Hướng dẫn giải đề " thử sức trước kỳ thi" số 05 - báo TH&TT tháng 02 năm 2011

GỢI Ý GIẢI ĐỀ SỐ 05 - THỬ SỨC TRƯỚC KỲ THI
Tạp chí TH&TT số tháng 02 năm 2011
CâuI:
3 2
3 1y x mx= − −
1. Khảo sát khi
1m =
2.
?m
=
đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Hướng dẫn:
2.
2
3
0 (0) 1
' 3 6 0
2 (2 ) 4 1
x y
y x mx
x m y m m
= ⇒ = −

= − = ⇔

= ⇒ = − −


(C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi hàm số có CĐ và CT đồng thời
f
CĐ.

f
CT
< 0.
3
0
4 1 0
m
m
≠

⇔

+ <

CâuII.
1. Giải phương trình:
sin 3 cos3 2 2 cos( ) 1 0
4
x x x
π
+ − + + =
2. Tìm
m
để hệ
1 3
1 3
x y m
y x m

+ + − =



+ + − =


có nghiệm
Hướng dẫn:
1.
3 3
(*) 4(cos sin ) 5(cos sin ) 1 0x x x x⇔ − − − + =
. Đặt
cos sin ( 2)t x x t= − ≤

⇒
2
2
1
1 2sin cos sin cos
2
t
t x x x x
−
= − ⇒ =
khi đó ta được:
3
2 1 0 1; 1 3t t t t− + + = ⇒ = = − −
thay ngược lại để giải ra x
2.
Trừ vế với vế của hệ suy ra
( ) ( )f x f y=

trong đó hàm số
( ) 1 3f t t t= + − −
luôn
đồng biến trên [-1;3]
x y⇒ =
khi đó ta cần tìm m để phương trình
( ) 1 3f t t t m= + − − =
có nghiệm
[ 1;3] [ 1;3]
2 min ( ) max ( ) 2f t m f t
− −
⇔ = ≤ ≤ ≤
CâuIII:
1 1
3 2
0 0
( 1) (3 1) ( 1) 3 4 1
dx dx
I
x x x x x
= =
+ + + + +
∫ ∫
Đặt
2
1 1 1
1 ; 1x dx dt x
t t t
+ = ⇒ = − = −
ta

được
1
1
2
2
1
1
3 2 2 1
3 2
dt
I t
t
= − = − = −
−
∫

CâuIV:
( )
( )
BC AB
BC SAB
SA ABC
⊥

⇒ ⊥

⊥

BC AM⇒ ⊥
kết hợp

AM SB⊥

( )AM SBC AM MN⇒ ⊥ ⇒ ⊥
mặt khác
·
·
¸N ( ) ( ; )AN C SC AMN SBC SAC ANM⊥ ⇒ ⊥ ⇒ =
S
N
A
C
B
M
·
0
60ANM⇒ =
·
0
30NAM⇒ =
. Có
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
. . 3 .
;
4 . 2
SA AB SA AC AM AB SC SC
AM AN
SB SC AN AC SB SB
= = ⇒ = = =

2 2
2 3SC SB⇒ =
lại
có
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 3 2SB BC SC SB a SC SB SB a+ = ⇒ + = = ⇒ =
SA a
⇒ =
2
2;
3
6
a
AM a AN a MN⇒ = = ⇒ =
2
.
2
6
AMN S ABC
a
S V
∆
⇒ = ⇒ =
CâuV: Có
2
1 1
2 1
xy
x y
xy

x y xy xy
+
≥ + = ≥ ⇒ ≥
.
6 4 6 4 10 10 4 4 6 6 5 5 4 4 6 6
4 4
3 3 2 3( ) 9 2 6 9 4p x y y x x y x y x y x y x y x y= + + + ≥ + + + ≥ + + ≥
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1x y= =
CâuVI.a
1. Lập phương trình đường thẳng qua M(2;1) cắt các tia Ox và Oy tại các điểm A, B
sao cho tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất.
2. Cho A(1;3;-1) ; B(-3;-1;5) và đường thẳng (d):2x-6=y-1=-2z. Tìm M trên d sao
cho Q=MA
2
+ MB
2
đạt GTNN.
Hướng dẫn:
1. đường thẳng (d) qua A(a;0) và B(0;b) có phương trình
1
x y
a b
+ =
khi đó
1 2
1 2 ( 0; 0)ab b a a b
a b
+ = ⇒ = + > >
.

2 ( 2 ) 2 2 8 4
AOB AOB
S ab b a ab ab S
∆ ∆
= = + ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥
. Dấu “=” xảy ra khi
2
( ) : 1
4
2 4
a
x y
d
b
=

⇒ + =

=

2. M(3+t;1+2t;-t) khi đó
( 2;2 2;1 ); ( 6;2 2; 5)MA t t t MB t t t+ − − + + − −
uuur uuur
2 2 2 2
12 24 74 3(2 2) 62 62Q MA MB t t t⇒ = + = + + = + + ≥
đạt tại t=-1 khi đó
M(2;-1;1)
CâuVII.a Cho 0 < x < y < 4. CMR
(4 )
ln

(4 )
x y
x y
y x
−
< −
−
(*)
Hướng dẫn:
(*) ln ln(4 ) ln ln(4 )x x x y y y⇒ − − − < − − −
. Xét
( ) ln ln(4 )f t t t t= − − −
có
2
1 1 4 4
'( ) 1 0 (0;4) ( ) ( ) 0 4
4 (4 )
t t
f t t f x f y x y
t t t t
− +
= + − = ≥ ∀ ∈ ⇒ < ∀ < < <
− −
CâuVI.b
1. Tam giác ABC cân tại A, có AB: 2x + y – 1 = 0 và BC: x + 4y + 3 = 0. Lập
phương trình đường cao kẻ từ B.
2. Đường thẳng (d) : x-1 = -y-1 = 2z-2 và mặt cầu (S) tâm I(4;2;1) bán kính R=3.
Lập phương trình mặt phẳng (P) qua (d) và tiếp xúc (S).
Hướng dẫn:
1. B(1;-1), gọi A(a;1-2a) đường cao kẻ từ A có phương trình 4x-y-6a+1=0 cắt BC tại

trung điểm M của đoạn BC có toạ độ là M() lấy C đối xứng với B(1;-1) qua M
sau đó rang buôc điều kiện C thuộc đườngthẳng BC suy ra a
→
toạ độ của A và
của C.
2. Mặt phẳng (P) nhận
( ; ; )n a b c
r
làm vecto pháp tuyến có phương trình là:
( 1) ( 1) ( 1) 0a x b y c z− + + + − =
. Ràng buộc hệ điều kiện
2 2 2
2 2 0
2 2 1; 2; 2
1
2 ; 2 2; 1; 2
a b c
c b a a b c
a b
a b a b a b c
a b c
− + =

= − = = =
 

⇒ ⇒
+
 


=
= = = = = −
 

+ +

thay vào có được
phương trình mặt phẳng (P) tương ứng
CâuVII.b Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất thoả mãn:
1 5
1
3
z i
z i
+ −
=
+ −
Hướng dẫn:
gọi số phưc
z a bi z a bi= + → = −
khi đó
[ ] [ ]
2 2
( 1) ( 5) ( 3) ( 1)
1 5 ( 1) ( 5)
w
( 3) ( 1) ( 3) ( 1)
3
a b i a b i
z i a b i

a b i a b
z i
+ + − + + +
+ − + + −
= = =
+ − + + + +
+ −
[ ]
2 2
( 1)( 3) ( 5)( 1) ( 3)( 5) ( 1)( 1)
( 3) ( 1)
a a b b a b a b i
a b
+ + − − + + + − + + +
=
+ + +
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
( 1) ( 3) ( 5) ( 1) ( 3) ( 5) ( 1) ( 1)
w
( 3) ( 1)
a a b b a b a b
a b
+ + + − + + + − + + +
⇒ =
+ + +
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
( 3) ( 1) ( 1) ( 5)

1 ( 3) ( 1) ( 1) ( 5)
( 3) ( 1)
a b a b
a b a b
a b
   
+ + + + + −
   
= = ⇔ + + + = + + −
+ + +
3 4a b⇒ = +
Khi đó
2 2 2 2 2 2
6 8 4 10
(3 4) 10 24 16 10( )
5 5 5
z a b b b b b b= + = + + = + + = + + ≥
đạt
tại
6 2
5 5
b a= − ⇒ =