On tap cho HS trung binh -yeu lên lop 12

Ôn tập Toán Lớp 12 B14 Thầy giáo : Vũ Hoàng Sơ n
Phần 1. Lớp 8
Bài 1: Nhân đơn thức với đa thức -Nhân đa thức với đa thức
Ví dụ 1: cho đa thức p
(x)
=
x x
2
2 3
Tính giá trị của đa thức khi x nhận các giá trị -3, -2, 0 ,
1
2
, 1, 2, 3
Trong các giá trị trên của x giá trị nào là nghiệm của đa thức?
Ví dụ 2: Tìm x, biết
a) 2x(x-2) x(2x -1) = 6
b) (2x+3)(x- 4) + (x-5) (x-2) = (3x-5)(x-4)
c) (8x-3)(3x+2) (4x +7)(x+4) = 2(2x +1)(5x- 1)
Bài Tập số 1
1) Cho hàm số f(x) = -x
2
+3x -2
a) Tính giá trị của đa thức khi x nhận các giá trị , -1, 0 ,
1
2
, 1, 2,
3
b) Tìm nghiệm của đa thức
2) Tìm x biết
a) 2x
2

-2(x +3)x = 5 b) 2x
2
+ 3(x-1)(x+1) = 5x(x+1)
c) (8-5x)(x+2) + 4(x-2)(x+1) + (x-2)(x-2) =0 d) 4 (x-1)(x+5) (x+2)( +5) = 3(x-1)(x+2)
Bài 2. Các hằng đẳng thức đáng nhớ
Dới đây ta dùng các chữ A,B để chỉ các biểu thức đại số và có các hằng đẳng thc sau:
1)Bình phơng của một tổng
(A+B)
2
= A
2
+2AB+B
2

2) Bình phơng của một hiệu
(A-B)
2
= A
2
-2AB+B
2

3) Hiệu hai bình phơng
A
2
B
2
= (A-B)(A+B)
4) Lập phơng của một tổng
(A+B)

3
= A
3
+3A
2
B+3AB
2
+B
3
5) Lập phơng của một Hiệu
(A-B)
3
= A
3
-3A
2
B+3AB
2
-B
3
6) Tổng hai lập phơng
A
3
+B
3
= (A+B)(A
2
-AB+B
2
)

7) Hiệu hai lập phơng
A
3
-B
3
= (A-B)(A
2
+AB+B
2
)
Chú ý: * Hằng đẳng thức (2) có thể suy ra từ hđt (1) bằng cách thay hạnh tử B bởi B cũng tơng tự nh vậy
ta suy từ (4) ra (5) và suy từ (6) ra (7)
*Các hằng đẳng thức (4) và (5) nhiều khi còn đợc viết dới dạng sau:
(A+B)
3
= A
3
+B
3
+ 3AB (A+B) (4a)
(A-B)
3
= A
3
B
3
3AB (A-B) (5a)
Ví dụ 1: Rút gọn
A = (x+1)
2

(x-1)
2
B = (2x+1)
2
+ (2x-1)
2
C = (x+2)
3
(x-2)
3
D = x
2
(x-4) (x+4) - (x
2
+1)(x
2
-1)
Ví dụ 3: Giải các phơng trình
a) x
2
- 4 = 0 b) (x +2)
2
x( x-2) = 3
c) (x-3)
3
(x-3)(x
2
+3x+9) + 6 (x+1)
2
= 15 d) x(x-5)(x+5) (x+2)(x

2
-2x +4) = 3
Bài tập số 2
1)Tính a) (3x-1)
2
b) (2x
3
y +
1
4
y
4
)
2
c) (3x-1)
2
(3x+1)
2

d)(y
2
+y +3)
2
e) (-5x
2
-
1
5
x)
2

g)(x-1) (x+3)
2
1
Ôn tập Toán Lớp 12 B14 Thầy giáo : Vũ Hoàng Sơ n
2)Dùng hằng đẳng thức biến đổi ra dạng bình hoặc đối của bình phơng
a)x
2
- 6x + 9 b) - 4y
2
+4y -1 c)a
2
a +
1
4
d)4x
2n
+ 25 + 20x
n
e)16 8m
2
+m
4
g)49n
6
56n
3
a
2
+ 16 a
4

h)(a+b)
2
4ab i)(a-b)
2
+ 4ab k)25y
18
70y
9
x
3
+ 49x
6

3)Tính:
a) (m
2
n + n
2
m) (m
2
n n
2
m) b) (x
m
-b
n
) (x
m
+b

n
) c) (3xy
2
-5)
2
(3xy
2
+5)
2

d) (5x
3
-9)
2
+ (5x
3
+3)
2
e) (ax
2
-1) (ax
2
+1) (ax
2
-1)
2
g) (11x+9y)
2
(11x+9y)(11x-
9y)

h) (x-y+z) (x-y-z) i) (a + b + c)
2

4)Tìm x:
a) ( x+3)
2
(x-3)
2
= 5 b)(x+2)(x
2
-2x+4) x(x
2
-2) = 15
c)(x-1)
3
+ (2-x)(4+2x+x
2
) + 3x(x+2) = 17
5) Biến đổi tổng sau thành tích:
a) m
2
-9 b) 36 y
2
c) a
6
b
6
d) 81-100n
8
e) 8x

3
27
Bài 3. Phân tích đa thức thành nhân tử
A.Các phơng pháp chính
1.Phơng pháp đặt nhân tử chung ( đặt thừa số chung)
Ví dụ1: 10ax
2
-5x
3
+5x
2
= 5x
2
( 2a x +1)
3x(x-2) +5(2-x) = 3x(x-2) -5(x-2) = (x-2)(3x-5)
2.Phơng pháp hằng đẳng thức
Ví dụ 2: * x
2
+2x+1 = x
2
+2.x.1+1
2
= (x+1)
2
* 4x
2
-12x +9 = (2x)
2
-2.2x.3+3
2

= ( 2x -3)
2
* 9x
2
-4y
6
= (3x)
2
(2y)
2
= (3x-2y)(3x+2y)
* 8x
3
-27 = (2x)
3
-3
3
= (2x-3)[(2x)
2
+2x.3+3
2
] = (2x-3)(4x
2
+6x+9)
* -x
3
-8 = -(x
3
+2
3

) = -(x+2)(x
2
-2x+4)
3.Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử để đặt thừa số chung oặc để xuất hiện hằng đẳng thức
Ví dụ 3: * x
3
-3x
2
+3x-1y
3
= (x-1)
3
y
3
= [(x-1)-y][(x-1)
2
+(x-1)y+y
2
] =(x-y-1)( )
* xy +x +y +1 = x(y+1) +(y+1) = (x+1)(y+1)
* x
2
-2ax +a
2
b
2
= (x-a)
2
b
2

= (x-a-b)(x+a+b)
4.Phơng pháp thêm bớt
Ví dụ 4: * P = x
4
+ 4y
4
= (x
2
)
2
+2.x
2
.(2y
2
) +(2y
2
)
2
- 4x
2
y
2
=(x
2
+2y
2
)
2
(2xy)
2

= (x
2
+2y
2
-2xy)( x
2
+2y
2
+2xy)
* Q = x
5
+x +1 = x
5
-x
2
+x
2
+x+1 = x
2
(x
3
-1) + (x
2
+x+1)
=x
2
(x-1)( x
2
+x+1)+ 1.(x

2
+x+1) =( x
2
+x+1)[ x
2
(x-1) +1]
5.Phơng pháp tách các hạng tử
Ví dụ 5: * P = x
2
- 4x +3 = x
2
-3x x +3 = x(x-3) 1(x-3) = (x-3)(x-1)
* Q = a
3
-7a -6 = a
3
a -6a-6 = a(a
2
-1) -6(a+1) = a( a-1)(a+1) -6(a+1)
= (a+1)[a(a-1) -6] = (a+1) (a
2
a-6) = (a+1)[a
2
-3a+2a-6]
= (a+1)[a(a-3)+2(a-3)] =(a+1)(a-3)(a+2)
6.Phơng pháp dự đoán nghiệm của đa thức
Định lí: Nếu a là nghiệm của đa thức f(x) thì f(x) có chứa thừa số x a
Ví dụ 6: * Q = x
3
-2x

2
-5x +6 có nghiệm x = 1
Nên suy ra Q = x
3
-x
2
-x
2
+x-6x+6 = x
2
(x-1) x(x-1) -6(x-1) =
* M = x
3
-2x
2
+5x +8 có nghiệm x = -1
nên suy ra M = = ( x +1)( )
7.Phơng pháp đặt biến số phụ
Ví dụ7 : N = ( x
2
+5x +4) ( x
2
+5x +6) +1
Đặt t = x
2
+5x +4 ta có :
N = t(t+2)+1= t
2
+2t+1 = (t+1)
2

=( x
2
+5x +4)
2
=[(x+1)(x+2)]
2
8.Phơng pháp đồng nhất hai đa thức
2
Ôn tập Toán Lớp 12 B14 Thầy giáo : Vũ Hoàng Sơ n
.
Bài tập số 3:
1.Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 2x
2
-6x b) x
4
+x
3
x-1 c) x
2
-7xy +10y
2
d) x
2
(a+b)xy +aby
2
e) a
5
ax
4

+a
4
x
x
5

2. Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 2x
2
+8x -10 b) 4x
2
x-3 c) x
2
-6x +8 d) x
2
-3x +2
e) x
2
-5x -14 g) x
2
-9x +18 h) x
2
+6x +5 i) 15x
2
+7x -2
3. Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 5x
2
+6xy +y
2

b) a
2
+2ab -15b
2
c) (a+1)(a+2)(a+3)(a+4) +1 d) x
4
+64
e) x
3
-19x -30 g) x
3
-3x
2
-4x +12 h) a
3
+b
3
+c
3
-3abc
4.Tìm x
a) (2x-1)(3x-2) = 0 b) 3x
2
-5x -2 = 0 c) 12x
2
+7x -12 = 0 d) x
3
-3x +2 = 0 e) x
3
-5x

2
+8x - 4 = 0.
5.Giải phơng trình
a) 2x
2
+8x -10 = 0 b) 4x
2
x-3= 0 c) x
2
-6x +8 = 0 d) x
2
-3x +2 = 0 e) x
2
-5x -14 =
0
g) x
2
-9x +18 = 0 h) x
2
+6x +5 = 0 i) 15x
2
+7x -2 = 0. k) x
3
x = 0.
Bài 4 Phân thức đại số
Ví dụ 1: với giá trị nào của x thì biểu thức có nghĩa
a)
x
x x

2
3
7
b)
x
x


2
2
16 1
9 49
c)
x
x x
+
+
2
2
1
2 28 98
d)
x
(x )
+
+
2
3 2
16 2

Ví dụ 2: Rút gọn
x x
A x :
x x x
+ +

= +
ữ
+ + +

2
2
1 1
1 2 1
Ví dụ 3: Tìm x để mỗi phân thức sau đây bằng không.
a)
x x x
x x
+
+
3 2
3 2
1
2 3
b)
x x
x
+

2

2 2
2 5
Ví dụ 4. Chứng minh đẳng thức:
y x y
:
x y y x x y x y x

+
+ + =
ữ
ữ
+


2 2
2 2 2 2
1 3 2 4 1
1
2 4 2 4 4
Bài tập số 4:
1.Tìm tập xác định của biểu thức rồi giải phơng trình
a)
x
x

=

2
2 5
0

1
b)
x
(x )( x )

=
+
2
4 25
0
1 2 3
2.Rút gọn biểu thức
x x x y
A .
y y y x y


= + +
ữ
ữ



2 2
2 3 3
1 1
( ) ( )
x xy y
B .
x y x

x y x y

+ +
= + +


+


2 2
2 2
2 2
1 2 1 4 4
4 16
2 2
x y
C :
x y x y x y x y

+
= + + +

ữ
+


3 3
2 2 2 2
1 1 2 1 1
3.Chứng minh

a)
x x x
.
xy y x x xy y x y

+
+ =
ữ
+ +

2
2 2
2 3 1
1
2 2 2 3
3
Ôn tập Toán Lớp 12 B14 Thầy giáo : Vũ Hoàng Sơ n
b)
x y x y x y x
:
xy x y y x x x y



=

ữ
+ +

2 2 2 2
1
Phần 2.Lớp 10
Bài 5. Ph ơng trình bậc hai
A.Tóm tắt kiến thức
1.Phơng trình bậc hai
1.1.Dạng của phơng trình bậc hai: ax
2
+bx +c = 0 với a 0
1.2.Nghiệm của phơng trình bậc hai
Biểu thức :

= b
2
-4ac ( hay

=b
2
ac với b = b/2)
*

< 0 : pt vô nghiệm
*

= 0: pt có nghiệm kép
*

> 0: pt có 2 nghiệm phân biệt
,
b

x
a
1 2
2

=
ghi chú : nếu ac < 0 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt .
1.3.Định lý viet.
*Nếu phơng trình bậc hai: ax
2
+bx +c = 0 có hai nghiệm x
1
,x
2
thì
S = x
1
+x
2
=
b
a

; x
1
x
2
=
c
a

.
*Nếu x
1
+x
2
= S , x
1
x
2
= P và S
2
-4P

0 thì x
1
,x
2
là nghiệm của phơng trình :
x
2
Sx +P = 0
ghi chú:
Nếu a +b +c = 0 thì phơng trình có 2 nghiệm là x = 1 và x = c/a.
Nếu a -b +c = 0 thì phơng trình có 2 nghiệm là x = -1 và x = -c/a.
Nếu pt có 2 nghiệm x
1
và x
2
thì ax
2

+bx +c =a( x x
1
)(x-x
2
).
* điều kiện pt bậc hai có 2 nghiệm phân biệt dơng là
1 2
1 2
0
0
0
S x x
P x x

>

= + >


= >

2.Phơng trình bậc bốn đa về phơng trình bậc hai
2.1.Dạng 1.
ax
4
+bx
2
+c = 0 ( a 0) (phơng trình trùng phơng)
Đặt t = x
2

với t

0 ta có phơng trình : at
2
+bt +c = 0
2.2.Dạng 2.
(x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = k trong đó a+b =c +d ; k 0.
đặt t = ( x+a)(x+b).
2.3.Dạng 3. (x +a)
4
+(x+b)
4
=k ( k>0)
Đặt t = x +
a b
2
+
2.4.Dạng 4.
ax
4
+bx
3
+cx
2


bx +a = 0 với a 0
Chia 2 vế cho x
2
và đặt

t x
x
1
=
ta có phơng trình : at
2
+bt +c +2a = 0
Ghi chú: nếu t = x +
x
1
thì ta có đều kiện
t .2
Giải tơng tự cho phơng trình : ax
4
+bx
3
+cx
2


dx +e = 0 với
e d
a b
2

=
ữ

B.Phơng pháp giải toán
ví dụ 1: Tìm m để phơng trình : x

2
-10x +9m = 0 (1)
a)có hai nghiệm.
b)x
1
- 9 x
2
=0
4
Ôn tập Toán Lớp 12 B14 Thầy giáo : Vũ Hoàng Sơ n
Hớng dẫn: a)
m ;m
9
0
25

.
b) áp dụng định lí viet ta đợc m = 0; m = 1.
Ví dụ 2.Tìm m để phơng trình : x
2
+(m-1)x +m + 6 = 0 (1)
Có hai nghiệm thoả mãn x
1
2
+x
2
2
= 10
Hớng dẫn: áp dụng định lí viet ,chú ý điều kịên để phơng có 2 nghiệm.
Ta đợc m = -3 ; m = 7 so với điều kiện ta có m = -3 .

Ví dụ 3 định m để phơng trình : x
2
-2(m+1)x m- 1 = 0 (1)
Có hai nghiệm x
1
,x
2
và A = x
1
2
+x
2
2
6x
1
x
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
Hớng dẫn:
*Điều kiện pt có 2 nghiệm là
m ;m2 1
*A = = 4[(m+2)
2
-1]
4 khi m = -2.

vạy A nhỏ nhất bằng -4 khi m = -2.
Ví dụ 4 Gải các phơng trình:
a) (x-1)(x+5)(x-3)(x+7) = 297 ĐS: x = 4 ; x = -8.
b) x

4
+ ( x-1)
4
= 97. ĐS: x = 3 ; x = -2.
c) 6x
4
-35x
3
+62x
2
-35x +6 = 0 ĐS: x =2;x=1/2 ;x = 3; x = 1/3.
Ví dụ 5 Cho phơng trình :
mx
2
-2(m-2) x +m -3 = 0
Tìm m để phơng trình :
a) Có hai nghiệm trái dấu. ĐS: 0 < m < 3.
b) Có hai nghiệm dơng phân biệt. ĐS: m< 0; 3< m <4.
c) Có đúng 1 nghiệm âm. ĐS: 0 < m < 3.
Ví dụ 6 Cho phơng trình
( m -1)x
4
+2(m -3)x
2
+m +3 = 0
Định m để phơng trình trên
a)có 4 nghiệm phân biệt. b)có 3 nghiệm phân biệt.
c)có 2 nghiệm phân biệt. d)có 1 nghiệm phân biệt.
e) vô nghiệm . ĐS: m < -3 ; m > 3/2.
Bài tập số 5

1.Tìm m để phơng trình sau có hai nghiệm phân biệt
a) x
2
-2mx +m
2
-2m +1 = 0 ĐS: m > 1/2.
b) mx
2
( 2m+1)x +m -5 = 0 ĐS:
m
m
1
24
0

>





2.Cho phơng trình : x
2
-2(1+2m)x+3+ 4m = 0 (1)
a) Định m để phơng trình (1) có 2 nghiệm x
1
,x
2
. ĐS:
m ;m

2 2
2 2

.
b)Tìm hệ thức độc lập đối với m giữa các nghiệm x
1
,x
2
. ĐS: P S -1 = 0
c) Tính theo m,biểu thức A = x
1
3
+x
2
3
. ĐS:A=2(1+2m)(16m
2
+4m-5).
d)Định m để pt(1) có x
1
= 3x
2
. ĐS:
m
1 2 7
6

=
.
e)viết pt bậc hai có nghiệm là x

1
2
và x
2
2
. ĐS:X
2
-2(8m
2
+4m-1)X+(3+4m)
2
=0
3.Cho phơng trình : x
2
-6x +m -2 = 0
Định m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt. ĐS: 2 < m < 11.
4.Cho phơng trình : mx
2
+2(m +3)x +m = 0
Định m để phơng trình :
a) Có hai nghiệm cùng dấu. ĐS:
m
m
3
2
0

>

b) Có hai nghiệm âm phân biệt ĐS: m > 0.
5.Giải các phơng trình :
5
Ôn tập Toán Lớp 12 B14 Thầy giáo : Vũ Hoàng Sơ n
a) (x+2)(x-3)(x+1)(x+6) = -36. ĐS: 0;-3;
3 73
2

.b) (x+3)
4
+( x+5)
4
= 16. ĐS: -5;-3.
c) x
4
+x
3
-4x
2
+x +1 = 0. ĐS: 1;
3 5
2

d) x
4
-5x
3

+10x
2
-10x +4 = 0.ĐS:1 ;2.
Bài 6 .Hệ ph ơng trình
Vấn đề 1:Hệ gồm một phơng trình bậc nhất và một phơng trình bậc hai.
Ph ơng pháp giải :
+Từ phơng trình bậc nhất ,rút một ẩn theo ẩn kia.
+Thế vào phơng trình bậc hai còn lại để đa về phơng trình bậc hai một ẩn.
Ví dụ 1.giải hệ
x y
x xy
2
2 3 1 (1)
24 (2)
=


=

ĐS: (-9;-19/3);( 8;5).
Vấn đề 2:Hệ đối xứng loại 1.
-ta qui ớc gọi một hệ chứa 2 ẩn x,y là đối xứng loại hai nếu mỗi phơng trình của hệ là đối xứng đối với x,y.
Ph ơng pháp giải :
+Đặt S = x +y; P = xy. đa hệ về 1 hệ có 2 ẩn x,y là đối xứng loại 1 nếu mỗi phơng trình của hệ là
đối xứng đối với x,y.
+Tìm S,P . x,y là nghiệm của phơng trình tổng tích
X
2
SX+P = 0.
Chú ý : điều kiện để hệ trên có nghiệm là : S

2
- 4P
0
Ví dụ 2.Giải hệ
x y xy
x y
2 2
5
5
+ + =


+ =

ĐS: (1;2) ,(2;1).
Ví dụ 3 Giải hệ
x y
x y
x y ; ;
x y
2 2
2 2
1 1
5

1 1 3 5 3 5
9 DS: 1; 1
2 2

+ + + =

+ + + =
ữ ữ



Nhận xét: nếu hệ có nghiệm (x
0
;y
0
) thì hệ có nghiệm (y
0
;x
0
).
Vấn đề 3:Hệ đối xứng loại 2.
-Ta quy ớc gọi một hệ hai phơng trình với 2 ẩn x,y là đối xứng loại hai nếu trao đổi vai trò của x,y thì phơng trình
này chuyển thành phơng trình kia.
Ph ơng pháp giải :
+Trừ vế với vế các phơng trình đã cho.
+Phơng trình trên sẽ đợc đa về phơng trình dạng tích ,đặc điểm là nó có nghiệm x = y.
+ứng với từng trờng hợp xẩy ra ,kết hợp với 1 trong 2 phơng trình của hệ để có một hệ con,giải hệ con này .
+Tổng hợp nghiệm của hệ đã cho.
Ví dụ 4 Giải hệ
x x y

y y x
2
2
3 2
3 2

= +


= +


ĐS: (0;0),(5;5),(2;-1),(-1;2).
Vấn đề 4:Hệ đẳng cấp bậc hai.
ĐN: Hệ 2 ẩn x,y đợc gọi là hệ đẳng cấp bậc hai nếu nó có dạng
ax bxy cy d
a 'x b'xy c'y d'
2 2
2 2

+ + =


+ + =



Ph ơng pháp giải :
+Xét xem x =0 có là nghiệm của hệ hay không?
+ khi x 0,ta đặt y = kx

*Thế vào hệ ,khử x,ta đợc 1 phơng trình bậc hai theo k .
*Giải tìm k,ứng với mỗi trờng hợp của k ta tìm đợc (x,y).
6
Ôn tập Toán Lớp 12 B14 Thầy giáo : Vũ Hoàng Sơ n
Ví dụ 5 Giải hệ
x xy y
x xy y
2 2
2 2
3 2 11 (1)
2 3 17 (2)

+ + =


+ + =


ĐS:
( ) ( )
; , ; , ; , ;
4 5 4 5
1 2 1 2
3 3 13 3


ữ ữ

.
Bài tập số 6

1.Giải hệ :
a)
x y
xy x y
2 3 2
0
+ =


+ + =

ĐS: (4;-2) ,
;
5 7
2 3


ữ

. b)
y x x
x y
2
4
2 5 0

+ =

+ =

ĐS:(1;3),(5;-5).
2.Giải hệ :
a)
x y
x y
2 2
10
4

+ =

+ =

ĐS: (3;1),(1;3). b)
x y xy
x y xy
2 2
5
7
+ + =


+ + =

ĐS: (1;2),(2;1).
c)
x y
y x
x y
13

6
5

+ =



+ =

ĐS: (3;5),(5;3). d)
( )
x y
x x y
3 3
2
2

+ =


+ =


ĐS: (1;1).
e)
( )
x y xy
x y
2 2
4 4

78
97

+ =


+ =


ĐS: (3;2),(2;3),(-3;-2),(-2;-3).
3.Giải hệ:
a)
x y x y
y x y x
2 2
2 2
2 2
2 2

= +


= +


ĐS: (0;0),(-3;-3).
b)
x x y
y y x
3

3
2
2

= +


= +


ĐS: (0;0),(1;-1),(-1;1),(
;3 3
),
( )
;3 3
c)
x xy y
x xy y
2 2
2 2
3 1
3 3 13

+ =


+ =


ĐS: (1;2),(2;1), (-1;-2), (-2;-1)

d)
y xy
x xy y
2
2 2
3 4
4 1

=


+ =


ĐS: (1;4), (-1;-4)
4.Giải hệ:
a)
x y
x y
x y
x y
2 2
2 2
1 1
5
1 1
9

+ + + =

+ + + =


ĐS:
; , ;
3 5 3 5
1 1
2 2


ữ ữ

Bài 7: Giải bất phơng trình
Vấn đề 1: Xét dấu một biểu thức và áp dụng để giải bất phơng trình hữu tỉ.
A-Xét dấu biểu thức E
+ Viết E dới dạng tích của các nhân tử là tam thức bậc hai hay nhị thức bậc nhất.
+ Lập bảng xét dấu.
B- Giải bất phơng trình hữu tỉ
+ Chuyển tất cả các hạng tử sang 1 vế
+ Rút gọn biểu thức có đợc
+ Xét dấu biểu thức đó
+ Dựa vào bảng xét dấu, chọn miền nghiệm.
Ví dụ 1: Xét dấu E = (x
2
4) (x
2
4x + 3)

x
2
4 có 2 nghiệm là -2; 2
x
2
4x + 3 có 2 nghiệm là 1; 3
Lập bảng xét dấu .
7
Ôn tập Toán Lớp 12 B14 Thầy giáo : Vũ Hoàng Sơ n
Ví dụ 2: giải bất phơng trình :
x x
x x
5 2 1
2
2 1 5
+
+ >
+
(1)
HD: (1)
( ) ( )
x x
x x
2
12 36
0
2 1 5
+
>
+

Lập bảng xét dấu,ta đợc tập nghiệm x < -5; 1/2 < x < 6 ; x > 6.
Bài tập số 7A
1.Giải các bất phơng trình:
a) x
2
-7x +10 < 0 ĐS: 2 < x < 5. b) (-x
2
+3x -2)(x
2
-5x +6)

0. ĐS:
x1 3

.
c)
x x
x
2
3
0
1 2
+ +
<

ĐS: x > 1/2. d)
x x
x x
2
2

3 2
0
4 3
+
>
+
ĐS: x <1; 1< x <2 ; x
.3
2.Giải các bất phơng trình sau :
a)
x x
x
x
2
4 3
1
3 2
+
<

ĐS: x < 0 ; 1 < x < 3/2.
b)
x x x
1 2 3

1 2 3
+ <

ĐS: x <-1; 3/2< x<2; x >3.
c)

x x x x
x x x
2
2
2 3 4 15
1 1 1
+ +
+
+
ĐS:
x ; x .5 2 1 1 < <
d)
x x x
2
2 1 4
2 2 2

+
+ +
ĐS:
x
x
4 0
2
<




3. Giải các bất phơng trình sau :

a) x(x+1) <
x x
2
42
1+ +
ĐS: -3 < x <2. b) x
2
+(x+1)
2

x x
2
15
1

+ +
ĐS:
x2 1
.
c) x(x+1)(x+2)(x+3) < 24. ĐS: -4 < x< 1.
Vấn đề 2.Giải hệ bất phơng trình
*Giải từng bất phơng trình
*kết hợp nghiệm còn lại ta đợc nghiệm của hệ .
Ví dụ 1. Giải hệ :
x x
x x
2
2
7 6 0 (1)
8 15 0 (2)

+


+


Giải : giải (1) :
x1 6

Giải (2) :
x ;x3 5
Kết hợp (1) và (2) ta đợc ĐS:
x ; x .1 3 5 6
Bài tập Số 7B:
1.Giải các hệ bất phơng trình
a)
x x
x
2
12 0
2 1 0

<

>

ĐS: 1/2 < x < 4. b)
x x
x x

2
2
3 8 3 0
17 7 6 0

+





ĐS: VN
c)
x x
x
2
2
2 7
4 1
1


+
ĐS:
x ;x
3
4 1
5

.
Vấn đề 3.Điều kiện để tam thức không đổi dấu trên R.
Ví dụ 1.Định m để f(x) = mx
2
+4x+m > 0 ,
x R
Giải:
m = 0 suy ra f(x) = 4x > 0
x .0 >
do đó m = 0 không nhận đợc.
m
0
f(x) > 0 ,
x R

a m
m
m .
m ;m
' m
2
0
0
2
2 2
4 0
= >
>

>

< >
= <


Ví dụ 2.Định m để bất phơng trình sau vô nghiệm
8