Sáng kiến kinh nghiệm sử dung phương trình tham số của đường thẳng để giải một số bài toán không gian

Nguyễn Chơn Ngôn-THPT TX Quảng Trị
A. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
-Từ năm 2008, sách giáo khoa lớp 12 mới không sử dụng khái niệm “phương trình tổng
quát của đường thẳng” trong không gian. Việc thay đổi này đặt ra vấn đề: các bài toán
liên quan đến đường thẳng phải giải quyết như thế nào để có được sự tiện dụng, dễ hiểu
cho học sinh.
- Hầu hết học sinh lớp 12 đều có thể chuyển thành thạo một phương trình đường thẳng
từ dạng chính tắc sang dạng tham số. Tìm một véctơ chỉ phương và một điểm trên
đường thẳng là một vấn đề đơn giản đối với học sinh lớp 12.
- Các bài toán liên quan đến đường thẳng trong không gian ở các đề thi tốt nghiệp
THPT và đại học, cao đẳng là phổ biến. Hầu như năm nào cũng gặp dạng toán này.
Chính vì những lý do trên, tôi chọn đề tài “SỬ DỤNG PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG
THẲNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÔNG GIAN” nhằm giúp học sinh tránh được những khó
khăn gặp phải khi giải một số bài toán không gian liên quan đến đường thẳng.
NỘI DUNG ĐỀ TÀI.
1) Chuẩn bị kiến thức:
- Học sinh biết cách chuyển một phương trình đường thẳng từ dạng chính tắc về dạng
tham số
- Biết tính tích có hướng của 2 vectơ
- Đọc được một điểm trên đường thẳng và một vectơ chỉ phương của đường thẳng khi
biết phương trình tham số hoặc phương trình chính tắc của nó.
- Tìm được một véc tơ pháp tuyến khi biết phương trình tổng quát của mặt phẳng
2)Quy trình giải một bài toán theo phương trình tham số
B1: Viết phương trình các đường thẳng đã cho dưới dạng tham số
B2: Gọi điểm M có tọa độ theo một tham số nằm trên đường thẳng
B3: Sử dụng các giả thiết của bài toán để tìm ra tham số, dẫn đến tìm được M
B4: Trả lời kết quả bài toán
3) Một số dạng toán thường gặp:
- 1 -
Nguyễn Chơn Ngôn-THPT TX Quảng Trị

SỬ DỤNG PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÔNG GIAN

I. Dạng toán viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường chéo nhau .
Bài toán : Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng
1 2
7 3 9 3 1 1
: , :
1 2 1 7 2 3
x y z x y z
d d
− − − − − −
= = = =
− −
.
a) Chứng minh d1 và d2 chéo nhau
b) Viết phương trình đường vuông góc chung.
Lời gải:

( )
( )
1 2 1 2
1 2
1 2
M(7;3;9) N(3;1;1)
) , 8;4;16
(1;2; 1) ( 7;2;3)
4; 2; 8 , . 168 0
qua qua
a d d u u

vtcpu vtcpu
MN u u MN
 
 
 
=
 
 
− −
 
 
 
= − − − ⇒ = − ≠
 
ur uur
ur uur
uuuur ur uur uuuur

Suy ra d1 và d2 chéo nhau
b)
Cách1:
+ Gọi d là đường vuông góc chung của d
1
và d
2
. Do d vuông góc với cả hai
đường thẳng nên có một vectơ chỉ phương là
( )
1 2
, 4 2;1;4u u u

 
= =
 
uur ur uur
.
+Mặt phẳng (d1,d) qua M(7;3;9) và có VTPT
1 1
, 12(3; 2; 1)n u u
 
= = − −
 
ur ur uur
nên có
phương trình 3(x – 7) – 2(y – 3) – 1(z – 9) = 0
⇔
3x – 2y – z – 6 = 0
+Mặt phẳng (d2 , d) qua N(3;1;1) và có VTPT
2 2
, 4(5;34; 11)n u u
 
= = −
 
uur uur uur
nên có
phương trình 5(x – 3) + 34(y – 1) – 11(z – 1) = 0
⇔
5x + 34y –11 z –38 = 0 .
+ Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (d1,d) và (d2 , d) nên các điểm
thuộc d có toạ độ thoả mãn hệ
3 2 6 0

5 34 11 38 0
x y z
x y z
− − − =


+ − − =

. Cho z = 0 ta có
5
2
3
4
x
y

=




=


nên d có phương trình tham số
5
2
2
3
4

4
x t
y t
z t

= +



= +


=



- 2 -
Nguyễn Chơn Ngôn-THPT TX Quảng Trị
Cách 2:

1 2
7 3 7 '
3 2 , 1 2 '.
9 1 3 '
x t x t
d y t d y t
z t z t
= + = −
 
 

= + = +
 
 
= − = +
 


( )
( )
1
2
Gäi A 7 ;3 2 ;9
vµ B 3 7 ';1 2 ';1 3 ' ( 4 7 ' ; 2 2 ' 2 ; 8 3 ' )
t t t d
t t t d AB t t t t t t
+ + − ∈
− + + ∈ ⇒ − − − − + − − + +
uuur
AB là đường vuông góc chung k.v.c.k

( )
( )
1
2
0 7;3;9
. 0
6 ' 6 0
62 ' 6 0
' 0 3;1;1
. 0

t A
AB u
t t
t t
t B
AB u


= ⇒
=
+ =

 
⇔ ⇔
  
+ =
= ⇒
=





uuur ur
uuur uur
.
Vậy phương trình đường vuông góc chung là AB:
7 3 9
2 1 4
x y z− − −

= =
.
II. Dạng toán: Viết phương trình đường thẳng d qua A cắt d
1
và vuông góc với d
2

Bài toán: Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua A( 0;1;1),
vuông góc với

1 2
1
1 2
: vµ c¾t : 1
3 1 1
x
x y z
d d y t
z t
= −

− +

= = = − −


= −

Cách1: Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc d
1

, (Q) là mặt phẳng qua A và chứa
d
2
. Suy ra d là giao tuyến của (P) và (Q), tìm một vectơ chỉ phương của d là
,
P Q
n n
 
 
uur uur

kết hợp với d qua A ta viết được phương trình tham số của d.
+mp(P) qua A và có VTPT
( )
1
3;1;1u =
ur
có phương trình
3 2 0x y z+ + − =
+mp(Q) qua A và có VTPT
( )
2 2
, 1; 1;1AM u
 
= −
 
uuuur uur
có pt
0x y z− + =
+ Đường thẳng d qua A và có VTCP

( )
, 2 1; 1; 2
P Q
n n
 
= − −
 
uur uur
có pt
1 1
1 1 2
x y z− −
= =
− −
Cách 2: Gọi B(-1; -1-t; -t) là giao điểm của d với d
2
.
( )
1; 2 ; 1AB t t= − − − − −
uuur
. d vuông
góc d
1
khi và chỉ khi
( )
1
1 1
. 0 3 1;1;2 . VËy d:
1 1 2
x y z

AB u t AB
− −
= ⇔ = − ⇒ = − = =
−
uuur ur uuur
.
III. Dạng toán: Viết phương trình đường thẳng d qua A cắt d
1
và song song với (P)
Bài toán: Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua

- 3 -
Nguyễn Chơn Ngôn-THPT TX Quảng Trị
A( 3;-2;-4), cắt đường thẳng
1
2 3
: 4 2 vµ song song (P):3 2 3 7 0
1 2
x t
d y t x y z
z t
= +


= − − − − − =


= +

Cách1: Viết mặt phẳng (Q) qua A và chứa d

1
, viết mp(R) qua A và song song với (P). d
là giao tuyến của (Q) và (R) nên tìm được phương trình của d.
+mp(Q) qua A và có VTPT
, (6;17;8)
Q
n AM u
 
= =
 
uur uuur uur
nên có pt là
6 17 8 48 0 x y z+ + + =
+mp(R) qua A và có VTPT
(3; 2; 3)
P
n = − −
uur
có pt
3 2 3 25 0 x y z− − − =
+Đường thẳng d là giao tuyến của (Q) và (R ) nên có VTCP
, 7(5; 6;9)
Q R
u n n
 
= = − −
 
uur uur uur
.
Vậy d có phương trình

3 5
2 6
4 9
x t
y t
z t
= +


= − −


= − +

Cách 2: Gọi
(2 3 ; 4 2 ;1 2 ) M t t t+ − − +
là giao điểm của d với d
1

Sử dụng điều kiện

P
AM n⊥
uuur uur
ta có t = 2. Vậy d có phương trình
3 5
2 6
4 9
x t
y t

z t
= +


= − −


= − +

IV . Dạng toán: Viết pt đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng và cắt hai
đường thẳng cho trước:
Bài toán: Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng
( ): 1 0P x y z+ + + =
và cắt hai đường thẳng
1 2
2
1 1
: , 3
2 1 1
x t
x y z
d d y
z t
= − +

− +

= = = −

−


= −

Cách1: Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d
1
và vuông góc (P), mặt phẳng (R) chứa
d
2
và vuông góc (P). Đường thẳng cần tìm là giao tuyến của (Q) và (R).
+
( )
1
1
M 1; 1;0
( )
; (2;1; 3)
P
qua
Q
VTPT n u

−


 
= −

 

uur ur

có pt
2 3 1 0x y z+ − − =
+
( )
2
2
M 2; 3;0
( )
; ( 1;2; 1)
P
qua
Q
VTPT n u

− −


 
= − −

 

uur uur
có pt
2 4 0x y z− + − =
- 4 -
Nguyễn Chơn Ngôn-THPT TX Quảng Trị
+ d là giao tuyến của (Q) và (R) nên có VTCP
( )
; 5 1;1;1

P R
u n n
 
= =
 
uur uur uur
và d qua
điểm
6
5
6 7 7
; ;0 :
5 5 5
x t
A d y t
z t

= +


−

 
− ⇒ = +

 ÷
 

=






Cách 2: d
1
có phương trình tham số là
1
1 2
: 1
x t
d y t
z t
= +


= − −


=

. Gọi
(1 2 ; 1 ; ), ( 2 '; 3; ')A t t t B t t+ − − − + − −
lần lượt là giao điểm của d
với d
1
và d
2
.
( )

3 ' 2 2 '
3 ' 2 ; 2 ; ' . ( )
1 1 1
t t t t t
AB t t t t t d P
− + − − + − −
− + − − + − − ⊥ ⇔ = =
uuur
( )
7
7 6 1
5
1
; ;
6
5 5 5
5
:
58
9
'
1;1;1
1
5
5
5
x t
A
t
d y t

t
AB
z t

= +


−
 


=
 ÷


−
  
 
⇔ ⇒ ⇒ = +
  
  
=
= −

 


= +



uuur

V: Dạng toán tìm điểm M trên đường thẳng d thoả mãn điều kiện cho trước:
Bài toán 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;4;2), B(-1;2;4)

và đường thẳng
1
: 2
2
x t
d y t
z t
= −


= − +


=

. Tìm M thuộc d sao cho MA
2
+ MB
2
nhỏ nhất.
Cách 1: Gọi I là trung điểm AB, ta có
2
2 2 2
2
2

AB
MA MB MI+ = +
. MA
2
+ MB
2
nhỏ
nhất k.v.c.k MI nhỏ nhất. Vì M thuộc d nên MI nhỏ nhất
⇔
M là hình chiếu của I
trên d.
+ I(0;3;3).
+ Mặt phẳng (P) qua I và vuông góc d có pt x – y – 2z + 9 = 0.
+ M là hình chiếu của I trên d nên toạ độ của M là nghiệm (x;y;z) của hệ
- 5 -
Nguyễn Chơn Ngôn-THPT TX Quảng Trị


1 1
2 0
( 1;0;4)
2 4
2 9 0 2
x t x
y t y
M
z t z
x y z t
= − = −
 

 
= − + =
 
⇔ ⇒ −
 
= =
 
 
− − + = =
 
Cách 2: Gọi M(1 – t ; - 2 + t; 2t) thuộc d.
2 2 2
12 48 76MA MB t t+ = − +
.
MA
2
+MB
2
nhỏ nhất k.v.c.k t = 2 ( sử dụng cực trị của hàm số bậc hai).
Vậy M(-1;0;4)
Bài toán 2: Cho A(2;-1;1), B(-2;3;7) và đường thẳng
2 2 1
:
2 2 3
x y z
d
− − +
= =
− −
.

Tìm I thuộc d sao cho
IA IB+
uur uur
nhỏ nhất.
Cách 1: Ta có
2 , víi M lµ trung ®iÓm AB 2 .IA IB IM IA IB IM+ = ⇒ + =
uur uur uuur uur uur

nhá nhÊt IM dIA IB+ ⇔ ⊥
uur uur
hay I là hình chiếu của M trên d
+ M( 0;1;4)
+ Mặt phẳng (P) qua M và vuông góc d có phương trình
2 2 3 14 0x y z− − + =
+
2 2
2 2
( ) (0;4;2)
1 3
2 2 3 14 0
x t
y t
d P I I
z t
x y z
= +


= −


∩ = ⇒

= − −


− − + =

Cách 2 Gọi I( 2+2t; 2 – 2t; -1 - 3t) thuộc d.

( )
2
4 4 ; 2 4 ;10 6 68 136 120IA IB t t t IA IB t t+ = − − − + + ⇒ + = + +
uur uur uur uur

IA IB+
uur uur
nhỏ nhất k.v.c.k t = -1. Vậy I( 0;4;2)
Bài toán 3: Cho
2 2
: .
3 2 1
x y z
d
+ +
= =
−
Tìm toạ độ điểm A’ là hình chiếu của A
trên đườn thẳng d.
Cách1: Viết pt mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với d, tìm toạ độ giao điểm của d
và (P) ta có điểm A’

+ (P) qua A và vuông góc d nên có phương trình
3 2 4 0x y z+ − − =
+ Toạ độ điểm A’ là nghiệm của hệ
2 3 2
2 2
y 2 2
3 2 1
3 2 4 0
3 2 4
x y
x y z
z
x y z
x y z
− =

+ +

= =
 
⇔ + = −
−
 
 
+ − − =
+ − =


- 6 -
Nguyễn Chơn Ngôn-THPT TX Quảng Trị

1
0
1
x
y
z
=


⇔ =


= −

. Vậy A’(1;0; - 1)
Cách 2: Gọi
( ) ( )
' 2 3 ; 2 2 ; ' 3 6;2 1; 2A t t t d AA t t t− + − + − ∈ ⇒ = − + − −
uuur
. A’ là hình chiếu
của A trên d k.v.c.k

( )
'. 0 3(3 6) 2(2 1) 1( 2) 0
1 ' 1;0; 1
d
AA u t t t
t A
= ⇔ − + + − − − =

⇔ = ⇒ = −
uuur uur
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng sau:

2 2
1 2 1 2
) : 1 ' : Kq:
1 1 2 1 5 2
3 4 6
1 1
) : 2 ' : 1 Kq:
1 2 2
1 2 2
x t
x y z x y z
a d y d
z t
x t x t
x y z
b d y t d y t
z t z t
= − −

− − − −

= − = = = =

−


=

= − = −
 
+ +
 
= − + = + = =
 
 
= − + = +
 
Bài 2: Viết phương trình đường thẳng qua A(3;-2;-4), song song với mặt phẳng

2 4 1
3 2 3 7 0 vµ c¾t ®t
3 2 2
x y z
x y z
− + −
− − − = = =
−
Kq:
3 2 4
5 6 9
x y z− + +
= =
−
Bài 3: Tìm toạ độ hình chiếu H của A(2;-1;5) trên
4 2
: Kq: H(4;0;2)

1 1 1
x y z
d
− −
= =
Bài 4: Lập ptđt qua A(3;2;1), song song mặt phẳng (P): x+y+z-2=0 và vuông góc

1
:
1 4
x t
d y t
z t
= +


= −


= − −

. Kq:
3 3
: 2 5
1 2
= −


∆ = +



= −

x t
y t
z t
.
Bài 5: Viết PTĐT qua M(2;-1;0), vuông góc và cắt
1
3
2
2 5
1
: 5 Kq: 1 3
2
0.
6
x t
x t
d y t y t
z
z t

= − +

= +


 
= − = − −

 
 
=

= −




- 7 -
Nguyễn Chơn Ngôn-THPT TX Quảng Trị
Bài 6: Cho
1 2
2
1 1
: ; : 3 ; ( ): 1 0.
2 1 1
x t
x y z
d d y P x y z
z t
= − −

− +

= = = − + + − =

−

=


Lập PTĐT
∆
vuông góc (P),
∆
cắt cả
1 2
; .d d
Kq:
7
5
6
5
1
5
x t
y t
z t

= +



= − +



= +



Bài 7:

Trong không gian, cho
: 2
3
x t
d y t
z t
= −


= −


= −

và điểm A(2;0;1), B(2;-1;0), C(1;0;1). Tìm trên d
một điểm S sao cho
SA SB SC+ +
uur uur uur
đạt giá trị nhỏ nhất. Kq:
3 3 9
; ;
14 7 14
S
 
 ÷
 
Bài 8: A(2;5;7), B(0;-1;-1), C(3;1;-2). Viết PTCT của
∆

qua A, vuông góc và cắt trung
tuyến xuất phát từ C.
Kq:
12
2
5
3
5
10
1
7
2
x t
y t
z t

= −



= −



= −


Bài 9:
Cho M(1;2;-1) và
1 2 2

: .
3 2 2
x y z
d
+ − −
= =
−
Gọi N là điểm đối xứng của M qua d. Tính
2
MN
. Kq: MN
2
= 52
Bài 10:
Cho
1 3 3
: , ( ) : 2 2 9 0
1 2 1
x y z
d P x y z
− + −
= = + − + =
−
. Tìm I trên d sao cho khoảng cách từ I
đến (P) bằng 2. Viết phương trình đường thẳng chứa trong (P), qua A và vuông góc với d
- 8 -
Nguyễn Chơn Ngôn-THPT TX Quảng Trị
C. KẾT LUẬN
Qua một số bài toán đã trình bày ở đề tài này, chúng ta có thể thấy được sự thuận tiện
khi dùng phương trình tham số của đường thẳng so với một số cách giải khác.

Ưu điểm của phương pháp này là lời giải ngắn gọn, cách giải dễ hiểu và phù hợp với
đa số học sinh có trình độ TB, khá. Hầu hết học sinh đều có thể chuyể thành thạo một
phương trình đường thẳng từ dạng chính tắc về dạng tham số nên việc tìm tòi lời giải
không gặp trở ngại gì lớn. Tuy nhiên
Mỗi phương pháp đều có những mặt ưu điểm và hạn chế nhất định, tôi cũng lần mò
phát hiện phương pháp này nên không khỏi sơ suất. Rất hy vọng được sự góp ý bổ sung
tận tình của quý thầy cô và các em học sinh để đề tài này có sức thuyết phục hơn nữa.
Qua nội dung đề tài này tôi cũng mong muốn được giúp quý thầy cô và các em có
thêm một tư liệu khi học tập và nghiên cứu về phương trình đường thẳng trong không
gian.
Cuối cùng xin kính chúc quý thầy cô sức khoẻ, chúc các em thành công.
Thị xã Quảng Trị, tháng 3 năm 2010
Người viết

Nguyễn Chơn Ngôn


- 9 -