CHUYÊN ĐỀ VỀ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH TOÁN ÔN THI ĐẠI HỌC

Trường THPT Bùi Thị Xuân- Thừa Thiên Huế
Chuyên đề:
SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH f (x ) = 0
I. Áp dụng Định lí:
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0,thì tồn tại ít
nhất một điểm c
( ; )a b∈
sao cho f(c) = 0.
Hay nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0,
thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a;b).
II. Phương pháp:
Để chứng minh f(x) = 0 có nghệm trong khoảng (a;b) ta thực hiện 2
bước sau:
+ Khẳng định được f(x) liên tục trên đoạn
[ ]
;a b
+ Chứng tỏ f(a).f(b) < 0
III. Bài tập:
1)Chứng minh các phương trình sau có nghiệm.
a/
4
3 1 0x x− + =

b/
2 1 2 2 1
0( 0)
0 1 2 2 2 1 0
n n n
a x a x a x a x a a
n n
+ −

+ + + + + = ≠
+
(1)
c/
4 2011 5
( 1) 100 3200 0;m m x x m+ + + − = ∀
Giải:
a/ Đặt f(x) =
4
3 1x x− +
Chọn a = 0 ; b = 1
Ta có f(0).f(1) = -1 < 0
Và f(x) là hàm đa thức xác định trên R nên liên tục trên R => liên tục trên
0;1
 
 
.
Do đó f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm
(0;1)
0
x ∈
Vậy pt
4
3 1 0x x− + =
có nghiệm.(đpcm).
b/ Đặt f(x) =
2 1 2 2 1
0( 0)
0 1 2 2 2 1 0
n n n

a x a x a x a x a a
n n
+ −
+ + + + + = ≠
+
(1)
VT(1) là hàm đa thức xác định trên R nên liên tục trên R.
Nếu a
0
> 0 xét
l imf(x)
x
= −∞
→−∞
nên tồn tại x
1
< 0 với
1
x
đủ lớn để ta có f(x
1
) < 0
xét
l imf(x)
x
= +∞
→+∞
nên tồn tại x
2
> 0 với

2
x
đủ lớn để ta có f(x
2
) > 0
Khi đó f(x
1
). f(x
2
) < 0 .Do f(x) liên tục trên R nên f(x) liên tục trên
;
1 2
x x
 
 
Do đó f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm
( ; )
0 1 2
x x x∈
Nếu a
0
< 0 ta làm tương tự
Giáo viên :Hồ Thị Nga
1
Trường THPT Bùi Thị Xuân- Thừa Thiên Huế
Vậy pt
2 1 2 2 1
0( 0)
0 1 2 2 2 1 0
n n n

a x a x a x a x a a
n n
+ −
+ + + + + = ≠
+
có
nghiệm.(đpcm).
c/
4 2011 5
( 1) 100 3200 0;m m x x m+ + + − = ∀
Đặt f(x) =
4 2011 5
( 1) 100 3200 0;m m x x m+ + + − = ∀
Chọn a = 0 ; b = 2
Ta có f(0) = 3200
f(2) =
4 2011
( 1)2m m+ +
Ta chứng minh f(2) > 0 với mọi m
Thật vậy với m
0≥
thì f(2) > 0
Với
3 2
1 ( ) ( 1) 1 ( 1)( 1) 1 0m f m m m m m m m≤ − ⇒ = + + = + − + + >
Với
4
1 0 ( ) ( 1) 0m f m m m− < < ⇒ = + + >
Vậy f(2) > 0 với mọi m nên f(0).f( 2) < 0
và f(x) =

4 2011 5
( 1) 100 3200m m x x+ + + −
là hàm đa thức xác định trên R nên
liên tục trên R do đó liên tục trên
[ ]
0;2
.
Do đó pt luôn có nghiệm với mọi m ( đpcm).
2)Chứng minh phương trình sau đây có ít nhất hai nghiệm.

3 2 4
( 1) ( 4) 3 0;m x x x m− − + − = ∀
Giải:
Đặt f(x) =
3 2 4
( 1) ( 4) 3m x x x− − + −
Chọn a = 1; b = 2
Ta có f(1) = - 2; f(2) = 13
Ta có f(1).f(2) = -26 < 0
Và f(x) là hàm đa thức xác định trên R nên liên tục trên R => liên tục trên
[ ]
1;2
.
Do đó f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm
(1;2)
0
x ∈
Vậy pt
3 2 4
( 1) ( 4) 3 0;m x x x− − + − =

có nghiệm
m∀
.(đpcm).
3)Chứng minh phương trình
3
2 6 1 0x x− + =
có ba nghiệm
2;2
 
 
∈ −
Giải:
Đặt f(x) =
3
2 6 1x x− +
là hàm đa thức xác định trên R nên liên tục trên R do đó
liên tục trên
[ ]
2;2−
.
Chọn a = -2 ; b = 0; c = 1, d = 2
Và f(-2) = -3; f(0) = 1 ; f(1) = -1 ; f(2) = 5
nên f(-2) . f(0) < 0 và f(0) . f(1) < 0 ; f(1). f(2) < 0 do đó f(x) = 0 có ít nhất
một nghiệm
1
( 2;0)x ∈ −
;
2
(0;1)x ∈
;

2
(1;2)x ∈
Giáo viên :Hồ Thị Nga
2
Trường THPT Bùi Thị Xuân- Thừa Thiên Huế
Vậy pt
3
2 6 1 0x x− + =
có ba nghiệm.(đpcm).
4)Cho phương trình
4
2 0x x− − =
.Chứng minh pt có nghiệm
( )
7
1;2 8
0 0
x va x∈ >
Giải:
Đặt f(x) =
4
2x x− −
là hàm đa thức xác định trên R nên liên tục trên R.
Ta có f(1).f(2) = - 24 < 0
Và f(x) là hàm đa thức liên tục trên R do đó liên tục trên
[ ]
1;2
.
nên f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm
(1;2)

0
x ∈
Chứng minh:
7
8
0
x >
Vì
(1;2)
0
x ∈
và x
0
là nghiệm của f(x) = 0 nên

0 0 0 0
4 4 4 8
7
2 0 2 2 .2 8 8
0 0 0 0 0
x x x x x x x x x= +− − = ⇔ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥
Dấu = xảy ra khi x
0
= 2 ;
2 (1;2)∉
nên
7
8
0
x >

Vậy phương trình
4
2 0x x− − =
có nghiệm
( )
7
1;2 8
0 0
x va x∈ >
5)Chứng minh phương trình sau đây có ít nhất một nghiệm
0;1
 
 
∈
3 4 9
x x x
+ =
Giải:
b/ Đặt f(x) =
3 4 9
x x x
−+
là hàm đa thức xác định trên R nên liên tục trên
R do đó liên tục trên
[ ]
0;1
.
Ta có: f(0) = 1 , f(1) = -2 nên f(0) . f(1) < 0 vậy phương trình có ít nhất một
nghiệm
0;1

 
 
∈
(đpcm)
IV. Bài tập tự luyện:
1) Chứng minh các phương trình sau có nghiệm.
a/
3 2
6 9 10 0x x x− + + =
b/ - x + sinx + 1 = 0
c/ cos x + m.cos2x = 0 ,
m∀
d/
3
( 1) ( 2) 2 3 0;m x x x m− + + + = ∀
e/
2 3 2
(1 )( 1) 3 0;m x x x m− + + − − = ∀
f/
(2 cos 2) 2sin 5 1;m x x m− = + ∀
Giáo viên :Hồ Thị Nga
3
Trường THPT Bùi Thị Xuân- Thừa Thiên Huế
2) Chứng minh các phương trình sau đây có ít nhất hai nghiệm.
a/
4 3 2
3 4 6 12 20 0x x x x− − + − =
b/
3
2 10 7 0x x− − =

d/
4 3 2
1 0; , ,x ax bx cx a b c+ + + − = ∀
3) Chứng minh phương trình
a/
3
2 6 1 0x x− + =
có ba nghiệm
2;2
 
 
∈ −
b/
3
3 1 0x x− + =
Có 3 nghiệm phân biệt.
c/
5 4
3 5 2 0x x x− + − =
có ít nhất 3 nghiệm
( )
2;5∈ −
4) Chứng minh các phương trình sau đây có nghiệm dương.
a/
2 5 3
( 1) 27 0;m m x x m+ + + − = ∀
b/
2 4
( 1) 2 2 0;m m x x m+ + + − = ∀
c/

3
6 1 2 0x x+ + − =
5) Chứng minh các phương trình sau đây có ít nhất một nghiệm.
a/
3
3 2 2 0x x+ − =
b/
2 2 2
( )( ) 2 0x a x b x a b− − + − − =
với 0 < a < b
6) Chứng minh các phương trình sau đây có ít nhất một nghiệm âm lớn
hơn -1.
a/
3
1 0x x+ + =
7) Chứng minh phương trình sau đây có ít nhất một nghiệm dương bé
hơn
;
2
m
π
∀

2
(2cos 1) 2sin 1m x x− = −
8) Chứng minh phương trình sau đây có ít nhất một nghiệm âm
2 2013
(2 ) 5 2 0;m x x m− − − = ∀

9) Chứng minh các phương trình sau đây có ít nhất một nghiệm

0;1
 
 
∈

3
5 3 0x x+ − =
10) Chứng minh các phương trình sau đây có ít nhất hai nghiệm phân
biệt thuộc
( 1;1)−
a/
4 2
2 4 3 0x x x+ + − =
b/
4 2
4 2 3 0x x x+ − − =
Huế,ngày 20/02/2014
Hồ Thị Nga
Giáo viên :Hồ Thị Nga
4