Nâng cao Toán 8(buổi 13 - 16) năm 2010 - 2011

Trần Văn Đồng Trờng THCS Thạch Kim Lộc Hà - Hà Tĩnh
Buổi 13 : định lý talét thuận và đảo, tính chất đờng
phân giác
Ngày soạn: 19 02 - 2011
Ngày dạy: - 02 - 2011
a.mục tiêu:
- Hệ thống, củng cố và nâng cao kiến thức về các định lí Talét áp dụng vào tam giác ,tính
chất đờngphân giác
- Làm các bài tập củng cố và nâng cao về định lí Talét , tính chất đờng phân giác
- HS vận dụng thành thạo kiến thức vào các bài tập cụ thể
b. kiến thức, bài tập:
I. Kiến thức:
1. Định lí Ta lét:
Hệ quả:
2. Tính chất đờng phân
giác của tam giác
1.Ví dụ 1
Cho 3 tia Ox , Oy , Oz tạo thành
ã
ã
0
xOy = yOz 60=

Cmr : Nếu 3 điển A , B , C thẳng hàng trên
Ox, Oy, Oz thì:
1 1 1
OB OA OC
= +
Giải:
Để C/m
1 1 1

OB OA OC
= +
ta cần c/m gì
Nếu kẻ BD // Oz (
D Ox

) thì ta có điều
gì nếu áp dụng hệ quả của định lí Talét vào

AOC
Từ đó ta suy ra diều gì?
2.Ví dụ 2 :
Cho

ABC có 3 góc nhọn , các đờng cao
AD, BE, CF cắt nhau tại H . Các điểm I, J,
K đối xứng với H qua BC , AC , AB
Cmr :
AI BJ CK
AD BE CF
+ +
không đổi
Giải:
Để C/m
AI BJ CK
AD BE CF
+ +
không đổi ta cần
HS tiếp cận đề
bài

HS vẽ hình
HS trả lời
Kẻ BD // Oz (
D Ox

)
áp dụng hệ quả của ĐL Talét vào

AOC với
BD//OC ta có:
AD BD AO OD BD

AO CO AO OC

= =
(1)
Ta lại có : OB = BD = OD (do

BODđều )
Nên từ (1) suy ra :
1 1
1 1 1
OD OD OD OD
OD
OA OC OC OA OA OC

= = + = +
ữ

1 1 1 1 1

1 OB
OA OC OB OA OC

= + = +
ữ

HS phát biểu
Giáo án Nâng cao Toán 8 Năm học: 2010 - 2011
1
x
y
z
B
O
C
A
D
N
M
C
B
A
ABC
MN // BC
ABC
MN // BC
D
C
B
A

ABC
AD
là phân giác
Trần Văn Đồng Trờng THCS Thạch Kim Lộc Hà - Hà Tĩnh
C/m gì?
Hãy tính
AI
AD
theo AD và DI?
HD
AD
tính theo tỉ số hai diện tích của hai
tam giác nào?
Tơng tự hãy tính
BJ
CE
và
CK
CF
Từ đó ta có
AI BJ CK
AD BE CF
+ +
= ?
3. Ví dụ 3 :
Gọi
, ,
a b c
d d d
làđộ dài các đờng phân

giác thuộc các cạnh a , b , c của

ABC.
Chứng minh :
1 1 1 1 1 1
a b c
d d d a b c
+ + > + +


Đặt AB = c , AC = b , BC = a , AD = d
a
.
Qua C kẻ đờng thẳng song song với AD ,
cắt tia BA ở E.
Theo ĐL Talét ta có đăng thức nào?
Từ đó ta suy ra điều gì?
Vì CE < AC + AE = 2b nên ta có
d
a
= AD < ?
Tơng tự nh trên thì ta có các bất đẳng thức
nào?
Vậy
a b c
1 1 1
d d d
+ +
> ?
4. Ví dụ 4:

Cho tam giác ABC có ba đờng phân giác
AD , BE , CF . Các điểm G , I , K theo thứ
Ta có :
AI AD+DI DI HD
1 1
AD AD AD AD
= = + = +

(vì
DI HD
=
do I đối xứng với H qua BC )
Ta lại có :
BHC BHC
ABC ABC
1
BC.HD
S S
HD AI
2
1
1
AD S AD S
BC.AD
2
= = = +
(1)
Tơng tự , ta có :
CHA
ABC

S
BJ
1
CE S
= +
(2) và
BHA
ABC
SCK
1
CF S
= +
(3)
Cộng từng vế đẳng thức (1) , (2) , (3) ta có :
AI BJ CK
AD BE CF
+ +

CHA CHB
BHA
ABC ABC ABC
S S
S
3
S S S
= + + +

ABC
ABC
S

3 3 1 4
S
= + = + =

Không đổi (đpcm)
Đặt AB = c , AC = b ,
BC = a , AD = d
a
.
Qua C kẻ đờng thẳng song song với AD , cắt
tia BA ở E.
Theo ĐL Talét ta có:
AD BA
CE BE
=
suy ra
BA.CE c.CE c
AD .CE
BE BA + AE b + c
= = =
Do CE < AC + AE = 2b nên:
a
2bc
d
b c
<
+
a a
1 b c 1 1 1 1 1 1 1
d 2bc 2 b c d 2 b c

+

> = + > +
ữ ữ

Chứng minh tơng tự ta có :
b
1 1 1 1
d 2 a c

> +
ữ

Và
c
1 1 1 1
d 2 a b

> +
ữ

Nên:
Giáo án Nâng cao Toán 8 Năm học: 2010 - 2011
2
b
a
c
b
B
C

A
E
D
F
E
D
H
A
B
C
I
J
K
Trần Văn Đồng Trờng THCS Thạch Kim Lộc Hà - Hà Tĩnh
tự đối xứng với B , A , C qua AD , BE , AD
. H là điểm đối xứng với A qua CF .
Chứng minh : GI // HK
Từ GT suy ra BC , GK có quan hệ gì?
Theo tính chất đờng phân giác ta có điều
gì?
Tỉ số
ID
HD
tính nh thế nào?
Tơng tự:
GD
KD
=?
Từ đó ta suy ra điều gì?
5. Ví dụ 5

Cho tam giác ABC, đờng phân giác AD.
Gọi DE, DF là phân giác trong của tam
giác ADB và ADC .Chứng minh :
a)
AF . DC . BE
1
BD . FC . AE
=
b)Với ĐK nào thì EF // BC , khi đó
EF

BC hay không ? vì sao ?
Giải:
áp dụng t/c đờng phân giác vào các tam
giác

ABD và

ADC ta có tỉ số nào?
Từ đó, để có
AF . DC . BE
BD . FC . AE
ta làm thế
nào?
Khi nào thì EF // BC ?
a b c
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
d d d 2 b c a c a b

+ + > + + + + +
ữ ữ ữ



a b c
1 1 1 1 1 1 1
.2
d d d 2 a b c

+ + > + +
ữ

a b c
1 1 1 1 1 1
d d d a b c
+ + > + +
( đpcm )
HS ghi đề bài và vẽ
hình
Từ GT suy ra : BC
đối xứng với GK
qua AD nên chúng
cắt nhau tại D (Vì D

BC )
Theo t/c đờng phân giác AD ta có:
AB DB
=
AC DC

Xét tỉ số :
ID IB - DB AB - DB AB
= =
HD HC - DC AC - DC AC
=
(1)
Tơng tự ta có :
GD AB
=
KD AC
(2)
(Hoặc sử dụng t/c đờng phân giác AD trong

GAK :
GD GA AB
= =
KD KA AC
)
Từ (1) và (2) suy ra :
ID GD
=
HD DK

GI // HK
(ĐL Talét đảo )
HS ghi đề bài
và vẽ hình
Tìm cách c/m
a)áp dụng t/c đờng phân giác vào các tam giác

ABD và

ADC ta có :
BE BD AF AD
(1); (2)
AE AD FC DC
= =
Nhân từng vế (1) với (2) ta có:
BE AF BD AD AF . DC . BE BD . AD . DC
. . 1
AE FC AD DC BD . FC . AE AD . DC . BD
= = =
b) EF // BC
BE CF BD CD
AE AF AD AD
= =

BD = CD

AD là trung tuyến , mà AD
củng là phân giác (GT)



ABC cân tại A
AD củng là đờng cao

AD

BC mà EF //

Giáo án Nâng cao Toán 8 Năm học: 2010 - 2011
3
D
A
C
B
F
E
A
C
B
F
K
H
E
D
I
G
Trần Văn Đồng Trờng THCS Thạch Kim Lộc Hà - Hà Tĩnh
BC nên EF

AD
Bài tập về nhà:
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A (AB = AC = a , BC = b ) và điểm P nằm trên phần kéo
dài của cạnh BC về phía C . Qua P kẻ đgth d cắt các cạnh AB và AC ở D và E
a) Chứng minh rằng :
BP CP
BD CE

không phụ thuộc vị trí của d và P

b) Kẻ DM//AC , EN//AB ( M , N thuộc BC ) . Chứng minh rằng: PM . PN không phụ thuộc
vào vị trí của đờng thẳng d
Bài 2 : Cho hình thang ABCD ( AB // CD ). Hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại O . Đ-
ờng thẳng qua O và song song với hai đáy cắt hai cạnh AD và BC theo thứ tự tại E
và F . Chứng minh rằng : a) EO = FO
b)
1 1 1
0
OE AB CD

+ =
ữ

. Từ đó suy ra rằng :
2 1 1
FE AB CD
= +
buổi 14 ph ơng trình chứa ẩn ở mẩu thức
Ngày soạn: 26 - 02 - 2011
Ngày dạy: - 0 - 2011
A. Mục tiêu :
* Củng cố, khắc sâu kiến thức về PT chứa ẩn ở mẩu
* Tiếp tục rèn luyện và nâng cao kỹ năng và phơng pháp giải Pt chứa ẩn ở mẩu
* Khơi dậy hứng thú cho HS trong việc giải PT
B .Nhắc lại kiến thức bài học :
1. Dạng tổng quát :
A(x) C(x)
B(x) D(x)
=
2. Tập xác định :

{ }
x R / B(x) 0; D(x) 0
3. Cách giải :
a) Tìm Đkxđ của Pt : những giá trị của biến để mẩu thức khác 0
b) Quy đồng và khử mẩu
c) giải Pt sau khi đả khử mẩu
d) Đối chiếu Đkxđ để tìm tập nghiệm của Pt
Giáo án Nâng cao Toán 8 Năm học: 2010 - 2011
4
Trần Văn Đồng Trờng THCS Thạch Kim Lộc Hà - Hà Tĩnh
c. Các ví dụ:
1. Ví dụ 1 : Giải các pt :
a)
2
2
x 6 x 5 2x 23x 61
x 5 x 6 x x 30
+ + +
+ =
+ +
(1)
Ta có : x
2
+ x 30 = (x - 5)(x + 6)

Đkxđ :
x 5 0 x 5
x 6 0 x 6

+

(1)
2 2 2
2 2 2
(x 6) (x 5) 2x 23x 61
(x 6) (x 5) 2x 23x 61
(x 5)(x 6) (x 5)(x 6)
+ + + +
= + + = + +
+ +
2 2 2
x 12x 36 x 10x 25 2x 23x 61 x 0
+ + + + + = + + =
(Tmđk) .
b)
2
5 x 7 x 1 1
4x 8x 8 2x(x 2) 8x 16

+ = +

(2) .
Ta có :
2
4x 8x 4x(x 2)
=
;

8x 16 8(x 2)
=
.
Đkxđ :
x 2 0 x 2
x 0 x 0






(2)
5 x 7 x 1 1 2(5 x) 7x(x 2) 4(x 1) x
4x(x 2) 8 2x(x 2) 8(x 2) 8x(x 2) 8x(x 2)
+ +
+ = + =

2 2
2(5 x) 7x(x 2) 4(x 1) x 10 2x 7x 14x 4x 4 x 7x 21x 14 0
+ = + + = + + =
2 2
x 2 0 x 2 (loai)
7(x 3x 2) 0 x 3x 2 0 (x 2)(x 1) 0
x 1 0 x 1(nhan)
= =

+ = + = =

= =

c)
2 2 4 2
x 2 x 2 6
x 2x 4 x 2x 4 x(x 4x 16)
+
=
+ + + + +
(3)
Vì : (x
2
+ 2x + 4)(x
2
2x + 4) = x
4
+ 4x
2
+16 .
Đkxđ : x ( x
4
+ 4x
2
+16 )

0

x

0.

Do : x
4
+ 4x
2
+16

0 với mọi x
(3)
2 2
4 2 4 2
x(x 2)(x 2x 4) x(x 2)(x 2x 4) 6
x(x 4x 16) x(x 4x 16)
+ + + +
=
+ + + +
2 2
x(x 2)(x 2x 4) x(x 2)(x 2x 4) 6
+ + + + =
4 4
3
x 8x x 8x 6 16x 6 8x 3 x
8
+ + = = = =
(Tm) .Vậy :
3
S
8

=

d)
2 2 2
x 4 x 1 2x 5
2x 5x 2 2x 7x 3 2x 7x 3
+ + +
+ =
+ + +
2 2
x 4 x 4
0
2x 5x 2 2x 7x 3
+ +
=
+ +
2 2 2 2
1 1 (x 4)(1 2x)
(x 4) 0 0
x 5x 2 x 7x 3 (2x 5x 2)(2x 7x 3)
x 4
(x 4)(1 2x) 0
1
x
2
+

+ = =
ữ
+ + + +

=


+ =

=

*Với
1
2
x =
Thì : 2x
2
- 5x + 2 = 0 . Nên
1
2
x =
không thoã mãn
* Với x = - 4 Thì : (2x
2
- 5x + 2 ) (2x
2
- 7x + 3 )

0
Vậy Pt có nghiệm là : x = - 4
e)
2 2
2 2
1 1

4x 4y 8
x y
+ + + =
(6) . Đkxđ :
x 0
y 0





Giáo án Nâng cao Toán 8 Năm học: 2010 - 2011
5
Trần Văn Đồng Trờng THCS Thạch Kim Lộc Hà - Hà Tĩnh

2
2
2 2
2 2
2
2
2
2
1 1 1 1 1 1
(6) 4x 2.2x. 4y 2.2y. 0 2x 2y 0
x x y y x y
1
1
1
2x 0

2x 0
x
x
2x 1
x
2
1
2y 1
1
1
2y 0
y
2y 0
y
2
y


+ + + = + =
ữ ữ
ữ ữ





=

=
=

ữ



=




=




=
=
=
ữ





Vậy : nghiệm của Pt (6) là :( x =
1
2
; y =
1
2
) hoặc : ( x = -

1
2
; y = -
1
2
) hoặc
( x = -
1
2
; y =
1
2
) hoặc :( x =
1
2
; y = -
1
2
)
f)
2
2
2 1
x 1 x 1
=
+
+
(7) . Đkxđ :
1x

(7)
2
2
2 2 2
1 1 1 x 1
1 1 1 1 x 1 3x 1
2(x 1) (x 1) 2x 2 x 1 3x 1
3x 1
x 1 x 1 x 1

= = = = =
+ + + +


2
x 0
x 3x 0 x(x 3) 0
x 3
=

= =

=

(thoã mãn Đkxđ )
2. Ví dụ 2 : Giải và biện luận các Pt :
a)
1 a
1 a
1 x

+
=

(a) . Đkxđ :
1x

. (a)
1 a (1 a)(1 x) (a 1)x 2a
+ = =
*Nếu
2a
a 1 x
a 1
=

; mà
2a
x 1 1 2a a 1 a 1
a 1


*Nếu a = 1 thì Pt vô nghiệm
Vậy : + Với
a 1
thì Pt (a) có nghiệm duy nhất :
2a
x
a 1
=

+ Các ttrờnghợp còn lại đều vô nghiệm
b)
2
2 2
x 2a x 8a
2a x 2a x x 4a
+
+ =
+
(b)
Đkxđ :
x 2a

(b)
( ) ( )
2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
x 2a x 2a x
8a
2ax x 4a 4ax x 8a
x 4a x 4a
+ +
= + + + =

2 2
6ax 12a ax 2a = =
*Nếu
0 2a x a =

: không thoã mãn Đkxđ
*Nếu a = 0 thì pt trở thành : 0x = 0

Pt có vô số nghiệm
c)
1 1 1 1
a b x a b x
+ + =
+ +
(c) .
Đk để Pt có nghĩa :
a 0;b 0

. Đkxđ :
( )
x a b
+
(c)
( )
1 1 a b a b a b
a b x x ab x a b x ab
+ + +
= =
+ + + +
Giáo án Nâng cao Toán 8 Năm học: 2010 - 2011
6
Trần Văn Đồng Trờng THCS Thạch Kim Lộc Hà - Hà Tĩnh
*Nếu a + b = 0 thi (c) có vô số nghiệm :
; 0x R x
*Nếu a + b

0 thì : - x(a + b + x) = ab
( ) ( )
2
x a
ab ax bx x 0 x a x b 0
x b
=

+ + + = + + =

=

+Để : a thoã mãn thì :
a 0 a 0
a a b b 0






(Đk này đã có )
+ Để : - b thoã mãn thì :
b 0 b 0
b a b a 0

(Đk này đã có )
Vậy :
*Nếu :
a 0;b 0;a b 0
+ =
thì Pt (c) có vô số nghiệm :
x R;x 0

*Nếu :
a 0;b 0;a b 0
+
Thì Pt (c) có nghiệm x = - a và x = - b
3. Bài tập về nhà :
bài 1 : Giải các Pt
a)
2 2 2
2
x x x 7x 3x
x 3 x 3 9 x

=
+
b)
2
1
1
1 1 x
x 2 x 2 x 4

=
+ +
+
bài 2 : Giải và biện luận Pt :
a)
y b y 3
2
y 3 y b
+ +
+ =

b)
x a 1 x 11 10
x a x 10 (x a)(x 10)
+ + +
=
+ + + +
buổi 15 giải bài toán bằng cách lập ph ơng trình
Ngày soạn : 04 03 - 2011
Ngày dạy: 07 - 03 - 2011
A . Mục tiêu :
* Củng cố, khắc sâu cách giải bài toán bằng cách lập phơng trình
* Nâng cao kỹ năng và phơng pháp giải bài toán bằng cách lập phơng trình
* HS có hứng thú trong học tập kiến thức này
B. Nhắc lại kiến thức bài học :
Các bớc giải bài toán bằng cách lập phơng trình :
B1 : Chọn ẩn và đặt Đk mà ẩn phải thoã mãn
Biểu diễn các đại lợng khác qua các đại lợng cha biết và ẩn
Lập phơng trình diễn đạt mối quan hệ giữa các đại lợng trong bài toán
B2 : Giải phơng trình vừa lập

B3 : Đối chiếu Đk của ẩn và trả lời kết quả
c . Các ví dụ :
* Dạng 1: Toán chuyển động
1 . Ví dụ 1 : Một ca nô xuôi dòng từ A đến B mất 4h và ngợc dòng từ B về A mất 5h .
Tính quảng đờng AB . Biết dòng nớc có vận tốc là 2 Km/h
Giải
Cách 1: Gọi x (Km) là quảng đờng AB (x > 0)
Vận tốc ca nô khi xuôi dòng từ A đến B là :
x
4
(Km/h) và vận tốc ca nô khi ngợc dòng từ B
về A là :
x
5
(Km/h) .
Vì vận tốc dòng nớc là 2Km/h nên ta có phơng trình :
2 2
4 5
x x
= +
giải phơng trình (1) ta có : x = 80 (Km)
Cách 2 : Gọi x (Km/h) là vận tốc thực của ca nô (x > 0)
Giáo án Nâng cao Toán 8 Năm học: 2010 - 2011
7
Trần Văn Đồng Trờng THCS Thạch Kim Lộc Hà - Hà Tĩnh
Vận tốc ca nô khi xuôi dòng là : x + 2 (Km/h) ;
Vận tốc ca nô khi ngợc dòng là : x - 2 (Km/h)
Quảng đờng AB lúc xuôi dòng là : 4 ( x + 2 ) (Km) ;
lúc ngợc dòng là : 5 ( x 2 ) (Km)
Ta có phơng trình : 4(x+2) = 5( x 2 )

Giải ra ta có : x = 18 (Km/h) (Tmđk)
Quảg đờng AB là : 4 ( 18 + 2 ) = 80 (Km)
2. Ví dụ 2 : Một Ôtô đi từ A đến B. Cùng lúc đó ôtô thứ hai đi từ B đến A với vận tốc bằng
2
3
vận tốc ôtô thứ nhất. Sau 5 h chúng gặp nhau. Hỏi mỗi ôtô đi hết quảng đờng trong bao
lâu?
Giải
Gọi thời gian ôtô thứ nhất đi cả quảng đờng AB là x giờ (x > 0)
Trong 1h xe thứ nhất đi đợc
1
x
quảng đờng AB, xe thứ hai đi đợc
2
3
.
1
x
=
2
3x
quảng đờng
AB
Sau 5 h xe thứ nhất đi đợc
5
x
quảng đờng AB, xe thứ hai đi đợc
2
3
.

5
x
=
10
3x
quảng đờng AB
Vì hai xe chuyển động cùng chiều nên tổng quảng đờng hai xe đi đợc bằng quảng đờng AB
nên ta có Pt:
5
x
+
10
3x
= 1
Giai ra ta có x =
25 1
8
3 3
=
(h) = 8 giờ 20 phút
* Dạng 2: Toán tìm tuổi
3 .Ví dụ 3: Tổng số tuổi của hai Anh Em hiện nay là 63 tuổi . Tuổi của Anh hiện nay gấp
đôi tuổi của Em khi ngời Anh có tuổi bằng tuổi Em hiện nay. Hỏi tuổi của mỗi ngời hiện
nay ?
Giải
Gọi x là tuổi của Anh hiện nay (x nguyên dơng ) , thì tuổi Em hiện nay là 63 x
Chênh lệch tuổi của 2 Anh Em là : x ( 63 x ) = 2x 63
Lúc Anh có tuổi bằng 63 x ( Bằng tuổi Em hiện nay ) thì tuổi Em lúc đó là :
63 x ( 2x 63 ) = 126 3x
Khi mà tuổi Anh bằng tuổi Em hiện nay thì Anh gấp đôi tuổi Em , nên ta có phơng trình : x

= 2 ( 126 3x )
Giải ra ta có : x = 36
Vậy : Hiện nay Anh 36 Tuổi còn tuổi Em hiện nay là : 63 36 = 27 tuổi
* Dạng 3: Toán tìm số
4. Ví dụ 4: Một số tự nhiên có hai chữ số. Tổng các chữ số của nó bằng 16. Nếu đổi chổ hai
chữ số cho nhau đợc một số lớn hơn số đã cho là 18. Tìm số đã cho
Giải
Gọi chữ số hàng chục là x : 0 < x

9, x

N
Chữ số hang đơn vị là 16 x. Số đã cho là 10x + (16 x) = 9x + 16
Khi đổi chổ hai chữ số cho nhau thì chữ số hàng chục là 16 x, chữ số hàng đơn vị là x
Số mới là 10(16 x) + x
Theo bài ra ta có Pt: 10(16 x) + x 9x + 16 = 18
Giải Pt trên ta có x = 7
Vậy số đã cho là 79
* Dạng 4: Toán làm chung công việc
5. Ví dụ 5
Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể, vòi thứ nhất chảy đợc 40 lít/ phút . Vòi htứ hai chảy
đợc 30 lít/ phút . Nếu cho vòi thứ hai chảy trớc vòi thứ nhất 6 phút thì khi chảy đầy bể , l-
ợng nớc từ hai vòi chảy vào bể là bằng nhau. Tìm dung tích của bể
Giải
Giáo án Nâng cao Toán 8 Năm học: 2010 - 2011
8
Trần Văn Đồng Trờng THCS Thạch Kim Lộc Hà - Hà Tĩnh
Gọi dung tích của bể là x (lít ) . Thì lợng nớc mỗi vòi chảy vào bể là
2
x

(lít )
Thời gian vòi thứ nhất chảy đầy
2
x
bể là :
80
x
(phút )
Thời gian vòi thứ nhất chảy đầy
2
x
bể là :
60
x
(phút )
Vòi thứ hai chảy trớc vòi thứ nhất là 6 phút nên ta có phơng trình :

6 6 2880 8 2 2880 1440
80 60
x x
x x x x+ = + = = =
( lít )
Vậy dung tích của bể là : 1440 ( lít )
6. Ví dụ 6
Một vòi nớc chảy vào một bể không có nớc. Cùng lúc đó một vòi chảy từ bể ra. Mỗi giờ l-
ợng nớc chảy ra bằng
4
5
lợng nớc chảy vào. Sau 5 giờ thì lợng nớc trong bể đạt
1

8
dung tích
bể. Hỏi nếu bể không có nớc và chỉ mở vòi chảy vào thì sau bao lâu bể đầy?
Giải
Gọi thời gian 1 mình vòi I chảy vào đầy bể là x giờ (x > 0)
Trong 1 giờ vòi I chảy đợc
1
x
bể, vòi II chảy đợc
4
5x
bể
Trong 1 giờ lợng nớc còn lại trong bể là
1
x
-
4
5x
=
1
5x
bể
Sau 5 giờ nớc trong bể còn 5.
1
5x
=
1
x
bể
Theo đề ra ta có Pt:

1
x
=
1
8


x = 8
7. Ví dụ 7:
Một đội máy cày dự định mỗi ngày cày 40 ha. Khi thực hiện mỗi ngày cày đợc 52 ha. Vì
vậy đội không những cày xong trớc thời hạn 2 ngày mà còn cày thêm đợc 4 ha nữa. Tính
diện tích ruộng mà đội phải cày theo dự định?
Giải
Gọi diện tích ruộng đội phải cày theo dự định là x (ha, x > 0)
Thời gian đội dự định cày xong diện tích đó là
x
40
(ngày)
Thực tế đội cày đợc (x + 4) (ha) nên thời gian thực tế đội đã cày là
x + 4
52
(ngày)
Theo bài ra ta có Pt:
x
40
-
x + 4
52
= 2
Giải ra ta có: x = 360

D. Bài tập về nhà:
Bài 1: Tìm một số có 2 chữ số biết rằng chữ số hàng chục bằng nửa chữ số hàng đơn vị ,
nếu đặt chữ số 1 xen vào giữa hai chữ số của số đã cho ta đợc số lớn hơn số đã cho là 370
Tìm số đã cho (ĐS: 48)
Bài 2: Một ca nô đi tuần tra xuôi một khúc sông từ A đến B hết 1h30 ph, rồi ngợc dòng từ B
về A hết 2 h . Tìm quảng đờng AB biết vận tốc dòng nớc là 2 Km/h (ĐS: 24 Km)
Bài 3: Hiện giờ (Năm 2010) tuổi cha gấp 5 lần tuổi con . 7 năm sau thì tuổi cha gấp 3 lần
tuổi con. Hỏi con sinh năm nào (ĐS: Con 7 tuổi. sinh năm 2010 7 = 2003)
Bài 4: Bể thứ nhất nhiều hơn bể thứ hai 1200 lít nớc. Ngời ta tháo nớc từ bể thứ nhất sang
bể thứ hai bằng một vòi mỗi phút chảy đợc 20 lít. Sau 20 phút thì lợng nớc trong bể thứ
nhất bằng
29
27
lợng nớc của bể thứ hai. Tính lợng nớc có trong mỗi bể lúc đầu
Giáo án Nâng cao Toán 8 Năm học: 2010 - 2011
9
Trần Văn Đồng Trờng THCS Thạch Kim Lộc Hà - Hà Tĩnh
(ĐS: 6200 lít và 5000 lít)
Buổi 16 các tr ờng hợp dồng dạng của tam giác
Ngày soạn : 3 - 2011
Ngày dạy: - 03 - 2011
a. mục tiêu :
* Củng cố ; khắc sâu kiến thức về các trờng hợp đồng dạng của hai tam giác
* Nâng cao kiến thức và kỷ năng giải các bài toán về tam giác đồng dạng
* Gây hứng thú cho HS trong việc học nâng cao
b.NHắC LạI KIếN THứC BàI HọC:
1. Trờng hợp đồng dạng thứ nhất :

ABC

DEF . Nếu :
AB BC AC
DE EF DF
= =
(c.c.c)
2. Trờng hợp đồng dạng thứ hai :

ABC

DEF . Nếu :
AB BC
DE EF
=
và
à
à
B E=
(c.g.c)
3. Trờng hợp đồng dạng thứ ba:

ABC

DEF . Nếu :
à
à
à
à
A D;B E= =
hoặc
à

à
A D=
và
à
$
C F=
Hoặc
à
à
à
$
B E;C F= =
(g.g)
* Nếu các tam giác đồng dạng với nhau thì suy ra các cặp cạnh còn lại tỉ lệ và các góc còn
lại bằng nhau
c.bài tập :
1. Bài 1:
Cho Hình bình hành ABCD, điểm M thuộc cạnh AB, DM cắt tia CB tại N.
a) Chứng minh : AM. MN = BM. DM; AM. DN = CD. MD
b) Đờng thẳng qua M vuông góc với AD, BN tại H và K. Chứng minh:
HM DA
=
KM NB
c) Cho AB = 6 cm; BC = AM = 4 cm; DM = 5 cm. Tính độ dài MN, BN
Giải
a) ABCD l;à hình bình hành nên AD // CB

BN // AD

ADM

BNM (g-g)


AM DM
=
BM NM

AM. MN = BM. MD
Tơng tự:

ADM

CND (g-g)


AM DM
=
CD ND

AM. DN = CD. MD
b)

AMH

BMK (g-g)

HM AM
=
KM BM
(1)
Mà
AM DA
=
BM NB
(2) Do

ADM

BNM (g-g)
Từ (1) và (2) suy ra
HM DA
=
KM NB
c)

ADM

BNM (g-g)


AM DM AD
=
BM NM BN
=

MN =
DM 4.2
. BM = = 2,5
AM 5
cm
Và BN =
BM . AD

AM
= 2 cm
2.Bài 2:
Cho

ABC có
AB 6
AC 7
=
, Đờng phân giác AD. Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của B, C
trên AD
a) Tính tỷ số
BM
CN
Giáo án Nâng cao Toán 8 Năm học: 2010 - 2011
10
K
H
N
M
D
C

B
A
Trần Văn Đồng Trờng THCS Thạch Kim Lộc Hà - Hà Tĩnh
b) Chứng minh rằng AM. DN = AN. DM
Giải
a) Ta có BM // CN (Cùng vuông góc với AD)



BMD

CND (g g)


BM BD
CN CD
=
(1)
Mặt khác AD là phân giác nên
BD AB 6
CD AC 7
= =
(2)
từ (1) và (2) suy ra
BM 6
CN 7
=
b) Theo câu a ta có

BMD

CND (g g)

BM DM
CN DN
=
(3)
Mặt khác

ABM

ACN (g g)


BM AM
CN AN
=
(4)
từ (3) và (4) suy ra
DM AM
DN AN
=


AM. DN = AN. DM
Bài 3:
Cho tam giác ABC; trung tuyến AM,BN. Các đờng trung trực của BC và AC cắt nhau tại O ;
H và G lần lợt là trực tâm và trọng tâm của tam giác .
Chứng minh rằng :
a)

ABH

MNO
b)

AHG

MOG
c)Ba điểm H, O, G thẳng hàng
Giải
a) AH

BC ; OM

BC

OM // AH
MN là đờng trung bình của tam giác ABC nên: MN//AB
;
ã
ã
HAB OMN=
(Vì
ã
ã
BAM AMN=
ã
ã
HAM AMO=

(Do AH//OM )
Tơng tự ta có :
ã
ã
HBA ONM=
Vậy :

ABH

MNO
b) G là trọng tâm nên :
MG 1
AG 2
=
(1)

ABH

MNO
OM MN 1
AH AB 2
= =
(2)
Từ (1) và (2) suy ra :
MG OM
AG AH
=
(3)
Mặt khác : OM//AH nên ;
ã

ã
HAG OMG=
(4)
Từ (3) và (4) suy ra :

AHG

MOG
c) Từ câu b suy ra :
ã
ã
AGH OGM=
. Hai góc này bằng nhau nà 2 cạnh AG , GMnằm trên một
đờng thẳng , hai cạnh GH , GO nằm ở hai phía của AM nên củng phải nằm trên một đờng
thẳng ; nghĩa là ba điểm H , G, O thẳng hàng
Bài 4 :
Qua điểm O tuỳ ý trong

ABC , kẻ DE , FK , MN tơng ứng song song với AB , AC , BC
sao cho F,M nằm trên AB ; E,K nằm trên BC và N,D nằm trên AC . Chứng minh :
AF BE CN
1
AB BC CA
+ + =
Giải
Giáo án Nâng cao Toán 8 Năm học: 2010 - 2011
11
O
G
H

N
M
C
B
A
N
M
D
C
B
A
Trần Văn Đồng Trờng THCS Thạch Kim Lộc Hà - Hà Tĩnh
FK//AC
AF KC
AB BC
=
(1)

OEK

ABC (g.g)
KO KE
CA BC
=
Mà tứ giác OKCN là hình
bình hành nên : OK = CN , do đó :
CN KE
CA BC
=
(2)

Từ (1) và (2) suy ra :
KC BE KE KC + BE + KE
1
BC BC BC
AF BE CN BC
AB BC CA BC BC
+ + = + + = = =
(đpcm)
Bài 5:
Cho hình thang ABCD có E , F là trung điểm của hai đáy AD , BD. H là giao điểm hai cạnh
bên; G là giao điểm hai đờng chéo .
Chứng minh rằng : H , E , G , F thẳng hàng (bài toán ng-
ợc của bài toán I. S teinr)
Giải
Ta có :

ADG

CBG (g.g) , nên :
AD AG 2AE AG AE AG
CB CG 2CF CG CF CG
= = =
(1)
Ta lại có :
ã
ã
EAG FCG=
(SL trong ) (2)
Từ (1) và (2) suy ra :

AEG

CFG (c.g.c)
Do đó :
ã
ã
AGE CGF=
E , G , H thẳng hàng (3)
Tơng tự ta có :

AEH

BFH
ã
ã
AHE BHF =


H , E , F thẳng hàng (4)
Từ (3) và (4) suy ra : H , E , G , F thẳng hàng
* Bài tập về nhà :
Bài 1 :
Cho hình thang ABCD (AB//CD , AB > CD ) . Gọi giao điểm 2 cạnh bên là O, giao điểm 2
đờng chéo là I , trung điểm của AB , CD là M , N
a ) Tính độ dài các cạnh của

AOB theo các cạnh của hình thang ABCD
b ) so sánh các tỷ số :
OM
ON

và
IM
IN
c ) Gọi E, F lần lợt là giao điểm của đờng thẳng qua I và song song với AB và 2 cạnh AD,
BC . Tính IE, IF
Bài 2 :
Cho tam giác ABC . Vẽ đờng thẳng song song với BC lần lợt cắt AB , AC tại D và E
Tia Cx // AB cắt DE tại G. Gọi H là giao điểm của AC và BG . Vẽ Hy//AB cắt BC tại I
Chứng minh rằng :
a) DA . EG = DB . DE b) HC
2
= HE . HA
b)
1 1 1
IH AB CG
= +

Giáo án Nâng cao Toán 8 Năm học: 2010 - 2011
12
K
F
E
D
N
M
O
C
B
A
F

G
E
H
D
C
B
A