ĐỀ ĐÁP ÁN THI HS GIỎI TOÁN (10-11)

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LÂM ĐỒNG NĂM HỌC 2010-2011

Môn : TOÁN – THCS
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian : 150 phút ( không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm có 1 trang) Ngày thi : 18/02/2011
Câu 1: (2,0 điểm ) Rút gọn
A 127 48 7 127 48 7= − − +
.
Câu 2:(2,0 điểm) Cho hàm số y = f(x) = (3m
2
– 7m +5) x – 2011 (*) . Chứng minh hàm số (*)
luôn đồng biến trên R với mọi m.
Câu 3:( 2,0 điểm) Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B . Trên đường
thẳng AB lấy điểm M sao cho A nằm giữa M và B . Từ M kẻ cát tuyến MCD
với đường tròn (O) và tiếp tuyến MT với đường tròn (O’) (T là tiếp điểm)
Chứng minh MC.MD = MT
2
.
Câu 4: (2,0 điểm ) Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện 3x + y – 1 = 0 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 3x
2
+ y
2
.
Câu 5: (1,5 điểm) Chứng minh tổng C = 1 + 2 + 2
2
+ … + 2
2011
chia hết cho 15 .
Câu 6: (1,5 điểm ) Phân tích đa thức x

3
– x
2
– 14x + 24 thành nhân tử .
Câu 7: (1,5 điểm) Giải hệ phương trình
2
x y z 2
2xy z 4
+ + =


− =

Câu 8: (1,5 điểm ) Chứng minh D = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không phải là số chính phương
với mọi n
N*∈
.
Câu 9: (1,5 điểm ) Cho hai số dương a và b . Chứng minh
1 1 4
a b a b
+ ≥
+
.
Câu 10:(1,5 điểm ) Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình : 2x
2
– xy – y
2
– 8 = 0
Câu 11: (1,5 điểm ) Cho hình thang vuông ABCD (
µ

µ
0
A D 90= =
) , có DC = 2AB . Kẻ DH vuông
góc với AC (H
AC)∈
, gọi N là trung điểm của CH .
Chứng minh BN vuông góc với DN .
Câu 12: (1,5 điểm). Cho tam giác MNP cân tại M (
µ
0
M 90<
) . Gọi D là giao điểm các đường
phân giác trong của tam giác MNP . Biết DM =
2 5
cm , DN = 3 cm .
Tính độ dài đoạn MN .
HẾT
Họ và tên thí sinh :…………………………………………… Số báo danh : ………………………
Giám thị 1 :…………………………………………………… Ký tên : …………………………….
Giám thị 2 :…………………………………………………… Ký tên : …………………………….
(Thí sinh không được sử dụng máy tính )
SỞ GIÁO DỤC &ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LÂM ĐỒNG NĂM HỌC 2010-2011
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Môn : TOÁN – THCS
Ngày thi 18/02/2011
Câu Hướng dẫn chấm Điểm
Câu 1
(2 điểm )

A 127 48 7 127 48 7= − − +
=
2 2
(8 3 7) (8 3 7)− − +
=
| 8 3 7 | | 8 3 7 |− − +

8 3 7 8 3 7 (8>3 7)
6 7
= − − −
= −
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Câu 2
(2 điểm )
3m
2
– 7m + 5 = 3
2
7 5
m m
3 3
 
− +
 ÷
 

2

2
7 49 60
3 m
6 36 36
7 11
3 m 0 m
6 36
 
 
= − − +
 
 ÷
 
 
 
 
 
= − + > ∀
 
 ÷
 
 
 
Vây f(x) đồng biến trên R với mọi m
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Câu 3
(2 điểm)

Chứng minh MC. MD = MA. MB
Chứng minh MT
2
= MA. MB
Suy ra MC.MD = MT
2

0,75 điểm
0,75 điểm
0,5 điểm
Câu 4
(2 điểm )
3x + y – 1 = 0
⇔
y = 1 – 3x

2 2
2
2
2
B 3x (1 3x)
12x 6x 1
1 1
12 x
4 48
1 1 1
12 x
4 4 4
= + −
= − +

 
 
= − +
 
 ÷
 
 
 
 
= − + ≥
 ÷
 
Vây GTNN của B là
1 1 1
khi x = và y =
4 4 4
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Câu 5 C = 1 + 2 + 2
2
+ … + 2
2011

(1,5 điểm ) = (1 + 2 + 2
2
+ 2
3
) + (2

4
+ 2
5
+ 2
6
+ 2
7
) + …+ ( 2
2008
+ 2
2009
+2
2010
+
2
2011
)
= (1 + 2 + 2
2
+ 2
3
)+ 2
4
(1 + 2 + 2
2
+ 2
3
)+ …+2
2008
(1 + 2 + 2

2
+ 2
3
)
= 15 ( 1 + 2
4
+ …+ 2
2008
) chia hết cho 15
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Câu 6
(1,5 điểm )
x
3
– x
2
– 14x +24
= x
3
+ 4x
2
– 5x
2
– 20x + 6x + 24
= (x + 4) (x
2
– 5x + 6 )
= (x + 4) (x – 2) (x – 3)

0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Câu 7
(1,5 điểm )
2
2 2
2 2
x y z 2 z 2 x y
(2 x y) 2xy 4
2xy z 4 z 2xy 4 z 2 x y
(x 2) (y 2) 0

z 2 x y
x y 2

z 2
+ + = = − −
  
− − = −
⇔ ⇔
  
− = = − = − −
  

− + − =
⇔

= − −


= =

⇔

= −


0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Câu 8
(1,5 điểm )
D = n(n + 1) (n + 2) (n + 3)
= (n
2
+ 3n) (n
2
+ 3n + 2 )
= (n
2
+ 3n)
2
+2 (n
2
+ 3n)
⇒
(n
2
+ 3n)
2

< D < (n
2
+ 3n)
2
+2 (n
2
+ 3n) +1
⇒
(n
2
+ 3n)
2
< D < (n
2
+ 3n +1)
2
Nên D không phải là số chính phương vì (n
2
+ 3n)
2
và (n
2
+ 3n +1)
2
là
2 số chính phương liên tiếp
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Câu 9

(1,5 điểm )
Ta có (a – b)
2

0≥

2 2
2
a b 2ab
(a b) 4ab
a b 4
( vì (a+b)ab >0 )
ab a b
1 1 4
a b a b
⇔ + ≥
⇔ + ≥
+
⇔ ≥
+
⇔ + ≥
+
Dấu “ = ” xảy ra khi a = b ( thiếu câu này không trừ điểm)
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Câu 10
(1,5 điểm)
2x
2

– xy – y
2
– 8 = 0
⇔
(2x + y) (x – y) = 8
⇔
2x y 8
x y 1
+ =


− =

hoặc
2x y 4
x y 2
+ =


− =

⇔
x 3
y 2
=


=

hoặc

x 2
y 0
=


=

0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Câu 11
(1,5 điểm )
Gọi M là trung điểm của DH
Chứng minh tứ giác ABNM là hình bình hành
AM // BN
⇒
(1)
Chứng minh MN
AD
⊥
Suy ra M là trực tâm của
ADN
∆
AM DN
⇒ ⊥
(2)
Từ (1) và (2)
BN DN
⇒ ⊥

0,25 điểm
0,5 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
Câu 12
(1,5 điểm )
Qua M kẻ tia Mx vuông góc với MN cắt ND tại E , kẻ MF
ND⊥
Chứng minh
¶
µ
1
D E=
MD ME 2 5⇒ = =
cm và EF =DF
ME
2
= EF .EN = EF .(2EF + DN )
2
2
(2 5) EF(2EF 3)
2EF 3EF 20 0
= +
+ − =
(EF 4)(2EF 5) 0
EF 2,5 (vì EF >0)
+ − =
⇒ =
MN 2 11⇒ =

cm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
(Nếu học sinh giải bằng cách khác đúng , giám khảo dựa theo biểu điểm để cho điểm tương ứng )