Một số bài toán hình học không giangiải bằng pp td.doc

Một số bài toán hình học không gian, giải bằng phương pháp toạ độ và vector
1. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, OA=a, OB=b, OC=c. Tính
chiều cao của tứ diện kẻ từ O.
2. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Trên các cạnh AA’, BC, C’D’ lần lượt
lấy các điểm M, N, P sao cho AM=CN=D’P=t, với 0<t<a. Chứng minh rằng mp(MNP)
song song với (ACD’) và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.
3. Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB, OBC, OCD là những tam giác vuông đỉnh
O. Gọi α, β, γ lần lượt là góc giữa mặt phẳng (ABC) và các mặt phẳng (OBC), (OCA),
(OAB). Bằng phương phương pháp tọa độ , hãy chứng minh :
a. Tam giác ABC có ba góc nhọn;
b. Cos
2
α+Cos
2
β+Cos
2
γ=1
4. Cho hình hộp đứng ABCD.A
/
B
/
C
/
D
/
có đáy là hình thoi.Biết AC = 2; BD = 4;AA
/
= 4
a.Xác định góc và khoảng cách giữa AD
/
và BD.

b.Điểm M thuộc cạnh AA
/
sao cho góc BMD = 1V khi đó M chia AA
/
theo tỷ số
nào ?
5. Cho tứ diện SABC có mặt ABC là tam giác vuông tại A cạnh SB vuông góc với mặt
phẳng (ABC); cạnh SB = AC = 4; cạnh AB = 2; M là trung điểm của SC
a. Xác định góc giữa SC và mặt phẳng (ABM).
b. Xác định giao điểm của đường vuông góc chung của SA và BC với mặt phẳng
(ABM)
6. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bên SA vuông góc
với đáy. Điểm M thuộc cạnh SD sao cho MD : MS =1:2.Góc giữa SC và AD bằng 60
0
,

khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( AMC) bằng 2. Tính diện tích của tam giác AMC.
7. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi có hai đường chéo AC = 2,
BD = 4; hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm O của AC và
BD. Đường cao của hình chóp bằng 2. Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của hai mặt bên
(SAB) và (SAD).
a. Chứng minh rằng mặt phẳng (MNO) // với SC
b. Gọi d là đường thẳng đi qua trung điểm I của SO và vuông góc với mặt phẳng
(MNO)
Xác định giao điểm của d với mặt phẳng (SCD).
8. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ có cạnh A
/
D
/
= 4; A’B’=AA

/
= 3.
a. Điểm M
∈
AA
/
, mặt phẳng (BMD
/
) cắt hình hộp chữ nhật theo thiết diện là
hình gì ?
b. Trong trường hợp nào thiết diện là hình chữ nhật.
c. Tìm vị trí của M để thiết diện là bé nhất.
9. [ Bài 5 trang 60 SGK HH 12 ]: Cho hình lập phương ABCD. A
/
B
/
C
/
D
/
có cạnh bằng a.
Trên B
/
C
/
và CD lấy các điểm M và N sao cho B
/
M = CN = x ( 0
≤
x

≤
a ).
Chứng minh AM
⊥
CN.
10. [Bài 6 trang 60 SGK HH 12 ]: Cho hình hộp ABCD. A
/
B
/
C
/
D
/
có cạnh bằng a. Gọi
M và N lần lượt là trung điểm của CD và DD
/
; G,

G
/
lần lượt là trọng tâm của các tứ
diện A
/
D
/
MN và BCC
/
D
/
. Chứng minh đường thẳng GG

/
song song với mặt phẳng
(ABB
/
A
/
).
11. [Bài 7 trang 60 SGK HH 12 ]: Cho tứ diện ABCD; P và Q lần lượt là trung điểm
của AB và CD; Hai điểm M; N lần lượt chia 2 đoạn thẳng BC và AD theo cùng tỷ
số k. Chứng minh bốn điểm P, Q, M, N cùng thuộc một mặt phẳng.
12:[Bài 6 trang 112 SGK HH 12]: ho hình lập phương: ABCD.A
/
B
/
C
/
D
/
có cạnh bằng a.
a. CMR đường chéo A
/
C vuông góc với mặt phẳng ( AB
/
D
/
).
b. CMR giao điểm của đường chéo A
/
C và mặt phẳng ( AB
/

D
/
) là trọng tâm của
tam giác AB
/
D
/
.
c. Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( AB
/
C
/
) và ( C
/
BD )
d. Tìm cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng ( DA
/
C
/
) và ( ABB
/
A ).
13: [Bài 7 trang 112 SGK HH 12 ]: Cho hình lập phương ABCD A
/
B
/
C
/
D
/

cạnh a. Các
điểm M thuộc AD
/
và N thuộc DB sao cho AM = DN = k ( 0 < k < a
2
).
a. Tìm k để MN ngắn nhất.
b. CMR MN luôn song song với mặt phẳng ( A
/
D
/
CB ) khi k biến thiên.
c. Khi MN ngắn nhất, CMR MN là đường vuông góc chung của AD
/
và DB, và
MN
song song với A
/
C.
14: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A
1
B
1
C
1
có các cạnh đều bằng a. Trên AB
1
và
BC
1

lấy hai điểm M và N sao cho MN
⊥
AB và MN =
3
a
. Tìm tỉ số M chia đoạn
thẳng AB
1
và tỉ số N chia đoạn thẳng BC
1
.
15: Cạnh của hình lập phương ABCD A
1
B
1
C
1
D
1
bằng a. Một mặt phẳng đi qua D
1
song
với DA
1
và AB
1
, cắt đường thẳng BC
1
tại M. Tính độ dài D
1

M.
16: Cho hình lập phương ABCD A
/
B
/
C
/
D
/
cạnh a.trên đoạn thẳng BD và AD
/
lần lượt lấy
2 điểm thay đổi M và N, sao cho DM = AN = x ( 0
≤
x
≤
a
2
). Chứng minh rằng
MN luôn song song với một mặt phẳng cố định.
17: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A. Gọi M và
N lần lượt là trung điểm của BC và CC’, góc giữa AB và mặt phẳng (AMN) bằng 30
0
;
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (AMN) là 2. Tính thể tích của lăng trụ .
18: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ cạnh AB = AD = 2 ; AA’ = 3.
Gọi M ; N ; K lần lượt là trung điểm các cạnh AA’; AD; AB. Điểm P thuộc BB’ sao
cho BP = 1.
a. Xác định góc giữa hai mặt phẳng (MNK) và mặt phẳng (A’DP) .
b. Hình chiếu của D’P trên mặt phẳng (MNK) cắt mặt phẳng (ABCD) tại I, tính

khoảng cách từ I đến mặt phẳng (A’DP) .
19: Tứ diện S.ABC , ABC là tam giác vuông cân đỉnh B, AB = a, SA vuông góc với mặt
phẳng (ABC). Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của SB, O là trung điểm của BC,
(d) là đường thẳng đi qua O và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Dựng giao diện
điểm K của (d) và mặt phẳng (Q). Tính OK.
20: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên
SA = a và vuông góc với đáy ABCD. Dựng đường vuông góc chung và tính
khoảng cách giữa AB và SC.
21:[ĐHCĐ- A- 2002]: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy
bằng a.Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích
tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
22:[ĐHCĐ- B- 2002]: Cho hình lập phương ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
có cạnh bằng a.
a. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A
1
B và B
1
D.
b. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh A
1
B; CD; A
1
D

1
. Tính góc giữa
hai đường thẳng MP và C
1
N.
23:[ĐHCĐ- B- 2003]: Cho hình lăng trụ đứng ABCD. A
/
B
/
C
/
D
/
có đáy ABCD là một
hình thoi cạnh a, góc BAD = 60
0
. Gọi M là trung điểm của cạnh AA
/
và N là trung
điểm của cạnh CC
/
. Chứng minh rằng 4 điểm B
/
, M, D, N cùng thuộc một mặt
phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA
/
theo a để tứ giác B
/
MDN là hình vuông.
……………………