Chứng minh phương trình có nghiệm

®Ò sè 02: -
Chøng minh ph¬ng tr×nh cã nghiÖm
®Ò sè 02: -
Chøng minh ph¬ng tr×nh cã nghiÖm
Câu 1: Chứng minh rằng các phương trình sau:
a) 2x
3
– 6x + 1 = 0 có ít nhất 3 nghiệm trên (-2; 2)
b) x
4
– 3x
2
+ 5x – 6 = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (1; 2)
c) x
2
sinx + xcosx + 1 = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0; π)
d) x
3
– 3x + 1 = 0 có ít nhất 3 nghiệm phân biệt.
e) 2xsinx + msin2x + 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi x.
f) x
3
+ x + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn -1.
g) x
5
– 3x – 7 = 0 luôn có nghiệm
h) cos2x = 2sinx – 2 có ít nhất hai nghiệm trong khoảng







−
π
π
;
6
.
i)
0216
3
=−++ xx
có nghiệm dương.
k) x
3
+ 1000x
2
+ 0,1 = 0 có ít nhất một nghiệm âm.
l) x
3
– 10000x
2
– 1/100 = 0 có ít nhất một nghiệm dương.
m) x
3
+ 2ax
2
+ bx + c = 0 có ít nhất 1 nghiệm, với mọi số thực a, b, c.
n) 2x
3

– 6x
2
+ 5 = 0 có 3 nghiệm ∈ (-1; 3)
o) x
4
– 3x
3
– 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm.
p) x
5
– 5x
3
+ 4x – 1 = 0 có 5 nghiệm phân biệt.
Câu 2: Cho 2a + 6b + 19c = 0, chứng minh rằng phương trình ax
2
+ bx + c = 0
có nghiệm x
0
∈






3
1
;0
.
Câu 3: Cho f(x) = ax

2
+ bx + c thỏa mãn 2a + 3b + 6c = 0.
a) Tính f(0), f(1), f(½) theo a, b, c.
b) Chứng minh rằng 3 số f(0), f(1), f(½) không thể cùng dấu.
c) CMR phương trinh f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (0; 1).
Câu 4: Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của
tham số m:
a) (1 – m
2
)x
5
– 3x – 1 = 0. b) (1 – m
2
)(x + 1)
3
+ x
2
– x – 3 = 0.
Câu 5: Giả sử hai hàm số y = f(x) và y = f(x + ½) đều liên tục trên đoạn [0; 1]
và f(0) = f(1). Chứng minh rằng phương trình f(x) – f(x + ½) = 0 luôn có
nghiệm trong đoạn [0; ½ ].
Câu 1: Chứng minh rằng các phương trình sau:
a) 2x
3
– 6x + 1 = 0 có ít nhất 3 nghiệm trên (-2; 2)
b) x
4
– 3x
2
+ 5x – 6 = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (1; 2)

c) x
2
sinx + xcosx + 1 = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0; π)
d) x
3
– 3x + 1 = 0 có ít nhất 3 nghiệm phân biệt.
e) 2xsinx + msin2x + 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi x.
f) x
3
+ x + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn -1.
g) x
5
– 3x – 7 = 0 luôn có nghiệm
h) cos2x = 2sinx – 2 có ít nhất hai nghiệm trong khoảng






−
π
π
;
6
.
i)
0216
3
=−++ xx

có nghiệm dương.
k) x
3
+ 1000x
2
+ 0,1 = 0 có ít nhất một nghiệm âm.
l) x
3
– 10000x
2
– 1/100 = 0 có ít nhất một nghiệm dương.
m) x
3
+ 2ax
2
+ bx + c = 0 có ít nhất 1 nghiệm, với mọi số thực a, b, c.
n) 2x
3
– 6x
2
+ 5 = 0 có 3 nghiệm ∈ (-1; 3)
o) x
4
– 3x
3
– 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm.
p) x
5
– 5x
3

+ 4x – 1 = 0 có 5 nghiệm phân biệt.
Câu 2: Cho 2a + 6b + 19c = 0, chứng minh rằng phương trình ax
2
+ bx + c = 0
có nghiệm x
0
∈






3
1
;0
.
Câu 3: Cho f(x) = ax
2
+ bx + c thỏa mãn 2a + 3b + 6c = 0.
a) Tính f(0), f(1), f(½) theo a, b, c.
b) Chứng minh rằng 3 số f(0), f(1), f(½) không thể cùng dấu.
c) CMR phương trinh f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (0; 1).
Câu 4: Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của
tham số m:
a) (1 – m
2
)x
5
– 3x – 1 = 0. b) (1 – m

2
)(x + 1)
3
+ x
2
– x – 3 = 0.
Câu 5: Giả sử hai hàm số y = f(x) và y = f(x + ½) đều liên tục trên đoạn [0; 1]
và f(0) = f(1). Chứng minh rằng phương trình f(x) – f(x + ½) = 0 luôn có
nghiệm trong đoạn [0; ½ ].
Created by Quang Bang - Teacher of Quynh Vinh secondary school Created by Quang Bang - Teacher of Quynh Vinh secondary school