ôn tập ptr Đth (hsinh yếu)

GV: Nguyễn Duy Tuấn
TỔNG HỢP VỀ BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TÓM TẮT LÝ THUYẾT :
1. Phương trình tham số của đường thẳng :
* PTTS của đường thẳng
∆
đi qua điểm M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) và có VTCP
1 2 3
( ; ; )a a a a=
r
:
0 1
0 2
0 3
(t R)
x x a t
y y a t
z z a t
= +


= + ∈



= +

Chú ý : Với mỗi giá trị của tham số t ta được tọa độ của một điểm nằm trên đth
∆
* Nếu a
1
, a
2
, a
3
đều khác không. PTĐT
∆
viết dưới dạng chính tắc như sau:
0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
− − −
= =
* Để tìm VTCP của đường thẳng
∆
, ta dựa vào các tính chất của HH KG để chọn:
+ Chọn một véctơ nằm trên một đth ssong với đth
∆
hoặc véctơ nằm trên đth
∆
làm VTCP
+ hoặc, chọn hai véctơ có giá Vgóc với đth
∆

thì véctơ tích có hướng của hai véctơ đó là VTCP đth
∆
Chú ý: nếu đth d Vgóc mp(P) thì VTCP của d là VTPT của mp(P).
Nếu đth d Ssong mp(P) thì tích vô hướng VTCP của d và VTPT của mp(P) bằng 0
2. Vị trí tương đối của các đường thẳng và các mặt phẳng
1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Trong Kg Oxyz cho hai đường thẳng
' '
1
1
' '
2 2
' '
0 3
3
'
: ': '
'
o
o
o o
o
x x a t
x x a t
d y y a t d y y a t
z z a t
z z a t

= +
= +




= + = +
 
 
= +
= +



d có vtcp
);;(
321
aaaa =
đi qua M(x
o
;y
o
z
o
); d’có vtcp
);;(
'
3
'
2
'
1
'

aaaa =
đi qua M
’
(x
o
;y
o
z
o
);
a. Nếu
a
,
'
a
cùng phương thì : d // d’⇔





∉
=
'
'
.
dM
aka
hoặc d ≡ d’ ⇔






∈
=
'
'
.
dM
aka
b. Nếu
a
,
'
a
không cùng phương , xét hệ phương trình giao điểm của hai đường thẳng đó là:

' '
1 1
' '
2 2
' '
0 3 3
'
'
'
o o
o o
o

x a t x a t
y a t y a t
z a t z a t

+ = +

+ = +


+ = +

(I)
 d cắt d’ ⇔ Hệ Phương trình hệ (I) có một nghiệm duy nhất
 d chéo d’⇔ Hệ Phương trình hệ (I) vô nghiệm
2. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Trong Kg Oxyz cho (α): Ax+By+Cz+D = 0 và
1
2
0 3
:
o
o
x x a t
d y y a t
z z a t
= +


= +



= +

hệ ptr giao điểm của d và (α)
=> pt: A(x
o
+a
1
t) + B(y
o
+a
2
t) + C(z
0
+a
3
t) + D = 0 (1)
 Phương trình (1) vô nghiệm thì d // (α)
 Phương trình (1) có một nghiệm thì d cắt (α)
 Phương trình (1) có vô số nghiệm thì d
⊂
(α)
Đặc biệt :
(
d
)
⊥
(
α
)

,a n⇔
r r
cùng phương
Tổng hợp về Bài tập viết Phương trình đường thẳng - Saturday, May 09, 2015 - Trang 1/4
GV: Nguyn Duy Tun
CC DNG BI TP THNG GP V PHNG TRèNH NG THNG TRONG KHễNG GIAN
Bi toỏn 1. ng thng i qua 2 im A, B phõn bit => HD: cú VTCP
u AB=
r uuur
1. Vit phng trỡnh ng thng i qua hai im A(1; 0; 11) v C(1; 1; 8)
2. Vit phng trỡnh ng thng i qua A(2; 4; -1) v trung im ca BC vi B(1; 4; -1) v C(2; 4; 3).
3. Vit phng trỡnh ng thng i qua hai im C(1; -1; 1) v D(2; 1; 4)
4. Vit PTTS, PTCT v PTTQ ca ng thng i qua hai im A(1; 2; 3) v B(3; 5; 7).
Bi toỏn 2. ng thng i qua im M v song song vi (khụng qua M) => HD: cú VTCP
'
u u

=
uur uur
Bi toỏn 3. ng thng i qua im M v vuụng gúc vi mt phng
( )

=> HD: cú VTCP
u n


=
uur uur
1. Trong kg Oxyz cho A(1; 2; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 3). Viết phtrình đờng thẳng qua O và V.góc với mp(ABC).
2. Vit phng trỡnh ng thng i qua O v vuụng gúc vi

( )
: 2 6 0x y z

+ =
.
3. Cho hỡnh hp ch nht cú cỏc nh A(3; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 5), O(0; 0; 0) v nh D i xng vi O qua
tõm ca hỡnh hp ch nht. Hóy vit ph trỡnh tham s ca ng thng i qua D v vuụng gúc vi mp(ABD).
4. Vit phng trỡnh ng thng i qua im B(1; 0; -1) v vuụng gúc vi mt phng
( )
: 2 9 0x y z

+ + =
5. Vit phng trỡnh ng thng i qua im M(0; -1; 2) v vuụng gúc vi mt phng
( )
:3 2 1 0x y z

+ + =
Bi toỏn 4. ng thng l giao tuyn ca hai mt phng
( ) ( )
,

=> HD: cú VTCP
,u n n



=

uur uur uur
1. Vit phng trỡnh TS ng giao tuyn ca hai mt phng

( ) ( )
: 1 0; : 2 2 3 1 0x z x y z

+ = + + =
Bi toỏn 5. Vit ptt d qua M(-4; -5; 3) v ct hai th
1
1 3 2
:
3 2 1
x y z
d
+ +
= =

v
2
2 1 1
:
2 3 5
x y z
d
+
= =

Bi toỏn 6. ng thng thuc mt phng
( )

v ct hai ng thng d, d:
HD: vit ptt MN vi M v N ln lt l giao im ca d v d vi mp
( )

1. Trong kg Oxyz cho mp(P):
4 3 11 26 0x y z + =
và 3 th
1
3 1
:
1 2 3
x y z
d
+
= =

,
2
4 3
:
1 1 2
x y z
d

= =
1. Chứng minh
1 2
,d d
chéo nhau
2. Viết phơng trình đờng thẳng nằm trên (P), cắt cả hai đờng thẳng
1 2
,d d
.

2. Cho
1 2
1 2
: ; :
1 1 1
1
x t
x y z
d d y t
z t
=


= = =


= +

a) Xét vị trí tơng đối của
1 2
,d d
b) Tìm toạ độ các điểm
1
M d
và
2
N d
sao cho đờng thẳng MN song song (P): x - y + z = 0 và độ dài
2MN =
.

3. Vit ptdt nm trong mp
( )
: 2 0y z

+ =
v ct hai ng thng
1
:
4
x t
d y t
z t
=


=


=

v
2 '
': 4 2 '
4
x t
d y t
z
=

= +


=

4. Vit ptt d nm trong mp
( )
: 2 1 0x y

+ + =
, ct hai th
( )
1
1 1
:
1 1 2
x y z
d
+
= =

v
( )
2
2 1
:
1 2 1
x y z
d

= =
Bi toỏn 7. ng thng i qua im M vuụng gúc vi ng thng d v song song vi mt phng
( )

=> HD: cú VTCP
,
d
u u n



=

uur uuruur
Tng hp v Bi tp vit Phng trỡnh ng thng - Saturday, May 09, 2015 - Trang 2/4
GV: Nguyn Duy Tun
1. Cho d:
1 3 3
;( ): 2 2 9 0
1 2 1
x y z
P x y z
+
= = + + =

. Tìm toạ độ giao điểm A của d và (P), Viết pt của

nằm
trong (P) biết đờng thẳng

qua A và vuông góc với d.
2. Cho
( )
: 2 1 0x y z

+ + =
v ng thng
1 2
:
2 1 3
x y z
d
+
= =

. Gi M l giao im ca
d
v
( )

. Hóy vit
phng trỡnh ng thng i qua M, vuụng gúc vi
d
v thuc
( )

.
3. Lp phng trỡnh ng thng i qua im B(-1; 2; -3), song song vi mt phng
( ) : 2 0Q x y z+ =
v vuụng

gúc vi ng thng d:
2 ; 0; 3x t y z t= = = +
.
4. Lp PTT i qua A(1; 1; -2), vuụng gúc vi
1 1
:
1 2 2
x y z
d
+
= =

v song song vi mt phng
( )
Oxy
Bi toỏn 8. ng thng i qua im M ct v vuụng gúc vi ng thng d
HD: gi mp(P) i qua M v vuụng gúc th d ; gi N l giao im ca mp(P) v d => l th MN
1. Trong không gian 0xyz A(-4,-2,4) và đờng thẳng
3 2
: 1
1 4
x t
d y t
z t
= +


=

= +

Viết phơng trình đờng thẳng

đi qua A, cắt và vuông góc với d.
2. Cho
1 2
: ; : 2 1
3 1 1
1
x t
x y z
d y t
z t
=

+

= = = +


=

. Viết phơng trình tham số của đờng thẳng qua M(3,2,1) vuông góc với

cắt đờng thẳng d.
3. Cho H(1; 2; -1);
3 3
:
1 1 2

x y z
d

= =
Viết PTT

đi qua H cắt d và song song với
( )

: x + y - z + 3 = 0.
4. Cho
1
( ) : 2 0; :
2 1 1
x y z
x y z d


+ = = =
1) Viêt phơng trình đờng thẳng

qua M(1; - 1; 1) cắt d và song song với
( )

.
2) Xác định toạ độ giao điểm của
,d
.
5. Lp PTT i qua A(2; 1; 3), ct
( )

1
1 1 1
:
2 1 2
x y z
d
+
= =

v vuụng gúc vi
( )
2
2 1
:
1 1 1
x y z
d
+
= =

Bi toỏn 9. ng thng l hỡnh chiu vuụng gúc ca ng thng d trờn mp
( )

HD: Gi mp(P) cha v V.gúc mp
( )

=> d l giao tuyn ca mp(P) v mp
( )

. T PT th dng TQ

chuyn sang pt th dng tham s
1. Trong kg Oxyz cho (P): 2x + y - z + 5 = 0 và các điểm A(0; 0; 4), B(2;0;0). Viết phơng trình hình chiếu vuông
góc của đờng thẳng AB lên mp(P).
2. Cho
( ) : 2 2 11 0; (1; 1;2); ( 1;1;3)x y z A B

+ + =
a) Viết phơng trình đờng thẳng

là hình chiếu vuông góc của AB trên
( )

.
b) Tìm toạ độ của điểm C trên
( )

sao cho

ABC có chi vi nhỏ nhất.
3. Lp Pt chớnh tc ca hchiu vgúc ca th
2 2 1
:
3 4 1
x y z
d
+
= =
lờn mt phng (P):
2 3 4 0x y z+ + + =
.

4. Tỡm hỡnh chiu vuụng gúc ca ng thng d:
1 2
2 3
x t
y t
z t
=


=


= +

lờn mp(Oxz)
Tng hp v Bi tp vit Phng trỡnh ng thng - Saturday, May 09, 2015 - Trang 3/4
GV: Nguyễn Duy Tuấn
5. Lập PTTS của đthẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d:
1 1
2 1 3
x y z+ −
= =
trên mph
( )
: 1 0x y z
α
+ − + =
Bài toán 10. Đường thẳng ∆ đi qua điểm M cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng
( )
α

Trong KG cho A(1; 2; - 1), ®êng th¼ng (d):
x-2 y z+2
= =
1 3 2
vµ mp(P): 2x + y - z + 1 = 0.
ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua A, c¾t ®êng th¼ng (d) vµ song song víi mp(P).
Bài toán 11. Đường thẳng đi qua điểm A(0 ; 1; 1) v.góc đth d1:
1 2
3 1 1
x y z− +
= =
và đth d2 là giao tuyến của hai
mph mp(P): x + y – z + 2 = 0 ; mp(Q): x + 1 = 0.
Bài toán 12. Cho mp(P): 2x + y + z – 1 = 0 và đth d :
1 2
2 1 3
x y z− +
= =
−
. Tìm giao điểm M của mp(P) và d ; viết ptr
đth d’ nằm trong mp(P) đi qua M và V.góc đth d
Bài toán 13. Cho mặt cầu (S) : (x – 1)
2
+ (y + 2)
2
+ z
2
= 0. Viết ptđt ssong đthd:
1 1
2 1 3

x y z+ −
= =
tiếp xúc mc(S)
Bài toán 14 : tìm m để hai đth này cắt nhau : d1:( x = 2t ; y = -3t ; z = mt) , d2:
1 5
3 2 1
x y z+ +
= =
Bài toán 15 : CMR hai đth này Vgóc nhau: d1:
1
1 2 3
x y z−
= =
−
, d2:
3 5 1 0
2 3 8 3 0
x y z
x y z
+ − + =


+ − + =

. Hai đth này có cắt nhau
không?
Bài toán 16 : Viết ptđt d đi qua M(2 ; 3; 1) và cắt hai đth d1:
0
4 0
x y

x y z
+ =


− + + =

d2:
3 1 0
2 0
x y
y z
+ − =


+ − =

Bài toán 17 : Cho tứ diện ABCD có A(2 ; 3; 1) , B(4 ; 1; -2) , C(6 ; 3; 7) và D(-5; -4; 8). Viết ptr đường cao AH.
Bài toán 18 : Đường thẳng ∆ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
1. Trong kg Oxyz cho hai ®êng th¼ng
1
1
: 1
2
x t
d y t
z
= +


= − −



=

vµ
2
3 1
:
1 2 1
x y z
d
− −
= =
−
HD: Nếu MN là đường vuông góc chung của d và d’ thì MN Vgóc với d và d’ nên VTCP của MN là tích có
hướng của hai VTCP của d và d’
'
,
MN d d
u u u
 
=
 
uuur uur uur
. Ta thấy rằng MN là giao tuyến của hai mph (P) và (Q) trong đó:
mp(P) là mph chứa đth d và ssong
'
,
MN d d
u u u

 
=
 
uuur uur uur
mp(Q) là mph chứa đth d’ và ssong
'
,
MN d d
u u u
 
=
 
uuur uur uur
từ ptr đth dạng Tông quát ta chuyển sang ptr đth dạng tham số.
2. Trong kg Oxyz cho hai ®êng th¼ng
1
1
: 0
5
x t
d y
z t
= +


=


= − −


;
2
0
: 4 2 '
5 3 '
x
d y t
z t
=


= −


= +

a) Chøng tá hai ®êng th¼ng
1
d
vµ
2
d
chÐo nhau.
b)T×m ®iÓm
1
M d∈
,
2
N d∈
sao cho

1 2
;MN d MN d⊥ ⊥
. ViÕt ptr×nh ®êng vu«ng gãc chung cña
1
d
vµ
2
d
.
3. Trong KG cho 4 điểm A(2; 4; -1), B(1; 4; -1), C(2; 4; 3), D(2; 2; -1). Viết phương trình tham số của đường
vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CD.
4. Lập PTtsố của đường vuông góc chung của hai đường thẳng
7 3 9
:
1 2 1
x y z
d
− − −
= =
−
và
3 1 1
':
7 2 3
x y z
d
− − −
= =
−
Tổng hợp về Bài tập viết Phương trình đường thẳng - Saturday, May 09, 2015 - Trang 4/4