi đó,
A. 0. B. 1. C. 2. D. – 3.
PA: A.
Câu 2: Trong hệ toạ độ Oxyz với các vec tơ đơn vị , cho . Khi đó,
A. . B. . C. . D. .
PA: B.
Câu 3: Trong hệ toạ độ Oxyz, cho . Khi đó, vectơ có
toạ độ là:
A. . B. . C. . D. .
PA: B.
2
1
1
1
A B
M
A B
M
A B
M
x kx
x
k
y ky
y
k
z kz
z

k
−

=

−

−

=

−

−

=

−

2
2
2
A B
M
A B
M
A B
M
x x
x

y y
y
z z
z
+

=


+

=


+

=


, ,i j k
r r r
( )
1;2; 3 .a
= −
r
( )
a i j k
+ + =
r r r r
, ,i j k

r r r
3 4 2a j k i
= − + +
r r r r
a =
r
( )
3;4;2
−
( )
2; 3;4
−
( )
3;2;4
−
( )
4; 3;2
−
( ) ( )
2; 5;3 , 0;2; 1 , 2 3a b c a b
= − = − = −
r r r r r
c
r
( )
1; 16;9−
( )
4; 16;9−
( )
4; 16;3

−
( )
4; 4;9
−
2
Câu 4: Trong hệ toạ độ Oxyz cho các vectơ: Toạ độ của vectơ
là:
A. . B. . C. . D. .
PA: C.
Câu 5: Trong hệ toạ độ Oxyz cho các vectơ: Vectơ có toạ độ
là:
A. . B. . C. . D. .
PA: B.
Câu 6: Trong hệ toạ độ Oxyz với các vec tơ đơn vị , cho các vectơ
Khi đó,
A. 2. B. 1. C. -7. C. 6.
PA: B.
Câu 7: Trong hệ toạ độ Oxyz cho ba điểm A(1; 3; 1), B(0; 1; 2), C(3; -1; -2). Gọi G là trọng tâm
tam giác ABC. G có toạ độ là:
A. . B. . C. . D. .
PA: D
Câu 8: Trong hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A và B . Trung điểm M của AB có toạ
độ là:
A. . B. . C. . D. .
PA: C.
3
( )
1 1
2;2;4 , ; .
3 2

a a b c b
= − = = −
r r r r r
c
r
1 1 2
; ;
3 3 3
 
− −
 ÷
 
1 1 2
; ;
3 3 3
 
−
 ÷
 
( )
3; 3; 6− −
( )
3;3;6−
( )
3
3;1; 2 , 2 , .
2
a a b b c
= − = − =
r r r r r

c
r
1 2
1; ;
3 3
 
−
 ÷
 
1 2
1; ;
3 3
 
− −
 ÷
 
( )
9;3; 6−
( )
9; 3;6− −
, ,i j k
r r r
( ) ( ) ( )
1; 1;1 , 0;3; 2 , 4; 1;2 .a b c
= − = − = − −
r r r
. . .a i b j c k
+ + =
rr r r r r
( )

4;3;1
( )
5;3;0
5
;1;0
3
 
 ÷
 
4 1
;1;
3 3
 
 ÷
 
( )
1; 1;1
−
( )
3;1;3
( )
1;1;1
( )
1; 1; 1
− − −
( )
2;0;2
( )
2;0; 2− −
3

Câu 9: Trong hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A(1; 0; 1), B(4; 6; -2). Trong các điểm có toạ độ như
sau, điểm nào thuộc đoạn AB?
A. . B. . C. D. .
PA: D.
Câu 10: Trong hệ toạ độ Oxyz cho điểm M(- 3; 2; 1), M’ là hình chiếu vuông góc của M trên
Ox. M’ có toạ độ là:
A. . B. . C. . D. .
PA: B.
Câu 11: Trong hệ toạ độ Oxyz cho điểm M(- 1; 2; 5), toạ độ hình chiếu của M trên mặt phẳng
xOz là:
A. (0; 2; 5). B. (- 1; 0; 5). C. (- 1; 2; 0). D. (1; 0; - 5).
PA: B.
Bài tập luyện
Câu 1:
Trong hệ toạ độ Oxyz với các vec tơ đơn vị , cho . Toạ độ của
là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 2:
Trong hệ toạ độ Oxyz, cho Toạ độ vectơ là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 3:
Trong hệ toạ độ Oxyz cho
A. . B. . C. . D. .
4
( )
2; 6; 5− −
( )
2; 6;4− −
( )
7;12; 5

−
( )
2;2;0
( )
3;0;0
( )
3;0;0−
( )
0;2;0
( )
0;0;1
, ,i j k
r r r
3
;1;0 ,
2
a b j a
 
= − = −
 ÷
 
r r r r
b
r
3
;0;0
2
 
−
 ÷

 
3
;0;0
2
 
 ÷
 
3
;2;0
2
 
−
 ÷
 
3
; 2;0
2
 
−
 ÷
 
( )
1; 2;1 , 3 2 0.a x a
= − + =
r r r r
x
r
( )
2; 4;2
−

( )
2;4; 2− −
2 4 2
; ;
3 3 3
 
−
 ÷
 
2 4 2
; ;
3 3 3
 
− −
 ÷
 
( ) ( ) ( )
2; 5;3 , 1;2; 1 , 1;0;2 .a b c
= − = − =
r r r
3 2d a b c
= − − =
ur r r r
( )
2;1; 4−
( )
3; 11;4− −
( )
3; 11;2− −
( )

2;1;10
4
Câu 4:
Trong hệ toạ độ Oxyz với các vec tơ đơn vị , cho .
Khi đó ta có:
A. . B. .
C. . D. .
Câu 5:
Trong hệ toạ độ Oxyz với các vec tơ đơn vị , cho Nếu
thì có toạ độ là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 6:
Trong hệ toạ độ Oxyz cho điểm N( 2; 1; - 9), N’ là hình chiếu vuông góc của N trên Oy. N’ có
toạ độ là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 7:
Trong hệ toạ độ Oxyz cho điểm P(7; - 4; - 3). P’ là hình chiếu vuông góc của P trên Oz. P’ có toạ
độ là:
A. (7; 0; 0). B. ( 0; - 4; 0). C. (0; 0; 3). D. (0; 0; -3).
Câu 8:
Trong hệ toạ độ Oxyz cho điểm M(11; 2; - 3), toạ độ hình chiếu vuông góc của M trên mặt
phẳng xOy là:
A. (11; 0; - 3). B. (11; 2; 0). C. (- 11; - 2; 0). D. (0; 2; - 3).
Câu 9:
Trong hệ toạ độ Oxyz cho điểm M(3; - 7; 4), toạ độ hình chiếu của M trên mặt phẳng yOz là:
A. (3; - 7; 0). B. (3; 0; 4).
C. (0; - 7; 4). D. (0; 7; - 4).
Câu 10: Trong hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(- 2; 3; - 8). Toạ độ điểm A’ đối xứng với A qua mặt
phẳng xOy là:
5

, ,i j k
r r r
( ) ( )
5;4;1 , 3; 2; 3 .a b
= = − −
r r
2c a b
= −
r r r
7 10 5c i j k
= + +
r r r r
7 6 5c i j k
= + +
r r r r
13 10 5c i j k
= + +
r r r r
7 10c i j k
= + −
r r r r
, ,i j k
r r r
2 , 3 5 .a i j k b i k
= − + − = +
r r r r r r r
c a b
= −
r r r
c

r
( )
2;2;4
( )
4; 3; 1− − −
( )
4;2; 6− −
( )
2;7; 1−
( )
0;0; 9
−
( )
0; 1;0−
( )
2;0;0
( )
0;1;0
5
A. (2; 3; - 8). B. (- 2; - 3; - 8).
C. (- 2; 3; 8). D. (2 ; - 3; 8).
Câu 11: Trong hệ toạ độ Oxyz cho điểm B(1; 2; 3). Toạ độ điểm B’ đối xứng với B qua mặt
phẳng zOy là:
A. (1; - 2; 3). B. (- 1; 2; 3). C. (1; 2; - 3). D. (-1; -2; - 3).
Câu 12:
Trong hệ toạ độ Oxyz cho điểm C(3; 5; - 2). Toạ độ điểm C’ đối xứng với C qua mặt phẳng xOz
là:
A. (3; 5; 2). B. (-3; 5; - 2). C. (3; - 5; 2). D. (3; - 5; - 2).
Câu 13:
Trong hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(1; 1; -3). Toạ độ điểm A’ đối xứng với A qua trục hoành là:

A. (1; - 1; 3). B. (- 1; 1; - 3). C. (-1; 1; 3). D. (-1; - 1; 3).
Câu 14:
Trong hệ toạ độ Oxyz cho điểm D(12; - 5; 6). Toạ độ điểm D’ đối xứng với D qua trục tung là:
A. (12; 5; 6). B. (12; 5; - 6). C. (- 12; - 5; - 6). D. (- 12; 5; - 6).
Phương án đúng:
1B, 2D, 3C, 4A, 5C, 6D, 7D, 8B, 9C, 10C, 11B, 12D, 13A, 14C
C. Bài tập tự luận
Các bài tập sau xét trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxyz với các vectơ đơn vị
Bài 1. Viết toạ độ của các vectơ sau đây:
Giải:
, ,
Bài 2. Viết dưới dạng các vectơ sau:
Giải:
6
, ,i j k
r r r
2 3 4 , 2 ,a i j k b j i
= − + − = −
r r r r r r r
3 , 2c k d k i
= = − −
r r ur r r
( )
2;3; 4a
= − −
r
( )
2 0. 1;2;0b i j k b
= − + + ⇒ = −
r r r r r

( )
0 0 3 0;0;3c i j k c
= + + ⇒ =
r r r r r
( )
2 0 2;0; 1d i j k d
= − + − ⇒ = − −
ur r r r ur
xi y j zk
+ +
r r r
( )
3
1; 1; 2 , 2;0;
2
a b
 
= − − =
 ÷
 
r r
3
2 , 2
2
a i j k b i k
= − − = −
r r r r r r r
6
Bài 3. Cho các vectơ . Tìm toạ độ của
.

Bài 4. Cho điểm M(-1; 2; 3). Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của M
a) Trên trục Ox
b) Trên mặt phẳng Oyz.
Giải:
a) Gọi M’ là hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox ⇒ y
M’
= z
M’
= 0, x
M’
= x
M
= -1 ⇒ M’= (-
1; 0; 0).
b) Gọi M’’ là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng Oyz
⇒ x
M’’
= 0, y
M’’
= y
M
= 2; z
M’’
= z
M
= 3 ⇒ M’’ = (0; 2; 3).
Bài 5. Cho điểm A(1; 2; 1), B( -2; 1; 2).
a) Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với A qua trục Oy
b) Tìm toạ độ điểm B’ đối xứng với B qua mặt phẳng xOy.
c) Tìm toạ độ điểm M chia đoạn A’B’ theo tỉ số – 3.

Giải:
a) A’ đối xứng với A qua trục Oy
⇒ y
A’
= y
A
= 2; x
A’
= - x
A
= - 1; z
A’
= - z
A
= - 1 ⇒ A’ = (-1; 2; -1).
b) B’ đối xứng với B qua mặt phẳng xOy
7
( ) ( ) ( )
2; 5;3 , 0; 2;1 , 1;6;2a b c
= − = − = −
r r r
1
2 , 3
2
d a b e a b c
= − = + +
ur r r r r r r
( )
( ) ( )
( )

( )
( ) ( )
; ; 2.2 0 4;
2. 5 2 2 8;
2.3 1 5 4; 8;5 ,
1
'; '; ' .2 3.0 1 0;
2
1 5
' 5 3. 2 6 ;
2 2
1 13
' .3 3.1 2
2 2
5 13
0; ;
2 2
d x y z x
y
z d
e x y z x
y
z
e
= ⇒ = − =
= − − − = −
= − = ⇒ = −
= ⇒ = + − =
= − + − + = −
= + + =

 
⇒ = −
 ÷
 
ur
ur
r
r
7
⇒ x
B’
= x
B
= - 2; y
B’
= y
B
= 1; z
B’
= - z
B
= - 2 ⇒ B’ = (-2; 1; -2)
c) M chia đoạn A’B’ theo tỉ số – 3 thì toạ độ của M là
Bài tập luyện
Bài 1. Trong hệ toạ độ Oxyz cho các vectơ . Tìm toạ độ
của:
a) Vectơ .
b) Vectơ biết .
c) Vectơ biết .
Bài 2. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C’(4; 5; - 5). Tìm

toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
Bài 3. Cho hai điểm A(3; 1; 2), B(-1; 3; - 4). Tìm toạ độ giao điểm của AB với mặt phẳng xOy.
Bài 4. Trong hệ toạ độ Oxyz cho ba điểm A(1; 2; -3), B( 3; 2; 0), C( - 4; 2; 5).
a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.
b) Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
c) Tìm a và b để điểm M(a + 2; 2b – 1) thuộc đường thẳng AC.
Bài 5. Cho bốn điểm A(-3; 5; 15), B(0; 0; 7), C(2; -1; 4), D(4; -3; 0). Chứng minh rằng hai
đường thẳng AB và CD cắt nhau.
Hướng dẫn giải
Bài 1. a)
8
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
' '
' '
' '
3 1 3 2
7
1 3 4 4
3
2 3.1 5 7 5 7
; ;
1 3 4 4 4 4 4
3 1 3 2

7
1 3 4 4
A B
M
A B
M
A B
M
x x
x
y y
y M
z z
z

− − − + −
= = = −

− −


− −
+

 
= = = ⇒ = − −

 ÷
− −
 



− − − + −

= = = −
− −


( ) ( )
0; 2;4 , 1;3; 1 ,a b
= − = −
r r
( )
2;0;5c
=
r
1
4 3
3
d a b c= − +
ur r r r
x
r
2x a a
+ = −
r r r
u
r
2 3 5a u b
+ =

r r r
17 94
; 9;
3 3
d
 
= − −
 ÷
 
ur
8
b)
c)
Bài 2. Theo tính chất hình hộp, ta có:
⇒ C = (2; 0; 2), A’ = (3; 5; -6), B’ = (4; 6; -5), D’ = (3; 4; -6).
Bài 3. Gọi M là giao điểm của AB với mặt phẳng xOy. Khi đó, M thuộc mặt phẳng xOy và M,
A, B thẳng hàng ⇔ M = (x; y; 0) và . Ta có:
. Vậy M = .
Bài 4. a) không cùng phương ⇒ A, B, C không thẳng
hàng⇒ A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.
b)Tứ giác ABCD là hình bình hành ⇔ ⇔ D = (-6; 2; 2)
c) M∈ AC ⇔ cùng phương⇔ .
Bài 5. Hai đường thẳng AB và CD cắt nhau ⇔ không cùng phương và
đồng phẳng.
*) ⇒ không cùng phương (1).
9
( )
3 0;6; 12x a
= − = −
r r

2 5 5 19 13
; ;
3 3 3 3 3
u a b
 
= − + = −
 ÷
 
r r r
; ' ', ' '; ' 'AD BC AA CC BB CC DD CC
= = = =
uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuuur uuuur
MA k MB=
uuur uuur
3 5
1 3
1 3 1 5
1 2 3
2 4 0
0
1
k
x x
k
k
MA kMB y k y
k
k z
k
+

 
= =
 
−
 
−
 
= ⇔ = ⇒ = − ⇒ =
 
−
 
+ =
 
=
 
−
 
uuur uuur
5 5
; ;0
3 3
 
 ÷
 
( ) ( )
2;0;3 , 5;0;8 ,AB AC AB AC
= = − ⇒
uuur uuur uuur uuur
AB DC
=

uuur uuur
,AM AC
uuuur uuur
1 2 3 4 3 3
;
5 0 8 2 2
a b
b a
− −
= = ⇒ = = −
−
,AB CD
uuur uuur
, ,AB AC AD
uuur uuur uuur
( ) ( )
3; 5; 8 , 2; 2; 4AB CD
= − − = − −
uuur uuur
,AB CD
uuur uuur
9
*) . đồng phẳng ⇔ tồn tại hai số k, l sao cho:
. Vậy ba vectơ đồng phẳng (2).
(1) và (2) ⇒ đpcm

10
( )
7; 8; 15 , 5; 6; 11AD AC
= − − = − −

uuur uuur
, ,AB AC AD
uuur uuur uuur
AB k AC l AD
= +
uuur uuur uuur
11
3 5 7
2
5 6 8
7
8 11 15
2
k l
k
k l
l
k l

= +

=

 
⇔ − = − + ⇔
 
 
=
− = − −




, ,AB AC AD
uuur uuur uuur
10