Kiểm tra Toán 11 - Học kì 2 - Đề số 10

Đề số 10
ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 – 2011
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
a)
x
x x
x x
2
2
1
4 3
lim
2 3 2
→
− +
− +
b)
x
x
x x
2
0
2 1 1
lim
3
→
+ −
+

Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm
x
0
2=
:
x
khi x
f x
x
khi x
1 2 3
2
( )
2
1 2

− −

≠
=

−

=

Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
x x
y
x

2
2
2 2
1
− +
=
−
b)
y x1 2tan= +
Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD =
a 3
, SD=
a 7
và SA
⊥
(ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB.
a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
b) Tính góc hợp bởi các mặt phẳng (SCD) và (ABCD).
c) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (MND).
II. Phần riêng
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình
m x x
2 5
(1 ) 3 1 0− − − =
luôn có nghiệm với mọi m.
Câu 6a: (2,0 điểm)
a) Cho hàm số
y x xsin=
. Tính

y
2
π
 
′
′
 ÷
 
.
b) Cho hàm số
y x x
4 2
3= − +
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành
độ bằng 1.
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình
x x x x
2
cos sin 1 0+ + =
có ít nhất một nghiệm thuộc
khoảng (0; π).
Câu 6b: (2,0 điểm)
a) Cho hàm số
y x x
4 4
sin cos= +
. Tính
y
2

π
 
′
′
 ÷
 
.
b) Cho hàm số
y x x
4 2
3= − +
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến
vuông góc với đường thẳng d:
2 3 0x y+ − =
.
Hết
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .
1
Đề số 10
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 – 2011
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
NỘI DUNG ĐIỂM
I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
a)
2
2
1
4 3

lim 0
2 3 2
x
x x
x x
→
− +
=
− +
1,0
b)
( )
x x x
x x
x x
x x
x x x
2
0 0 0
2 1 1 2 2 2
lim lim lim
3
( 3) 2 1
3
( 3) 2 1 1
→ → →
+ −
= = =
+ +
+

+ + +
1,0
Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm
x
0
2=
:
x
khi x
f x
x
khi x
1 2 3
2
( )
2
1 2

− −

≠
=

−

=

( )
x x x
x

f x
x
x x
2 2 2
2(2 ) 2
lim ( ) lim lim 1
1 2 3
(2 ) 1 2 3
→ → →
−
= = =
+ −
− + −
= f(2) 0,50
Vậy hàm số liên tục tại x = 2 0,50
Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
x x x x
y y
x x
2 2
2 2 2
2 2 2 6 2
1 ( 1)
− + − − +
′
= ⇒ =
− −
0,50
b)

x
y x y
x
2
1 tan
1 2tan
1 2tan
+
′
= + ⇒ =
+
0,50
Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD =
a 3
, SD=
a 7
và SA
⊥
(ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB.
0,25
a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
( )
SA AB
SA ABCD
SA AD

⊥
⊥ ⇒ ⇒

⊥


các tam giác SAB, SAD vuông tại A
0,25
BC AB
BC SB SBC
BC SA

⊥
⇒ ⊥ ⇒ ∆

⊥

vuông tại B 0,25
CD AD
CD SD SDC
CD SA

⊥
⇒ ⊥ ⇒ ∆

⊥

vuông tại D 0,25
2
b) Tính góc hợp bởi các mặt phẳng (SCD) và (ABCD).
SCD ABCD CD( ) ( )∩ =
AD ABCD AD CD( ),⊂ ⊥
,
SD SCD SD CD( ),⊂ ⊥
0,50

( )
· ·
AD a
SCD ABCD SDA SDA
SD
a
3 21
( ),( ) ; cos
7
7
= = = =
0,50
c) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (MND).
AB SA
AB SAD MN AB MN SAD
AB AD
( ), ( )

⊥
⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

P
0,25
MND SAD MND SAD DM SH DM SH MND
d S MND SH
( ) ( ), ( ) ( ) , ( )
( ,( ))
⇒ ⊥ ∩ = ⊥ ⇒ ⊥

⇒ =
0,25
·
·
2 2 2 2 2 2
0
3
7 3 4 tan 3
2
60
SA AD a
SA SD AD a a a MA a SMH
AM a
AMH
= − = − = ⇒ = = ⇒ = = =
⇒ =
0,25
·
·
0
3
: 90 .sin
2
a
SHM SHM SH SM SMH∆ = ⇒ = =
0,25
II- Phần riêng (3 điểm)
1. Theo chương trình chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình
m x x

2 5
(1 ) 3 1 0− − − =
luôn có nghiệm với mọi m.
Gọi f(x) =
2 5
(1 ) 3 1m x x− − −
⇒ f(x) liên tục trên R 0,25
f(0) = –1, f(–1) =
m f f
2
1 ( 1). (0) 0+ ⇒ − <
0,50
⇒ phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc (–1; 0)
0,25
Câu 6a: (2,0 điểm)
a) Cho hàm số
y x xsin=
. Tính
y
2
π
 
′
′
 ÷
 
.
y x x x y x x x x' sin cos " cos sin sin= + ⇒ = + −
0,50
" 1

2 2
y
π π
 
⇒ = −
 ÷
 
0,50
b) Cho hàm số
y x x
4 2
3= − +
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành
độ bằng 1.
0 0
1 3x y= ⇒ =
0,25
y x x k y
3
4 2 (1) 2
′ ′
= − ⇒ = =
0,50
Phương trình tiếp tuyến là y = 2x + 1 0,25
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình
x x x x
2
cos sin 1 0+ + =
có ít nhất một nghiệm

thuộc khoảng (0; π).
Gọi
f x x x x x
2
( ) cos sin 1= + +
⇒
f x( )
liên tục trên R 0,25
f f f f
2
(0) 1, ( ) 1 0 (0). ( ) 0
π π π
= = − + < ⇒ <
0,50
⇒
phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc
( )
0;
π
0,25
Câu 6b: (2,0 điểm)
a) Cho hàm số
y x x
4 4
sin cos= +
. Tính
y
2
π
 

′
′
 ÷
 
.
Viết lại
y x y x y x y x
2
1 3 1 1 1
1 sin 2 cos4 ' sin4 " cos4
2 4 4 16 64
= − ⇒ = − ⇒ = ⇒ =
0,75
3
y
1 1
" cos2
2 64 64
π
π
 
⇒ = =
 ÷
 
0,25
b) Cho hàm số
y x x
4 2
3= − +
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp

tuyến vuông góc với đường thẳng d:
2 3 0x y+ − =
.
1 3
:
2 2
d y x= − + ⇒
hệ số góc của tiếp tuyến là k = 2 0,25
y x x
3
4 2
′
= −
Gọi
x y
0 0
( ; )
là toạ độ của tiếp điểm ⇒
x x x x x
3 3
0 0 0 0 0
4 2 2 2 1 0 1− = ⇔ − − = ⇒ =
0,50
0
3y⇒ = ⇒
phương trình tiếp tuyến là y = 2x + 1 0,25


4