phuong phap giai dao ham pro

Các quy tắc tính đạo hàm
I. Kiến thức cơ bản
1. Đạo hàm của một số hàm số thờng gặp. (Ký hiệu U=U(x))
( )

C
=0 (C là hằng số)
( )

x
=1
( )

n
x
=n.x
n-1
(n

N, n

2)
( )

n
U
=n.U
n-1
.
U

x
1
=-
2
1
x
(x

0)







U
1
=-
2
U
U

)( x
=
x2
1
(x>0)
( )

U
=
U
U
2

2. Các quy tắc tính đạo hàm (Ký hiệu U=U(x), V=V(x)).
( )

VU
=
VU



( )

UV
=
VUVU

+

).(

Uk
=
Uk

.
(k là hằng số)







V
U
=
2

V
VUVU

V
1
= -
2
1
V
3. Đạo hàm của hàm số hợp: g(x) = f[U(x)].
'g
x
=
u
f '
.
x
U

II. Kỹ năng cơ bản
- Vận dụng thành thạo các công thức, quy tắc tính đạo hàm của tổng,
hiệu, tích, thơng các hàm số.
- Tính đợc đạo hàm hàm số hợp.
III. Một số ví dụ
A.Ví dụ tự luận
VD1. Tính đạo hàm của các hàm số
1/ y=2x
5
-3x
4

+x
3
-
2
1
x
2
+1
2/ y=
2
1
x
4
-
3
4
x
3
+
4
1
x
2
+3x-2
3/ y=2x
2
(x-3)
4/ y=
1
2

+
+
m
mx
víi m lµ tham sè kh¸c -1
Gi¶i
1/ Ta cã:
'y
= 10x
4
-12x
3
+3x
2
–x
2/ Ta cã:
'y
= 2x
3
- 4x
2
+
2
1
x+3
3/ Ta cã:
y= 2x
3
- 6x
2

⇒

'y
= 6x
2
-12x
4/ Ta cã:
y=
1+m
m
x+
1
2
+m
Do m lµ tham sè kh¸c (-1), nªn
'y
=
1+m
m
VD2. TÝnh ®¹o hµm c¸c hµm sè
1/ y=
1
1
+x
3/ y=
14
13
2
−
++

x
xx
2/ y=
1
2
+
−
x
x
4/ y=(3x-2)(x
2
+1)
Gi¶i:
1/ Ta cã:
'y
= -
2
)1(
)'1(
+
+
x
x
= -
2
)1(
1
+x
∀
x

≠
-1
2/ Ta cã:
'y
=
2
)1(
)'1).(2()1)'.(2(
+
+−−+−
x
xxxx
=
2
)1(
)2()1(
+
−−+
x
xx
=
2
)1(
3
+x

∀
x
≠
-1

3/ Ta cã:
'y
=
2
22
)14(
)'14)(13()14()'13(
−
−++−−++
x
xxxxxx
=
2
2
)14(
4).13()14)(16(
−
++−−+
x
xxxx
=
2
2
)14(
5612
−
−−
x
xx
∀

x
≠
4
1
4/ Ta cã:
'y
=
)'23( −x
(x
2
+1) - (3x-2)
)'1(
2
+x
= 3(x
2
+1)-(3x-2).2x
= 3x
2
+3- 6x
2
+4x
= -3x
2
+4x+3
VD3. TÝnh ®¹o hµm cña c¸c hµm sè
1/ y= x
2
1 x+
2/ y=

x
(x
2
-
x
+1)
3/ y=
x
x
−
+
1
1
Gi¶i:
1/ Ta cã:
'y
=
)(
′
x
.
2
1 x+
+x
(
)
′
+
2
1 x

=
2
1 x+
+
2
2
1 x
x
+
=
2
2
1
21
x
x
+
+
2/ Ta cã:
'y
=
)(
′
x
(x
2
-
x
+1) +
x

)1(
2
′
+− xx
=
x
x
2
1x
2
+−
+
x
(2x-
x2
1
)
=
x
xx
2
1
2
+−
+ 2x
x
-
2
1
∀

x > 0
3/ Ta cã:
'y
=
( )
x
xxxx
−
′
−+−−
′
+
1
1)1(1)1(
=
x
x
x
x
−
−
+
+−
1
12
1
1

=
xx

xx
−−
++−
1)1(2
1)1(2
=
xx
x
−−
+−
1)1(2
3
∀
x <1
VD4. TÝnh ®¹o hµm hµm sè
1/ y= (2x+3)
10
2/ y= (x
2
+3x-2)
20
3/ y=
22
2
ax
x
+
(a lµ h»ng sè)
Gi¶i:
1/ Ta cã:

'y
= 10(2x+3)
9
.
)'32( +x
= 20(2x+3)
9
2/ Ta cã:
'y
= 20(x
2
+3x-2)
19
.
)23(
2
′
−+ xx
= 20(x
2
+3x-2)
19
.(2x+3)
3/ Ta cã:
'y
=
22
222222
)()'(
ax

axxaxx
+
′
+−+
=
22
22
3
22
2
ax
ax
x
axx
+
+
+
=
322
23
)(
2
ax
xax
+

VD5. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C ): y=x
3
-3x+7
1/ Tại điểm A(1;5)

2/ Song song với đờng y=6x+1
Giải:
Ta có:
'y
= 3x
2
-3
1/ Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là
k =
'y
(1) = 0

Phơng trình tiếp tuyến cần viết là:
y = 5.
2/ Gọi tiếp điểm là M(x
0
;y
0
)
y
0
= x
0
3
-3x
0
+7
Ta có hệ số góc của tiếp tuyến là k = 6

'y

(x
0
) = 6

3x
0
2
-3 = 6

x
0
=

3
Với x
0
=
3


y
0
=7.

Phơng trình tiếp tuyến là: y=6x+7- 6
3
Với x
0
=-
3

y
0
=7

Phơng trình tiếp tuyến là: y=6x+7+6
3
VD6. Cho hàm số y=
1
1
2
+
++
x
xx
Giải bất phơng trình khi
'y

0
Giải:
Ta cã:
+
'y
=
2)1(
)'1)(1()1()'1(
22
+
+++−+++

x
xxxxxx
=
2
2
)1(
)1()1)(12(
+
++−++
x
xxxx
=
2
2
)1(
2
+
+
x
xx

∀
x
≠
-1
Do ®ã:
'y
≥
0
⇔

2
2
)1(
2
+
+
x
xx
≥
0

⇔




≥+
−≠
02
1
2
xx
x
⇔



≥
−≤

0
2
x
x
B. VÝ dô tr¾c nghiÖm
Chän nh÷ng ph¬ng ¸n ®óng trong vÝ dô sau:
VD7. Cho hµm sè y=
12
1
+x
, khi ®ã
)2('y
b»ng
A.
5
1
B.
5
1−
C.
25
1
D.
25
1
−
VD8: Cho hµm sè y=
x2
, khi ®ã
)4('y

b»ng
A. 2
2
B.
22
1
C.
2
2
D.
4
2
VD9. Cho hµm sè y=(x+1)
5
, khi ®ã
)2(' −y
b»ng
A 5 B.5 C 1 D.1
VD10. Cho hµm sè y=2x-
x
, khi ®ã
)1('y
b»ng
A.
2
1
B.
2
3
C. 1 D. Kh«ng tån

t¹i
VD11. Cho hµm sè y=
2
1
−
+
x
x
, khi ®ã
)1(' −y
b»ng
A.0 B 1 C
2
1
D
3
1
VD12. Cho hµm sè y=2x
3
-3x
2
+3, khi ®ã ph¬ng tr×nh
'y
=0 cã nghiÖm
A. x=0 vµ x=1 B. x=0 vµ x=-1 C. x=1 vµ x=3 D. x=-1 vµ
x=3
VD13. Cho hµm sè y=
( )
2
32

1
+x
. §¹o hµm
'y
b»ng
A.
( )
4
32
4
+
−
x
B.
( )
3
32
1
+
−
x
C.
( )
3
32
2
+
−
x
D.

( )
3
32
4
+
−
x
VD14. Cho hµm sè y=
12
4
+
+
x
x
, ®¹o hµm
'y
b»ng
A.
( )
2
12
7
+x
B.
( )
2
12
7
+
−

x
C.
( )
2
12
5
+x
D.
( )
2
12
5
+
−
x
VD15. Cho hµm sè y=
x
x 1
2
+
, khi ®ã tËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh
'y
>0
lµ
A. S =(-
1;−∞
]
∪
[1;+
∞

) C. S =(-
);1()1; +∞∪−∞
B. S =(-
)0;∞
)
∪
[1;+
∞
) D. S = (
);0()1; +∞∪−∞−
VD16. Cho hµm sè y=
14
3
+
−
x
x
, khi ®ã bÊt ph¬ng tr×nh
0'<y
cã tËp
nghiÖm lµ:
A. S =(
+∞
−
;
4
1
) B. S =[
+∞
−

;
4
1
) C. S =[3;+
∞
) D. S
φ
≠
§¸p ¸n:
VD7 VD8 VD9 VD10 VD11 VD12 VD13 VD14 VD15 VD16
C D A B D A D B C D
IV. Bµi tËp.
A. Bµi tËp tù luËn.
Bµi1. TÝnh ®¹o hµm cña c¸c hµm sè:
1/ y=x
3
-2x
2
+x-
x
+1 7/ y=
xx −++ 43
2/ y=
32
1
−
+
x
x
8/ y=

( )
7
2
3−x
3/ y=
2
22
2
+
++
x
xx
9/ y=(x-2)
1
2
+x
4/ y=
x
x
−
+
1
1
10/ y=
( )
42
2
2
2
++− xx

5/ y=
432
2
++ xx
11/ y=
( )
11
2
+++ xxx
6/ y=
2
9 x
x
−
12/ y=
12
3
2
+
++
x
xx
H íng dÉn:
1/
x
xxy
2
1
143'
2

−+−=
,
0>∀x
7/
xx
y
−
−
+
=
4
1
32
1
'
víi-
3<x<4
2/
( )
2
32
5
'
−
−
=
x
y

2

3
≠∀x
8/
62
)3(14' −= xxy
3/
( )
2
2
2
24
'
+
++
=
x
xx
y

2−≠∀x
9/
1
122
'
2
2
+
+−
=
x

xx
y
4/ Ta cã: y=1-
x−1
2
, x
0
≥
10/
4
)2(4'
2
2
+
+−=
x
x
xxy
( )
2
1
1
'
xx
y
−
−=⇒

0>∀x
12/

3)12(2
11
'
22
+++
−
=
xxx
y
5/
4322
34
'
2
++
+
=
xx
x
y
6/
( )
3
2
2
9
29
'
x
x

y
−
−
=
víi -3< x <3
Bài 2. Cho hàm số: y=
123
3
1
23
+ mxxx
tìm m để
1/
'y
là bình phơng của một nhị thức
2/
0'y

Rx
3/
'y
<0
x
(0;1)
4/
'y
>0
x
>0
H ớng dẫn:

Ta có:
=+=

mxxy 26
2
g(x).
1/ Ta phải có:



=0
029 = m

m=
2
9
2/ Ta phải có:


0

9-2m
0

m
2
9

3/ Ta phải có:

<
<
0)1(
0)0(
g
g




<+
<
025
02
m
m

m<0
4/ Ta phải có:
+ Hoặc


<0

m >
2
9
+ Hoặc

<
>
>

0
2
0)0(
0
S
g
Hệ vô nghiệm
Bài 3. Viết phơng trình tiếp tuyến của (c ) y=x
3
-3x
2
biết tiếp tuyến vuông góc
với đờng thẳng y=
x
3
1
H ớng dẫn:
+ Ta có
y

= 3x
2
-6x
+ Gọi (x
0
;y
0
) là tiếp điểm, y
0
=x
0
3
-3x
0
2
Ta phải có:
3x
0
2
-6x
0
=-3

x
0
=1 =>y
0
=-2
=> phơng trình tiếp tuyến là: y=-3x+1

Bài 4. Cho đờng cong (c)): y=
3
1

+
x
x
. Tìm toạ độ giao điểm của các tiếp tuyến
của (c) với trục ox. Biết tiếp tuyến đó song song với đờng thẳng y =-x+1
H ớng dẫn:
+ Ta có
y

=
2
)3(
4


x
+ Hệ số góc của tiếp tuyến k = -1
+ Gọi (x
0
; y
0
) là tiếp điểm, y
0
=
3
1

0
0

+
x
x
Ta phải có:



=
=
<=>=


5
1
1
)3(
4
0
0
2
0
x
x
x
+ Ta có 2 tiếp tuyến là
y = -x và y = -x+8
+ Từ đó suy ra kết quả

B. Bài tập trắc nghiệm
Chọn phơng án đúng trong các bài tập sau:
Bài 4. Cho hàm số y =
x2
1
,
)1(y

bằng
A.
2
1
B.
2
1
C. 1 D. - 1
Bài 5. Cho biết hàm số y =
1
12

+
x
x
,
)1(

y
bằng
A.
4

3
B.
4
3
C.
2
1
D.
2
1
Bài 6. Cho hàm số y =
1+x
,
)2(y

bằng
Bài 7. Cho hàm số y =(1-3x)
6
,
)0(y

bằng
A. 1 B. -1 C. 18 D. - 18
Bài 8. Cho hàm số y =
12
2
+x
, Khi đó tập nghiệm của bất phơng trình
0

y
là:
A. S =IR B. S =[0;
)+
C. S =(0;
)+
D. S =

Bài 9. Cho hàm số f(x)= x
2
+3x-1 và g(x) = 2x-3. Bất phơng trình
)()( xgxf




có tập nghiệm là:
A. S =

B. S =
);
2
1
( +

C. S =
);
2
1
[ +

D. S =

Bài 10. Hàm số y=
4
32
+

x
x
có
A.
2
)4(
11
+
=

x
y
B.
2
)4(
11
+

=

x
y

C.
2
)4(
5
+
=

x
y
D.
2
)4(
5
+

=

x
y
Bài 11. Hàm số y =
xx
có
A.
x
y
2
1
=

B.

xy +=

1
C.
x
y
2
3
=

D.
2
3 x
y =

Bài 12. Hàm số y = x
3
+2x
2
-mx+1 có
>

xy 0
IR, khi đó tập các giá trị của m
là:
A.
3
B. -
3
C.

32
1
D. -
32
1
A. T=
]
3
4
;(
−
−∞
B. T= (
3
4
;
−
∞−
) C. T = (
]1;∞−
D. T= (
1;∞−
)
Bµi 13. Hµm sè y =
2−x
mx
cã
}2{\0 IRxy ∈∀<
′
Khi ®ã tËp c¸c gi¸ trÞ cña m lµ:

A. T=
);
2
1
( +∞
−
B. T= (
2
1
;
−
∞−
) C. T = (
)0;∞−
D. T= (
]0;∞−
Bµi 14. Hµm sè y = (2x+3)
10
cã
A.
9
)32(10 +=
′
xy
B.
10
)32(10 +=
′
xy
C.

9
)32(20 +=
′
xy
D.
10
)32(20 +=
′
xy
Bµi 15. Hµm sè y =
53
2
+− xx
cã
A.
53
2
2
+−
=
′
xx
x
y
B.
532
32
2
+−
−

=
′
xx
x
y
C.
53
2
+−
−=
′
xx
x
y
D.
53
32
2
+−
−
=
′
xx
x
y
§¸p ¸n:
B4. B
B5.
A
B6.

C
B7.
D
B8.
B
B9.
C
B10.
A
B11.
D
B12.
B
B13.
A
B14.
C
B15.
B