phuong trinh vo ti thi dai hoc

Giỏo ỏn bi dng i s Phng trỡnh vụ t - Trn Mnh Tng -THPT Qung Xng 3

Phơng trình vô tỉ
1) Định nghĩa: Là PT chứa ẩn trong căn thức
2) Ph ơng pháp chung: Sử dụng phép lũy thừa để khử căn thức
3) Một số l u ý khi giải:
* Trong quá trình khử căn, do tính không thuận nghịch của các phép toán nên nói chung ta không thu đợc PT,
BPT tơng đơng do TXĐ có thể đợc mở rộng hoặc thu hẹp KL sai về tập nghiệm
VD: Biến đổi từ
.A B
thành
.A B
thờng làm thu hẹp TXĐ
Biến đổi từ
.A B
thành
.A B
thờng làm mở rộng TXĐ
* Cần phải nắm vững các phép biến đổi tơng đơng
a) Đối với ph ơng trình:
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
f x
f x g x
f x g x


=

=

hoặc
( ) 0

( ) ( )
g x
f x g x



=

2
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
g x
f x g x
f x g x


=

=

( )
2
( ) 0
( ) ( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) ( )

f x
f x g x h x g x
h x f x g x




+ =


= +


b) Đối với bất ph ơng trình:
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
g x
f x g x
f x g x


>

>

(
( ) ( )f x g x<
hiển nhiên đa đợc về dạng đó)
2

( ) 0
( ) 0
( ) ( )
( ) 0
( ) ( )
f x
g x
f x g x
g x
f x g x




<


>





>



2
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0

( ) ( )
g x
f x g x f x
f x g x



<


<

* Đối với một số phơng trình chứa căn thức bậc hai sử dụng phơng pháp giải bình phơng hai vế, nếu không
đảm bảo đợc quá trình biến đổi tơng đơng thì sau khi giải xong nên thực hiện bớc thử nghiệm để chọn nghiệm
thích hợp
Bài tập
Ph ơng trình
I) Dạng cơ bản:
1)
2
3 2 2 5x x x + =
2)
2
3 3 2 1x x x+ + = +
3)
2 2
4 3 3 2x x x x + = +
4)
3 1 2 2 1x x x+ + =
5)

2
1 1 4
3
x
x

=
II) Dạng luỹ thừa:
1)
1 3 4x x+ = +
2)
3 7 2 8x x x+ =
3)
1 4 9 0x x x x + + + + =
4)
3 3 3
2 3 2 1x x x + + = +
5)
2 1x x x+ + =
6)
3 3 3
2 1 16 2 1x x x = +
7)
3 3
34 3 1x x+ =
8)
1 3 4x x+ = +
9)
1 6 4x x x+ = +
10)

5 1 3 2 1 0x x x =
III) Dạng đặt ẩn phụ:
2 2
1) 5 10 1 7 2x x x x+ + =
2
2
2) 1 1
3
x x x x+ = +
3
3) 2 1 1x x =
1
Giáo án bồi dưỡng Đại số – Phương trình vô tỉ - Trần Mạnh Tường -THPT Quảng Xương 3
 
2 2 3 2
3 3
4) ( 1) 4 ( 1) 5 1x x x+ + − = −
2 2
5)2(1 ) 2 1 2 1x x x x x− + − = − +
2
35
6)
12
1
x
x
x
+ =
−
2

7) ( 5)(2 ) 3 3x x x x+ − = +
2 2 2
8) 4 1 2 2 9x x x x x x+ + + + + = + +
9) 3 6 ( 3)(6 ) 3x x x x+ + − − + − =
2 2
10)(4 1) 1 2 2 1x x x x− + = + +
2 2
11)( 3 1) ( 3) 1x x x x+ + = + +
12)
( ) ( )
3
3 2 2
1 2 1x x x x+ − = −
5 1
13) 5 2 4
2
2
x x
x
x
+ = + +
14)
( )
3
3 2 2 2
2 1 1x x x x+ − = −
1
15) ( 3)( 1) 4( 3) 3
3
x

x x x
x
+
− + + − =
−
2
16) 2 3 1 3 2 2 5 3 16x x x x x+ + + = + + + −
3
1 1
17) 1
2 2
x x+ + − =

18) 5 3 1 (5 )( 3)x x x x+ + − − = + + − −
2
19) 4 5
2
x x
x x
+
+ = −
+
2 2
20) 4 2 3 4x x x x+ − = + −

2 2
3 3
3
21) (2 ) 3 (7 ) 4 (2 )(7 )x x x x− + + = − +
IV) p h ¬ng ph¸p t¸ch c¨n:

2 2 2
1) 3 2 4 3 2 5 4x x x x x x− + + − + = − +
2) ( 1) ( 2) 2x x x x x− + + =
2 2 2
3) 2 2 3 4 5x x x x x x+ − + + − = + −
2 2 2
4) 8 15 2 15 4 18 18x x x x x x− + + + − = − +
2 2
5) 2 8 6 1 2 2x x x x+ + + − = +
2 2
6) 4 3 2 3 1 1x x x x x− + − − + = −
V) p h ¬ng ph¸p ® a ra c¨n:
3
1) 2 1 2 1
2
x
x x x x
+
+ − + − − =
1 1
2) 1
2 4
x x x+ + + + =
3) 2 1 4 4 3x x x x+ − + + − =
4) 3 4 1 8 6 1 1x x x x+ − − + + − − =
5) 1 2 2 1 2 2 1x x x x− + − − − − − =
VI)Ph ¬ng ph¸p liªn hîp:
3
1) 4 1 3 2
5

x
x x
+
+ − − =
2)3(2 2) 2 6x x x+ + = + +
2
3) 2 1 1
2 9
x
x
x
= + −
+
2
2
4) 4
(1 1 )
x
x
x
= −
+ +
2
2
2
5) 21
(3 9 2 )
x
x
x

= +
− +
2
6)4( 1) (2 10)(1 3 2 )x x x+ = + − +
7) 1 1x x x+ + − =
8)2 1 2 2x x x− − + = −
VII) Ph ¬ng ph¸p ® a vÒ hÖ
4 4
1) 3 2 2 14 3x x− + + =
4 4
2) 40 57 5x x+ + − =
3
3
3) 9 ( 3) 6x x− = − +
2 2
4) 17 17 9x x x x+ − + − =
5)3 3 x x+ + =
3 3 3 3
6) 35 ( 35 ) 30x x x x− + − =
2 2
7) 3 2(3 2 )x x= − −
2 2
3 3
3
8) (2 ) (7 ) (2 )(7 ) 3x x x x− + + − − + =
2 2 2
9)( 3 4) 3( 3 4) 4x x x x x+ − + + − = +
3
3
10) 6 6x x− = +

2
1 1
11) 2
2
x
x
+ =
−
VIII) Ph ¬ng ph¸p ®Æt 2 Èn phô u , v :
2 3
1) 2 2 1x x+ = +
3 2
2)10 8 3( 6)x x x+ = − +
3 2
3) 1 3 1x x x− = + −
2
Giỏo ỏn bi dng i s Phng trỡnh vụ t - Trn Mnh Tng -THPT Qung Xng 3

2 2
4) 5 14 9 20 5 1x x x x x+ + = +
IIX) Ph ơng pháp biểu diễn qua u,v,z .t :
1) 8 1 3 5 7 4 2 2x x x x+ + = + +
2 2 2 2
2) 2 1 3 2 2 2 3 2x x x x x x x + = + + + +
IX) Ph ơng pháp bd qua
ax b mx n+ = +
2
1) 5 5x x+ + =
2
2) 2 3 3x x x = +

2
3) 1 1x x+ + =
2
4) 12 1 36x x x+ + + =
2
5) 4 6x x x+ = +
2
4 9
6)7 7
28
x
x x
+
+ =
X) Ph ơng pháp đánh giá:
2 2
1) 2 2 3 6 4 2x x x x + + + =
2 2 2
2) 3 6 7 5 10 14 4 2x x x x x x+ + + + + =
3) 5 7 16 0x x x x+ + + + + =
2
4) 2 4 6 11x x x x + = +
2
5) 1 3 2 1x x x x+ + = +
3 3 3
6) 1 2 3 0x x x+ + + + + =
2
2
1 1
7) 2 2 4 ( )x x

x x
+ = +
3 2
8)( 1) ( 1) 3 1 0x x x x+ + + + + =
9) 1 2 3 2 5 6x x x+ + + + =
2
2
4 2
10) 2 2 4 ( )
4 2
x x
x x
+ = +
2
11) 3 5 8 18x x x x + = +
2 2 2
12) 4 5 2 8 9 2 4x x x x x x + + + = +
XI) Ph ơng pháp xét hàm:
3
1)2( 2) 4 4 2 2 3 1x x x x

+ =

2)( 1) 2 1 2 8x x x+ = +
Bất Ph ơng trình
Dạng cơ bản
2 2 2
2 2
2
1) 3 3 2 1 2) 3 2 2 5 3) 3 4

1 1 4 1 21 4
4) 8 2 6 3 5) 3 6) 0
1
x x x x x x x x x
x x x
x x x
x x
+ + < + + > <

+ > <
+
2 2
4 2 3 3 4 2 51 2
7) 2 8) 2 9) 1
1 1
x x x x x x
x x x
+ + + + +
> < <
+
2 2 2
2 2
2
2 4 3
10) 2 11)( 3) 4 9 12) 2 6 1 2 0
1 3 1 1
13) 1 3 14) 2 2 1 1 15)
4 2
x x
x x x x x x

x
x x x x x x x
x x
+
> + + >
+ < + > + <
II)Dạng luỹ thừa:
( )
2
2 16
7
3 1 2 ; 3 ; 2 1 ; 5 1 3 2 1
3 3
x
x
x x x x x x x x x x
x x


+ < + > + + >

2 2
1 1 2
3 2 8 7 ; ; 3 2 2 4 0 ;x x x x x x x x
x x x
+ + + + > + + + + >
3
Giáo án bồi dưỡng Đại số – Phương trình vô tỉ - Trần Mạnh Tường -THPT Quảng Xương 3
 
2 2

1 ; 1 3 4 ; 1 6 4 ; 2 3 5 2
2 2

x x
x x x x x x x x
x x
− + + > + > − + + ≤ + − − + − − < −
III)D¹ng ®Æt Èn phô:
( ) ( )
2 2
3
2
2 2
5 1 35
5 10 1 7 2 ; 5 2 ; ; 2 1 1
2 12
2
1
1
2 3 ; 2 4 3 3 2 1 ; 3 1 1 3 1 ;
1
x
x x x x x x x x x
x
x
x
x x
x x x x x x x x
x x
+ + ≥ − − + < + + > − + − >

−
+
− > + + − − > + − − − < − + − −
+
( ) ( )
2 2 2
2 2
4 1 2 2 9 ; 5 3 1 5 3 ;
3 5 7 3 5 2 1
x x x x x x x x x x
x x x x
+ + + + + > + + + + − − < + + − −
+ + − + + >
IV)D¹ng ph©n tÝch nh©n tö:
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
3 2 4 3 2 5 4 ; 8 15 2 15 4 18 18
2 2 3 4 5 ; 4 3 2 3 1 1
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x
− + + − + > − + − + + + − > − +
+ − + + − ≤ + − − + − − + ≥ −
V) D¹ng nh©n liªn hîp:
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
2 2
2 2 2 2
2

4 1 2 10 (1 3 2 ) ; 21 ; 4 2 1 2 2
3 9 2 1 1
2
2 1 1 ; 3 6 2 1 3 2 5
2 9
x x
x x x x x x x x
x x
x
x x x x x x x x x
x
+ < + − + < + > − − − + > −
− + + +
< + − − + − + − > + + − − +
+
VI)D¹ng ®¸nh gi¸:
( )
( ) ( )
2
2
2 2 2 3 2
1 2 3 2 5 6 ; 1 3 2 3 2 2 ; 1 1 2
4
3 6 7 5 10 14 4 2 ; 1 1 3 1 0
x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
+ + + + − > − + − ≥ − + − + + − ≤ −
+ + + + + ≤ − − + + + + + >
( )

2
2 2
2
2 2 2 2 2
4 2
2 2 4 ; 1 3 2 1 ; 3 5 8 18 ;
4 2
2 1 1 0; 3 7 3 3 4 2 3 5 1
x x
x x x x x x x x
x x
x x x x x x x x x x x x x
 
− + − ≥ − + + + − ≥ + − + − ≥ − +
 ÷
 
− − − − + − ≤ − + + − + > − + − −
HÖ v« tØ
Bài 1: Giải
4
2 2 2 1 7 4
; ;
2 2
1 1 1 7 4
2 8 2
x y
x y y y x
x y x y
x y xy


+ =
 
+ − = − + + − =
  
  
+ − = + + − =
  
+ + =
 

9 3
10
; ;
6 5 2 5
6 6 14
6 2 2 2
x y xy x y xy
x y
x x y x y
x y
x y x y x
+ − = − + =
 

+ =
  
+
  
+ = + =
+ + + =

  

+
 
4
Giáo án bồi dưỡng Đại số – Phương trình vô tỉ - Trần Mạnh Tường -THPT Quảng Xương 3
 
3
3
6
35
;
2 2
3 3
30
2( ) 3( )
x y
x x y y
x y y x
x y x y xy


+ =
+ =
 
 
+ =
 
+ = +



;
8
5
x x x y y y
x y

− = +


− =


3 3
4
6
1 1
16
; ;
3 3 3
4
1 1
1 1
3
x y z
y x
x y
x y
x y y x xy
x y z xy

 

+ + =
+ − =
+ =
  
  
+ − =
− + − =
+ + =
  

 

4
2 2 2
18
6
x y z
x y z
x y z

+ + =


+ + =


+ + =



x+ y x- y 2
y+ x y- x 1
ì
ï
+ =
ï
ï
í
ï
ï
- =
ï
î
;
2 2 2 2
2 2 2 2
( ) 185
( ) 65
x xy y x y
x xy y x y
ì
ï
+ + + =
ï
ï
í
ï
ï
- + + =

ï
î
;
2 2
x+ y x- y 2
x x 4y y
ì
ï
- =
ï
ï
í
ï
ï
- + + =
ï
î
Bài 2: Giải và biện luận
x y xy a
x y a
ì
ï
+ + =
ï
í
ï
- =
ï
î
;

2 2 2 2 2
(a > 0)
x y x y a
x y x y a
ì
ï
+ - - =
ï
ï
í
ï
+ + - =
ï
ï
î
;
2 2 2 2
4 4 4
2x y x y y
x y a
ì
ï
+ + - =
ï
ï
í
ï
- =
ï
ï

î
Phương pháp đồ thị
Tìm m để pt có nghiệm
2 2 2
4 2 1 ;x mx m x x m x x m x− = + − + − = − = −
;
2
2 x x m− =
;
3
2 2 2
5 4 ; 3 1 ; 1 1
1 2
x y m
x x m mx x m x x x x m
x y m





+ =
− + < − − ≤ + + + − − + =
+ + + =
2
3 1x m x+ = +
;
2
2 7m x m x+ < +
;

2
3 1
2 1
2 1
x
x mx
x
−
≥ − +
−
;
2
2 1 tancos x mcos x x= +
5