De-thi-thu-dai-hoc-2011Trường THPT Thị xã Quảng Trị

www.vietmaths.com
Trường THPT Thị xã Quảng Trị
Tỉnh Quảng Trị
Đề thi thử Đại học Khối A lần thứ nhất năm 2011
Môn: TOÁN
Thời gian: 180 phút
Ngày thi: 27/02/2011
Câu 1: Cho hàm số:
3 2
3y x x m= + +
(1)
a. Khảo sát và vẻ đồ thị khi m = -4
b. Xác định m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho góc
0
120AOB∠ =
.
Câu 2:
a. Tính:
2
2 2
1
1
dx
I
x x
=
+
∫
b.
2 2
3

sin sinx. os3 os 3
4
x c x c x+ + =
c. Giải phương trình:
3
(3 5) 16.(3 5) 2
x x x+
+ + − =
Câu 3:
a. Giải hệ phương trình:
2 0
1 4 1 2
x y xy
x y

− − =


− + − =


b. Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn:
1
8
xyz =
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2 2 2 2 2 2
1 1 1
4 8 3 4 8 3 4 8 3
S

x y y z z x
= + +
+ + + + + +
Câu 4:
a. Trong mp(Oxy) cho tam giác ABC cân tại A. Biết phương trình các đường thẳng AB,
BC lần lượt có phương trình là: x + 2y – 1 = 0; 3x – y + 5 = 0 và M(1; -3) thuộc đường
thẳng AC. Viết phương trình đường thẳng AC.
b. Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC biết: A(3;0;0); B(0;4;0); C(0;0;5). Xác định
tọa độ trực tâm tam giác ABC?
Câu 5: Cho hình chóp SABC biết đáy là tam giác ABC vuông tại C có cạnh huyền AB =
2a, các cạnh bên của hình chóp đều tạo với đáy một góc 30 độ. Tính bán kính mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp SABC?
HẾT
www.vietmaths.com
ĐÁP ÁN
CÂU BÀI GIẢI ĐIỂM
1a.
1đ
m=4 hàm số: y = x
3
+ 3x – 4
Thí sinh tự giải
1đ
1b.
1đ
TXĐ: D = R; y’= 0
0
2
x
x

=

⇔

=

, A(-2; 4+m); B(0; m)
·
. 1
cos os( ; )
. 2
OA OB
AOB c OA OB
OA OB
= = = −
uuur uuur
uuur uuur
2 2 2
(4 ). 1 (4 ). 1
2 2
. 4 (4 ) . 4 (4 )
m m m m
m m m m
+ +
⇔ = − ⇔ = −
+ + + +
NX:
(4 ) 0m m+ ≥
không thỏa mãn yêu cầu.
Xét: -4<m<0

Ta có:
2
2
2
4 1
2(4 ) 4 (4 )
2
4 (4 )
4 2 2
(4 ) 4 4 ,( 4 0)
3
3 3
2
4
3
m
m m
m
m m m m
m
+
= ⇔ + = + +
+ +
⇔ + = ⇔ + = ⇔ + = + >
⇔ = − +
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
2a.

1đ
Đặt
2
1 dt
x dx
t t
−
= ⇒ =
. Đổi cận:
1
1 1; 2
2
x t x t= ⇒ = = ⇒ =
1
2
2
1
2 2
1 1
. . 1
dt
I
t
t t
= −
+
∫
( )
(
)

( ) ( )
1
2
1 1
1
2
2 2
2
1
2
1 1
1
2
2
2 2
1
2
1
2
1
. 1 1
1 . 1
2 2
1
1
5
1 2
2
d t
t dt

I t d t
t
t
t
−
+
= − = = + +
+
+
= + = −
∫ ∫ ∫
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
2b.
1đ
2
2
1 3 3
sinx os3 os 3
2 4 4
pt c x c x
 
⇔ + + =
 ÷
 
0.25đ
www.vietmaths.com
2

2
1 3
sinx os3 sin3
2 2
1 3
sinx os3 sin 3
2 4
1 3
sinx os3 sin3
2 2
c x x
c x x
c x x

 
+ =

 ÷
 
 

⇔ + = ⇔
 ÷

 
 
+ = −

 ÷
 


( )
( )
1 3
sin 3 sin
os3 sin3 sinx
6
2 2
1 3
sin 3 sin
os3 sin3 sinx
6
2 2
x x
c x x
x x
c x x
π
π


 
− = −
− = −
 ÷


 



⇔ ⇔


 
+ = −
+ = −
 ÷


 


5
;
12 12
5
;
24 2 12
x k x k
k
x x k
π π
π π
π π π
π
−

= − = −

⇔


−

= + = +


0.5đ
0.25đ
2c.
1đ
3 5 3 5
16 8
2 2
x x
pt
   
+ −
⇔ + =
 ÷  ÷
   
Đặt
3 5
0,
2
x
t
 
+
= >
 ÷

 
Ta có
3 5 3 5
. 1
2 2
x x
   
+ −
=
 ÷  ÷
   
Ta có phương trình:
2
16
8 8 16 0 4t t t t
t
+ = ⇔ − + = ⇔ =
t = 4 Ta có:
3 5
2
3 5
4 log 4
2
x
x
+
 
+
= ⇔ =
 ÷

 
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
3a.
1đ
Đk:
1
1
4
x
y
≥



≥


; hệ
( ) ( )
2 0
1 4 1 2
x y x y
x y

+ − =

⇔



− + − =

4
2
1 4 1 2
1 4 1 2
x y
x y
x y
x y

=
= 
 
⇔ ⇔
 
− + − =
− + − =




2
4
1
4 1 1
2
x

x y
y
y
=

=

 
⇔ ⇔
 
=
− =




0.5đ
0.25đ
0.25đ
3b.
1đ
Ta có:
2 2 2 2 2
2 2
2 2
4 8 3 4( ) 4 1 2 8 4 2,(1)
4 8 3 8 4 2,(2)
4 8 3 8 4 2,(3)
x y x y y xy y
y z yz z

z x zx x
+ + = + + + + ≥ + +
+ + ≥ + +
+ + ≥ + +
www.vietmaths.com
Từ (1); (2) và (3) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = ½
1 1 1
8 4 2 8 4 2 8 4 2
1 1 1 1
2 4 2 1 4 2 1 4 2 1
1 1 1 1
1 1 1
2 4 2 1
1 . 2 1
2 4 2
1 4 1 2
2 4 2 1 4 2 1 4 2 1
1 1 1
,max
2 2 2
S
xy y yz z zx x
xy y yz z zx x
xy y
x x
x xy xy
xy y
xy y xy y xy y
S x y z
≤ + +

+ + + + + +
 
= + +
 ÷
+ + + + + +
 
 
 ÷
= + +
 ÷
+ +
 ÷
+ + + +
 ÷
 
 
= + +
 ÷
+ + + + + +
 
= = ⇔ = = =
0.5đ
0.5đ
4a.
1đ
A
B
C
M
Đường thẳng AB có VTCP

( )
1
1;2n =
ur
. Đường thẳng BC có VTCP
( )
2
3; 1n = −
uur
Gọi
( )
;n a b=
r
là 1 VTCP của AC, Tam giác ABC cân tại A nên
Cos(AB,BC) = Cos(AC, BC)
( )
2 2
2
2 2 2 2
2 2
3 2 3
5. 10
. 10
5. 3 5 3
22 15 2 0
a b
a b
a b a b a b a b
a ab b
− −

⇔ =
+
⇔ + = − ⇔ + = −
⇔ − + =
0.25đ
0.25đ
www.vietmaths.com
Chọn b = 1:
2
1
2
22 15 2 0
2
11
a
a a
a

=

− + = ⇔


=


1
, 1; : 2 5 0( )( / / )
2
2

, 1; : 2 11 31 0( )
11
a b AC x y loai vi AC AB
a b AC x y chon
= = + + =
= = + + =
0.25đ
0.25đ
4b.
1đ
Pt mp(ABC):
1 20 15 12 60 0
3 4 5
x y z
x y z+ + = ⇔ + + − =
Gọi H(x,y,z) là trực tâm
, ( 3; ; ); (0; 4;5); ( ; 4; ); ( 3;0;5)ABC AH x y z BC BH x y z AC∆ = − = − = − = −
uuur uuur uuur uuur
Ta có:
1200
769
. 0
4 5 0
900
. 0 3 5 0
769
( ) 20 15 12 60
720
769
x

AH BC
y z
BH AC x z y
H ABC x y z
z

=


=
− + =



  
= ⇔ − + = ⇔ =
  
  
∈ + + =




=


uuur uuur
uuur uuur
Vậy: H(1200/769; 900/769; 720/769)
0.25đ

0.25đ
0.25đ
0.25đ
www.vietmaths.com
5. 1đ
S
C
A
B
H
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (ABC)
Gt
·
· ·
0
30SCH SAH SBH HA HB HC⇒ = = = ⇒ = = ⇒
H là tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC, vì tam giác ABC vuông tại C nên H là trung điểm của AB.
Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC
I SH⇒ ∈
(SH là trục đường tròn ngoại
tiếp
ABC∆
.
⇒
mp(ABC) cắt mặt cầu nói trên theo thiết diện là đường tròn lớn.
⇒
bán kính của mặt cầu bằng bán kính của đường tròn ngoại tiếp
ABC∆
.

Ta có:
·
0
2
2.sin120
3
2sin AS
AB a a
R
B
= = =
0.5đ
0.5đ
Chú ý: Đáp án chỉ nêu 1 cách giải, nếu HS làm cách khác đúng thì tương ứng cho số điểm
như trên.