tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG
KHOA SƯ PHẠM
#  "







SINH VIÊN THỰC HIỆN: NGUYỄN HÒA LỢI
LỚP: ĐH3A1

TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ
ĐỂ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ
NGHIỆM DUY NHẤT












AN GIANG
GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN : thạc sĩ HOÀNG HUY SƠN

M
M
M
ụ
ụ
ụ
c
c
c



l
l
l
ụ
ụ
ụ
c
c
c



N
N
N
ộ
ộ
ộ

i
i
i



d
d
d
u
u
u
n
n
n
g
g
g



t
t
t
r
r
r
a
a
a

n
n
n
g
g
g







L
L
L
ờ
ờ
ờ
i
i
i



n
n
n
ó
ó

ó
i
i
i



đ
đ
đ
ầ
ầ
ầ
u
u
u



0
0
0







T
T
T
í
í
í
n
n
n
h
h
h


c
c
c
ấ
ấ
ấ
p
p
p



t
t

t
h
h
h
i
i
i
ế
ế
ế
t
t
t
,
,
,
đ
đ
đ
ố
ố
ố
i
i
i



t
t

t
ư
ư
ư
ợ
ợ
ợ
n
n
n
g
g
g



n
n
n
g
g
g
h
h
h
i
i
i
ê
ê

ê
n
n
n



c
c
c
ứ
ứ
ứ
u
u
u
,
,
,
p
p
p
h
h
h
ư
ư
ư
ơ
ơ

ơ
n
n
n
g
g
g



p
p
p
h
h
h
á
á
á
p
p
p



n
n
n
g
g

g
h
h
h
i
i
i
ê
ê
ê
n
n
n



c
c
c
ứ
ứ
ứ
u
u
u
,
,
,
n
n

n
ộ
ộ
ộ
i
i
i



d
d
d
u
u
u
n
n
n
g
g
g



n
n
n
g
g

g
h
h
h
i
i
i
ê
ê
ê
n
n
n



c
c
c
ứ
ứ
ứ
u
u
u



1
1

1









D
D
D
ạ
ạ
ạ
n
n
n
g
g
g



1
1
1
:
:

:
D
D
D
ự
ự
ự
a
a
a



v
v
v
à
à
à
o
o
o



c
c
c
ô
ô

ô
n
n
n
g
g
g



t
t
t
h
h
h
ứ
ứ
ứ
c
c
c






2
2

2









B
B
B
à
à
à
i
i
i



t
t
t
ậ
ậ
ậ
p
p

p



á
á
á
p
p
p



d
d
d
ụ
ụ
ụ
n
n
n
g
g
g



7
7

7









D
D
D
ạ
ạ
ạ
n
n
n
g
g
g



2
2
2
:
:

:
T
T
T
ì
ì
ì
m
m
m



đ
đ
đ
i
i
i
ề
ề
ề
u
u
u



k
k

k
i
i
i
ệ
ệ
ệ
n
n
n



c
c
c
ầ
ầ
ầ
n
n
n



7
7
7







B
B
B
à
à
à
i
i
i



t
t
t
ậ
ậ
ậ
p
p
p

á
á
á
p
p
p



d
d
d
ụ
ụ
ụ
n
n
n
g
g
g



9
9
9







D
D
D
ạ
ạ
ạ
n
n
n
g
g
g



3
3
3
:
:
:
P
P

P
h
h
h
ư
ư
ư
ơ
ơ
ơ
n
n
n
g
g
g



p
p
p
h
h
h
á
á
á
p
p

p



đ
đ
đ
ồ
ồ
ồ



t
t
t
h
h
h
ị
ị
ị



2
2
2
9
9

9









B
B
B
à
à
à
i
i
i



t
t
t
ậ
ậ
ậ
p
p

p



á
á
á
p
p
p



d
d
d
ụ
ụ
ụ
n
n
n
g
g
g



3
3

3
1
1
1









D
D
D
ạ
ạ
ạ
n
n
n
g
g
g



4
4

4
:
:
:
P
P
P
h
h
h
ư
ư
ư
ơ
ơ
ơ
n
n
n
g
g
g



p
p
p
h
h

h
á
á
á
p
p
p



d
d
d
ù
ù
ù
n
n
n
g
g
g



t
t
t
í
í

í
n
n
n
h
h
h



đ
đ
đ
ơ
ơ
ơ
n
n
n



đ
đ
đ
i
i
i
ệ
ệ

ệ
u
u
u



3
3
3
9
9
9









B
B
B
à
à
à
i
i

i



t
t
t
ậ
ậ
ậ
p
p
p



á
á
á
p
p
p



d
d
d
ụ
ụ

ụ
n
n
n
g
g
g



4
4
4
1
1
1









D
D
D
ạ
ạ

ạ
n
n
n
g
g
g



5
5
5
:
:
:
P
P
P
h
h
h
ư
ư
ư
ơ
ơ
ơ
n
n

n
g
g
g



p
p
p
h
h
h
á
á
á
p
p
p



đ
đ
đ
á
á
á
n
n

n
h
h
h



g
g
g
i
i
i
á
á
á



5
5
5
1
1
1










B
B
B
à
à
à
i
i
i



t
t
t
ậ
ậ
ậ
p
p
p



á
á

á
p
p
p



d
d
d
ụ
ụ
ụ
n
n
n
g
g
g



5
5
5
3
3
3







K
K
K
ế
ế
ế
t
t
t



l
l
l
u
u
u
ậ
ậ
ậ
n
n

n



7
7
7
1
1
1









T
T
T
à
à
à
i
i
i

l
l
l
i
i
i
ệ
ệ
ệ
u
u
u



t
t
t
h
h
h
a
a
a
m
m
m

k
k
k
h
h
h
ả
ả
ả
o
o
o

7
7
7
2
2
2








LỜI NÓI ĐẦU
Nhằm giúp cho công tác dạy học ở trường phổ thông được tốt,giúp cho học

sinh nâng cao được trình độ đề tài là một nét phát thảo lớn các phương giải “tìm điều
kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất”.
Nội dung của đề tài chia ra
làm năm dạng:
Dang 1:Dựa vào công thức
Dạng 2:Tìm điều kiện cần
Dạng 3:Phương pháp đồ thị
Dạng 4:Phương pháp dùng tính đơn điệu
Dạng 5:Phương pháp đánh giá
Ứng với mỗi dạng được chia làm ba phần :Từ phần tóm tắt phương pháp giải
đến ví dụ minh hoạ cuối cùng là phần bài tập áp dụng.
Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệ
u tham khảo bổ ích cho các bạn sinh viên say mê
học toán.
Em xin gởi lời cảm ơn chân thành đến thầy chủ nhiệm khoa ,thầy Hồ Văn
Các,trong thời gian qua đã tạo mọi điều kiện cho em tham gia nghiên cứu đề tài.Em xin
gởi lời cảm ơn thầy Hoàng Huy Sơn đã hướng dẫn em trong thời gian nghiên cứu đề tài
.Và cuối cùng em xin gởi lời cảm ơn đến các thầy trong khoa sư phạm đã góp nhiều ý
ki
ến quý báo và giúp cho đề tài của em được nhiệm thu một cách tốt đẹp.
Mặc dù đã cố gắng hết sức để tài thành công mỹ mảng nhưng chắc chắn không
tránh khỏi những sai sót và khuyết điểm .Kính mong các thầy cô và các bạn sinh viên
đóng góp ý kiến để đề tài ngày càng hoàn thiện hơn,xứng đáng là tài liệu tham khảo bổ
ích.


Long Xuyên ngày 9 tháng 10 năm 2004
Tóm Tắt Nội Dung Nghiên Cứu
"  #

Kính thưa các thầy, trước hết em xin kính chúc các thầy dồi dào sức khỏe ! Em
xin gởi lời cảm ơn chân thành đến thầy chủ nhiệm khoa, thầy Hồ Văn Các , đã tạo
điều kiện cho em tham gia nghiên cứu đề tài. Em xin gởi lời cảm ơn đến thầy Hoàng
Huy Sơn trong thời gian qua đã hướng dẫn em nghiên cứu đề tài. Em xin gởi lời cảm
ơn đến các thầy trong hộ
i đồng khoa sư phạm đã tạo điều kiện để tài của em được
nghiệm thu.
Kính thưa các thầy ! Lĩnh vực toán sơ cấp có nhiều điểm lí thú, có những dạng
toán mà làm cho chúng ta suy nghĩ rất nhiều mới tìm ra lời giải đáp. Nếu không có
phương pháp suy nghĩ đúng đắn chắc chắn chúng ta khó mà tìm được đáp án đúng
hoặc đi lòng vòng quanh co. Một trong những dạng như thế là dạ
ng toán “Tìm điều
kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất”. Chính vì nhận thức được
điều đó mà em tham gia nghiên cứu vấn đề một cách thận trọng và tổng hợp hết các các
dạng của loại toán này. Nội dung được chia làm năm phần.Ứng với mỗi phần là một
dạng toán của đề tài. Trong mỗi phần được chia làm ba nội dung:tóm tắt phương pháp
giải, ví dụ minh h
ọa và bài tập áp dụng.
Dạng 1: Dựa vào công thức.
Đối với dạng này chúng ta chỉ cần thuộc công thức thì có thể giải được ngay
không cần suy nghĩ nhiều. Tuy nhiên, phải phát hiện đúng dạng mới áp dụng được.
Chúng ta cần nhớ các công thức: công thức gramme, công thức
,… Để
hiểu được phương pháp em đã đưa ra nhiều ví dụ minh họa dễ hiểu từ dễ đến khó. Sau
cùng là bài tập áp dụng để củng cố những kiến thức đã nêu. Nhìn chung phương pháp
này khá đơn giản đối với các bạn sinh viên học toán .
04
2
=− ps
Dạng 2: Tìm điều kiện cần

Đối với dạng này thì chúng ta quan tâm đến tính chất chẵn lẻ của hàm số. Nếu là
hàm chẵn thì đồ thị của nó đối xứng qua trục tung,còn là hàm số lẻ thì đồ thị của nó đối
xứng nhau qua góc tọa độ. Dựa vào tính chất này mà ta phát hiện ra điều kiện cần .
Cũng có khi chúng ta lại dựa vào điều kiện có nghiệm duy nhất của phương trình bậc
hai để tìm ra điều kiện c
ần. Sau khi đã tìm ra điều kiện cần bước tiếp theo ta thử lại xem
giá trị nào là giá trị tham số cần tìm. Phương pháp này có ưu điểm là giải quyết được
khá nhiều bài tập. Mặc dù vậy nó cũng phải là phương pháp tối ưu vì có hững bài ta chỉ
cần biện luận vài ba câu thì đã xong được bài toán. Chẳng hạn như phương pháp đồ thị
Dạng 3: Phương pháp đồ thị
Ưu điểm của phương pháp này là giải quyết nhanh gọn bài toán. Tuy nhiên, cần
phải biết vẽ đồ thị của từng biểu thức trong hệ phương trình. Sau đó dựa vào hình mà
biện luận. Như đã nói thì không có phuong pháp nào là tối ưu mỗi phương pháp trên
điều có ưu điểm và khuyết điểm. Có những bài toán mà cả ba phương pháp trên điều
khong giải được mà chúng ta phải dùng một phương pháp khác. Đó là phương pháp
dùng tính đơn điệu
Dạng 4: Phương pháp dùng tính đơn điệu

Trong phương pháp này ta lại khai thác tính chất đơn điệu của hàm số trên một
miền D đơn điệu nào đó. Sử dụng tính chất này ta sẽ thu được tính chất tuyệt vời mà
việc giải hệ trở nên đon giản đưa về hệ mà trong đó có một phương trình có dạng x=y.
Sau đó ta thay x hoặc y vào các phương trình còn lại để bện luận. Một phương khác
cũng không kém phần quan trọng là phươ
ng pháp đánh giá
Dạng 5:Phương pháp đánh giá

Nếu biết sử dụng nhuần nhuyễn các bất đẳng thức như: bất đẳng thức Cauchy,
bunnhiacopxki, becnouly,…và các bất đẳng thức khác thì ta sẽ giải được những bài
toán đặc biệt mà các phương pháp trên không giải được. Đối vơi dạng toán thường khó
phát hiện ra sớm nên có thể nói đây là phương pháp khó. Do thời gian hạn hẹp nên em

đưa ra những bài tập có hạn. Có những dạng đưa ra bài tập tương đối nhiều và c
ũng có
những dạng đưa ra bài tập tương đối ít. Phần bài tập áp dụng có những bài em tự suy
nghĩ ra mà không có trong sách nào cả vì muôn có nhiều bài tập cho được cân đối giữa
các phần. Tuy nhiên, không phải vì như vậy mà đưa ra những bài tập qua loa. Đề tài
còn phát triển được nhiều bài tập nhưng vì thời gian không cho phép nên em không thể
đưa ra hết các bài tập .Mặc dù em đã cố gắng hết sức để hoàn tất đề tài nhưng chắc chắ
n
không tránh khỏi khiếm khuyết. Hy vọng đề tài góp phần vào kho tàng tri thức toán
học, là một tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên toán năm thứ hai, các bạn học sinh
phổ thông và các giáo viên phổ thông trung học.
Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất-1
I.TÍNH CẤP THIẾT :
Như ta đã biết trong chương trình Toán phổ thông ta thường gặp
những dạng toán thường đòi hỏi chúng ta làm việc với những tham số
như giải và biện luận phương trình,bất phương trình,hệ phương
trình,hệ bất phương trình. Trong các dạng ấy ta đặc biệt quan tâm đến
dạng toán tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm
duy nhất.Đây là dạng toán hay và có nhiề
u lý thú trong cách giải.
Thông thường các biểu thức giải tích có trong hệ phương trình nó
ẩn dấu một tính nào đó.Ta cần phát hiện và khai thác tính chất ấy để
tìm ra mối quan hệ đặc biệt hoặc một ràng buộc đối với tham số, từ đó
tìm ra điều kiện cần. Đôi khi chúng ta dựa vào công thức hoặc tính chất
hình học đã biết để vẽ đồ thị của hàm,từ đó tìm ra lời giả
i cho bài toán ,
thậm chí có thể khảo sát tính đơn diệu của một biểu thức rồi tìm ra
được mối liên hệ để giải bài toán .Và có những bài toán không có cách
giải chung đòi hỏi chúng ta phải giải chúng bằng một cách nào đó và ta
gọi chúng là những hệ phương trình không mẫu mực.

II. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU :
Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
trong đó ta đi sâu vào các loại hệ phương trình sau:
1/ Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
2/ Hệ phương trình đối xứng loại 1
3/ Hệ phương trình đối xứng loại 2
4/ Hệ phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
5/ Hệ phương trình mũ – Logarit
6/ Hệ phương trình không mẫu mực
III. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU :
Dựa vào các bài tập trong các tài liệu tham khảo để tìm ra phương
pháp chung. Đối với loại toán này chung qui có một số phương pháp
cơ bản sau:
1. Dựa vào công thức
2. Tìm điều kiện cần của tham số sau đó thử lại
3. Phương pháp đồ thị
4. Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số
5. Phương pháp đánh giá một biểu thức
IV. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU :
Tìm cách giải đối với từng dạng và được tiến hành 3 phần:
Phần 1: phương pháp giải
Phần 2: Ví dụ
Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất-2
Dạng 1 : Dựa vào công thức

Nếu ta gặp được hệ cho dưới dạng
⎩
⎨
⎧
=

+
′
=
′
+
′
cbyax
cybxa

hoặc
⎩
⎨
⎧
=
+
=
m
p
s
csp
hoặc
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=+
dxbyax
dybyay

23
23
tức là cho dưới dạng hệ phương trình bậc nhất , hệ phương trình đối
xứng loại 1 ,hệ phương trình dối xứng loại 2 thì ta giải như sau:
- Đối với hệ phương trình nhất:
+ Tính D =
a
b
a
a
′′

+ Cho D 0 để tìm m m là giá trị cần tìm để hệ có nghiệm duy
nhất
≠
⇒
- Đối với hệ đối xứng loại 1 :
+ Đặt

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+=
=
≥−
yxs

xyP
ps 04
2
+ Tính S
2
– 4p = 0 ⇒ tìm được m,với giá trị m này là giá trị m cần tìm
để hệ có nghiệm duy nhất ( không cần thử lại)
- Đối với hệ phương trình đối xứng loại 2 :
Trừ từng vế của hai phương trình được phương trình mới và ghép một
trong hai phương trình của hệ để được một hệ phương trình
mới.Thông thường đối với hệ mới này ta sẽ dẫn đến giải hai hệ

phương trình,một trong hai hệ có dạng
⎩
⎨
⎧
=
=
yx
myxf 0),,(
( I )
Giải hệ (I) tìm m để hệ có nghiệm duy nhất,sau đó thay giá trị m này
vào hệ còn lại,nếu hệ này vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất trùng
với nghiệm của hệ (I) thì đó là giá trị cần tìm,ngược lại là không. Có khi
ta tìm m thuộc một đoạn hoặc một khoảng .Khi đó ta biến đổi hệ này để
đưa về hệ trong đó có một phương trình bậc hai hai ẩn x,y.Khi đó ,xem
x hoặc y là ẩ
n và tính
∆
theo ẩn đó.Từ đó định

∆
< 0 để hệ đã cho có
nghiệm duy nhất (so sánh với giá trị m đã tìm ở hệ (I) rồi rút ra kết
luận).
Ví dụ 1: Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất:
Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất-3

⎩
⎨
⎧
=
+
=+
45
3
myx
ymx

Giải
+ Ta có D =
m
m
1
5
= 5 – m
2

≠
0
⇔

m
≠
5±

Vậy với m
≠

5±
thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất
Ví dụ 2:
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨

⎧
=+++
=+++
=+++
=
−
++++
1
32
2
31
3
21

1

321
n
mxmxmx
n
mxmxmx
n
mxmxmx
n
n
mxmxmxmx
Giải

Ta có D =

= (n-1)m





0 m m . . . . . . . . . m
m 0 m . . . . . . . . . m
m m 0 . . . . . . . . . m
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
m m m . . . . . . . . .0
1 m m . . . . . . . . m
1 0 m . . . . . . . . . m
1 m 0 . . . . . . . . . m
. . . . . . . . . . . . . . . . .
.
1mm 0
Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất-4
= (-1)
n-1
. (n-1) . m . m
n-1
=( n-1) . (-1)
n-1

. m
n

≠
0
⇔ m
≠
0
Vậy với m 0 thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất.
≠
Ví dụ 3 : Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=++
+=+
2
1
22
mxyyx
myxxy
Giải
Đặt Đ/K S
⎩
⎨
⎧
=

+=
xyP
yxS
2
– 4p 0
≥
Hệ phương trình trở thành
⎩
⎨
⎧
+
=
+
+=
2
1
mpS
mSp


⇔

⎩
⎨
⎧
=
+=
1
1
S

mp
∨
⎩
⎨
⎧
+=
=
1
1
mS
p
Với
thỏa điều kiện S
⎩
⎨
⎧
=
+=
1
1
S
mp
2
– 4p 0
≥

⇔
1 – 4 (m+1) 0
≥
⇔

m
≤
-
4
3

Ö x,y là nghiệm của phương trình X
2
– X + m +1 = 0
Với
thỏa điều kiện S
⎩
⎨
⎧
+=
=
1
1
mS
p
2
– 4p 0
≥
⇔ m
-3 m 1
≤
∨
≥
Ö x, y là nghiệm của phương trình
Y

2
– (m+1)Y + 1 = 0
Để hệ có nghiệm duy nhất xảy ra các trường hợp sau:
a/
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
∆
<∆
0
1
0
2
m = -⇔
4
3
thỏa điều kiện
b/
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<
∆
=∆
0

1
0
2
m = 1 thỏa điều kiện ⇔
Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất-5
c/
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=∆
=∆
+
=
0
1
0
2
2
1
2

1 m
vô nghiệm
Vậy với m = -
4
3
hoặc m = 1 thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất
Ví dụ 4 : (I)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=+
axyyx
axyxy
2
2
Giải
(I)
⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−+−
=−+++
0)1)((
22)(

2
)(
yxyx
axyxyyxyx

⇔
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=−++
=+
=−+++
)(

22)(
2
)(
)(
1
22)(
2
)(
II
yx
axyxyyxyx
III
yx
axyxyyxyx
Giải hệ (II) :


⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=−+++
yx
axyxyyxyx
22)(
2
)(

⇔
⎩
⎨
⎧
=
=
0
0
x
y
∨
⎩
⎨
⎧
=
=+−
yx
xa
01)1(
(
∗
)
Hệ có nghiệm duy nhất
⇔
(
∗
) vô nghiệm
⇔
a = 1
Thay a = 1 vào hệ (III) ta được

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
1
2
1
S
p
vô nghiệm
Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất-6
Vì S
2
- 4p = 1 – 4.
2
1
< 0
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất
Ngược lại nếu giải (III) :
Ta có (III)
⇔
⎪
⎪
⎩
⎪

⎪
⎨
⎧
==+
=
+
=
Syx
P
a
xy
1
1
1

S
2
– 4p =
1
3
+
−
a
a
= 0
⇔
a = 3
Thay a = 3 vào hệ (II) ta được :

⎩

⎨
⎧
=
=
0
0
x
y
∨
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
yx
x
2
1

Vậy hệ đã cho có ít nhất hai nghiệm do đó không thỏa. Tóm lại a =
1 hệ đã cho có nghiệm duy nhất.
Ví dụ 5 :
⎪
⎨
(I)
⎪
⎩
⎧

+−=
+−=
axxxy
ayyyx
2
4
32
2
4
32
⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+−=
yx
ayyyx
2
4
32
(II) V (III)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++−++

+−=
1)(3
22
2
4
32
ayxyxyx
ayyyx
Giải hệ (II):(II)
⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=+−
yx
ayyy 0)5
2
(
⇔
⎩
⎨
⎧
=
=
0
0
x

y
∨
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=+−
yx
ayy 05
2
(
∗
)
Hệ đã cho có nghiệm duy nhất
⇔
(
∗
) vô nghiệm

⇔
= 25 – 4a < 0 ∆
⇔
a >
4
25

Giải hệ (III) :
(III)

⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+−+−+
+−=
)1(03
2
)3(
2
)2(
2
4
32
ayyxyx
ayyyx
Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất-7
Từ (1) ta có:
= -3y
x
∆
2
+ 6y + 9 – 4a .Xét tam thức bậc hai theo biến y
còn
y
∆
′
= 36 – 12a < 0

∀
a >
4
25
→
x
∆
< 0 ∀ a >
4
25

Vậy hệ (III) vô nghiệm
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất
⇔
a >
4
25

Bài tập:
1)
(tương tự ví dụ 4)
⎩
⎨
⎧
=+
+=++
mxyyx
mxyyx
2
2

22
2)
(Đặt S=x+y,P=xy,Đáp số:m=9/4)
⎩
⎨
⎧
=−++
=++++
022
02
2
xymyx
yxyxyx
3)
(đáp số :m=2)
⎩
⎨
⎧
+=−
=−++++
yxmxy
xyyyxx
)(2
0)1(2)1()1(
4)
(Đáp số:m=-3)
⎪
⎩
⎪
⎨

⎧
=+++
=−−+++++−+
0
024)(3)(2
22
222233
xyyxm
xyyxxyyxyxyx
5)
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+=
+=
y
a
yx
x
a
xy
2
2
2
2
2

2
(Đáp số:a
0
≠
)
6)
(Đáp số:b>4
]
[
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−+−
=+−−++−
03
022)(
223
22
xbyyy
byxyxyxyx

Dạng 2 : Tìm điều kiện cần

Cho hệ phương trình

⎪
⎪
⎪

⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
∈∈
∈
0),,(
0),,(
,
myxF
myxG
y
Dy
x
Dx
m
Dm
Để giải loại toán này ta phải xem trong biểu thức F(x,y,m) có tính
đối xứng,tính chẵn lẻ hay không tức là biểu thức F(x,y,m) không thay
đổi khi ta thay đổi vị trí của x và y hay khi đồng thời thay x bằng –y và
thay y bằng –x,hoặc ta thay x bởi –x hoặc thay y bởi –y, Biểu thức
F(x,y,m) không thay đổi.
Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất-8
* Phương pháp giải: Giả sử hệ có nghiệm duy nhất ( được biểu diễn
bằng điểm M) , do tính chất đối xứng của biểu thức nên hệ còn có
nghiệm M1 đối xứng với M.

Do tính duy nhất nghiệm nên M
≡
M1 . Từ đó ta tìm được điều
kiện cần của m ( m
∈
D
m
)
+ Với m1
∈
Dm (ta xét cụ thể) ta giải hệ phương trình đơn giản
không còn giá trị m1 hoặc có m1 nhưng hệ đơn giản, từ đó nhận xét
với giá trị m1 đó thì bài toán được thỏa mãn không. Nếu thỏa thì giá trị
m1 đó là điều kiện cần và đủ để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Nếu m1 không thỏa được bài toán thì tiếp tục xét m2
∈
Dm. Tương
như vậy đến khi nào ta xét hết các giá trị m
∈
Dm thì dừng.
Kết hợp 2 bước trên ta kết luận bài toán. ( Có ưu điểm giải được
nhiều loại hệ phương trình).
Ví dụ 1 :

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
++=+

=+
axyx
x
yx
2
2
1
22
(I)
- Điều kiện cần: Dễ thấy (x,y) là nghiệm của (I) thì (-x,y) cũng là
nghiệm của (I). Do tính duy nhất nghiệm nên suy ra x = - x
x = 0 .
Khi đó hệ trở thành:
⇒

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=
=
ay
y
1
1
2
⇔
⎩
⎨

⎧
=
=
1
0
y
a

∨
⎩
⎨
⎧
−
=
=
1
2
y
a

-Điều kiện đủ:
+Với a=0 ta có hệ phương trình

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
+=+

)1(1
22
)2(
2
2
yx
xyx
x

Từ (1)

⇒
x

≤
1,
y

≤
1

x
x
≥
2
,
x
2
y
≥

Từ (2)
⇒

x
2
= y

x
= x
2
(3)
Từ (1) , (2) , (3)
⇒
. Vậy a=0 là một giá trị cần tìm
⎩
⎨
⎧
=
=
0
1
x
y
+ Với a = 2 ta có hệ phương trình
Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất-9

⎪
⎩
⎪
⎨

⎧
=+
++=+
1
22
2
2
2
yx
xyx
x
(II)
Hệ (II) có ít nhất 2 nghiệm (-1,0) , (1,0) do đó a=2 không thỏa.
Vậy a=0 thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
Ví dụ 2 :

(I)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
−=−
ayx
yx
2
3
2
sin

- Điều kiện cần : Dễ thấy (x,y) là nghiệm của (I) thì (x,-y) cũng là
nghiệm của (I) , do tính duy nhất nghiệm nên y = -y
⇒
y = 0 hệ
phương trình trở thành x = a = -3
- Điều kiện đủ: với a = -3 ta có hệ phương trình:

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=+
−=−
3
2
3
2
sin
yx
yx
⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
−=+
)1(0

2
sin
2
)2(3
2
yy
yx

y
2

≥
0 , sin
2
y 0 từ (1)
⇒
y = 0
≥
Do đó hệ (I) có nghiệm duy nhất (-3,0)
Ví dụ 3 :
(I)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++
=++
ayx
ayx

2
)1(
2
22
)1(
- Điều kiện cần : Dễ thấy (x,y) là nghiệm của (I) thì (y,x) cũng là
nghiệm của (I) . Do tính duy nhất nghiệm nên x = y .
Khi đó (I) trở thành 2x
2
+ 2x + 1 – a = 0 ( )
∗
(I) có nghiệm duy nhất thì Ĩ) có nghiệm duy nhất

⇔ = 1 – 2 + 2a = 0 ∆
′
⇔
a = 1/ 2
- Điều kiện đủ : Với a = 1/ 2 ta có hệ phương trình

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=++
=++
2
1

2
)1(
2
2
1
22
)1(
yx
yx

⇔

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=++
yx
yy 0
2
1
2
2
2
⇔ x = y = - 1/ 2

Vậy a = 1/ 2 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Bài tập tương tự :
Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất-10
1/
⎩
⎨
⎧
+
=++
=+
2
2)(
mxyyx
myxxy

2/

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=+
=+
=++
azxyz
bzxyz
zyx

2
4
222
3/

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+−−+=
++−−=
ayxyxy
axyxyx
2
2
)(
23
2
)(
4/
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
++=−++−
=+−−

≤≤−
56
2
3)223()223(
0
2
)65
2
(
2
06
xxa
yy
xaay
x

5/

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+−=
+−=
mxxxy
myyyx
2
4
32

2
4
32
6/
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=−+
=+
xyaax
yxtg
sin1
2
1
22

7/
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=+
=+
xyax
yx
cos)1(
1

22
sin

8/
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+++
=+
ayx
ayx
21
3

9/

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++
=+
mxyyx
myx
22
10/

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−++−
=−++−
yaxax
xayay
3
2
)12(
2
3
2
)12(
2
Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất-11
11/
()
[
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+=+−+
=+−−++

]
=
−
+
+
+
−
xazyx
xyazayx
zyxxyyxz
2
22
)1(
2
01)1ln(1)
2
sin(
0)sin()2()cos(

12/
(
)
(
)
(
)
(
)
⎪
⎪

⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+=−+++−++
+=−++−−++
)
4
sin(2cos62sin62
)
4
cos(2sin62cos62
π
π
amaxyayx
amaxyayx

13/
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=+−
=

++
++
11
2
3
2
1
2
1
xay
a
xx
yx

14/
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+−=−
=+
)1(22
22
mxy
y
x
myx

15/

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=+
−=+
)1(lg
2
lglglg
)1(lg
2
lglglg
ymxyx
xmyyx
16/
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−+=+
=+
xyxa
yx
1)1
4
(
1

22

17/

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=+
=+
5
22
2cos
ayx
xy

Hướng dẫn giải
1/
⎩
⎨
⎧
+
=
++
=+
2
2)(
mxyyx
myxxy

(I)
Điều kiện cần: Dễ thấy (x,y) là nghiệm của (I) thì (y,x) cũng là nghiệm
của (I).Do tính duy nhất nghiệm nên x = y.Khi đó (I) trở thành
Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất-12


⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=+
=
22
2
3
mxx
mx
⇔

⎩
⎨
⎧
=
=
1
1
x
m

∨
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
2
22
x
m
∨

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=
−=
2
22
x
m

Điều kiện đủ:
+ Với m=1 ta có hệ phương trình

⎩

⎨
⎧
=
++
=+
3
2)(
xyyx
yxxy

⇔

⎩
⎨
⎧
=
+
=
1
2
yx
xy
∨

⎩
⎨
⎧
=
=+
1

2
xy
yx
. Hệ
⎩
⎨
⎧
=
=
+
==
Syx
Pxy
1
2
vô nghiệm do S
2
-4p = 1-4.2 < 0
. Hệ
⎩
⎨
⎧
=
=
==+
pxy
Syx
1
2
có nghiệm duy nhất x = y = 1

Do đó m = 1 là giá trị cần tìm
+ Với m = -2
2
ta có hệ phương trình
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+−=++
−=+
222
24)(
xyyx
yxxy

Đặt S = x + y
P = xy Đ/K : S
2
– 4p 0
≥
Hệ trở thành
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+−=+
−=
222

24
pS
Sp
⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
−=
2
22
S
p
∨

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=
=
22
2
S
p

. Hệ

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
−=
2
22
yx
xy

⇔

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+−=
++=
2211
2211
x
y

∨
⎪
⎩
⎪

⎨
⎧
++=
+−=
2211
2211
x
y

Vậy m = -2
2
không thỏa
+ Với m = 2
2
ta có hệ phương trình

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=++
=+
222
24)(
xyyx
yxxy

⇔

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=
2
22
yx
xy

∨
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=
22
2
yx
xy

Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất-13
. Hệ
⎪
⎩
⎪

⎨
⎧
==+
==
Syx
pxy
2
22
vô nghiệm S
2
– 4p = 4 - 8
2
< 0

. Hệ
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
==+
==
Syx
pxy
22
2
có nghiệm duy nhất x = y =
2

Vậy với m = 1 hoặc m = 2

2
thì hệ đã cho có
nghiệm duy nhất
Cách 2 : Đặt S = x + y
p = xy S
2
– 4p 0
≥
Hệ (I) trở thành
⎩
⎨
⎧
+
=
+
=
2
2
mpS
mSp

⇔

⎩
⎨
⎧
=
=
mS
p 2

∨
⎩
⎨
⎧
=
=
2S
mp

+ Với
thỏa điều kiện S
⎩
⎨
⎧
=
=
mS
p 2
2
– 4p 0
≥

⇔
m
2
– 8 0
≥
⇔
m
≤

-2
2
m 2
∨
≥
2


x , y là nghiệm của phương trình X
→
2
– mX + 2 = 0
+ Với
⎩
⎨
⎧
=
=
2S
mp
thỏa điều kiện S
2
– 4p 0 ⇔ m 1
≥
≤
Hệ đã cho có nghiệm duy nhất xảy ra các trường hợp sau:
a/
⎪
⎩
⎪

⎨
⎧
<
∆
=∆
0
1
0
2
⇔
⎩
⎨
⎧
>
±=
1
22
m
m

⇔
m = 2
2

b/

⎪
⎩
⎪
⎨

⎧
=∆
<∆
0
1
0
2
⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<<−
=
2222
1
m
m

⇔
m = 1
c/
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪

⎪
⎪
⎨
⎧
=∆
=∆
=
0
1
0
2
21.2
2 m
⇔
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
−=
=
1
22
22
2
m

m
m
m
vô nghiệm
Vậy với m=1 hoặc m = 2
2
thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất
Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất-14
2/
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
+
=+
=++
a
z
xy
z
bzxyz
zyx
2
4
222
(I)

Điều kiện cần : Dễ thấy (x,y,z) là nghiệm (I) thì (-x,-y,z) cũng là nghiệm
của (I) . Do tính duy nhất nghiệm nên x = -x , y = -y
x = y = 0 ⇔
Khi đó hệ trở thành
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
==
=
baz
z 4
2
⇔

⎩
⎨
⎧
==
=
−===
2
2
baz
baz

Điều kiện đủ:
+ Với a = b = 2 ta có hệ phương trình

⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
+
=+
=++
2
2
2
4
222
zxyz
zxyz
zyx
⇔

⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪

⎨
⎧
=+
=−
=++
)1(2
)2(0)1(
)3(4
222
zxyz
zzxy
zyx
Tứ (1)
z
⇒
≠
0
• Nếu x = 0 y = 0 , z = 2
⇒
• Nếu y = 0 x = 0 , z = 2
⇒
• Nếu z = 1

⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=

=+
1
3
22
xy
yx
⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=+
1
5
xy
yx
(II)
∨
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
−=+
1
5
xy

yx
(III)
Hệ (II) và (III) luôn có nghiệm do S
2
– 4p > 0
Do đó hệ đã cho ngoài nghiệm (0,0,2) còn có nghiệm
(x,y,1)
Vậy a = b = 2 không thỏa
+ Với a = b= -2 ta có hệ phương trình:


⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=+
−=+
=++
2
2
2
4
222
zxyz
zxyz

zyx
Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất-15

⇔
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
−=+
=−
=++
)1(2
)2(0)1(
)3(4
222
zxyz
zxyz
zyx

Từ (1)
z
⇒
≠
0
• Nếu x = 0 y = 0 , z = -2

⇒
• Nếu y = 0 x = 0 , z = -2
⇒
• Nếu z = 1
⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=
=+
3
3
22
xy
yx
⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=
−=+
3
3
2
)(
xy

yx
vô nghiệm
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (0,0,-2)
Vậy với a = b = -2 hệ đã cho có nghiệm duy nhất
3/

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+−−+=
++−−=
ayxyxy
axyxyx
22
2
)(
23
2
)(

⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+−−++
=++−−+

032
22
032
22
axyxyyx
axyxyyx
(I)
Điều kiện cần: Dễ thấy (x,y) là nghiệm (I) thì (-x,y) cũng là nghiệm của
(I) . Do tính duy nhất nghiệm nên x = -x
x = 0.
⇒
Khi đó hệ trở thành y
2
- 3y + a = 0 (*).Hệ có nghiệm duy nhất thì (*) có
nghiệm duy nhất
⇔
a = 9/4
Điều kiện đủ:
+ Với a = 9 /4 ta có hệ phương trình

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=+−−++
=++−−+
)1(0

4
9
32
22
)2(0
4
9
32
22
xyxyyx
xyxyyx

⇒
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=−
=++−−+
024
0
4
9
32
22
xxy
xyxyyx

Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất-16
⇒
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=−
=++−−+
0)12(2
0
4
9
32
22
yx
xyxyyx

⇒
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=

=+−
0
0
4
9
3
2
x
yy
∨

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=+−+−+
2/1
0
4
9
2
1
.3
2
1
.2

4
1
2
y
xxx

⇒
⎩
⎨
⎧
=
=
0
2/3
x
y

∨
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=+
2/1
01
2
y
x

⇔

⎩
⎨
⎧
=
=
0
2/3
x
y
Vậy với a = 9 /4 thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất.

4/
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
++=−++−
=+−−
≤≤−
56
2
3)223()223(
0
2
)65

2
(
2
06
xxa
yy
xaay
x
(I)
Điều kiện cần : Dễ thấy (x,y) là nghiệm (I) thì (x,-y) cũng là nghiệm của
(I) . Do tính duy nhất nghiệm nên y = -y
y = 0 .Khi đó ta có
⇒


⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⎢
⎢
⎣
⎡

=+++
=+−
=
≤≤−
0336
2
065
2
0
06
axx
ax
x
x
Với x = 0
a = -1
⇒
Với a = 3
x
⇒
2
+ 6x + 12 = 0 vô nghiệm a = 3 không phải là điều
kiện cần
⇒
Với a = 2
⇒
x
2
+ 6x + 9 = 0
⇔

⎩
⎨
⎧
−=
=
3
0
x
y

Điều kiện đủ:
• Với a = -1 ta có hệ phương trình
Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất-17

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
++=++−
=−
≤≤−
26
2
)223()223(
0
2
12

2
06
xx
yy
xy
x
(II)
Theo bất đẳng thức Cô-si
2)223()223( ≥++−
yy

f(x) = x
2
+ 6x +2 với x
∈

[
]
0,6
−

f’(x) = 2x + 6 = 0
⇔
x = -3




Bảng biến thiên:

X -6 -3 0
f(x) - +
f’(x) 2


x
2
+ 6x + 2 2
≤
Do đó (II)
⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++
=++−
226
2
2)223()223(
xx
yy


⇔
⎩

⎨
⎧
=
=
0
0
x
y
∨
⎩
⎨
⎧
−=
=
6
0
x
y
* Với
thay vào hệ (I) thấy thỏa
⎩
⎨
⎧
=
=
0
0
x
y
* Với

thay vào hệ (I) thấy không thỏa
⎩
⎨
⎧
−=
=
6
0
x
y
Vậy
là nghiệm duy nhất
⎩
⎨
⎧
=
=
0
0
x
y




2
2
-7
Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất-18
Với a = 2 ta có hệ phương trình

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
++=++−
=
≤≤−
116
2
)223()223(
0
2
06
xx
yy
y
x

⇔
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
⎩
⎨
⎧
−=
=
3
0

x
y
Vậy với a = 2 hoặc a = -1 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất
5/ (I)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+−=
+−=
mxxxy
myyyx
2
4
32
2
4
32
Điều kiện cần : Dễ thấy (x,y) là nghiệm (I) thì (y,x) cũng là nghiệm của
(I). Do tính duy nhất nghiệm nên x = y.Khi đó x
3
–5x
2
+mx = 0 (1)
⇔ (*)
⎢
⎣
⎡
=+−

=
05
0
2
mxx
x
(1) có nghiệm duy nhất
⇔
(*) vô nghiệm
⇔
m > 25/4
Điều kiện đủ:
+ Với m>25/4 ta có:
(I)
⇔
()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=++−−+−

+−=
0
2
33
2
)(
2
4
32
myyyxxyx
myyyx

(II) (I
II)
⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+−=
yx
myyyx
2
4
32
∨
⎪
⎩

⎪
⎨
⎧
=++−−+
+−=
0
2
3)3(
2
2
4
32
myyyxx
myyyx
Giải (II):
(II)
⇔

⎩
⎨
⎧
=
=
0y
xy

∨
Vô nghiệm

⎪

⎩
⎪
⎨
⎧
=+−
=
05
2
myy
xy
⇔

⎩
⎨
⎧
=
=
0
0
x
y
Giải (III) : Xét phương trình bậc hai đối với x
x
2
+ x(y-3) + y
2
– 3y +m = 0 (*) có
Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất-19

x

∆
= -3y
2
+ 6y + 9 – 4m

y
∆
′
= 9 + 3(9 – 4m) = 36 – 12m < 0 ∀ m > 25/4.

< 0
⇒
x
∆
∀
m > 25/4. (*) vô nghiệm
⇒

hệ III vô nghiệm .
⇒
Vậy với m > 25/4 thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất.
6/
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=−+
=+
xyaax

yxtg
sin1
2
1
22
(I)
Điều kiện cần : Dễ thấy (x,y) là nghiệm (I) thì (-x,y), cũng là nghiệm của
(I) . Do tính duy nhất nghiệm nên x = -x
x = 0 . Khi đó hệ trở
thành:
⇒


⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=
=
1
1
2
ay
y
⇔

⎩
⎨
⎧

=
=
1
2
y
a

∨
⎩
⎨
⎧
−=
=
1
0
y
a
Điều kiện đủ:
+ Với a = 2 ta có hệ phương trình:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++
=+
)1(1sin
2
2
)2(1

22
yxx
yxtg

Từ (2)

⇒
1≤y
,
tgx

≤
1
Từ (1) ta có : 2x
2
+
xsin
+ 1 1
≥
Còn hàm f(y) = y là hàm đồng biến trên [ -1,1 ]
f(y)
f(1) = 1
≤
Từ (1)
x = 0 Khi đó ta có hệ y = 1
⇒
⎪
⎩
⎪
⎨

⎧
=
=
1
1
2
y
y
⇒
Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( 0,1 ) với a = 2
+ Với a = 0 ta có hệ phương trình :

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=+
)3(sin1
)4(1
22
xy
yxtg

Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất-20
Dễ thấy
là nghiệm của hệ
⎩
⎨

⎧
=
−=
π
kx
y 1
Vậy hệ có vô số nghiệm
a = 0 không thỏa
⇒
Vậy a = 2 thì hệ có nghiệm duy nhất.
7/
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=+
=+
xyax
yx
cos)1(
1
22
sin
(I)
Điều kiện cần : Dễ thấy (x,y) là nghiệm của (I) thì (-x,y) cũng là nghiệm
của (I) . Do tính duy nhất nghiệm nên x = -x
x = 0 . Khi đó hệ trở
thành:
⇒

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=
=
1
1
2
ya
y
⇔

⎩
⎨
⎧
=
=
1
2
y
a

∨
⎩
⎨
⎧
−=

=
1
0
y
a
Điều kiện đủ:
+ Với a = 0 ta có hệ phương trình:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=+
)1(0cos
)2(1
22
sin
xy
yx

Ta thay
là nghiệm của hệ.Do dó hệ có vô số nghiệm
⎩
⎨
⎧
=
−=
π
2

1
kx
y

a = 0 không thỏa
⇒
+ Với a = 2 ta có hệ phương trình :

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=+
=+
)3(cos)1(2
)4(1
22
sin
xyx
yx

Từ (4)

⇒
1sin
≤
x
,
1≤y

Từ (3) ta có : cosx
≤
1
Do đó cosx + y
≤
1 + 1 = 2
Còn 2(
x
+1 ) 2
≥
Do đó , từ (3)

⇒
⎩
⎨
⎧
=
=
0
1
x
y
Vậy a = 2 thì hệ có nghiệm duy nhất.