bất đẳng thức có giải

1. Giả sử
0, 0a b≥ ≥
, a + b = 1.Chứng minh rằng:
a.
2 2
1
2
a b+ ≥
b.
3 3
1
4
a b+ ≥
Giải
Cho a≥ 0, b≤ 0, a + b = 1.
a) Chứng minh:
2 2
1
2
a b+ ≥
Ta có:
( )
2 2 2 2
1
1 2.
2
a b a b a b= + ≥ + ⇔ + ≥
b) Chứng minh:
3 3
1
4

a b+ ≥
Ta có:
( )
( )
2 2
3 3 2 2 2 2 2 2
2 2
1
2 42
a b
a b a b a ab b a b ab a b
a b
 
+
+ = + − + = + − ≥ + − ≥ ≥
 ÷
 ÷
 
+
2. Cho 3 số dương a ,b ,c sao cho
1 1 1
3
a b c
+ + =
.Chứng minh rằng :
(1 )(1 )(1 ) 8a b c+ + + ≥
Giải : Cho a, b, c > 0 và
1 1 1
3
a b c

+ + =
Ta có:
1 1 1
3
2 2 2
3 3 3 1abc ab bc ca a b c abc
a b c
+ + = ⇔ = + + ≥ ⇒ ≥
Chia 2 vế bất đẳng thức cần chứng minh cho abc ta được:
1 1 1 8
1 1 1 0
a b c abc
   
+ + + − ≥
   
   
Ta có:
VT=
1 1 1 1 1 1 7
1
a b c ab bc ca abc
+ + + + + + −

1 1 1 7 1 1 1
4 ( 3)do
ab bc ca abc a b c
= + + + − + + =

1 7
4 3

3
2 2 2
abc
a b c
≥ + −
(bất đẳng thức Cauchy).

3 7
4 ( 1)do abc
abc abc
≥ + − ≥

4
4 0 ( 1)do abc
abc
≥ − ≥ ≥
(đpcm)
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1.
3. Tìm giá trò nhỏ nhất của :
4 4 2 2
4 4 2 2
( , ) 2
x y x y x y
f x y
y x y x y x
 
= + − + + +
 ÷
 
với

, 0x y ≠
Giải
Tìm giá trò nhỏ nhất của: Đặt
x y
t
y x
= +
Điều kiện:
2t ≥
Suy ra:
•
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
x y x y
t t
y x y x
= + + ⇒ + = −
•
( )
4 4 4 4
2
2 4 2
2 2 4 2
4 4 4 4
x y x y
t t t
y x y x
− = + + ⇒ + = − +

Do đó f(x) trở thành :
( )
4 2 2
4 2 2 2
4 2
6 6
3
' 4 12 1
z t t t t
z t t t
z t t
= − + − − +
⇔ = − + +
= − +
Bảng biến thiên:
Suy ra:
( , ) 4f x y ≥ −
và khi x=-y thì f(x,y)= -4
Vậy: Min f(x, y) = -4
4. Giả sử x và y thì các số thay đổi thoả mãn :x > 0 , y > 0 và x+ y =1 .Hãy tìm giá trò nhỏ
nhất của biểu thức :
1 1
x y
P
x y
= +
− −
Giải
x > 0, y > 0 và x + y = 1. Tìm giá trò nhỏ nhất.
1 1

= +
− −
x y
P
x y
Ta có:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 2 1
'
3 3
1
2 1 2
3 3
3 2
' 0 2 2 1 2 1 8 12 6 1 0
1 1
2
8 8 2 0
2 2
x x x x
P P
x x
x x
P x x x x x x x
x x x x

− − +
= + ⇒ = −
−
−
= ⇔ − = + − ⇔ − + − =
 
⇔ − − + = ⇔ =
 ÷
 
Bảng biến thiên:
Vaäy
2
min
p =
khi
1
2
x y= =
5. Cho x ,y ,z >0 .Chöùng minh raèng :

3 2 3 2 3 2 2 2 2
2
2 2 1 1 1
y
x z
x y y z z x x y z
+ + ≤ + +
+ + +
Giải
Chöùng minh:

3 2 3 2 3 2 2 2 2
2 y
2 x 2 z 1 1 1
(x, y,z 0)
x y y z z x x y z
+ + ≤ + + >
+ + +
Ta coù:
3 2 3 2 3 2
3 2 3 2 3 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 y 2 y
2 x 2 z 2 x 2 z
x y y z z x
2 x y 2 y z 2 z x
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
.
x y y z z x 2 2 2
x y y z z x x y z
. . .
. .
+ + ≤ + +
+ + +
   
 
= + + ≤ + + + + + = + +
 ÷  ÷
 ÷
 

   
6. Chứng minh rằng với mọi x > 0, y > 0 ta luôn có
( ) ( )
( )
2
1 1 1x y xy+ + ≥ +
Giải
14.
Giải
15.
16.
Giải
17.
Giải
18.
Giải