Dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số hệ phương trình dạng Navier-Stokes

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
——————– * ———————
PHẠM THỊ TRANG
DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM
CỦA MỘT SỐ HỆ PH ƯƠNG TRÌNH DẠNG
NAVIER-STOKES
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI - 2015
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
——————– * ———————
PHẠM THỊ TRANG
DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM
CỦA MỘT SỐ HỆ PH ƯƠNG TRÌNH DẠNG
NAVIER-STOKES
Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 62 46 01 03
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. Cung Thế Anh
HÀ NỘI - 2015
1
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả viết
chung với các tác giả khác, đều đã được sự nhất trí của các đồng tác giả khi
đưa vào luận án.
NCS. Phạm Thị Trang
2
LỜI CẢM ƠN
Luận án này được thực hiện tại Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Tin,

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình,
chu đáo của PGS.TS. Cung Thế Anh. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và
biết ơn sâu sắc đến Thầy, người đã dẫn dắt tác giả vào một hướng nghiên cứu
tuy khó khăn, vất vả nhưng thực sự thú vị và có ý nghĩa.
Tác giả vô cùng biết ơn PGS.TS. Trần Đình Kế và các thầy c ô trong Bộ
môn Giải tích đã cổ vũ động viên và truyền cho tác giả nhiều kinh nghiệm quý
báu trong nghiên cứu khoa học.
Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại
học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội; Ban
Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Phòng Tổ chức, Khoa Tự nhiên, Trường Cao đẳng
Hải Dương, đặc biệt là các thầy cô giáo và các anh chị nghiên cứu sinh trong
Seminar của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà
Nội đã luôn giúp đ ỡ, tạo điều kiện thuận lợi và động viên tác giả trong suốt
quá trình học tập và nghiên cứu.
Lời cảm ơn sau cùng, xin dành cho gia đình của tác giả, những người đã
dành cho tác giả tình yêu thương trọn vẹn, từng ngày chia sẻ, động viên tác
giả vượt qua mọi khó khăn để hoàn thành luận án. Tác giả thành kính dâng
tặng món quà tinh thần này lên các bậc sinh thành, những người từng ngày
đón đợi và hy vọng ở từng bước trưởng thành của tác giả.
3
Mục lục
Trang phụ bìa 2
Lời cam đoan 1
Lời cảm ơn . . 2
Mục lục 3
Một số kí hiệu dùng trong luận án. . 6
MỞ ĐẦU 7
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2. TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU . . . . . . . . . . . . . 9
3. MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU CỦA

LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4. PHƯƠNG PHÁP NGHI ÊN CỨU . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5. KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6. CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC C HU ẨN BỊ 18
1.1. CÁC KHÔNG GIAN HÀM, TOÁN TỬ VÀ BẤT ĐẲNG THỨC
LIÊN QUAN ĐẾN SỐ HẠNG PHI TUYẾN . . . . . . . . . . . 18
1.1.1. Các không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.1.2. Các toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.1.3. Các bất đẳng thức liên quan đến số hạng phi tuyến . . 21
1.2. TẬP HÚT LÙI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3. MỘT SỐ KẾT QUẢ THƯỜNG DÙNG . . . . . . . . . . . . . 26
4
1.3.1. Một số bất đẳng thức thường dùng . . . . . . . . . . . . 26
1.3.2. Một số bổ đề và định lí quan trọng . . . . . . . . . . . . 29
Chương 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES-VOIGT . 31
2.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM YẾU . . . . . . 33
2.3. SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.4. ĐÁNH GIÁ SỐ CHIỀU FRACTAL CỦA TẬP HÚT LÙI . . . 47
2.5. MỐI QUAN HỆ GIỮA TẬP HÚT LÙI VỚI TẬP HÚT ĐỀU
VÀ TẬP HÚT TOÀN CỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.5.1. Mối quan hệ giữa tập hút lùi và tập hút toàn cục . . . . 56
2.5.2. Mối quan hệ giữa tập hút lùi và tập hút đều . . . . . . 57
2.6. TÍNH TRƠN CỦA TẬP HÚT LÙI . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.6.1. Tính bị chặn của tập hút lùi trong (H
2
(Ω))
2
. . . . . . 60

2.6.2. Tính compact của tập hút lùi trong (H
2
(Ω))
2
. . . . . . 64
2.7. TÍNH NỬA LIÊN TỤC TRÊN CỦA TẬP HÚT LÙI SINH BỞI
HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES-VOIGT HAI CHIỀU 68
2.7.1. Tập hút lùi của hệ phương trình Navier-Stokes hai chiều 69
2.7.2. Tính nửa liên tục trên của tập hút lùi sinh bởi hệ N avier-
Stokes-Voigt hai chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Chương 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH KELVIN-VOIGT- BRINKMAN-FORCHHEIMER 90
3.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.2. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM YẾU . . . . . . 92
3.3. SỰ TỒN TẠI TẬP D
σ
-HÚT LÙI . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.4. SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM DỪNG . . 113
KẾT LUẬN . 118
1. CÁC KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
2. KIẾN NGHỊ MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TIẾP THEO . 118
5
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CÔNG BỐ ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG
LUẬN ÁN 119
TÀI LIỆU THAM KHẢO 120
6
MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN
H, V các không gian hàm dùng để nghiên cứu hệ Navier-Stokes,
Navier-Stokes-Voigt, Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer
(xin xem chi tiết ở tr. 19)
V


không gian đối ngẫu của không gian V
(·, ·), | · | tích vô hướng và chuẩn trong không gian H
((·, ·)),  ·  tích vô hướng và chuẩn trong không gian V
·
∗
chuẩn trong không gian V

·, · đối ngẫu giữa V và V

|·|
p
chuẩn trong không gian L
p
(Ω), với 1 ≤ p ≤ ∞
Id ánh xạ đồng nhất
A, A
s
, B các toán tử dùng đ ể nghiên cứu hệ Navier-Stokes,
Navier-Stokes-Voigt, Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer
(xin xem chi tiết ở tr. 20, 21)
D(A
s
) miền xác định của toán tử A
s
 hội tụ yếu
Y
X
bao đóng của Y trong X
P(X) họ các tập con bị chặn của X

d
F
(K) số chiều fractal của tập compact K
dist(A, B) nửa khoảng cách Hausdorff giữa hai tập A, B.
7
MỞ ĐẦU
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Phương trình đạo hàm riêng bắt đầu được nghiên cứ u vào giữa thế kỉ
XVIII và phát triển mạnh mẽ từ giữa thế kỉ XIX cho đến nay. Nó được coi
như chiếc cầu nối g iữa toán học và ứng dụng. Rất nhiều phương trình đạo
hàm riêng là mô hình toán của các bài toán thực tế, đặc biệt là các phương
trình và hệ phương trình trong cơ học chất lỏng. Lớp phương trình này xuất
hiện khi mô tả chuyển động của các chất lỏng và khí như nước, không khí,
dầu mỏ, .dưới những điều kiện tương đối tổng quát. Chúng cũng xuất hiện
khi nghiên cứu nhiều hiện tượng quan trọng trong khoa học kĩ thuật như khoa
học hàng không, khí tượng học, công nghiệp dầ u mỏ, vật lí plasma, .
Một trong những lớp hệ phương trình cơ bản, quan trọng trong cơ học
chất lỏng là hệ Navier-Stokes, mô tả dòng chảy của chất lỏng thuần nhất,
nhớt, không nén được, được xây dựng từ các định luật bảo toàn khối lượng,
động lượng và có dạng





∂u
∂t
− ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = g(x, t),
∇ · u = 0,
ở đó u = u(x, t), p = p(x, t) tương ứng là hàm vectơ vận tốc và hàm áp suất

cần tìm, ν = const > 0 là hệ số nhớt và g là hàm ngoại lực.
Hệ phương trình Navier-Stokes đưa ra lần đầu tiên năm 1822, và được bắt
đầu nghiên cứu mạnh từ nửa đầu thế kỉ XX với các công trình nền móng
của Leray (1934) và Hopf (1951). Sau gần một thế kỉ phát triển, lí thuyết hệ
phương trình Navier-Stokes đã đạt được nhiều kết quả sâu sắc (xem, chẳng
8
hạn, các cuốn chuyên khảo [14, 47, 48] và cá c bài tổng quan [4, 50]). Tuy
nhiên, vẫn còn rất nhiều câu hỏi mở chưa được giải quyết, trong đó nổi bật là
tính duy nhất của nghiệm yếu và sự tồn tại toàn cục của nghiệm mạnh của hệ
Navier-Stokes ba chiều. Những nỗ lực giải quyết bài toán này đã làm phát sinh
nhiều hướng nghiên cứu mới thú vị. Một trong số đó là nghiên cứu các biến
dạng của hệ phương trình Navier-Stokes. Những hệ như vậy xuất hiện khi mô
tả chuyển động của các chất lưu trong các điều kiện vật lí nhất định, chẳng
hạn hệ Navier-Stokes-Voigt (trong một số tài liệu viết là Voight) xuất hiện khi
nghiên cứu chuyển động của chất lỏng nhớt đàn hồi [38], hệ Navier-Stokes với
số hạng tắt dần [6], hệ Brinkman-Forchheimer đối lưu xuất hiện khi nghiên
cứu các dòng chất lưu trong các tầng xốp bão hòa [33], hệ g-Navier-Stokes hai
chiều xuất hiện khi nghiên cứu hệ Navier-Stokes trong miền mỏng [43], các
α-mô hình trong cơ học chất lỏng [16, 23, 25], hệ chất lưu loại hai xuất hiện
khi nghiên cứu chất lỏng không Newton [39], hệ mô tả chuyển động của chất
lưu với áp s uấ t phụ thuộ c độ nhớt [5], Đây là một hướng nghiên cứu mới
và rất thời sự, thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới
trong những năm gần đây, do ý nghĩa và tầm quan trọng của chúng, cũng như
những khó khăn thách thức về mặt toán học đặt ra khi nghiên cứu. Tuy nhiên
theo hiểu biết của chúng tôi, những kết quả đạt được về sự tồn tại và dáng
điệu tiệm cận nghiệm của các hệ trên chủ yếu mới dừng lại ở trường hợp ngoại
lực không phụ thuộc thời gian (trường hợp ôtônôm) và miền xé t phương trình
là bị chặn (xin xem thêm phần Tổng quan vấn đề nghiên cứu dưới đây). Việc
phát triển những kết quả này cho trường hợp không ôtônôm và trong miền
không bị chặn là những vấn đề lí thú, có nhiều ý nghĩa thực tiễn, nhưng khó

vì đòi hỏi những cách tiếp cận và công cụ k ĩ thuật mới.
Chúng tôi sẽ chọn vấn đề nghiên cứu này đối với một số hệ phương trình
dạng Navier-Stokes, xuất hiện trong cơ học chất lỏng, làm đề tài nghiên cứu
cho luận án tiến sĩ của m ình.
9
2. TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
Như đã đượ c đề cập đến trong mục trước, lớp hệ phương trình dạng Navier-
Stokes xuất hiện khi cần m ô tả chuyển động của chất lỏng dưới những điều
kiện vật lí nhất định. Chính bởi tầm quan trọng của chúng, lớp hệ phương
trình này đã thu hút được sự quan t âm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học
trong những năm gần đây. Sau khi nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán,
ta thường quan tâm đến dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian ra vô
cùng vì khi biết dáng điệu tiệm cận của nghiệm, ta có thể dự đoán được xu
thế phát triển của hệ trong tương lai và từ đó có thể đưa ra những đánh giá,
điều chỉnh thích hợp.
Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương trình đạo hàm
riêng tiến hóa phi tuyến, khi đó các hệ động lực tương ứng rất phức tạp vì nó
là vô hạn chiều, người ta thường sử dụng lí thuyết tập hút. Lí thuyết tập hút
toàn cục cổ điển ra đời vào khoảng những năm 80 của thế kỉ XX. Cho đến nay,
sự tồn tại và tính chất của tập hút toàn cục đã được nghiên cứu cho nhiều lớp
phương trình đạo hàm riêng tiến hóa phi tuyến ôtônôm và một số lớp phương
trình vi phân hàm (xem, chẳng hạn, các cuốn chuyên khảo [2, 13, 49]). Tuy
nhiên, khi phương trình là không ôtônôm, chẳng hạn khi ngoại lực phụ thuộc
vào thời gian, quỹ đạo nghiệm không còn là bất biến dương đối với phép tịnh
tiến theo thời gian và do đó lí thuyết tập hút toàn cục cổ điển không còn thích
hợp. Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của những hệ động lực không
ôtônôm, người ta thường sử dụng lí thuyết tập hút đều [12] hoặc lí thuyết tập
hút lùi [9]; xin xem các cuốn chuyên khảo [10, 13] về những kết quả gần đây
về hai loại tập hút này.
Nỗ lực đầu tiên để mở rộng khái niệm tập hút toàn cục sang trường hợp

không ôtônôm dẫn đến sự ra đời của tập hút đều. Tuy nhiên, lí thuyết tập hút
đều chỉ giải quyết được một lớp nhỏ các hàm ngoại lực phụ thuộc thời gian
(thường phải giả thiết các hàm ngoại lực f là bị chặn tịnh tiến), không đảm
10
bảo tính chất bất biến của tập hút toàn cục, và nói chung tập hút đều không
thỏa mãn nguyên lí rút gọn hữu hạn chiều (tức là thường có số chiều fractal
bằng vô cùng). Hơn nữa, mặc dù biến thời gian xuất hiện tường minh trong
phương trình, tập hút đều không phụ thuộc vào biến thời gian.
Để khắc phục các hạn chế trên, lí thuyết tập hút lùi ra đời. Tập hút lùi
xuất hiện khi ta cố định thời điểm cuối t và xét dáng điệu tiệm cận nghiệm
của hệ khi thời điểm đầu τ → −∞; được định nghĩa là một họ c ác tập phụ
thuộc vào thời gian, compact, bất biến, hút họ các tập trong một không gian
nhất định (ví dụ họ các tập bị chặn trong không gian pha). Các tính chất này
là sự mở rộng một cách tự nhiên các tính chất của tập hút toàn cục trong
trường hợp ôtônôm. Ta cũng thường chứng minh được t ập hút lùi thỏa mãn
nguyên lí rút gọn hữu hạn chiều (tức là có số chiều fractal hữu hạn), một tính
chất rất quan trọng khi nghiên cứu các hệ động lực vô hạn chiều. Hơn nữa, so
với các lí thuyết tập hút khác, lí thuyết tập hút lùi ra đời muộn hơn và hiện
nay vẫn đang là vấn đề rất thời sự. Lí thuyết tập hút lùi cũng giải quyết đ ư ợc
cho một lớp rộng hơn các hàm ngoại lực phụ thuộc thời gian so với tập hút
đều, cho phép xử lí các phương trình đạo hàm riêng với đuôi ngẫu nhiên (với
một chút điều chỉnh nhỏ để trở thành lí thuyết tập hút ngẫu nhiên), một lớp
phương trình rất rộng lớn và quan trọng. Xin xem thêm cuốn chuyên khảo gần
đây [10] về ý nghĩa cũng như mối quan hệ giữa tập hút lùi với các loại tập hút
khác như tập hút toàn cục và tập hút đều.
Chính vì vậy, việc nghiên cứu dáng diệu tiệm cận nghiệm của những hệ
phương trình trong cơ học chất lỏng, nói riêng là những hệ phương trình dạng
Navier-Stokes, thông qua việc chứng minh sự tồn tại nghiệm, sự tồn tại và các
tính chất của tập hút lùi là một trong những vấn đề thời sự hiện nay, thu hút
được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới.

Trong các biến dạng của hệ phương trình Navier-Stokes đã được đề cập
đến ở mục trước, có hai dạng rất được quan tâm trong thời gian gần đ ây.
11
Thứ nhất là lớp hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt có dạng





u
t
− ν∆u − α
2
∆u
t
+ (u · ∇)u + ∇p = g, x ∈ Ω, t > τ,
∇ · u = 0, x ∈ Ω, t > τ,
(1)
trong đó α là tham s ố đặc trưng cho tính đàn hồi của chất lỏng.
Hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt mô tả chuyển động của các chất lỏng
loại Kelvin-Voigt, không nén được, nhớt, đàn hồi (với tham số đặc trưng cho
tính đàn hồi là α) (xem [38]). Chú ý rằng khi α = 0 hệ Navier-Stokes-Voigt
trở thành hệ Navier-Stokes cổ điển và khi ν = 0 ta được mô hình Bardina
dạng đơn giản, mô tả chuyển động của các chất lỏng không nhớt [8]. Vì vậy,
gần đây, hệ (1) cũng được E.S. Titi và các cộng sự sử dụng để chính qui hóa
hệ phương trình Navier-Stokes, từ đó xấp xỉ hệ phương trình này trong không
gian ba chiều khi α nhỏ, giúp mô phỏng số trực tiếp nghiệm của hệ trong cả
hai trường hợp điều kiện biên tuần hoàn và điều kiện biên Dirichlet (xem [8]).
Trong những năm gần đây, sự tồn tại và dáng điệu tiệ m cận nghiệm của
hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt trong không gian ba chiều đ ã thu hút

được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới. Khi ngoại lực g không
phụ thuộc vào biến thời gian, sự tồn tại và duy nhất nghiệm được chứng minh
lần đầu tiên bởi A.P. Oskolkov trong [38]. Sau đó, V.K. Kalantarov đã chứng
minh sự tồn tại và đánh giá số chiều của tập hút toàn cục của nửa nhóm sinh
bởi hệ này [28, 29]. Gần đây, trong các công trình [31, 32], V.K. Kalantarov
và E.S. Titi đã phát triển kết quả trên, chứng minh đư ợc tính determining
modes và tính chính qui Gevrey của t ập hút toàn cục. Trong trường hợp ngoại
lực g phụ thuộc vào biến thời gian, sự tồn tại tập hút đều của quá trình sinh
bởi hệ (1) đượ c chứng minh gần đây trong [15, 40, 51] khi ngoại lực là hàm
bị chặn tịnh tiế n, và sự tồn tại tập hút lùi của hệ (1) được chứng minh trong
[19]. Tuy nhiên, tất cả các kết quả nhận được ở trên đối với hệ phương trình
Navier-Stokes-Voigt ba chiều là ở trong miền bị chặn. Theo hiểu biết của chúng
tôi, chỉ có công trình [11] là xét hệ Navier-Stokes-Voigt hai chiều trong miền
12
không bị chặn với ngoại lực không phụ thuộ c thời gian (trường hợp ôtônôm)
và chứng minh được sự tồn tại tập hút toàn cục của nửa nhóm sinh bởi hệ.
Vì vậy, còn nhiều vấn đề mở cần đượ c nghiên cứu liên quan đến hệ Navier-
Stokes-Voigt ba chiều, nói riêng những vấn đề chúng tôi quan tâm nghiên cứu
trong luận án này là:
• Nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm (thông qua
sự tồn tại tập hút lùi) trong trường hợp ba chiều khi ngoại lực g phụ
thuộc vào biến thời gian t (trường hợp không ôtônôm), và miền xét
phương trình không nhất thiết bị chặn (nhưng t hỏa mãn bất đẳng thức
Poincaré).
• Nghiên cứu tính trơn của tập hút lùi.
• Nghiên cứu tính nửa liê n tục trên tại α = 0 của tập hút lùi trong trường
hợp hai chiều, tứ c là so sánh tập hút của hệ Navier-Stokes-Voigt với tập
hút của hệ Navier-Stokes giới hạn tương ứng. Ở đây chỉ xét được trường
hợp hai chiều vì tính đặt đúng toàn cục của hệ Navier-Stokes ba chiều
vẫn là vấn đề mở rất lớn.

Khó khăn gặp phả i khi nghiên cứu các vấn đề trên, trước hết là do sự có mặt
của số hạng −α
2
∆u
t
, làm mất đi tính chất parabolic (giống như hệ Navier-
Stokes ban đầu) của hệ phương trình (1). Cụ thể, nghiệm của hệ không trơn
hơn điều kiện ban đầu, tương tự tính chất của phương trình hyperbolic và hệ
quả là hệ động lực tương ứng chỉ có tính chất tiêu hao yếu. Điều này gây ra
nhiều khó khăn khi chứng minh sự tồn tại tập hút lùi và chứng minh tính
trơn của tập hút. Tiếp theo, do miền được xét là không bị chặn, nên các phép
nhúng Sobolev cần thiết chỉ liên tục mà không c om pac t, dẫn đến dạng cổ điển
của Bổ đề compact Aubin-Lions và do đó các phương pháp thường dùng cho
miền bị chặn không còn thích hợp nữa. Để khắc phục, chúng ta cần sử dụng
những dạng phù hợp của Bổ đề compact Aubin-Lions, kĩ thuật đánh giá phần
13
đuôi của nghiệm, phương pháp phương trình năng lượng và khai thác hợp lí
cấu trúc của phương trình.
Lớp biến dạng thứ hai của hệ Navier-Stokes là lớp hệ Navier-Stokes với số
hạng tắt dần (damping term) hoặc hệ Navier-Stokes "được thuần hóa" (tamed
Navier-Stokes equations) [42]. Trong [6], Cai và Jiu thêm số hạng tắt dần
|u|
r−1
u vào hệ phương trình Navier-Stokes ba chiều cổ điển và nghiên cứu ảnh
hưởng của số hạng đ ó tới tính đặt đúng của hệ phương trình hệ quả. Số hạng
tắt dần này biểu thị các lực kháng cản chuyển động của chất lỏng, thường
xuất hiện khi nghiên cứu các dòng chất lưu trong các tầng xốp bão hòa, khi có
lực kéo, lực ma sát, hay một vài cơ chế tiêu tán khác. Lớp các số hạng tắt dầ n
này đã được khái quát hóa đủ rộng để mô tả các tác động thường gặp của môi
trường trong chuyển động của chất lỏng (xem [33]). Về sự tồn tại duy nhất

nghiệm và dáng điệu tiệm cận nghiệm của lớp phương trình này, nói riêng là
sự tồn tại tập hút toàn cục hoặc tập hút đều, xin xem các công trình gần đây
[6, 7, 26, 33, 45, 46, 52].
Hệ phương trình Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer nhận được khi cả hai
số hạng −α
2
∆u
t
và số hạng tắt dần f(x, u), chẳng hạn f(x, u) = |u|
r−1
u, cùng
xuất hiện trong hệ Navier-Stokes cổ điển, mô tả chuyển động của các chất lỏng
loại Kelvin-Voigt, nhớt, đàn hồi, không nén được trong môi trường có lực cản.
Mô hình này được đề cập đến lần đầu tiên trong một báo cáo hội nghị của
V.K. Kalantarov năm 2010 (xem [30]) và có dạng như sau




















u
t
− ν∆u − α
2
∆u
t
+ (u ·∇)u + f(x, u) + ∇p = g, x ∈ Ω, t > τ,
∇ · u = 0, x ∈ Ω, t > τ,
u(x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, t > τ,
u(x, τ) = u
0
(x), x ∈ Ω,
(2)
trong đó g = g(x, t) = (g
1
, g
2
, g
3
) là hàm ngoại lực, f là số hạng phi tuyến
thỏa mãn một số điều kiện cần thiết sẽ được đề cập sau và miền Ω ⊂ R
3
được
14
xét không nhất thiết bị chặn.
Ngoài những khó khăn do sự xuất hiện của toán tử −α

2
∆u
t
và miền được
xét là không bị chặn như khi nghiên cứu hệ Navier-Stokes-Voigt, sự xuất hiện
của số hạng tắt dần f(x, u) cũng làm việc nghiên cứu hệ (2) trở nên phức tạp
hơn. Lúc này, trong hệ phương trình xuất hiện cùng lúc hai số hạng phi tuyến
(u · ∇)u và f(x, u) cần xử lí, đòi hỏi chúng ta phải kết hợp khéo léo các kĩ
thuật đánh giá, cũng như phải lựa chọn các dạng bổ đề compact phù hợp.
Đối với lớp hệ này, mục đích của chúng tôi là nghiên cứu s ự tồn tại và dáng
điệu tiệm cận nghiệm của hệ với một lớp số hạng phi tuyến f(x, u) khá rộng
và hàm ngoại lực phụ thuộc thời gian, trong miền không nhất thiết bị chặn
mà chỉ cần thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré; đưa ra lời giải cho vấn đề mở
được đặt ra bởi V.K. Kalantarov trong [30].
Từ những phân tích ở trên, chúng tôi chọn vấn đề nghiên cứu sự tồn tại và
dáng điệu tiệm cận nghiệm (thông qua sự tồn tại tập hút lùi) của hệ Navier-
Stokes-Voigt và hệ Kelvin-Voigt-Brinkman-Fo rchheimer trong trường hợp miền
xét phương trình (không nhất thiết bị chặn) thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré
và ngoại lực có thể phụ thuộc thời gian (trường hợp không ôtônôm), làm đề
tài nghiên cứu của luận án "Dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số hệ
phương trình dạng Navier-Stokes".
3. MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU CỦA LUẬN
ÁN
• Mục đích của luận án là nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận
nghiệm (thông qua sự tồn tại của tập hút lùi, tính ổn định của nghiệm
dừng) của một số hệ phương trình dạng Navier-Stokes xuất hiện trong cơ
học chất lỏng trong trường hợp không ôtônôm và miền xét phương trình
thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré, cụ thể là hệ phương trình Navier-
Stokes-Voigt và hệ phương trình Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer.
15

• Đối tượng nghiên cứu của luận án là hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt
và hệ phương trình Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer trong trường
hợp miền xét phương trình không bị chặn nhưng thỏa mãn bất đẳng
thức Poincaré và ngoại lực phụ thuộc thời gian.
• Phạm vi nghiê n cứu của luận án bao gồm các nội dung sau:
Nội dung 1: Hệ Navier-Stokes-Voigt không ôtônôm
◦ Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm;
◦ Nghiên cứu sự tồn tại tập hút lùi;
◦ Đánh giá số chiều fractal của tập hút lùi;
◦ Nghiên cứu tính trơn của tập hút lùi;
◦ Nghiên c ứu tính nửa liên tục trên tại α = 0 của tập hút lùi trong
trường hợp hai chiều, tức là so sánh tập hút của hệ Navier-Stokes-
Voigt và hệ Navier-Stokes giới hạn tương ứng (khi α = 0).
Nội dung 2: Hệ Ke lvin-Vo igt-Brinkman-Forchheimer không ôtônôm
◦ Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm;
◦ Nghiên cứu sự tồn tại tập hút lùi;
◦ Nghiên cứu sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm dừng.
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
• Để nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm, chúng tôi sử dụng các phương
pháp và công cụ của giải tích hàm phi tuyến: phương pháp xấp xỉ
Galerkin, các dạng phù hợp của bổ đề compact, và các bổ đề xử lí số
hạng phi tuyến.
• Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm , chúng tôi sử dụng các
công cụ và phương pháp của lí thuyết hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều
16
không ôtô nôm (xem [2, 10 , 13, 37, 41, 49]), và các phư ơ ng pháp nghiên
cứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân.
Khi ngoại lực g "lớn" và phụ thuộc thời gian, chúng tôi nghiên cứu sự
tồn tại và tính chất của tập hút lùi, một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu
các hệ động lực không ôtônôm. Để chứng minh tính compact tiệm cận lùi

của quá trình, một điều kiện cần thiết cho sự tồn tại tập hút, chúng tôi sử
dụng phương pháp phương trình năng lượng của J.M. Ball (cho nghiệm
yếu), phương trình enstrophy (cho nghiệm mạnh). Để chứng minh tập
hút lùi có số chiều fractal hữu hạn, chúng tôi phát triển phương pháp
chứng minh được đưa ra bởi O.A. Ladyzhenskaya. Để chứng minh tính
trơn của tập hút, chúng tôi sử dụng phương pháp được phát triển bởi O.
Goubet và R. Rosa [21, 22], cụ thể là phương pháp phân tách nghiệm và
sử dụng phương trình năng lượng cho u
t
.
Khi ngoại lực g “nhỏ” và không phụ thuộc thời gian, chúng tôi nghiên
cứu sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm dừng và chứng minh nghiệm
của hệ dần đến nghiệm dừng duy nhất này khi thời gian t ra vô cùng.
5. KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN
Luận án đã đ ạt được những kết quả chính sau đây:
• Đối với hệ Navier-Stokes-Voigt không ôtônôm: Chứng minh được sự tồn
tại duy nhất nghiệm yếu đối với bài toán Navier-Stokes-Voigt không
ôtônôm. Chứng minh được sự tồn tại và đánh giá số chiều fractal của
tập hút lùi; tính trơn của tập hút lùi, tính nửa liên tục trên của tập hút
lùi trong trường hợp 2 chiều. Đây là nội dung của Chương 2.
• Đối với hệ Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer không ôtônôm: Chứ ng
minh được sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu đối với bài toán Kelvin-
Voigt-Brinkman-Forchheimer không ôtônôm. Chứng minh được sự tồn
17
tại của tập hút lùi và sự tồn tại, tính ổn định của nghiệm dừng. Đây là
nội dung của Chương 3.
Các kết quả của luận án là mới, có ý nghĩa khoa học, và góp phần vào
việc hoàn thiện việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của các hệ phương
trình dạng Navier-Stokes trong cơ học chất lỏng.
Các kết quả chính của luận án đã được công bố trong 02 bài báo trên các

tạp chí chuyên ngành quốc tế, 01 bài đang gử i đăng và đã được báo cáo tại:
• Xêmina của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm
Hà Nội;
• Đại hội toán học toàn quốc lần thứ VIII, Nha Trang, 2013.
6. CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình được công bố và danh
mục tài liệu tham khảo, luận án gồm 3 chương: Chương 1 trình bày một s ố
kiến thức chuẩn bị cần thiết cho các chương sau; Chương 2 trình bày các kết
quả về sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu của hệ Navier-Stokes-
Voigt; Chương 3 trình bày các kết quả về sự tồn tại và dáng điệ u tiệm cận của
nghiệm yếu của hệ phương trình Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer.
18
Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tôi nhắc lại các không gian hàm cần dùng để
nghiên cứu, thiết lập các đ á nh giá cần thiết để xử lí số hạng phi tuyến trong
phương trình. Chúng tôi cũng trình bày các kết quả tổng quát về lí thuyết tập
hút lùi và một số kết quả bổ trợ được dùng trong các chương sau.
1.1. CÁC KHÔNG GIAN HÀM, TOÁN TỬ VÀ BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN
QUAN ĐẾN SỐ HẠNG PHI TUYẾN
1.1.1. Các không gian hàm
Để nghiê n cứu các hệ phương trình được đề c ập đến trong luận án, ta cần
dùng các không gian hàm sau (xem , chẳng hạn, [1, 47]).
Cho Ω là một tập mở trong R
n
với biên ∂Ω.
Ta kí hiệu L
p
(Ω), 1 ≤ p < +∞ là tập các hàm khả tích Leb e sgue bậc p
và L

∞
(Ω) là tập các hàm đo được sao cho esssup
Ω
|u(x)| < +∞. Chúng là các
không gian Banach với chuẩn
u
L
p
=


Ω
|u(x)|
p
dx

1/p
;
u
L
∞
= esssup
Ω
|u(x)|.
Đặc biệt, khi p = 2, L
2
(Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng
(u, v) =

Ω

u.vdx,
và chuẩn được kí hiệu là | · | := ·
L
2
= (u, u)
1/2
. Ta cũng có
W
m,p
(Ω) = {u ∈ L
p
(Ω) : D
j
u ∈ L
p
(Ω) với mọi |j| ≤ m}
19
là các không gian Banach với chuẩn
u
W
m,p
=



|j|≤m
D
j
u
p

L
p


1/p
.
Ta thường viết tắt W
m,2
(Ω) = H
m
(Ω), đây là không g ian Hilbert với tích vô
hướng
((u, v))
H
m
=

|j|≤m
(D
j
u, D
j
v).
H
m
0
(Ω) là bao đóng của không gian C
∞
0
(Ω) trong H

m
(Ω). Ta cũng thường
kí hiệu L
p
(Ω) = (L
p
(Ω))
n
, W
m,p
(Ω) = (W
m,p
(Ω))
n
, H
m
(Ω) = (H
m
(Ω))
n
, và
H
m
0
(Ω) = (H
m
0
(Ω))
n
để xét các hàm vectơ trong không gian n chiều.

Khi Ω là miền thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré, ta xét tích vô hướng và
chuẩn tương ứng trong H
1
0
(Ω) = (H
1
0
(Ω))
n
như sau
((u, v)) =

Ω
n

j=1
∇u
j
· ∇v
j
dx, u = (u
1
, . . . , u
n
), v = (v
1
, . . . , v
n
) ∈ H
1

0
(Ω),
u
2
= ((u, u)).
Đặt
V = {u ∈ (C
∞
0
(Ω))
n
: ∇ · u = 0}.
Kí hiệu H là bao đóng của V trong L
2
(Ω), và V là bao đóng của V trong
H
1
0
(Ω). Dễ thấy V ⊂ H ≡ H

⊂ V

, trong đó các phép nhúng trù mật và liên
tục. Ta dùng kí hiệu ·
∗
cho chuẩn trong V

, và ., . chỉ đối ngẫu giữa V và
V


. Các không gian trên đều là không gian Hilbert.
Bây giờ ta định nghĩa các không gian hàm phụ thuộc thời gian.
Giả sử X là không gian Banach thực với chuẩn  · 
X
và không gian đối
ngẫu của nó được kí hiệu là X

.
Định nghĩa 1.1. Không gian L
p
(0, T ; X), 1 ≤ p ≤ +∞, gồm tất cả các hàm
20
đo được ϕ : [0, T ] → X với chuẩn
i)ϕ
L
p
(0,T ;X)
:=


T
0
ϕ(s)
p
X
ds

1/p
< +∞ với 1 ≤ p < ∞,
ii)ϕ

L
∞
(0,T ;X)
:= esssup
0≤t≤T
ϕ(t)
X
< +∞.
Khi đó L
p
(0, T ; X) là một không gian Banach, và nó là phản xạ nếu 1 < p <
+∞. Không gian liên hợp của L
p
(0, T ; X) là L
q
(0, T ; X

) với 1/p + 1/q = 1.
Định nghĩa 1.2. Không gian C([0, T]; X) g ồm tất cả các hàm liên tục ϕ :
[0, T ] → X với chuẩn
ϕ
C([0,T ];X)
:= max
0≤t≤T
ϕ(t)
X
.
Khi đó C([0, T]; X) là một không gian Banach.
Định nghĩa 1.3. L
p

loc
(R; X) là không gian các hàm ϕ(s), s ∈ R với giá trị
trong X, khả tích địa phươ ng bậc p (theo nghĩa Bochner), tức là,

t
2
t
1
ϕ(s)
p
X
ds < +∞, với mọi t
1
, t
2
∈ R, t
1
≤ t
2
.
1.1.2. Các toán tử
Ta định nghĩa các toán tử liên quan đến các hệ phương trình được xét trong
luận án như sau.
Giả sử Ω là một miền trong R
n
thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré với biên
trơn.
Đặt A : V → V

là toán tử xác định bởi Au, v = ((u, v)). Tập xác định

của toán tử A là D(A) = {u ∈ V : Au ∈ H}. Dễ thấy, D(A) = H
2
(Ω) ∩ V và
Au = −P∆u với mọi u ∈ D(A), trong đó P là phép chiếu trực giao từ L
2
(Ω)
lên H.
Ta có, với mọi u ∈ D(A),
u ≤
1
λ
1/2
1
|Au|; |D
2
u| ≤ C|Au|; (1.1)
với λ
1
là hằng số trong bất đẳng thức Poincaré, nên có thể coi |A(·)| cũng xác
định một chuẩn trong V ∩ H
2
(Ω), tương đương với chuẩn trong H
2
(Ω).
21
Ta cũng định nghĩa các toán tử vi phân bậc phân A
s
như thông lệ, và đặt
V
s

:= D(A
s/2
) với tích vô hướng (u, v)
s
= (A
s/2
u, A
s/2
v) và chuẩn tương ứng
là u
s
= |A
s/2
u|. Khi đó, V
s
⊂ (H
s
(Ω))
n
và V
1
= V , V
0
= H.
Đặt B : V ×V → V

là toán tử xác định bởi B(u, v), w = b(u, v, w), trong
đó
b(u, v, w) =
n


j,k=1

Ω
u
j
∂v
k
∂x
j
w
k
dx,
và viết tắt B(u) := B(u, u). Dễ thấy, nếu u, v, w ∈ V , thì
b(u, v, w) = −b(u, w, v). (1.2)
Do đó
b(u, v, v) = 0, ∀u, v ∈ V. (1.3)
1.1.3. Các bất đẳng thức liên quan đến số hạng phi tuyến
Từ đây, ta dùng kí hiệu c để chỉ các hằng số đã biết. Giá trị của c có thể khác
ở các dòng khác nhau. Đầu tiên, ta nhắc lại một số bất đ ẳng thức nội suy cần
dùng để đánh giá số hạng phi tuyến.
Bất đẳng thức Ladyzhenskaya (xem, chẳng hạn [14]):
u
L
3
≤ c|u|
1/2
u
1/2
∀u ∈ V nếu n = 3;

u
L
4
≤





c|u|
1/2
|∇u|
1/2
, ∀u ∈ H
1
0
(Ω), nếu n = 2,
c|u|
1/4
|∇u|
3/4
, ∀u ∈ H
1
0
(Ω), nếu n = 3.
Bất đẳng thức Sobolev (khi n = 2) (xem, chẳng hạn [47]):
u
L
q
≤ Cu ∀u ∈ V ; 1 ≤ q < +∞.

u
L
∞
≤ C|u|
1/2
|Au|
1/2
∀u ∈ D(A).
Bất đẳng thức Gagliardo-Nirenberg (khi n=3) (xem, chẳng hạn [47]):
u
L
6/(3−2ε)
≤ C|u|
1−ε
u
ε
, ∀ 0 ≤ ε ≤ 1, u ∈ V.
22
Sử dụng các bất đẳng thức trên, đánh giá (1.1) cùng bất đẳng thức H¨older (sẽ
nhắc lại sau), ta có bổ đề sau.
Bổ đề 1.1. [47] Nếu n = 2, thì
|b(u, v, w)| ≤














c|u|
1/2
u
1/2
v|w|
1/2
w
1/2
, ∀u, v, w ∈ V,
c|u|
1/2
u
1/2
v
1/2
|Av|
1/2
|w|, ∀u ∈ V, v ∈ D(A), w ∈ H,
c|u|
1/2
|Au|
1/2
v|w|, ∀u ∈ D(A), v ∈ V, w ∈ H,
c|u|v|w|
1/2

|Aw|
1/2
, ∀u ∈ H, v ∈ V, w ∈ D(A),
(1.4)
và
|B(u)| ≤ C|u|
1/2
u|Au|
1/2
∀u ∈ D(A). (1.5)
Nếu n = 3, thì
|b(u, v, w)| ≤













c|u|
1/4
u
3/4
v|w|

1/4
w
3/4
,
c|u|
1/2
u
1/2
vw,
cuv|w|
1/2
w
1/2
,
cuvw,
∀u, v, w ∈ V. (1.6)
Đặc biệt,
|b(u, v, u)| ≤



√
2|u|uv nếu n = 2,
2
−1
|u|
1/2
u
3/2
v nếu n = 3,

∀u, v ∈ V. (1.7)
1.2. TẬP HÚT LÙI
Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số kết quả về tập hút lùi sẽ được sử
dụng trong luận án (có thể xem , chẳng hạn, trong [9]).
Giả s ử (X, d) là một không gian metric đủ. Nửa khoảng cách Hausdorff
dist
X
(·, ·) giữa hai tập con A, B của X được định nghĩa như sau
dist(A, B) = sup
x∈A
inf
y∈B
d(x, y).
Định nghĩa 1.4. Một quá trình trên không gian Banach X là một họ các
23
ánh xạ phụ thuộc hai tham biến {U(t, τ)} trong X có các tính chất sau:
U(t, r)U (r, τ) = U(t, τ) với mọi t ≥ r ≥ τ,
U(τ, τ) = Id với mọi τ ∈ R.
Định nghĩa 1.5. Quá trình {U(t, τ)} được gọi là liên tục nếu với mọi τ ∈ R,
t ≥ τ, U(t, τ)x
n
→ U(t, τ)x, khi x
n
→ x trong X.
Giả sử P(X) là họ các tập con bị chặn khác rỗng của X và D là một lớp
khác rỗng các tập được tham số hóa
ˆ
D = {D(t) : t ∈ R} ⊂ P(X).
Định nghĩa 1.6. Quá trình {U (t, τ)} được gọi là D-compact tiệm cận lùi nếu
với bất kì t ∈ R, bất kì

ˆ
D ∈ D, bất kì dãy τ
n
→ −∞, và bất kì dãy x
n
∈ D(τ
n
),
dãy {U (t, τ
n
)x
n
} là compact tương đối trong X.
Định nghĩa 1.7. Họ các tập bị chặn
ˆ
B ∈ D gọi là D-hấp thụ lùi đối với quá
trình U (t, τ) nếu với bất kì t ∈ R, bất kì
ˆ
D ∈ D, tồn tại τ
0
= τ
0
(
ˆ
D, t) ≤ t s ao
cho

τ≤τ
0
U(t, τ)D(τ) ⊂ B(t).

Tập hút lùi được định nghĩa như sau.
Định nghĩa 1.8. Họ
ˆ
A = {A(t) : t ∈ R} ⊂ P(X) gọi là một tập D-hút lùi
đối với {U(t, τ)} nếu
(1) A(t) là compact với mọi t ∈ R;
(2)
ˆ
A là bất biến, tức là
U(t, τ)A(τ ) = A(t), với mọi t ≥ τ;
(3)
ˆ
A là D-hút lùi, tức là
lim
τ→−∞
dist(U(t, τ)D(τ ), A(t)) = 0 với mọi
ˆ
D ∈ D và t ∈ R;
(4) Nếu {C(t) : t ∈ R} là một họ các tập đóng có tính chất D-hút lùi thì
A(t) ⊂ C(t) với mọi t ∈ R (tính cực tiểu).
Ta có định lí sau về sự tồn tại tập hút lùi.