Bất đẳng thức có lời giải hay

TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT “Vì chất lượng thật trong giáo dục”

10 – BÀI BẤT ĐẲNG THỨC VÀ HƯỚNG DẪN

1. Cho a,b,c là các số thực dương .Chứng minh:
3
2
a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + +
Hướng dẫn:
Ta đặt
2
2
2
y z x
a
x b c
x z y
y c a b
z a b
x y z
c
+ −

=

= +



+ −
 
= + ⇒ =
 
 
= +

+ −

=


nên BĐT
1 3
2 2
y z x x z y x y z
x y z
 
+ − + − + −
⇔ + + ≥
 ÷
 

2 . 2 . 2 . 6
x y y z z x x y y z z x
y x z y x z y x z y x z
   
 
⇔ + + + + + ≥ + + =
 ÷  ÷

 ÷
 
   
(đúng)
Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra
a b c
⇔ = =
2. Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn:
2 2 2
3x y z+ + =
.
Chứng minh :
3
xy yz zx
z x y
+ + ≥
Hướng dẫn:
Đặt
xy
a
z
yz
b
x
zx
c
y

=




=



=


với
, , 0a b c >
từ giả thiết
2 2 2
3x y z+ + =
3ab bc ca⇔ + + =

Và BĐT cần CM
⇔
CM BĐT
3a b c
+ + ≥
mặt khác ta có BĐT sau:
2 2 2
3( ) 3a b c ab bc ca a b c ab bc ca+ + ≥ + + ⇔ + + ≥ + + =
Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra
1x y z⇔ = = =
3. Cho x, y, z >0 thoả
1x y z+ + =

. Chứng minh:
1 4 9
36
x y z
+ + ≥

Hướng dẫn:
Từ giả thiết ta có thể đặt:
a
x
a b c
b
y
a b c
c
z
a b c

=

+ +


=

+ +


=


+ +

với a,b,c >0
583 -727 -TRẦN CAO VÂN - ĐÀ NẴNG*ĐT: 3 759 389 -3 711 165 thanhdat.edu.vn - 1 - GV: Nguyễn Văn Xê
TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT “Vì chất lượng thật trong giáo dục”
Nên BĐT
⇔
CM
4. 9. 36
a b c a b c a b c
a b c
+ + + + + +
+ + ≥

4. 4. 9. 9. 22
b c a c a b
a a b b c c
⇔ + + + + + ≥

4. 9. 4. 9. 2 .4. 2 .9. 2 4. .9. 22
b a c a c b b a c a c b
a b a c b c a b a c b c
     
⇔ + + + + + ≥ + + =
 ÷  ÷  ÷
     
(đúng)
Dấu “=” xảy ra
1
6

2
1
3
3
1
2
x
b a
y
c a
z

=


=


⇔ ⇒ =
 
=



=


4. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh:
( )( )( )xyz x y z y z x z x y≥ + − + − + −
Hướng dẫn:

Ta đặt
x b c
y c a
z a b
= +


= +


= +

với
, , 0a b c >
nên BĐT
⇔
CM BĐT
( )( )( ) 8a b b c c a abc+ + + ≥
mặt khác ta có
2 2 2
( )( )( ) 8 ( ) ( ) ( ) 0a b b c c a abc a b c b c a c a b+ + + − = − + − + − ≥
Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra
x y z
⇔ = =
5. Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1 .
Chứng minh :
1 1 1
1 1 1 1a b c
b c a

   
− + − + − + ≤
 ÷ ÷ ÷
   
Hướng dẫn:
Do
1abc
=
nên ta có thể đặt
x
a
y
y
b
z
z
c
x

=



=



=



với
, , 0x y z >
Nên BĐT có thể viết lại
1 1 1 1
x z y x z y
y y z z x x
 
  
− + − + − + ≤
 ÷
 ÷ ÷
  
 


⇔ ( )( )( )xyz x y z y z x z x y≥ + − + − + −
(đã CM ở VD4)
Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra
1a b c⇔ = = =
6. Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1 .
583 -727 -TRẦN CAO VÂN - ĐÀ NẴNG*ĐT: 3 759 389 -3 711 165 thanhdat.edu.vn - 2 - GV: Nguyễn Văn Xê
TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT “Vì chất lượng thật trong giáo dục”
Chứng minh :
3 3 3
1 1 1 3
( ) ( ) ( ) 2a b c b c a c a b
+ + ≥
+ + +
Hướng dẫn:

Ta đặt
1
1
1
a
x
b
y
c
z

=



=



=


với
, , 0x y z >
và do
1abc =
nên
1xyz =
Nên BĐT
2 2 2

3
2
x y z
y z z x x y
⇔ + + ≥
+ + +
mặt khác theo BĐT Cauchy- Schwarz ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2
x y z
y z z x x y x y z
y z z x x y
 
 
+ + + + + + + ≥ + +
 ÷
 
+ + +
 
2 2 2
3
3
3
2 2 2
xyz
x y z x y z
y z z x x y
 
+ +

⇔ + + ≥ ≥ =
 ÷
+ + +
 
Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra
1a b c
⇔ = = =

7. Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn:
2xyz x y z= + + +
.
Chứng minh :
3
2
x y z xyz+ + ≤
Hướng dẫn:
Từ
1 1 1
2 1
1 1 1
xyz x y z
x y z
= + + + ⇔ + + =
+ + +
Ta đặt
1 1 1
, ,
1 1 1
a b c

x y z
= = =
+ + +
với
, , 0a b c >

1 1 1
, ,
a b c b a c c a b
x y z
a a b b c c
− + − + − +
⇒ = = = = = =
Nên BĐT cần CM
⇔
CM BĐT
3
. . .
2
a b b c c a
b c c a c a a b a b b c
+ + ≤
+ + + + + +
Mặt khác ta có:
1
.
2
a b a b
b c c a a c b c
 

≤ +
 ÷
+ + + +
 

1
.
2
b c b c
c a a b b a c a
 
≤ +
 ÷
+ + + +
 

1
.
2
c a c a
a b b c c b a b
 
≤ +
 ÷
+ + + +
 
Nên
1 3
. . .
2 2

a b b c c a a b b c c a
b c c a c a a b a b b c a c b c b a c a c b a b
 
+ + ≤ + + + + + =
 ÷
+ + + + + + + + + + + +
 
Vậy BĐT luôn đúng
583 -727 -TRẦN CAO VÂN - ĐÀ NẴNG*ĐT: 3 759 389 -3 711 165 thanhdat.edu.vn - 3 - GV: Nguyễn Văn Xê
TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HĨA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT “Vì chất lượng thật trong giáo dục”
Dấu “=” xảy ra
2x y z⇔ = = =
8. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a
2
+b
2
+1≥ ab+a+b
a
2
+b
2
+c
2
+d
2
+e
2
≥ a(b+c+d+e)
a

3
+b
3
≥ ab(a+b)
a
4
+b
4
≥ a
3
b+ab
3
Hướng dẫn:
a) a
2
+b
2
+1≥ ab+a+b
⇔ 2a
2
+2b
2
+2≥ 2ab+2a+2b
⇔(a
2
-2ab+b
2
)+(a
2
-2a+1)+(b

2
-2b+1) ≥ 0
⇔( a-b)
2
+(a-1)
2
+(b-1)
2
≥ 0
Bất đẳng thức cuối đúng , suy ra : a
2
+b
2
+1≥ ab+a+b với mọi a,b
b) a
2
+b
2
+c
2
+d
2
+e
2
≥ a(b+c+d+e)
⇔ a
2
+b
2
+c

2
+d
2
+e
2
-a(b+c+d+e)≥ 0
⇔
0
4444
2
2
2
2
2
2
2
2
≥








+−+









+−+








+−+








+−
eae
a
dad
a
cac
a

bab
a
⇔
0
2222
2222
≥






−+






−+






−+







−
e
a
d
a
c
a
b
a
Bất đẳng thức cuối đúng , suy ra : a
2
+b
2
+c
2
+d
2
+e
2
≥ a(b+c+d+e)
c) a
3
+b
3
≥ ab(a+b) ⇔ a
3

+b
3
- ab(a+b) ≥ 0 ⇔ (a+b)
2
(a
2
-2ab+b
2
) ≥ 0
⇔ (a+b)
2
(a-b)
2
≥ 0
Bất đẳng thức cuối đúng , suy ra : a
3
+b
3
≥ ab(a+b)
d) a
4
+b
4
≥ a
3
b+ab
3
⇔ (a
4
- a

3
b )+(b
4
-ab
3
) ≥ 0 ⇔ a
3
(a- b )+b
3
(b-a) ≥ 0
⇔ (a- b )( a
3
- b
3
) ≥ 0 ⇔ (a- b )
2
( a
2
+ab+ b
2
) ≥ 0
⇔ (a- b )
2










+






+
4
3
2
2
2
bb
a
≥ 0
Bất đẳng thức cuối đúng , suy ra : a
4
+b
4
≥ a
3
b+ab
3

9. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) (a+b+c)
2

≥ 3(ab+bc+ca)
b) a
2
(1+b
2
)+b
2
(1+c
2
)+c
2
(1+a
2
)≥ 6abc
Hướng dẫn:
a) (a+b+c)
2
≥ 3(ab+bc+ca)
⇔ 2(a+b+c)
2
≥ 6(ab+bc+ca)
⇔ 2a
2
+2b
2
+2c
2
+4 ab+4bc+4ca - 6ab-6bc-6ca≥ 0
⇔ (a-b)
2

+(a-c)
2
+(b-c)
2
≥ 0
Bất đẳng thức cuối đúng, suy ra : (a+b+c)
2
≥ 3(ab+bc+ca)
b) a
2
(1+b
2
)+b
2
(1+c
2
)+c
2
(1+a
2
)≥ 6abc
⇔ a
2
+a
2
b
2
+b
2
+b

2
c
2
+c
2
+c
2
a
2
-6abc≥ 0
⇔ (a-bc)
2
+(b-ac)
2
+(c-ab)
2
≥ 0
583 -727 -TRẦN CAO VÂN - ĐÀ NẴNG*ĐT: 3 759 389 -3 711 165 thanhdat.edu.vn - 4 - GV: Nguyễn Văn Xê
TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HĨA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT “Vì chất lượng thật trong giáo dục”
Bất đẳng thức cuối đúng, suy ra : a
2
(1+b
2
)+b
2
(1+c
2
)+c
2
(1+a

2
)≥ 6abc
10. a) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện a+b=2 .
Chứng minh rằng: a
4
+b
4
≥ a
3
+b
3
b) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện a+b+c=3 .
Chứng minh rằng: a
4
+b
4
+c
4
≥ a
3
+b
3
+ c
3
Hướng dẫn:
a) a
4
+b
4
≥ a

3
+b
3
⇔ 2(a
4
+b
4
) ≥ ( a
3
+b
3
)(a+b)
⇔ (a-b)
2
0
4
3
2
2
2
≥








+







+
b
b
a
Xảy ra dấu đẳng thức khi a = b =
2
1
b) a
4
+b
4
+c
4
≥ a
3
+b
3
+ c
3
⇔3 ( a
4
+b
4
+c

4
)

≥ ( a
3
+b
3
+ c
3
)(a+b+c)
⇔
( ) ( ) ( )
0
4
3
24
3
24
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
≥









+






+−+








+







+−+








+






+−
a
a
cacc
c
bcbb
b
aba
Các bạn vào: vanxe67.violet.vn để xem nhiều chuyên
đề toán học hay.
583 -727 -TRẦN CAO VÂN - ĐÀ NẴNG*ĐT: 3 759 389 -3 711 165 thanhdat.edu.vn - 5 - GV: Nguyễn Văn Xê