Kiểm tra Toán 11 - Học kì 2 - Đề số 9

Đề số 9
ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 – 2011
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
a)
x
x x
x x
2
2
2 1
lim
3 2
→+∞
+ −
+
b)
x
x
x
2
2
2 2
lim
4
→
+ −
−
Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm

x
0
1=
:
x khi x
f x
khi x
x x
1 1
( )
1
1
² 3

+ ≤

=

>

−

Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
y xsin(cos )=
b)
x x
y
x
2

2 3
2 1
− +
=
+
Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Cạnh SA = a và
SA
⊥
(ABCD). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB và SD.
a) Chứng minh BC
⊥
(SAB), CD
⊥
(SAD).
b) Chứng minh (AEF)
⊥
(SAC).
c) Tính tan ϕ với ϕ là góc giữa cạnh SC với (ABCD).
II. Phần riêng
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình
x x
5
3 1 0− − =
có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc
(–1; 2).
Câu 6a: (2,0 điểm)
a) Cho hàm số
y x
3

cos=
. Tính
y
′′
.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số
x
y
x
3 1
1
+
=
−
tại giao điểm của (C) với trục
hoành.
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình
x x
3 2
4 2 0+ − =
có ít nhất hai nghiệm.
Câu 6b: (2,0 điểm)
a) Cho hàm số
y x x
2
2= −
. Chứng minh rằng:
y y
3

1 0
′′
+ =
.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số
x
y
x
2 1
2
−
=
−
tại điểm có tung độ bằng 1.
Hết
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .
1
ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2010 – 2011
MÔN TOÁN LỚP 11 – ĐỀ SỐ 9
CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM
1 a)
2
2
2
1 1
2
2 1
lim lim
2
3 2

3
x x
x x
x
x
x x
x
→+∞ →+∞
+ −
+ −
=
+
+
0,50
2
3
=
0,50
b)
( ) ( )
( )
2
2
2 2 2
lim lim
4
2 2 2 2
x x
x x
x

x x x
→ →+∞
+ − −
=
−
− + + +
0,50
( )
x
x x
1
lim 0
( 2) 2 2
→+∞
= =
+ + +
0,50
2
x khi x
f x
khi x
x x
1 1
( )
1
1
² 3

+ ≤


=

>

−

( ) ( ) ( )
1 1
lim lim 1 1 2
x x
f x x f
− −
→ →
= + = =
0,50
( )
2
1
1
1 1
lim lim
2
3
x
x
f x
x x
+
→ +
→

= = −
−
0,25
f x( )
không liên tục tại x =1 0,25
3 a)
y x y x xsin(cos ) ' sin .cos(cos )= ⇒ = −
0,50
b)
( ) ( )
( )
2
2
2
2
2 2 1
2 2 3
2 3
2 3
'
2 1
2 1
x x
x x
x x
x x
y y
x
x
− +

− − +
− +
− +
= ⇒ =
+
+
0,25
=
( )
2
2
8
2 1 2 3
x
x x x
−
+ − +
0,25
4
a)
Vì
SA ABCD SA BC BC AB BC SAB( ) , ( )⊥ ⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥
0,50
SA A BCD SA CD CD AD CD SAD( ) , ( )⊥ ⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥
0,50
b)
SA A BCD SA a( ),⊥ =
, các tam giác SAB, SAD vuông cân
⇒
FE là đường

trung bình tam giác SBD
FE BD⇒
P
0,25
BD AC FE AC SA ABCD BD SA FE SA, ( )⊥ ⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥
0,50
FE SAC FE AEF SAC AEF( ), ( ) ( ) ( )⊥ ⊂ ⇒ ⊥
0,25
c)
SA ABCD( )⊥
nên AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)
·
SCA
ϕ
⇒ =
0,50
2
SA a
AC
a
0
1
tan 45
2 2
ϕ ϕ
⇒ = = = ⇒ =
0,50
5a
Gọi
f x x x

5
( ) 3 1= − −
⇒
f x( )
liên tục trên R 0,25
f(0) = –1, f(2) = 25
f f(0). (2) 0⇒ <
nên PT có ít nhất một nghiệm
( )
1
0;2c ∈
0,25
f(–1) = 1, f(0) = –1 ⇒ f(–1).f(0) < 0 nên PT có ít nhất một nghiệm
c
2
( 1;0 )
∈ −
0,25
1 2
c c≠ ⇒
PT có ít nhất hai nghiệm thực thuộc khoảng (–1; 2)
0,25
6a a)
y x y x x y x x
3 2
3
cos ' 3cos .sin ' (sin3 sin )
4
= ⇒ = − ⇒ = − +
0.50

( )
3
" 3cos3 cos
4
y x x= − +
0.50
b)
Giao của (C) với Ox là
1
0;
3
A
 
−
 ÷
 
0,25
( )
( )
2
4
' ' 0 4
1
y k f
x
= ⇒ = =
−
0,50
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A là
y x

1
4
3
= −
0,25
5b
Gọi
f x x x
3 2
( ) 4 2= + −
⇒
f x( )
liên tục trên R 0,25
f(0) = –2, f(1) = 3
⇒
f(0).f(1) < 0
⇒
PT có ít nhất một nghiệm
( )
1
0;1c ∈
0,25
f(–1) = 1, f(0) = –2
f f( 1). (0) 0⇒ − <

⇒ PT có ít nhất một nghiệm
( )
2
1;0c
∈ −

0,25
Dễ thấy
1 2
c c≠ ⇒
phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thực. 0,25
6b a)
2
2
1 1
2 ' '
2
x x
y x x y y
y
x x
− −
= − ⇒ = ⇒ =
−
0,25
y x y y x x x x x
y
y y y y
2 2 2 2
2 3 3 3
(1 ) (1 ) 2 1 2 1
′
− − − − − − − + − + − −
′′
= = = =
0,50

3 3
3
1
" 1 . 1 1 1 0y y y
y
−
⇒ + = + = − + =
(đpcm) 0,25
b)
x
y
x
2 1
2
−
=
−
( C )
x
y x x x
x
2 1
1 1 2 1 1 0
1
−
= ⇔ = ⇔ − = − ⇔ =
−
⇒ A(0; 1)
0,50
( )

( )
2
3 3
' 0
4
2
y k f
x
−
= ⇒ = = −
−
0,25
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
y x
3
1
4
= − +
0,25
3