29 BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ ( ÔN THI ĐẠI HỌC )

Bài 1: Biện luận theo m số nghiệm phương trình f(x) +1 –m = 0 (1)
(C): y = f(x)
1) Phương trình (1)
⇔
f(x) =m-1
2) Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C): y = f(x) và
đường thẳng d: y = m-1
3) Chia ra các trường hợp để biện luận Nếu
thì
Bài 2: Tìm m để hàm số y = f(x) đồng biến trên tập xác định của nó
1) TXĐ: D=? 2) Đạo hàm
/
y
3)Hàm số đồng biến trên tập xác định D
⇔

/
y
≥
0
x∀ ∈
D
⇔
0
0
a >


∆ ≤

Bài 3: Tìm m để để hàm số y = f(x) nghịch biến trên tập xác định của nó

1) TXĐ: D=? 2) Đạo hàm
/
y
3)Hàm số nghịch biến trên tập xác định D
⇔

/
y
≤
0
x
∀ ∈
D
⇔
0
0
a <


∆ ≤

Bài 4: Tìm m để để hàm số y = f(x) có hai điểm cực trị (Có 1 cực đại và
một cực tiểu)
1) Đạo hàm
/
y
2)Hàm số có hai cực trị
⇔
phương trình
/

y
=0 có hai nghiệm
phân biệt
⇔
0
0
a ≠


∆ >

Bài 5: Tìm m để để hàm số y = f(x) đạt cực trị (cực đại), (cực tiểu) tại x =
0
x

1) Đạo hàm
/
y
2)Hàm số đạt cực trị (cực đại), (cực tiểu) tại x =
0
x
⇒

/
0
( ) 0y x
=

⇔
m=?

2) Thử lại với m=? thì
/
y
=?
3)
/
y
=0
⇔
0
x x=



4)
//
?y
=
;
( )
//
0
0y x a
= >

⇒
0
x
là điểm cực tiểu
( )

//
0
0y x a
= <

⇒
0
x
là điểm cực đại
4) Vậy với m= ? thì hàm số đạt cực trị (cực đại), (cực tiểu) tại x =
0
x

Bài 6: Chứng minh rằng hàm số y = f(x) đồng biến trên tập xác định của
nó TXĐ: D=? 2) Đạo hàm
/
y
3)Vì
0∆ ≤
suy ra
/
y
≥
0
x∀ ∈
D nên hàm số
đồng biến trên tập xác định
Bài 7: Chứng minh rằng hàm số y = f(x) nghịch biến trên tập xác định của
nó
1) TXĐ: D=? 2) Đạo hàm

/
y
3) Vì
0
∆ ≤
suy ra
/
y
≤
0
x
∀ ∈
D nên hàm số
nghịch biến trên TXĐ D
Bài 8: Chứng minh hàm số y = f(x) có hai cực trị (Có 1 cực đại và một
cực tiểu)
1) Đạo hàm
/
y
2) Vì
0∆ >
nên pt
/
y
=0 có hai nghiệm phân biệt 3)Vậy hàm số
đã cho luôn có hai cực trị
Bài 9: Tìm m để hàm số y = f(x) có ba cực trị
Đạo hàm
/
y

2)
/
y
=0
0
0
( ). ( ) 0
( ) 0
x x
x x g x
g x
=

⇔ − = ⇔

=


3)Hàm số có 3 cực trị
⇔
PT
/
y
=0 có 3 nghiệm pb
⇔
g(x) =0 có hai nghiệm
phân biệt khác
0
x

0
0
( ) 0g x
∆ >

⇔

≠

Bài 10: Tìm điểm cố định của đồ thị (
m
C
): y=f(x)
1) y=f(x)
⇔
mg(x) +h(x) –y=0 2) Tọa độ của điểm cố định là nghiệm của hệ
( ) 0
( ) 0
g x
h x y
=


− =

⇔
( ) 0
( )
g x
y h x

=


=

3)vậy (
m
C
) có các điểm cố định là A( : ) B( : ) Trung tâm
dạy kèm toán lý hóa 140 LNQ
Bài 11: Tìm k để đt d : y = kx +b cắt (C) ; y = f(x) tại 3 điểm phân biệt
1) Số giao điểm của d và (C) là số nghiệm của PT kx+b = f(x) (1)
2) (1)
0
0
( ). ( ) 0
( ) 0
x x
x x g x
g x
=

⇔ − = ⇔

=


3) d cắt (C) tại 3 điểm
⇔
phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

⇔
phương trình g(x) =0 có hai nghiệm phân biệt khác
0
x

0
0
( ) 0g x
∆ >

⇔

≠


Thầy Nguyễn Quang Huy - 140 Lương Ngọc Quyến - ĐT: 0905848655
Bài11: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên khoảng (a; b)
1) TXĐ: D = ? 2) đạo hàm
/
y
cho
/
y
=0 4) lập BBT
5) Kết luận
d 1
( ; )
ax ( )
c
a b

M y y f x
= =
với
1
x
( ; )a b∈

2
( ; )
( )
ct
a b
Miny y f x
= =
với
2
x
( ; )a b∈
Bài12: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a; b]
1)TXĐ: D = ? 2) đạo hàm
/
y
cho
/
y
=0
⇔

1
2

( ; )
( ; )
x x a b
x x a b
= ∈


= ∉


3)Tính
1
( ) ; ( ) ; ( )y a m y b n y x p= = =
giả sử p>n>m
4)Kết luận
1
[ ; ]
ax ( )
a b
M y y x p
= =

[ ; ]
( )
a b
Miny f a m
= =

Bài 13: Tìm các khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số y = f(x)
1) TXĐ: D= ? 2) đạo hàm

/
y
cho
/
y
=0 (nếu có) 3) BBT 4) Kết luận
Chú ý: + Giả sử
2
ax ( 0)y bx c a
′
= + + >
nếu
2
4b ac∆ = −
<0 thì
0y x R
′
> ∀ ∈

+ Giả sử
2
ax ( 0)y bx c a
′
= + + <
nếu
2
4b ac∆ = −
<0 thì
0y x R
′

< ∀ ∈
+ Giả sử
2
ax ( 0)y bx c a
′
= + + >
nếu
2
4b ac∆ = −
=0 thì
0y x R
′
≥ ∀ ∈

+ Giả sử
2
ax ( 0)y bx c a
′
= + + <
nếu
2
4b ac∆ = −
=0 thì
0y x R
′
≤ ∀ ∈

Bài 14: Tìm các điểm cực trị của hàm số y = f(x)
1)TXĐ: D= ? 2) đạo hàm
/

y
cho
/
y
=0
⇔

1
2
x x
x x
=


=

3)
//
y
=?
Cách 1: Lập bảng biến thiên Căn cứ vào bảng biến thiên rút ra kêt luận
Dấu hiệu 1
Cách 2: Đạo hàm cấp 2
//
y

Dấu hiệu 2
Nếu
1
( ) 0y x a

′′
= >
thì
1
x
là điểm cực tiểu của hàm số
Nếu
2
( ) 0y x b
′′
= <
thì
2
x
là điểm cực đại của hàm số
Bài 15: Viết PTTT của đồ thị (C) tại
Điểm M có
( )
:
o o
M x y
a. Điểm M có hoành độ
0
x x=
0 0
( )y f x y⇒ = =
( )
0 0
;M x y⇒
b. Điểm M có tung độ

0
y y=
0 0 0 0
( ) ( ; )y f x x x M x y⇒ = ⇒ = ⇒
1)
/
y
=?
⇒
Hệ số góc của tiếp tuyến tại
( )
0 0
;M x y
là:
0
( ) ?y x
′
=
2) Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại
( )
0 0
;M x y
là: y
0 0 0
( )( )y y x x x
′
− = −
Bài 16: Viết PTTT biết tiếp tuyến
a)Tiếp tuyến có hệ số góc k
⇒

Tiếp tuyến d: y=kx+c
b)Tiếp tuyến song song với đường thẳng: y=kx+b
⇒
Tiếp tuyến d: y=kx+c
(c
≠
b)
c)Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: y=
1
x b
k
− +

⇒
Tiếp tuyến d:
y=kx+c
d)Tiếp tuyến đi qua điểm
( )
0 0
;M x y
có hệ số góc k
⇒
Tiếp tuyến d: y-
0
y
=k(x-
0
x
)
⇒

y=kx+c
1) d tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
( )
( )
f x kx c
f x k
= +


′
=

2) Giải hệ phương trình tìm x
⇒
c=?. Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm
là y=kx+c
Chú ý: 1) Đường thẳng d: y=ax+b tiếp xúc với đồ thị (C): y=f(x) khi và chỉ
khi hệ sau có nghiệm:
( )
( )
f x ax b
f x a
= +


′
=

2) Tiếp tuyến d hợp với trục hoành 1 góc
0

45
α
=

⇒
tiếp tuyến có hệ
số góc k=
±
tan
0
45
=
1±
Thầy Nguyễn Quang Huy - 140 Lương Ngọc Quyến - ĐT: 0905848655
Bài 17: Viết PT đường thẳng d qua 2 điểm cực trị của đồ thị (
m
c
): y=f(x)
1) Chia y cho
/
y
được
2
ax bx c+ +
dư ex +f ta có
( )
/ 2
. ax exy y bx c f= + + + +

2) Gọi

( ) ( )
1 1 1 2 2 2
; ; ;M x y M x y
là 2 điểm cực trị của (
m
c
)
3) Vì
( )
1 1 1
; ( )
m
M x y C∈
nên ta có
/ 2
1 1 1 1 1 1 1
( )(ax ) ex exy y x bx c f y f= + + + + ⇔ = +
do
/
1
( ) 0y x =

Tương tự
( )
2 2 2
; ( )
m
M x y C∈
nên ta có
/ 2

2 2 2 2 2 2 2
( )(ax ) ex exy y x bx c f y f= + + + + ⇔ = +
do
/
2
( ) 0y x =

2) Vậy đường thẳng d qua 2 điểm cực trị của (
m
c
) có phương trình là
exy f= +

Bài 18: Tìm m để phương trình f(x)=0 có ba nghiệm phân biệt
1) PT f(x) =0
0
0
( ). ( ) 0
( ) 0
x x
x x g x
g x
=

⇔ − = ⇔

=

2) PT f(x) =0 có 3 nghiệm phân biệt
⇔

phương trình g(x) =0 có hai nghiệm phân biệt khác 0
0
0
( ) 0g x
∆ >

⇔

≠

Bài 19: Tìm m để phương trình f(x)=0 có ba nghiệm phân biệt
PT f(x) =0 có 3 nghiệm phân biệt
⇔
hàm số có 2 cực trị và
d
. 0
c ct
y y <

⇔
pt
/
0y =
có hai nghiệm phân biệt và
d
. 0
c ct
y y <

0

. 0
cd ct
y y
∆ >

⇔

<

Sử dụng trong th
không đoán trước 1 nghiệm hoặc không giải được bằng đồ thị
Bài 20: Tìm m để phương trình f(x) +1 –m = 0 (1) có 3 nghiệm (2 nghiệm,
1 nghiệm ) sử dụng đồ thị
1) Phương trình (1)
⇔
f(x) =m-1 (C): y = f(x)
2)PT (1) có 3 nghiệm (2 nghiệm, 1 nghiệm )
⇔
đồ thị (C): y = f(x) cắt đường
thẳng d: y = m-1 tại 3 điểm (2 điểm , 1 điểm )
⇔

Bài 21: Tìm m để đường thẳng d: y= am+b (hằng số) cắt (C):y= f(x) tại 1
điểm (2 điểm, 3 điểm)
Đường thẳng d: y= m (hằng số) cắt (C):y= f(x) tại 1 điểm (2 điểm, 3 điểm)
⇔
? < m < ?
Bài 22: Tìm m để phương trình f(x) +1 –m = 0 (1) có 3 nghiệm (1nghiêm,
2 nghiệm)
1) Phương trình (1)

⇔
f(x) =m-1 (C): y = f(x)
2)Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C): y = f(x) và
đường thẳng d: y = m-1
1) Phương trình (1) có 3 nghiệm
⇔
d cắt (C) tại 3 điểm
⇔
? < m-1 < ?
Bài 23: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị (C) : y=f(x) với trục tung Oy
Gọi M=(C)
I
Oy
⇒
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ
( )
0
y f x
x
=


=


Bài 24: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị (C) : y=f(x) với trục hoành Ox
Gọi M=(C)
I
Ox
⇒

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ
( ) ( ) 0
0 0
y f x f x
y y
= =
 
⇔
 
= =
 

Bài 25: 7 bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
1) TXĐ: D=? 2) Đạo hàm
/
y
cho
/
y
=0 nếu có 3) Chiều biến thiên (để
trống 4 dòng) 4) Giới hạn
5) BBT 6) Cực trị 7) Vẽ
Bài 26: Tìm m để hàm số y =f(x) đồng biến trên khoảng (
α
;+
∞
)
1) TXĐ: D=? 2) Đạo hàm
/ 2
( )y g x ax bx c

= = + +
(a > 0 ) 3) lập
∆
= ?
4) Nếu
0
∆ ≤
thì
/
y
≥
0
x R
∀ ∈
nên hàm số đồng biến trên R do đó nó đồng
biến trên (
α
;+
∞
)
5) Nếu
0∆ >
thì PT
/
y
=0 có 2 nghiệm phân biệt
1 2
;x x
(
1 2

x x<
)BBT x
Hàm số đồng biến trên (
α
;+
∞
)
⇔
PT
/
y
=0 có 2 nghiệm pb
1 2
;x x

/
y

thỏa đk
1 2
x x a< ≤

⇔
0
( ) 0
0
2
ag
S
α

α


∆ >

≥



− <


Thầy Nguyễn Quang Huy - 140 Lương Ngọc Quyến - ĐT: 0905848655
Bài 27: Tìm m để hàm số y =f(x) nghịch biến trên khoảng (
α
;
β
)
1) TXĐ: D=? 2) Đạo hàm
/ 2
( )y g x ax bx c
= = + +
(a > 0 ) 3) lập
∆
= ?
4) Nếu
0
∆ ≤
thì
/

y
≥
0
x R
∀ ∈
nên hàm số đồng biến trên R do đó nó đồng
biến trên (
α
;
β
) o thỏa đkbt
5) Nếu
0∆ >
thì PT
/
y
=0 có 2 nghiệm phân biệt
1 2
;x x
(
1 2
x x<
)BBT x
Hàm số nghịch biến trên (
α
;
β
)
⇔
PT

/
y
=0 có 2 nghiệm pb
1 2
;x x

/
y
thỏa đk
1 2
x x
α β
≤ < ≤

⇔
( ) 0
( ) 0
ag
ag
α
β
≤


≤

y
Bài 28: Tìm m để hàm số y =f(x) nghịch biến trên khoảng (
α
;+

∞
)
1) TXĐ: D=? 2) Đạo hàm
/ 2
( )y g x ax bx c
= = + +
(a < 0 ) 3) lập
∆
= ?
4) Nếu
0
∆ ≤
thì
/
y
≤
0
x R
∀ ∈
nên hàm số nghịch biến trên R do đó nó
nghịch biến trên (
α
;+
∞
)
5) Nếu
0∆ >
thì PT
/
y

=0 có 2 nghiệm phân biệt
1 2
;x x
(
1 2
x x<
) x
Hàm số nghịch biến trên (
α
;+
∞
)
⇔
pt
/
y
=0 có 2 nghiệm pb
1 2
;x x

/
y
thỏa đk
1 2
x x a< ≤

⇔
0
( ) 0
0

2
ag
S
α
α


∆ >

≥



− <


Bài 29: (C) : y= f(x) có đạo hàm
/ 2
( )y g x ax bx c
= = + +
(a
≠
0)
1) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung Oy
⇔
hàm số có 2 (điểm ) cực trị trái dấu
⇔
PT
/
y

=0 có 2 nghiệm trái dấu
⇔
P=
1 2
. 0
c
x x
a
= <
2) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về cùng 1 phía đối với trục tung
Oy
⇔
hàm số có 2 (điểm ) cực trị cùng dấu
⇔
PT
/
y
=0 có 2 nghiệm cùng
dấu
⇔
0
0P
∆ >


>

3) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về cùng 1 phía bên phải đối với
trục tung Oy
⇔

hàm số có 2 (điểm ) cực trị cùng dấu dương
⇔
PT
/
y
=0 có 2
nghiệm dương pb
⇔
0
0
0
c
P
a
b
S
a


∆ >


= >


−

= >



4) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về cùng 1 phía bên trái đối với
trục tung Oy
⇔
hàm số có 2 (điểm ) cực trị cùng dấu âm
⇔
PT
/
y
=0 có 2
nghiệm âm pb
⇔
0
0
0
c
P
a
b
S
a


∆ >


= >


−


= <


5) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về cùng 1 phía đối với trục hoành
Ox
⇔
hàm số có 2 giá trị cực trị cùng dấu
⇔
PT
/
y
=0 có 2 nghiệm pb và
d
. 0
c ct
y y >
⇔
0
. 0
cd ct
y y
∆ >

⇔

>

6) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành Ox
⇔
hàm số có 2 giá trị cực trị trái dấu

⇔
PT
/
y
=0 có 2 nghiệm pb và
d
. 0
c ct
y y <
⇔
0
. 0
cd ct
y y
∆ >

⇔

<

Thầy Nguyễn Quang Huy - 140 Lương Ngọc Quyến - ĐT: 0905848655