Kiểm tra Toán 11 - Học kì 2 - Đề số 8

Đề số 8
ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 – 2011
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
a)
x
x x
x
2
3
4 3
lim
3
→
− +
−
b)
( )
x
x x
2
lim 1 1
→−∞
+ + −
Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm
x
0
1=
:

x x x
khi x
f x
x
khi x
³ ² 2 2
1
( )
1
4 1

− + −

≠
=

−

=

Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
y x xtan4 cos= −
b)
( )
y x x
10
2
1= + +
Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA ⊥ (ABCD),

SA a 2=
. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB và SD.
a) Chứng minh rằng MN // BD và SC ⊥ (AMN).
b) Gọi K là giao điểm của SC với mp (AMN). Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo vuông
góc.
c) Tính góc giữa đường thẳng SC với mặt phẳng (ABCD).
II. Phần riêng
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình
x x x
4 3 2
3 2 1 0− + − =
có ít nhất hai nghiệm thuộc
khoảng (–1; 1).
Câu 6a: (2,0 điểm)
a) Cho hàm số
f x x x x
5 3
( ) 2 3= + − −
. Chứng minh rằng:
f f f(1) ( 1) 6. (0)
′ ′
+ − = −
b) Cho hàm số
x x
y
x
2
2
1

− +
=
−
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(2; 4).
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình
x x
5 3
10 100 0− + =
có ít nhất một nghiệm âm.
Câu 6b: (2,0 điểm)
a) Cho hàm số
x x
y
2
2 2
2
+ +
=
. Chứng minh rằng:
y y y
2
2 . 1
′′ ′
− =
.
b) Cho hàm số
x x
y
x

2
2
1
− +
=
−
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến có
hệ số góc k = –1.
Hết
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .
1
ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2010 – 2011
MÔN TOÁN LỚP 11 – ĐỀ SỐ 8
Câu Ý Nội dung Điểm
1
a)
x x
x x x x
x x
2
3 3
4 3 ( 3)( 1)
lim lim
3 3
→ →
− + − −
=
− −
0,50
x

x
3
lim( 1) 2
→
= − =
0,50
b)
( )
x x
x
x x
x x
x
2
2
2
lim 1 1 lim
1
. 1 1
→−∞ →−∞
+ + − =
+ − +
0,50
x
x
x
2
2
lim 1
1 1

1 1
→−∞
= −
− + − +
0,50
2
x x
x x
f x
x
2
1 1
( 1)( 2)
lim ( ) lim
1
→ →
− +
=
−
0,25

x
x
2
1
lim( 2) 3
→
= + =
0,25
f(1) = 4 0,25

⇒
hàm số không liên tục tại x = 1 0,25
3 a)
y x x y x
x
2
4
tan4 cos ' sin
cos 4
= − ⇒ = +
0.50
b)
( )
x
y x x y x x
x
10
9
2 2
2
1 ' 10 1 1
1
 
 
 ÷
= + + ⇒ = + + +
 ÷
 ÷
 
+

 
0,25
x x
y
x
10
2
2
10 1
'
1
 
+ +
 ÷
 
⇒ =
+
0,25
4
a)
SAD SAB
∆ ∆
=
,
SN SM
AN SD AM SB MN BD
SD SB
,⊥ ⊥ ⇒ = ⇒
P
0,25

( ) ( )
SC AN AC AS AN AD AB AS AN AD AN AB AN AS AN. . . . . .= − = + − = + −
uur uuur uuur uur uuur uuur uuur uur uuur uuuruuur uuur uuur uur uuur
( )
AD AS AN SD AN SC AN. . 0= − = = ⇒ ⊥
uuur uur uuur uuur uuur
0,25
( ) ( )
SC AM AC AS AM AD AB AS AM AD AM AB AM AS AM. . . . . .= − = + − = + −
uur uuur uuur uur uuur uuur uuur uur uuur uuuruuuur uuur uuur uur uuur
( )
AB AS AM SD AM SB AM. . 0= − = = ⇒ ⊥
uuur uur uuur uuur uuur
0,25
Vậy
SC AMN( )⊥
0,25
b)
SA ABCD SA BD AC BD BD SAC BD AK SAC( ) , ( ) ( )⊥ ⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⊂
0,50
AK AMN( )⊂
,MN // BD
MN AK
⇒ ⊥
0,50
2
c)
SA ABCD( )⊥

⇒

AC là hình chiếu của SC trên (ABCD) ⇒
( )
·
SC ABCD SCA,( ) =
0,50
·
( )
SA a
SCA SC ABCD
AC
a
0
2
tan 1 ,( ) 45
2
= = = ⇒ =
0,50
5a
Gọi
f x x x x
4 3 2
( ) 3 2 1= − + −
⇒
f x( )
liên tục trên R 0,25
f(–1) = 5, f(0) = –1
⇒
f(–1).f(0) < 0 ⇒
f x( ) 0=
có ít nhất 1 nghiệm

c
1
( 1;0)∈ −
0,25
f0) = –1, f(1) = 1
f f(0). (1) 0⇒ <
⇒
f x( ) 0=
có ít nhất 1 nghiệm
c
2
(0;1)∈
0,25
c c
1 2
≠ ⇒
phương trình có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng ( –1; 1) 0,25
6a a)
f x x x x
5 3
( ) 2 3= + − −
⇒
f x x x f f f
4 2
( ) 5 3 2, (1) 6, ( 1) 6, (0) 2
′ ′ ′ ′
= + − = − = = −
0,50
Vậy:
f f f(1) ( 1) 6. (0)

′ ′
+ − = −
0,50
b)
x x x x
y y k f
x
x
2 2
2
2 2 1
' (2) 1
1
( 1)
− + − −
′
= ⇒ = ⇒ = = −
−
−
0,50
x y k PTTT y x
0 0
2, 4, 1 : 2= = = − ⇒ = − +
0,50
5b
Gọi
f x x x
5 3
( ) 10 100= − +
⇒

f x( )
liên tục trên R 0,25
f(0) = 100,
f
5 4 4
( 10) 10 10 100 9.10 100 0− = − + + = − + <

f f(0). ( 10) 0⇒ − <
0,50
⇒ phương trình có ít nhất một nghiệm âm
c ( 10;0)∈ −
0,25
6b a)
y x y y y x x x y
2 2 2
1 1 2 . 1 ( 2 2).1 1 ( 1)
′ ′′ ′′ ′
= + ⇒ = ⇒ = + + − = + =
(đpcm)
0,50
b)
x x x x
y y
x
x
2 2
2
2 2 1
'
1

( 1)
− + − −
= ⇒ =
−
−
0,25
Gọi
x y
0 0
( ; )
là toạ độ tiếp điểm.
⇒
x x
x
y x x x
x
x
2
2
0 0
0
0 0 0
2
0
0
2 1
0
( ) 1 1 2 0
2
( 1)

− −

=
′
= ⇔ = − ⇔ − = ⇔

=
−

0,25
Nếu
x y PTTT y x
0 0
0 2 : 2= ⇒ = − ⇒ = − −
0,25
Nếu
x y PTTT y x
0 0
2 4 : 6= ⇒ = ⇒ = − +
0,25
3