Cach tinh tong phuc tap tu tong don gian

Giáo viên: Bựi Cụng Hi
khám phá mới
từ Một bài toán quen thuộc
Trong bài viết này tôi xin trân trọng giới thiệu với các bạn đồng nghiệp và các
em học sinh yêu toán một giải pháp tính tổng S
k
trên cơ sở khai thác và phát triển
một bài toán đã biết.
Từ một bài toán quen thuộc:
Tính tổng: S
1
=
1 1 1 1
.
1.2 2.3 3.4 998.999
+ + + +
Mà nhiều học sinh đã biết cách giải
Song nếu bạn đặt vấn đề khái quát hoá bài toán trên, ta có:
S
2
=
1 1 1 1

1.2 2.3 3.4 n(n+1)
+ + + +
(n

N*).
Từ đây bạn đã có một cách giải đi từ số hạng tổng quát:
1 1 1
k(k+1) k k 1

=
+
Cho k chạy từ 1 đến n ta sẽ tìm đợc kết quả dễ dàng:
S
2
=
1 1 1 1

1.2 2.3 3.4 n(n+1)
+ + + +
=
1 1 1 1 1 1 1 n
1 .
1 2 2 3 n n 1 n 1 n 1
+ + + = =
+ + +

Song nếu để ý số thừa số ở mỗi phân số trong tổng đợc tăng dần lên ta có tổng:
S
3
=
1 1 1 1

1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n+1)(n+2)
+ + + +
.
Lúc đó số hạng tổng quát:
1 1 1 1
n(n+1)(n+2) 2 n(n+1) (n+1)(n+2)

=


.
S
3
=
1 1 1 1

1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n+1)(n+2)
+ + + +
=
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 1.2 2.3 2.3 3.4 n(n+1) (n+1)(n+2) 2 1.2 (n+1)(n+2)
   
− + − + + − = −
   
   
.
T¬ng tù: S
4
=
1 1 1 1

1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 n(n+1)(n+2)(n+3)
+ + + +
.
Ta cã:
1 1 1 1

n(n+1)(n+2)(n+3) 3 n(n+1)(n+2) (n+1)(n+2)(n+3)
 
= −
 
 
.
S
4
=
1 1 1 1

1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 n(n+1)(n+2)(n+3)
+ + + +
=
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 n(n+1)(n+2) (n+1)(n+2)(n+3) 3 1.2.3 (n+1)(n+2)(n+3)
   
− + − + + − = −
   
   
.
Víi S
5
=
1 1 1 1

1.2.3.4.5 2.3.4.5.6 3.4.5.6.7 n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)
+ + + +
.

L¹i cã:
1 1 1 1
n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) 4 n(n+1)(n+2)(n+3) (n+1)(n+2)(n+3)(n+4)
 
= −
 
 
.
5
1 1 1 1
S =
1.2.3.4.5 2.3.4.5.6 3.4.5.6.7 n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)
1 1 1 1 1 1 1

4 1.2.3.4 2.3.4.5 2.3.4.5 3.4.5.6 n(n+1)(n+2)(n+3) (n+1)(n+2)(n+3)(n+4)
1 1 1

4 1.2.3.4 (n+1)(n+2)(n+3)(n+4)
+ + + +
 
= − + − + + −
 
 
 
= −
 
 
B©y giê ta h·y kh¸i qu¸t cho mÉu sè cña tõng ph©n sè:
S
k

=
1 1 1 1

1.2.3 k 2.3.4 (k 1) 3.4.5 (k 2) n(n+1)(n+2)(n+3) (n+k-1)
+ + + +
+ +
(k >1).
Ta cã:
1 1 1 1
n(n+1)(n+2)(n+3) (n+k-1) k 1 n(n+1)(n+2) (n+k-2) (n+1)(n+2) (n+k-1)
 
= −
 
−
 
.
k
1 1 1 1
S =
1.2.3 k 2.3.4 (k 1) 3.4.5 (k 2) n(n+1)(n+2)(n+3) (n+k-1)
1 1 1 1 1

k 1 1.2.3 (k 1) 2.3.4 n(n+1)(n+2)(n+3) (n+k-2) (n+1)(n+2)(n+3) (n+k-1)
1 1
k 1 1.2.3 (
k
+ + + +
+ +

= + +

=

1
k 1) (n+1)(n+2)(n+3) (n+k-1)






Ví dụ:
Tính tổng: S
7
=
1 1 1 1

1.2.3.4.5.6.7 2.3.4.5.6.7.8 3.4.5.6.7.8.9 n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(n+6)
+ + + +
.
áp dụng công thức trên ta có:
7
1 1 1 1
S =
1.2.3.4.5.6.7 2.3.4.5.6.7.8 3.4.5.6.7.8.9 n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(n+6)
1 1 1
.
6 1.2.3.4.5.6 (n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(n+6)

+ + + +

=


Nhờ công thức trên bạn có thể đề xuất những bài toán tính tổng phức tạp hơn khi
cho k đủ lớn theo trình độ học sinh từ lớp 6 đến lớp 9.
Trên đây là một giải pháp tìm kiếm điều phi thờng trong cái bình thờng mà tôi
đã khám phá đợc. Kính mong các bạn đồng nghiệp phê bình góp ý giúp cho bài
viết của tôi đợc hoàn mỹ hơn.
Tôi xin trân trọng cám ơn!