ÔN THI ĐẠI HỌC: QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN

hoctoancapba.com
1.ĐẶT VẤN ĐỀ
1.1 Lý do chọn đề tài:
Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh rất e ngại học môn
hình học không gian vì các em nghĩ rằng nó rất trừu tượng, thiếu tính thực tế
khách quan. Chính vì thế mà có rất nhiều học sinh học yếu môn học này, về
phần giáo viên cũng gặp không ít khó khăn khi truyền đạt nội dung kiến thức
và phương pháp giải các dạng bài tập hình học không gian. Qua nhiều năm
giảng dạy môn học này tôi cũng đúc kết được một số kinh nghiệm nhằm
giúp các em tiếp thu kiến thức được tốt hơn, từ đó mà chất lượng giảng dạy
cũng như học tập của học sinh ngày được nâng lên. Do đây là phần nội dung
kiến thức mới nên nhiều học sinh còn chưa quen với tính tư duy trừu tượng
của nó, nên tôi nghiên cứu nội dung này nhằm tìm ra những phương pháp
truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng nhằm tháo gỡ những vướng
mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mong muốn nâng dần
chất lượng giảng dạy học nói chung và môn hình học không gian nói riêng.
Điểm mới trong kết quả nghiên cứu là tính thực tiễn và tính hệ thống,
không áp đặt hoặc lập khuôn máy móc do đó mà học sinh dễ dàng áp dụng
vào việc giải quyết các bài toán lạ, các bài toán khó.
Từ lý do trên tôi đã khai thác, hệ thống hoá các kiến thức và tổng hợp
thành một chuyên đề: “Phân loại và phương pháp giải một số toán về
quan hệ song song trong không gian”
Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh
lớp 11 có thêm một số kỹ năng cơ bản, phương pháp chứng minh của một số
dạng bài toán liên quan đến quan hệ song song trong không gian. Học sinh
thông hiểu và trình bày bài toán đúng trình tự, đúng logic, không mắc sai
lầm khi làm bài tập. Hy vọng đề tài nhỏ này sẽ giúp các các em học sinh có
1
hoctoancapba.com
cơ sở cũng như phương pháp giải một số bài toán bắt buộc trong sách giáo
khoa Chương II Hình Học lớp 11 một cách có hiệu quả.

1.2 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh khối 11 qua các năm
giảng dạy từ trước đến nay và hiện nay là lớp 11A
3 ,
11A
5,
11A
6
.
Phạm vi nghiên cứu:
Phạm vi nghiên cứu của đề tài là “Chương II: Đường thẳng và mặt
phẳng trong không gian. Quan hệ song song” sách giáo khoa hình học 11
ban cơ bản.
2
hoctoancapba.com
2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
2.1 Cơ sở lý luận:
Khi giải một bài toán về chứng minh quan hệ song song trong không
gian ngoài yêu cầu đọc kỹ đề bài, phân tích giả thuyết bài toán, vẽ hình đúng
ta còn phải chú ý đến nhiều yếu tố khác như: Có cần xác định thêm các yếu
tố khác trên hình vẽ hay không? hình vẽ như thế có tốt chưa ? Có thể hiện
được hết các yêu cầu của đề bài hay chưa ? Để giải quyết vấn đề này ta phải
bắt đầu từ đâu ? Nội dung kiến thức nào liên quan đến vấn đề được đặt ra,
trình bày nó như thế nào cho chính xác và lôgic… có được như thế mới giúp
chúng ta giải quyết được nhiều bài toán mà không gặp phải khó khăn. Ngoài
ra chúng ta còn nắm vững hệ thống lý thuyết, phương pháp chứng minh cho
từng dạng toán như: tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng, tìm giao
tuyến của hai mặt phẳng, chứng minh hai đường thẳng song song, đường
thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song.

2.2 Thực trạng vấn đề
Khi gặp các bài toán liên quan đến việc chứng minh quan hệ song
song trong không gian đa học sinh số chưa phân loại và định hình được cách
giải, lúng túng khi làm bài tập. Trong khi đó bài toán liên quan đến chứng
minh quan hệ song song trong không gian có rất nhiều dạng bài tập khác
nhau, nhưng chương trình hình học lớp 11 không nêu cách giải tổng quát
cho từng dạng, thời lượng dành cho việc làm bài tập các dạng bài toán này là
3
hoctoancapba.com
rất ít. Qua việc quá trình giảng dạy và việc khảo sát kiểm tra định kỳ nhận
thấy nhiều học sinh thường lúng túng hoặc trình bày cách không chính xác
hoặc có học sinh còn không làm được bài tập liên quan đến việc chứng minh
quan hệ song song trong không gian.

2.3 Các biện pháp tiến hành giải quyết các vấn đề của đề tài
Bài toán 1: Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (
α
).


Hình 1 Hình 2
•
Phương pháp:
* Muốn tìm giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (
α
) ta tìm giao
điểm của đường thẳng d với một đường thẳng a nằm trên mp(
α
) ( hình 1)
Tóm tắt: Nếu

( )
A d
A a mp
α
∈


∈ ⊂

thì
( )A d mp
α
= ∩
* Chú ý: Nếu đường thẳng a chưa có trên hình vẽ thì ta tìm a như sau:
- Tìm mp(
β
) chứa d sao cho mp(
β
) cắt mp(
α
).
- Tìm giao tuyến a của hai mp(
α
) và mp(
β
) (hình 2)
* Nhận xét: Vấn đề của bài toán là xác định cho được đường thẳng a. Nhiệm
vụ của giao viên là hướng dẫn, gợi mở cho học sinh biết cách tìm đường
4
hoctoancapba.com

thẳng a và chọn mp(
β
) sao cho phù hợp với từng yêu cầu của bài toán trong
trường hợp đường thẳng a chưa có trên hình vẽ hoctoancapba.com
* Các ví dụ:
Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của AB, J là một điểm trên
AD sao cho
2
AJ =
3
AD
. Tìm giao điểm của đường thẳng IJ với mp(BCD).
Nhận xét: Với bài toán này thì học sinh dễ dàng phát hiện được đường
thẳng a cần tìm chính là đường thẳng BD. Nhiệm vụ của giáo viên là cần lưu
ý cho học sinh điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng đó
phải cùng nằm trên một mặt phẳng và không song song.


Hình 3 Hình 4
Lời giải:
Từ giả thiết
⇒
IJ và BD không song song.
Gọi
IJ BDK
= ∩
IJ
K BD (BCD)
K ∈


⇒

∈ ⊂

Kết luận:
IJ (BCD)K
= ∩
(hình 4)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB.
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SA và SB, M là một điểm tùy ý thuộc
đoạn SD.
a) Tìm giao điểm của đường thẳng BM với mp(SAC).
b) Tìm giao điểm của đường thẳng IM với mp (SBC)
c) Tìm giao điểm của đường thẳng SC với mp(IJM).
5
I
B
D
C
A
J
I
B
D
C
A
K
J
hoctoancapba.com
Nhận xét: Với giả thiết của bài toán thì dựa vào hình vẽ ( hình 5) học sinh

khó mà tìm được đường thẳng a nằm trên mp(SAC) bây giờ là đường thẳng
nào để cắt được đường thẳng BM, nếu không khéo léo hướng dẫn sẽ có
nhiều học sinh nhầm là đường thẳng SC. Vai trò của giáo viên là gợi ý cho
học sinh biết chọn mp(SBD) chứa BM và tìm giao tuyến của hai mp( SBD)
và (SAC) là đường thẳng SO. Từ đó kết luận giao điểm P của hai đường
thẳng BM và SO chính là giao điểm cần tìm. (hình 6)


Hình 5 Hình 6
Với câu b) (hình 7) thì học sinh cũng khó mà tìm được đường thẳng a nằm
trên mp(SBC) bây giờ là đường thẳng nào để cắt được đường thẳng IM nếu
không có sự hướng dẫn của giao viên. Giáo viên yêu cầu học sinh cho biết
đường thẳng IM nằm trên mp nào ? và đi tìm giao tuyến của mp đó với
mp(SBC). Từ đó tìm được giao tuyến là đường thẳng SE và giao điểm cần
tìm chính là điểm F hoctoancap ba.com( hình 8).


Hình 7 Hình 8
6
P
J
I
O
A
B
S
D
C
M
J

I
A
B
S
D
C
M
P
J
I
O
A
B
S
D
C
M
P
J
I
O
A
B
E
S
D
C
M
F
hoctoancapba.com

Tượng tự câu a) để tìm giao điểm của đường thẳng SC với mp(IJM) ta
phải chọn mặt phẳng phụ chứa SC và đi tìm giao tuyến của mặt phẳng phụ
đó với mp(IJM). Với bài toán này thì có nhiều mặt phẳng chứa đường thẳng
SC như mp(SAC), mp(SCD) và mp(SBC). Vấn đề là chọn mặt phẳng nào
sao cho việc tìm giao tuyến được thuận lợi là tùy thuộc vào khả năng của
mỗi học sinh, giáo viên không nên gò học sinh đi theo lời giải của mình.



Hình 9 Hình 10
* Lời giải:
a) Ta có
BM (SBD)
⊂

Xét 2 mp( SAC) và (SBD) có S là điểm chung thức nhất.(1)
Gọi
BDO AC
= ∩

⇒
O là điểm chung thứ hai (2)
Từ (1) và (2)
⇒

( ) ( BD)SO SAC S
= ∩
Gọi
P=BM SO
∩

;
⇒
Kết luận:
P=BM (SAC)
∩
b) Ta có IM
⊂
(SAD)
Xét hai mp(SAD) và (SBC) có: S là điểm chung thứ nhất
Gọi E = AD
∩
BC
⇒
E là điểm chung thứ hai

⇒
SE = (SAD)
∩
( SBC)
Gọi F= IM
∩
SE
⇒
F =IM
∩
(SBC) ( Hình 8)
c) Ta có SC
⊂
(SBC)
Xét 2 mp( IJM) và (SBC) Ta có JF = (IJM)

∩
(SBC)
Gọi H = JF
∩
SC
⇒
H=SC
∩
(IJM) (Hình 10)
7
P
H
J
I
O
A
B
E
S
D
C
M
F
P
J
I
O
A
B
E

S
D
C
M
F
hoctoancapba.com
Bài toán 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (
α
) và (
β
) .
* Phương pháp:
Cách 1: Xác định hai điểm chung của hai mp.
Tóm tắt: Nếu
( ) ( )
B ( ) ( )
A
α β
α β
∈ ∩


∈ ∩

thì
AB=( ) ( )
α β
∩
( Hình 11)

Hình 11
Cách 2: Xác định một điểm chung và song song với một đường thẳng
Dựa vào các định lý sau:
* Định lý 2 ( SGK trang 57) : Nếu
( ) ( )
( ) ( )=b
( ) ( )= c
a
α γ
β γ
α β
∩ =


∩


∩


thì a // b // c hoặc a, b, c đồng quy.
* Hệ quả: Nếu
//
( ),b ( )
( ) ( )= d
a b
a
α β
α β



⊂ ⊂


∩

thì d // a // b hoặc d trùng a hoặc d trùng với b


8
hoctoancapba.com
Hình 12 Hình 13 Hình 14
* Định lý 2:(SGK trang 61) Nếu
//( )
( )
( ) ( )= b
a
a
α
β
α β


⊂


∩

thì a//b (hình 15)
* Hệ quả: Nếu

( ) //
( )//
( ) ( )= a
d
d
α
β
α β




∩

thì a // d. ( hình 16)


Hình 15 Hình 16 Hình 17
* Đlý 3 (SGK trang 67). Nếu
( ) //( )
( ) ( ) a
α β
γ α


∩ =

thì
( ) ( )
//

b
a b
γ β
∩ =



( hình 17)
* Nhận xét: Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta ưu tiên cho cách 1 là
tìm hai điểm chung lần lượt nằm trên hai mặt phẳng đó bằng cách dựa vào
hình vẽ. Nếu trên hình vẽ chỉ có một điểm chung thì ta chuyển sang cách hai
( dựa vào các định lý và hệ quả nêu trên)
9
hoctoancapba.com
* Ví dụ:
Bài 3: Trong mp(
α
) cho tứ giác ABCD có AB và CD cắt nhau tại E, AC và
BD cắt nhau tại F. Gọi S là một điểm nằm ngoài mp(
α
). Tìm giao tuyến của
các mp sau:
a) mp (SAB) và mp(SCD)
b) mp(SAC) và mp(SBD)
c) mp(SEF) với hai mp(SAD) và (SBC).
* Nhận xét: Với hai mp(SAB) và mp(SCD) thì học sinh dễ dàng tìm được
hai điểm chung lần lượt là S là E dựa vào hình vẽ (hình 18). Tương tự đối
với hai mp(SAC) và mp(SBD) thì học sinh cũng phát hiện được giao tuyến
là đường thẳng SF. (hình 19)

Hình 18 Hình 19
Với câu c) giáo viên nên gợi ý cho học sinh phát hiện ra được điểm
chung thứ hai M, N bằng cách nối EF với BC và EF với AD. ( hình 20)


Hình 20
* Lời giải:
a) Ta có
( ) ( )S SAB SCD
∈ ∩
(1) ;
E AB CD
= ∩
( ) ( )E SAB SCD
⇒ ∈ ∩
(2)
10
F
A
D
E
S
B
C
A
D
E
S
B

C
M
F
A
D
E
S
B
C
N
hoctoancapba.com
Từ (1) và (2)
( ) ( )SE SAB SCD
⇒ = ∩
b) Ta có
( ) ( )S SAC SBD
∈ ∩
(*) ;
F AC BD
= ∩
( ) ( )F SAC SBD
⇒ ∈ ∩
(**)
Từ (*) và (**)
( ) ( )SF SAC SBD
⇒ = ∩
c) Gọi
EFM BC
= ∩
,

EFN AD
= ∩
Xét hai mp(SAD) và (SEF) có:
( ) ( EF)S SAD S
∈ ∩
;
( ) ( EF)N SAD S
∈ ∩
; Kết luận :
( ) ( EF)SN SAD S
= ∩
Tương tự:
( ) ( EF)SM SBC S
= ∩
Bài 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
AA’ và CC’, P là một điểm thuộc đoạn BB’. Tìm giao điểm Q của đường
thẳng DD’ với mp(MNP) .
Nhận xét: Để tìm giao điểm Q của đường thẳng DD’ với mp(MNP) thì giáo
viên phải gợi ý cho học sinh tìm giao tuyến của mặt phẳng chứa đường
thẳng DD’ với mp(MNP). Giáo viên yêu cầu học sinh cho biết đường thẳng
DD’ nắm trên những mặt phẳng nào và cho biết số điểm chung của các mặt
phẳng đó với mp(MNP)?


Hình 21 Hình 22
Lời giải:
Ta có DD’
⊂
(CC’D’D)
Xét 2 mp(MNP) và mp(CC’D’D) ta có: N là một điểm chung (1)

MP // mp(CC’D’D) (2)
11
Q
N
M
A
B
D
C
C'
D'
B'
A'
P
x
Q
N
M
A
B
D
C
C'
D'
B'
A'
P
hoctoancapba.com
MP
⊂

mp(MNP) (3)
Từ (1), (2) và (3)
⇒
(MNP)
∩
( CC’D’D) = N
x
// MP
Gọi Q = DD’
∩
N
x

⇒
Q = DD’
∩
(MNP) ( hình 21)
* Chú ý:
Ta có thể chọn mp(AA’D’D) chứa DD’ và tìm được giao tuyến của 2
mp(MNP) và mp(AA’D’D) là M
y
song song với đường thẳng NP ( hình 22)
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên hai cạnh
AB và CD, (
α
) là mặt phẳng chứa MN và song song với SA.
a) Tìm giao tuyến của mp(
α
) với các mp(SAB) và mp(SAC).
b) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(

α
)
Nhận xét: Với dạng toán trên học sinh thường hay gặp lúng túng ở chỗ xác
định mp(
α
). Giáo viên nên lưu ý cho hoc sinh để xác định mp(
α
) ta cần tìm
thêm một điểm nằm trên mp(
α
) nữa ngoài hai điểm M và N mà đề bài đã
cho. Từ đó mà ta có thề tìm được giao tuyến của mp(
α
) với các mp(SAB) ,
(SAC) và thiết diện của hình chóp với mp(
α
)
Lời giải:



Hình 23 Hình 24
a) Xét 2 mp(SAB) và (
α
) có: M là điểm chung
Mặt khác: SA // mp(
α
) và SA
⊂
mp(SAB)

⇒
(SAB)
∩
(
α
)= M
x
// SA
Xét 2 mp( SAC) và mp (
α
) : Gọi O = MN
∩
AC
O là điểm chung của hai mp
Mặt khác: SA // mp(
α
) và SA
⊂
mp(SAB)
12
hoctoancapba.com
⇒
(SAC)
∩
(
α
)= O
y
// SA ( hình 23)
b) Gọi Q = M

x

∩
SB , P = O
y

∩
SC
Ta có (
α
)
∩
(ABCD) =MN ; (
α
)
∩
(SAB) = MQ
(
α
)
∩
(SBC) = PQ ; (
α
)
∩
(SCD) = NP
Kết luận: Thiết diện là tứ giác MNPQ. (hình 24)
Bài toán 3: Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng (
α
).

* Phương pháp: (Định lý 1 SGK trang 61 ).
Tóm tắt: Nếu
( )
//
( )
d
d a
a
α
α
⊄




⊂

thì d // (
α
)

Hình 25
* Nhận xét: Vấn đề nêu lên ở đây là đường thẳng a có trên hình vẽ hay
chưa, nó được xác định như thế nào, làm thế nào để xác được nó. Giáo viên
cần làm cho học sinh biết hướng giải quyết của bài toán là dựa vào giả thiết
của từng bài toán mà xác định đường thẳng a như thế nào cho phù hợp.
* Ví dụ:
Bài 6: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I, K, G lần lượt là trọng
tâm của các tam giác ABC, A’B’C’ và ACC’. Chứng minh đường thẳng IG
song song với mp(BB’C’C).

* Nhận xét:
- Để chứng minh đường thẳng IG song song với mp(BB’C’C) ta phải chứng
minh được đường thẳng IG song song với một đường thẳng nằm trên
mp(BB’C’C)
- Điểm mấu chốt của bài toán là phải chứng minh đường thẳng IG song song
với đường thẳng MN nằm trên mặt phẳng (BB’C’C).
* Lời giải:
13
N
M'
M
A
C
B
B'
C'
A'
I
K
G
hoctoancapba.com
Ta có: I là trọng tâm tam giác ABC nên
2
3
AI
AM
=
(1)
G là trọng tâm tam giác ACC’ nên
2

3
AG
AN
=
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
AI AG
AM AN
=
Theo định lý talet đảo
// ( ' ' )IG MN BB C C
⇒ ⊂
Hình 26
Kết luận: IG // (BB’C’C)
Bài 7: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một
mặt phẳng
a) Gọi O , O’ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF. Chứng minh OO’
song song với hai mp(ADF) và mp(BCE).
b) Gọi M, N là hai điểm lần lượt trên hai cạnh AE và BD sao cho
1
3
AM AE=
,
1
3
BN BD=
. Chứng minh MN song song với mp(CDFE).
* Nhận xét :
- Với câu a) thì học sinh dễ dạng phát hiện được đường thẳng a cần tìm là
đường thẳng DF đối với mp(ADF), là đường thẳng CE đối với mp(BCE).

- Đối với câu b) thì học sinh khó mà phát hiện được đường thẳng a ở đây là
đường thẳng nào nếu không có sự hướng dẫn của giáo viên thì học sinh sẽ
gặp khó khăn. (Hình 27)
* Giải quyết vấn đề: Giáo viên yêu cầu học sinh tìm giao tuyến của hai
mp(AMN) và mp(CDFE). Có nhận xét gì về vị trí tương đối giữa đường
thẳng MN và đường giao tuyến mới vừa tìm được. Từ đó giúp cho học sinh
thấy được hướng giải quyết của
bài toán.

14
A
E
N
O
O'
B
F
D
C
M
A
E
J
N
O
O'
B
F
D
C

I
M
hoctoancapba.com

* Lời giải:
a) CM OO’// (ADF) và OO’//(BCE) Hình 27
Ta có: OO’ đường trung bình của tam giác BDF và tam giác ACE
⇒
OO’//DF và OO’ // CE Mà
( )DF ADF
⊂
,
( )CE BCE
⊂
Kết luận: OO’ // (ADF), OO’ // (BCE).
b) CM MN // (CDFE) .
*) Tìm giao tuyến của hai mp( AMN) và (CDFE).


Hình 28
Ta có: E là điểm chung thứ nhất của hai mp.(1)
Gọi I là giao điểm của AN và CD
⇒
I là điểm chung thứ hai của hai mp (2)
Từ (1) và (2) suy ra đường thẳng EI = (AMN)
∩
(CDFE).
*) CM MN // (CDFE)
Ta có:
1

3
AM AE=
(*)
Xét tam giác ABC có:
1 2
3 3
BN BD BO
= =
và BO là trung tuyến
⇒
N là trọng tâm của tam giác ABC
Gọi J là giao điểm của AI và BC
⇒
J cũng là trung điểm của AI
⇒

2 1
AJ
3 3
AN AI= =
(**)
Từ (*) và (**)
⇒
MN // CE
15
hoctoancapba.com
Mà
( )CE BCFE
⊂
Kết luận : MN // (CDFE) (đpcm)

Bài toán 4: Chứng minh hai mp(
α
) và mp(
β
) song song.
* Phương pháp: (Định lý 1 SGK trang 64)
Tóm tắt: Nếu
, ( )
//( ), //( )
a b
a b I
a b
α
β β
⊂


∩ =



thì mp(
α
) // mp(
β
).
* Nhận xét: Tương tự như bài toán chứng minh đường thẳng song song với
mp, vấn đề đặt ra là chọn hai đường thẳng a, b như thế nào? Nằm trên mặt
phẳng (
α

) hay mp(
β
). Nhiệm vụ của giáo viên là hướng dẫn, gợi mở cho
hoc sinh phát hiện ra được vấn đề của bài toán.
* Ví dụ:
Bài 8: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trọng tâm của các tam
giác ABC , ACD và ABD. Chứng minh hai mp(MNP) và mp(BCD) song
song.
Nhận xét:
Với bài toán này thì học sinh dễ dàng xác định hai đường thẳng a, b
nằm trên mặt phẳng này và song song với mặt phẳng kia. Vấn đề của bài
toán là cách xác định các trọng tâm, giáo viên nên lưu ý cho học sinh cách
xác định trong tâm dựa vào tính chất không nên vẽ quá nhiều các đường
trung tuyến.

* Lời giải:
Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm
của các đoạn thẳng BC, CD và BD.
16
J
K
I
B
D
C
A
P
M
N
hoctoancapba.com

Ta có:
2
AJ 3
AM AN
AI
= =
⇒
MN // IJ
Mà IJ
⊂
(BCD)
⇒
MN// (BCD) (1)
Tương tự MP // (BCD) (2) Hình 29
Mà MN, MP
⊂
(MNP) (3)
Từ (1), (2), (3)
⇒
(MNP) // (BCD)
Bài 9: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng phân
biệt. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho
AM = BN. Qua M, N dựng các đường thẳng song song với AB lần lượt cắt
AD và AF tại M’và N’.
a) Chứng minh mp( ADF) // mp(BCF).
b) Cứng minh mp(DEF) // mp(MM’N’N).
* Nhận xét:
Với câu a) thì học sinh dễ dàng chứng minh được nhưng đối với câu
b) thì giáo viên nên hướng dẫn cho học sinh biết cách vẽ hình, nhận xét được
hai đường thẳng AC và BF là bằng nhau, từ đó gợi mở cho học sinh biết

chứng minh hai đường thẳng MM’ và M’N” song song với mp (DEF) dựa
vào định lý talét đảo.
* Lời giải:
a) Ta có AF // BE
⊂
mp( BCE)
AD // BC
⊂
mp (BCE)
Mà AF, AD
⊂
mp(ADF)
Kết luận mp( ADF) // mp(BCE). Hình 30
b) Ta có MM’ // AB, mà AB // EF
⇒
MM’ // EF
⊂
mp(DEF) (1)
17
M'
A
B
D
C
F
E
N
M
N'
hoctoancapba.com

Mặt khác MM’ // CD
⇒
'
AC
AM AM
AD
=
(*)
NN’ // AB
⇒

'
BF
AN BN
AF
=
(**)
Mà AM = BN, AC = BF
⇒
BF
AM BN
AC
=
(***)
Từ (*), (**) và (***)
⇒
' '
AF
AM AN
AD

=
⇒
M’N’ // DE
⊂
mp(DEF) (2)
Mà MM’, M’N’
⊂
mp(MM’N’N) (3)
Từ (1) , (2), (3)
⇒
(DEF) //(MM’N’N) (đpcm)
Ngoài ra, để giải được một bài toán về hình học không gian ngoài việc
nắm vững các phương pháp, kỹ năng giải toán thì hình vẽ đóng một vai trò
quan trọng, hình vẽ tốt giúp cho chúng ta nhìn ra được hướng giải quyết,
phát hiện ra được vấn đề của bài toán. Hình vẽ tốt là một hình vẽ đảm bảo
được các điều kiện sau:
- Đảm bảo được các quy tắc vẽ hình biểu diễn của một hình không gian
( SGK Hình học 11 trang 45, ban cơ bản).
- Hình vẽ phải rõ ràng, chính xác, thể hiện được tính thẩm mỹ .
- Biết cách xác định đối tượng trên hình vẽ sao cho phù hợp với yêu cầu của
bài toán.
- Hình vẽ không thừa cũng không thiếu dữ kiện của đề bài.
- Ngoài ra để có được một hình vẽ tốt cần phải nắm vững các khái niệm về
hình không gian như: hình chóp, hình tứ diện, hình chóp đều, hình lăng trụ,
hình hộp, hình hộp chữ nhật, hình lập phương…, phân biệt được hình đa
diện với hình đa giác, tứ diện với tứ giác.
2.4 Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề.
18
hoctoancapba.com
Để thực hiện đề tài này tôi đã tìm đọc rất nhiều tài liệu viết về vấn đề

này, nghiên cứu lời giải cho từng dạng toán, lựa chọn bài tập phù hợp với
từng nội dung cần phân tích, kết hợp với hình ảnh trực quan để làm nổi bật
được nội dung cần phân tích.
2.5. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
Qua nhiều năm giảng dạy và đúc kết kinh nghiệm tôi nhận thấy rằng
để dạy cho học sinh học tốt môn hình học không gian thì cần phải giúp cho
học sinh nắm vững hệ thống lý thuyết các định nghĩa, định lý, hệ quả các
phương pháp chứng minh. Ngoài ra cần giúp cho học sinh biết cách tư duy
hình ảnh, kỹ năng vẽ hình. Nắm vững các yếu tố trên sẽ giúp cho việc giảng
dạy của giáo viên được thuận lợi, hoc sinh tiếp thu kiến thức ngày một tốt
hơn.
Kết quả thục nghiệm:
Kết quả kiểm ta đánh giá sau khi ôn tập theo nội dung trên của ba lớp 11A
3 ,
A
5,
A
6
như sau :
Lớp Sĩ số
Tỉ lệ trên Trung bình
Đánh giá
Trung bình Khá giỏi
11A
3
50 29/50 = 58% 9/50 = 18% Khá
11A
5
39 17/39 =43,6% 3/39 = 7,7% Trung bình
11A

6
36 11/36 =30,6% 2/36 = 5,6% Trung bình
19
hoctoancapba.com
3. KẾT LUẬN
3.1. Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm:
Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm là nhằm tạo ra động lực thúc đẩy học
sinh tích cực học tập góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy của bản thân
nói riêng và kết quả giáo dục của nhà trường nói chung.
3.2 Khả năng ứng dụng, triển khai:
Khả năng ứng dụng của sáng kiến kinh nghiệm là ở phương pháp giảng
dạy, phương pháp đặt vấn đề và phận tích hướng dẫn học sinh giải quyết
vấn đề
3.3. Những bài học kinh nghiệm:
Như đã nêu trên, muốn cho học sinh học tốt hơn đối với môn học này thì
người giáo viên phải có một số kỹ năng sau:
* Kỹ năng nêu vấn đề và hướng dẫn học sinh giải quyết vấn đề.
* Kỹ năng giúp học sinh biết tư duy, trực quan hình vẽ.
* Kỹ năng vẽ hình và trình bài lời giải.
3.4 Những kiến nghị, đề xuất:
Nhằm giúp cho học sinh học tốt hơn với môn học, bản thân có kiến
nghị với Ban giám hiệu, phòng thiết bị, Sở giáo dục có kế hoạch mua bổ
sung một số mô hình của hình không gian, các phần mềm vẽ hình không
gian, phương tiện minh họa các nội dung được thể hiện trong sách giáo
khoa, nhằm giúp cho việc giảng dạy của giáo viên được thuận lợi hơn.
20
hoctoancapba.com
Trong dạy học cần bám sát chuẩn kiến thức kỹ năng, nhấn mạnh kiến
thức trọng tâm (định nghĩa, định lí, tính chất ) phục vụ trong quá trình làm
bài tập. Ngoài ra cần giúp cho học sinh các phương pháp chứng minh, biết

cách tư duy hình ảnh, kỹ năng vẽ hình. Nắm vững các yếu tố trên sẽ giúp
cho việc giảng dạy của giáo viên được thuận lợi, hoc sinh tiếp thu kiến thức
ngày một tốt hơn.
Vĩnh Chân, ngày 15 tháng 02 năm 2012
Người Viết
Cù Đức Hòa
DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO.
1. Trần Văn Hạo: Hình học 11- Nhà xuất bản Giáo dục, năm 2007
2. Nguyễn Mộng Hy: Bài tập hình học 11- Nhà xuất bản giáo dục, năm 2007
3. Trần Văn Hạo: Học tốt hình học 11- Nhà xuất bản Đại học Quốc gia TP.
HCM, năm 2007
4. Nguyễn Cam - Nguyễn Văn Phước- Nguyễn Hoàng Nguyên- Tuyển chọn
400 bài tập tự luận và trắc nghiệm- Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội,
năm 2007.
5. Trần Quang Nghĩa – Nguyễn Anh Trường: Phương pháp giải toán hình
không gian 11- Nhà xuất bản Đà Nẵng, năm 1997
21