40 đề thi thử toán 11 học kì 2 có đáp án

WWW.TOANCAPBA.NET
WWW.TOANCAPBA.NET
Đề số 1
ĐỀ THI THỬ HK 2-Năm học 2012- 2013
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I:(2.0 điểm). Tính các giới hạn sau:
a)
x
x
x
1
3 2
lim
1
+
→−
+
+
b)
x
x
x
2
2
lim
7 3
→
−

+ −
c)
x
x x x
x
2
1 3
lim
2 7
→−∞
− − +
+
d)
x
x
x x
3
2
0
1 1
lim
→
+ −
+
Câu II (1,0 điểm).
Cho hàm số:
x
khi x
f x
x

ax khi x
1
1
( )
1
3 1

−

>
=

−

≤

. Xác định a để hàm số liên tục tại điểm x = 1.
Câu III:(3.0 điểm).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = 2a.
1) Chứng minh
SAC SBD( ) ( )⊥
;
SCD SAD( ) ( )⊥
2) Tính góc giữa SD và (ABCD); SB và (SAD) ; SB và (SAC).
3) Tính d(A, (SCD)); d(B,(SAC))
Câu IV:(1.0 điểm).
Chứng minh rằng phương trình sau có it nhất một nghiệm âm:
x x
3
1000 0,1 0+ + =

II. PHẦN RIÊNG(3,0 điểm):Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần riêng(phần A
hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu Va:(2.5 điểm)
1) Tìm đạo hàm các hàm số sau: a)
x x
y
x
2
2 3
2 1
− +
=
+
b)
x x
y
x x
sin cos
sin cos
+
=
−
2) Cho
y x xsin2 2cos= −
. Giải phương trình
y
/
= 0 .
3) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y x x
3 2
3 2= − +
. Tại điểm M ( –1; –
2)
Câu VIa (0.5 điểm)
Cho cấp số cộng biết tổng 10 số hạng đầu bằng 85 và số hạng thứ 5 bằng 7. Tìm số hạng thứ 100.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu Vb:(2.5 điểm)
1) Tìm đạo hàm các hàm số sau: a)
y x x x
2
( 1) 1= + + +
b)
y x1 2tan= +

WWW.TOANCAPBA.NET
1
WWW.TOANCAPBA.NET
2) Cho
f x x
x
x
3
64 60
( ) 3 16= − − +
. Giải phương trình
f x( ) 0
′
=

.
3) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y x x
3 2
3 2= − +
. Biết tiếp tuyến
vuông góc với đường thẳng d:
y x
1
2
9
= − +
.
Câu VIb (0.5 điểm)
Chứng minh rằng nếu ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng thì ba số x, y, z cũng lập
thành một cấp số cộng, với:
x a bc
2
= −
,
y b ca
2
= −
,
z c ab
2
= −
.
HẾT
Họ và tên: …………………………………………… Số báo danh:……………………

CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM
I
(2điểm)
a)
x
x
x
1
3 2
lim
1
+
→−
+
+
. Ta có:
x
x
x
x
x x
1
1
lim ( 1) 0
lim (3 1) 2 0
1 1 0
+
+
→−
→−


+ =


+ = − <


> − ⇒ + >


⇒
x
x
x
1
3 2
lim
1
+
→−
+
= −∞
+
b)
( )
( )
x x x
x x x
x
x

x
2 2 2
2 (2 ) 7 3
lim lim lim 7 3 6
2
7 3
→ → →
− − + +
= = − + + = −
−
+ −
c)
x x x
x
x x
x
x
x
x x x
x
x
x x
x x
2
2
2
1 1
1 1
1 3
1 3

1 3
lim lim lim 1
2 7
7 7
2 2
→−∞ →−∞ →−∞
 
− − − +
 ÷
− − +
 ÷
− − +
 
= = =
+
   
+ +
 ÷  ÷
   
d)
( )
( )
( )
( )
x x x
x x x
x x
x x x x x
3 3 2
2

0 0 0
3 3
1 1
lim lim lim 0
1 1 1 1 1 1
→ → →
+ −
= = =
+
+ + + + + +
II
(1điểm)
x
khi x
f x
x
ax khi x
1
1
( )
1
3 1

−

>
=

−


≤

Ta có: •
f a(1) 3=
•
x x
f x ax a
1 1
lim ( ) lim 3 3
− −
→ →
= =
•
x x x
x
f x
x
x
1 1 1
1 1 1
lim ( ) lim lim
1 2
1
+ + +
→ → →
−
= = =
−
+
Hàm số liên tục tại x = 1 ⇔

x x
f f x f x
1 1
(1) lim ( ) lim ( )
− +
→ →
= =
⇔
a a
1 1
3
2 6
= ⇔ =
III
(3điểm)
1) • BD ⊥ AC, BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥
(SAC) ⇒ (SBD) ⊥ (SAC)
• CD ⊥ AD, CD ⊥ SA ⇒ CD ⊥
(SAD) ⇒ (DCS) ⊥ (SAD)
WWW.TOANCAPBA.NET
2
S
A
B
CD
O
H
WWW.TOANCAPBA.NET
2) • Tìm góc giữa SD và mặt phẳng (ABCD)
SA ⊥ (ABCD) ⇒

·
( )
·
SD ABCD SDA,( ) =
·
SA a
SDA
AD a
2
tan 2= = =
• Tìm góc giữa SB và mặt phẳng (SAD)
AB ⊥ (ABCD) ⇒
·
( )
·
SB SAD BSA,( ) =
·
AB a
BSA
SA a
1
tan
2 2
= = =
• Tìm góc giữa SB và mặt phẳng (SAC).
BO ⊥(SAC) ⇒
·
( )
·
SB SAC BSO,( ) =

.
a
OB
2
2
=
,
a
SO
3 2
2
=
⇒
·
OB
BSO
OS
1
tan
3
= =
3) • Tính khoảng cách từ A đến (SCD)
Trong ∆SAD, vẽ đường cao AH. Ta có: AH ⊥ SD, AH ⊥ CD ⇒ AH ⊥
(SCD) ⇒ d(A,(SCD)) = AH.
a
AH
AH SA AD a a
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 2 5
5

4
= + = + ⇒ =
⇒
a
d A SCD
2 5
( ,( ))
5
=
• Tính khoảng cách từ B đến (SAC)
BO ⊥ (SAC) ⇒ d(B,(SAC)) = BO =
a 2
2
IV
(1điểm)
Xét hàm số
f x x x
3
( ) 1000 0,1= + +
⇒ f liên tục trên R.
f
f f
f
(0) 0,1 0
( 1). (0) 0
( 1) 1001 0,1 0

= >
⇒ − <


− = − + <

⇒ PT
f x( ) 0=
có ít nhất một
nghiệm
c ( 1;0)∈ −
a)
x x x
y y
x
x x x
2
2 2
2 3 3 7
'
2 1
(2 1) 2 3
− + −
= ⇒ =
+
+ − +
b)
x x
y y x y x
x x
x
2
2
sin cos 1

tan ' 1 tan
sin cos 4 4
cos
4
π π
π
 
   
+
= ⇒ = − + ⇒ = − = − + +
 ÷
 ÷  ÷
−
 
   
 
+
 ÷
 
Va
(2,5điểm
)
y x x y x xsin2 2cos 2cos2 2sin
′
= − ⇒ = +
PT
y x x x x
2
' 0 2cos2 2sin 0 2sin sin 1 0= ⇔ + = ⇔ − − =
x

x
sin 1
1
sin
2

=

⇔
= −



WWW.TOANCAPBA.NET
3
WWW.TOANCAPBA.NET
x k
x k
x k
2
2
2
6
7
2
6
π
π
π
π

π
π

= +



⇔ = − +


= +


C y x x
3 2
( ): 3 2= − +
⇒
y x x
2
3 6
′
= −
1) Tại điểm M(–1; –2) ta có:
y ( 1) 9
′
− =
⇒ PTTT:
y x9 7= +
VIa
(0.5điểm

)
1
10
10(2 9 )
85
2
u d
s
+
= =

→
1
2 9 17u d+ =
(1) ,
5 1
4 7u u d= + =
(2)
từ (1),(2) có
1
5, 3u d= − =
100
5 99.3 292u = − + =
Vb
(2,5điểm
)
a)
x x
y x x x y
x x

2
2
2
4 5 3
( 1) 1
2 1
+ +
′
= + + + ⇒ =
+ +
b)
x
y x y
x
2
1 2tan
1 2tan '
1 2tan
+
= + ⇒ =
+
f x x
x
x
3
64 60
( ) 3 16= − − +
⇒
f x
x x

4 2
192 60
( ) 3
′
= − + −
PT
4 2
4 2
192 60
2
20 64 0
( ) 0 3 0
4
0


= ±
− + =
′
= ⇔ − + − = ⇔ ⇔


= ±
≠


x
x x
f x
x

x
x x
Tiếp tuyến vuông góc với d:
y x
1
2
9
= − +
⇒ Tiếp tuyến có hệ số góc
k 9
=
.
Gọi
x y
0 0
( ; )
là toạ độ của tiếp điểm.
Ta có:
y x
0
( ) 9
′
=
⇔
x
x x x x
x
2 2
0
0 0 0 0

0
1
3 6 9 2 3 0
3

= −
− = ⇔ − − = ⇔

=

• Với
x y
0 0
1 2= − ⇒ = −
⇒ PTTT:
y x9 7= +
• Với
x y
0 0
3 2= ⇒ =
⇒ PTTT:
y x9 25= −
VIb
(0,5điểm
)
CMR nếu ba số a, b, c lập thành CSC thì ba số x, y, z cũng lập thành CSC,
với:
x a bc
2
= −

,
y b ca
2
= −
,
z c ab
2
= −
.
a, b, c là cấp số cộng nên
+ =a c b2
Ta có 2y =
2 2 2
2 2 , ( )b ca x z a c b a c− + = + − +
⇒
2 2 2 2 2
( ) 2 2 4 2 2 2 2 2x z a c ac b b ac b b ac y+ = + − − = − − = − =
(đpcm)
HẾT
* Lưu ý: Nếu học sinh có cách giải khác mà vẫn đúng thì giám khảo cho điểm tối đa từng phần
như đáp án trên.
WWW.TOANCAPBA.NET ĐỀ THI THỬ HK 2-Năm học 2012- 2013
WWW.TOANCAPBA.NET
4
WWW.TOANCAPBA.NET
Đề số 2
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (1.5 điểm) Tìm các giới hạn sau:

1.
2
2
4 1
lim
5 2 3
n
n n
−
+ −
2.
x
x x
x
2
3
4 3
lim
3
→
− +
−
3.
4 1 3
lim
2
2
x
x
x

+ −
−
→

Câu 2: (1,0 điểm) Tìm giá trị của tham số m để hàm số
2
3 2
khi 1
( )
1
2 5 khi 1
x x
x
f x
x
mx x





+ +
> −
=
+
+ ≤ −
liên tục tại x = - 1
Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1.
2

2 1
2
x
y
x x
+
=
+ −
2.
( )
y x x
10
2
1= + +
Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc
với mặt phẳng đáy và SA = a.
1. Chứng minh :
( ) ( )SBD SAC⊥
.
2. Tính tan góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).
3. Gọi H là hình chiếu của A trên cạnh SB . Chứng minh
( )AH SBC⊥
. Tính AH.
II. Phần riêng(3.0 điểm)
Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần( phần cho chương trình chuẩn 5a ,6a ;phần cho chương
trình nâng cao 5b, 6b)
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình
5 4
3 5 2 0x x x− + − =

có ít nhất hai nghiệm thuộc
khoảng (0; 2).
Câu 6a: (2,0 điểm)
1. Cho hàm số
f x x x x
5 3
( ) 2 3= + − −
. Chứng minh rằng:
f f f(1) ( 1) 6. (0)
′ ′
+ − = −
2. Cho hàm số
x x
y
x
2
2
1
− +
=
−
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(2; 4).
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình
x x
5 3
10 100 0− + =
có ít nhất một nghiệm âm.
Câu 6b: (2,0 điểm)
a) Cho hàm số

4 4 2
sin os 1 2siny x c x x= − + −
. CMR y’=0
b) Cho hàm số
x x
y
x
2
2
1
− +
=
−
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến có
hệ số góc k = –1.
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: Số báodanh:
Chữ kí của giám thị 1: Chữ kí của giám thị 2:
WWW.TOANCAPBA.NET
5
WWW.TOANCAPBA.NET
II. Đáp án và thang điểm
Câu Ý Nội dung Điểm
1(1.5) 1
2
2
2
2
2
1

4
4 1 4
lim lim
5 2
5 2 3 3
3
n
n
n n
n n
−
−
= = −
+ −
+ −
0,25+0.25
x x
x x x x
x x
2
3 3
4 3 ( 3)( 1)
lim lim
3 3
→ →
− + − −
=
− −
x
x

3
lim( 1) 2
→
= − =
0,25+0.25
3
2 2
4 1 3 4 8
lim lim
2
( 2)( 4 1 3)
x x
x x
x
x x
→ →
+ − −
=
−
− + +
0,25
2
4 2
lim
3
4 1 3
x
x
→
= =

+ +
0,25
2(1.0)
* f(-1) = -2m + 5
*
1 1
lim ( ) lim(2 5) 2 5
x x
f x mx m
− −
→− →−
= + = − +
*
2
1 1 1
3 2
lim ( ) lim lim( 2) 1
1
x x x
x x
f x x
x
+ + +
→− →− →−
+ +
= = + =
+
Hàm số f(x) liên tục tại x = -1 khi
1 1
lim ( ) lim ( ) ( 1) m=2

x x
f x f x f
+ −
→− →−
= = − ⇔
0,25
0.25
0.25
0.25
3(1.0) 1
2 2
2 2
(2 1)'( 2) (2 1)( 2)'
'
( 2)
x x x x x x
y
x x
+ + − − + + −
=
+ −

2
2 2
2 2 5
( 2)
x x
x x
− − −
=

+ −
0.25
0.25
2
( )
x
y x x y x x
x
10
9
2 2
2
1 ' 10 1 1
1
 
 
 ÷
= + + ⇒ = + + +
 ÷
 ÷
 
+
 
0,25
x x
y
x
10
2
2

10 1
'
1
 
+ +
 ÷
 
⇒ =
+
0,25
4(3.0)
1.(1,0 điểm) Hình vẽ
( ) (1)
BD SA
BD SAC
BD AC
⊥

⇒ ⊥

⊥

( ) (2)BD SBD⊂
Từ (1) và (2) suy ra (SBD)
⊥
(SAC)
0.25
0.25+0.25
0.25
0.25

WWW.TOANCAPBA.NET
6
WWW.TOANCAPBA.NET
2.(0,75 điểm)
SA
⊥
(ABCD)
⇒
AC là hình chiếu của SC lên (ABCD)
⇒
Góc giữa SC và (ABCD) là
·
SCA
·
2
tan
2
SA
SCA
AC
= =
3.(1,0 điểm)
( )
AB BC
SAB BC
SA BC
⊥

⇒ ⊥


⊥

(3)AH BC⇒ ⊥
mà
(4)AH SB⊥

Từ (3) và (4) suy ra :
( )AH SBC⊥

1 2
2 2
a
AH SB= =
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
5a(1.0)
Đặt
5 4
( ) 3 5 2f x x x x= − + −
Hàm số f(x) liên tục trên IR. Do đó nó liên tục trên các đoạn [0;1]
và [1;2].
Ta có : f(0) = -2, f(1) = 1
⇒
f(0).f(1) < 0
f(1) = 1, f(2) = -8

⇒
f(1).f(2) < 0
Phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (0;1) và 1 nghiệm
thuộc khoảng (1;2)
Vậy phương trình có ít nhất 2 nghiệm thuộc khoảng (0;2).
0,25
0.25
0.25
0.25
6a(2.0) 1
f x x x x
5 3
( ) 2 3= + − −

f x x x f f f
4 2
( ) 5 3 2, (1) 6, ( 1) 6, (0) 2
′ ′ ′ ′
= + − = − = = −
0,25+0.25
Vậy:
f f f(1) ( 1) 6. (0)
′ ′
+ − = −
0,5
2
x x x x
y y k f
x
x

2 2
2
2 2 1
' (2) 1
1
( 1)
− + − −
′
= ⇒ = ⇒ = = −
−
−
0,25+0.25
x y k PTTT y x
0 0
2, 4, 1 : 2= = = − ⇒ = − +
0,25+0.25
5b(1.0)
Gọi
f x x x
5 3
( ) 10 100= − +
⇒
f x( )
liên tục trên R 0,25
f(0) = 100,
f
5 4 4
( 10) 10 10 100 9.10 100 0− = − + + = − + <

f f(0). ( 10) 0⇒ − <

0,25
0.25
⇒ phương trình có ít nhất một nghiệm âm
c ( 10;0)∈ −
0,25
6b(2.0) 1
= − +
⇒
2
y x cos x cos2x=0
y'=0
2
sin
(đpcm)
0,25+0.25
0.25+0.25
2
x x x x
y y
x
x
2 2
2
2 2 1
'
1
( 1)
− + − −
= ⇒ =
−

−
0,25
Gọi
x y
0 0
( ; )
là toạ độ tiếp điểm.
0,25
WWW.TOANCAPBA.NET
7
WWW.TOANCAPBA.NET
⇒
x x
x
y x x x
x
x
2
2
0 0
0
0 0 0
2
0
0
2 1
0
( ) 1 1 2 0
2
( 1)

− −

=
′
= ⇔ = − ⇔ − = ⇔

=
−

Nếu
x y PTTT y x
0 0
0 2 : 2= ⇒ = − ⇒ = − −
0,25
Nếu
x y PTTT y x
0 0
2 4 : 6= ⇒ = ⇒ = − +
0,25
WWW.TOANCAPBA.NET
Đề số 3
ĐỀ THI THỬ HK 2-Năm học 2012- 2013
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

A – PHẦN CHUNG (6,5 điểm)
Bài 1 (1,5 điểm). Tìm các giới hạn sau:
a)
→
−

− +
x
x
x x
3
2
1
27
lim
5 6
b)
→−∞
+ −
+ + −
x
x x
x x x
4 2
3 4
2 4 1
lim
3 5 4
3)
→+∞
 
+ + −
 ÷
 
x
x x x

2
lim 9 3 1 3

Bài 2 (1,5 điểm).
1) Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:

−
≠ −


− −
=


+ = −


x
x
x x
f x
x x
2
2
1
, 1
2 3
( )
1
1 , 1

2

Bài 3 (1,5 điểm). Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) y =
5
3
x
2
- 2x
2
+ 2x + 1 - 5
x
b)
= − +y x x
2
(5 3) 9 1
c)
( )
( )
+
=
−
x
y
x
sin 3 1
cos 15 2
Bài 4 (2,0 điểm).Cho hình chóp A.BCD có đáy là tam giác BCD vuông tại C , BC = CD =
2a , AB ⊥ (BCD), AB = a. Gọi M là trung điểm BD
a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (AMC) và (BCD)
B – PHẦN RIÊNG (Thí sinh được chọn làm một trong hai phần sau)
I – PHẦN DÀNH CHO BAN KHTN
Bài 5A (2,0 điểm).
a) Tính
→−∞
 
 
+ +
 ÷
 
 
 
x
x x x
2
lim 3 5 25 1
.
b) Cho hàm số y =
2 2
3
x
x
+
⊥
−
(C
1
). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C
1

) biết tiếp
tuyến song song với đường thẳng 2x + y – 12 = 0 và hoành độ của tiếp điểm là một số
âm.
Bài 6A (1,5 điểm). Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’
a) Chứng minh hai mặt chéo của hình lập phương vuông góc với nhau
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BD’
II – PHẦN DÀNH CHO BAN CƠ BẢN
Bài 5B (2,0 điểm).
WWW.TOANCAPBA.NET
8
WWW.TOANCAPBA.NET
a) Tính
→
+ − +
−
x
x x
x
2
2
1
3 3 1
lim
1
.
b) Cho hàm số
+
=
−
x

y
x
2 1
1
(C
2
). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C
2
) tại điểm có
hoành độ x = 2.
Bài 6B (1,5 điểm). Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi I là trung điểm của cạnh CD.
a) chứng minh (AIB)
⊥
(BCD).
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD.
WWW.TOANCAPBA.NET
9
WWW.TOANCAPBA.NET
CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM
1a
(0,5đ)
=
( )
( )
( ) ( )
2
2
3 3
3 3 9
3 9

lim lim 27
3 1 1
x x
x x x
x x
x x x
→ →
− + +
+ +
= =
− − −
0,25x
2
1b
(0,5đ)
=
2
2
4
4
4
4
4 3
4 3
4 1
4 1
2
2
1
lim lim

3 5 1
3 5 1
2
4
4
x x
x
x
x
x
x
x
x x x
x x x
→−∞ →−∞
 
+ −
+ −
 ÷
 
= = −
 
+ + −
+ + −
 ÷
 
0,25x
2
1c
(0,5đ)

=
2 2
2 2
9 3 1 9 3 1
lim lim
9 3 1 3 9 3 1 3
x x
x x x x
x x x x x x
→+∞ →+∞
+ + − +
=
+ + + + + +

2
2
1 1
(3 ) (3 )
1
lim lim
2
3 1
3 1
9 3
9 3
x x
x
x x
x
x x

x x
→+∞ →+∞
+ +
= = =
 
+ + +
+ + +
 ÷
 
0,25
0,25
2a
(1,0đ)
TXĐ: D =
\{3}ℜ
\{-1;3}x∀ ∈ℜ
ta có hàm số phân thức hữu tỉ y =
2
2
1
2 3
x
x x
−
− −
nên liên tục
Xét tại x= -1 ta có: f(-1) =
1
2
;

2
2
1 1
1 1
lim ( ) lim
2 3 2
x x
x
f x
x x
→ →
−
= =
− −
Vậy
1
lim ( )
x
f x
→
= f(-1) nên hàm số liên tục tại x = -1
Kết luận: hàm số liên tục trên
\{3}ℜ
và gián đoạn tại x = 3
0,25
0,25
0,25
0,25
2b
(0,5đ)

Đặt f(x) = 4x
3
– 9x
2
+2x + 2. Ta có f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên R
f(-1)= -13; f(0) = 2; f(1) = -1; f(2) = 2
khi đó: f(-1).f(0) = -26; f(0).f(1) = - 2; f(1).f(2) = - 2
vậy hàm số có ít nhất ba nghiệm thuộc (-1; 2)
0,25
0,25
3a
(0,5đ)
y’ = 5x
2
– 4x + 2 -
5
2 x
0,5
3b
(0,5đ)
y’ = (5x - 3)’.
2
9 1x +
+ (5x - 3).(
2
9 1x +
)’
= 5.
2
9 1x +

+ (5x - 3).
( )
2
2
9 1 '
2 9 1
x
x
+
+
= 5.
2
9 1x +
+ (5x - 3).
2
18
2 9 1
x
x +
= 5.
2
9 1x +
+ (5x - 3).
2
9
9 1
x
x +
0,25
0,25

3c
(0,5đ)
y’ =
( ) ( )
[ ]
2
sin 3 1 '. os(15 2 ) sin 3 1 os(15 2 ) '
os (15 2 )
x c x x c x
c x
+ − − + − 
 
−
=
( ) ( ) ( )
2
3 1 ' os 3 1 . os(15 2 ) (15 2 )'sin 3 1 sin(15 2 )
os (15 2 )
x c x c x x x x
c x
+ + − + − + −
−
=
( ) ( )
2
3 os 3 1 . os(15 2 ) 2sin 3 1 sin(15 2 )
os (15 2 )
c x c x x x
c x
+ − − + −

−
0,25
0,25
4a
(1,0đ)
Hình vẽ để làm đúng câu a)
Vì AB
⊥
(BCD) nên AB
⊥
BC vậy
∆
ABC vuông ở B
Vì AB
⊥
(BCD) nên AB
⊥
BD vậy
∆
ABD vuông ở B
Ta có:
AB CD
BC CD
⊥


⊥


⇒

CD
⊥
(ABC)
⇒
CD
⊥
AC. Vậy
∆
ACD vuông ở C
0,25
0,25
0,25
WWW.TOANCAPBA.NET
10
WWW.TOANCAPBA.NET
0,25
4b
(1,0đ)
Kẻ BH
⊥
AM khi đó BH
⊥
(AMC).
Vậy góc giữa (AMC) và (BCD) là góc giữa AB và BH là
ABH
∧

Ta có AB = a; BM =
2
2

BD
a
=
cot
ABH
∧
= tan
BAM
∧
=
BM
AB
=
2
⇒
ABH
∧
≈
35
0
15’52”
0,25
0,25
0,25
0,25
5Aa
(1,0đ)
=
(
)

( )
( )
2 2
2
2
3 25 25 1
lim 3 5 25 1 lim
5 25 1
x x
x x x
x x x
x x
→−∞ →−∞
− +
+ + =
− +
2
2
3 3 3
lim lim
10
1
1
5 25
5 25
x x
x
x
x
x

→−∞ →−∞
− − −
= = =
 
+ +
+ +
 ÷
 
0,5
0,5
5Ab
(1,0đ)
Gọi tiếp điểm là M
0
(x
0;
y
0
). Ta có y’ =
( )
2
8
3x
−
−
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng d: 2x + y – 1 = 0 nên phương trình
tiếp tuyến có dạng 2x + y + c = 0 (1)
Khi đó hệ số góc tiếp tuyến k = - 2 nên
( )
2

0
8
3x
−
−
= -2
0
0
7( )
1
x l
x
=

⇔

= −

Với x
0
= -1 thì y
0
= 0 ta được c = 2. phương trình tiếp tuyến là: 2x + y – 1 =
0
0,25
0,25
0,25
0,25
6Aa
(0,75đ)

Hình vẽ để làm đúng câu a)
Ta có AC
⊥
BD;
BB’
⊥
(ABCD)
⇒
BB’
⊥
AC
Vậy AC
⊥
(BB’D’D)
⇒
(AA’C’C)
⊥
(BB’D’D)
0,25
0,25
0,25
6Ab
(0,75đ)
Ta có AA’//BB’
⇒
AA’//(BB’D’D)
Mà BD’
⊂
(BB’D’D) nên khoảng cách từ AA’ đến BD’ bằng khoảng cách từ
AA’ đến (BB’D’D) bằng OA =

2
2
a
0,25
0,25
0,25
5Ba
(1,0đ)
=
( )
→
  
+ − + + + −
 ÷ ÷
  
 
− + + −
 ÷
 
x
x x x x
x x x
2 2
1
2 2
3 3 1 3 3 1
lim
1 3 3 1
=
( )

( ) ( )
→
+ − −
 
− + + + −
 ÷
 
x
x x
x x x x
2
2
1
2
3 3 1
lim
1 1 3 3 1
=
( ) ( )
( )
( ) ( )
→ →
 
− − +
 ÷
− + +
 
=
   
− + + + − − + + + −

 ÷  ÷
   
x x
x x
x x
x x x x x x x x
2
1 1
2 2
1
8 1
4
8 6 2
lim lim
1 1 3 3 1 1 1 3 3 1
( )
→
 
− +
 ÷
 
=
 
+ + + −
 ÷
 
x
x
x x x
1

2
1
8
4
lim
1 3 3 1
= -
5
4
0,25
0,25x
2
0,25
WWW.TOANCAPBA.NET
11
H
C
A
B
D
M
C'
B'
A'
D
A B
C
D'
WWW.TOANCAPBA.NET
5Bb

(1,0đ)
Gọi tiếp điểm là M
0
(2;y
0
)
Ta có y’ =
( )
2
3
1x
−
−
; f ’(2) = -3; y
0
= 5
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm M
0
(2;5) là: y = - 3(x - 2) + 5 hay y = -
3x -1
0,25x
3
0,25
6Ba
(0,75đ)
Hình vẽ để làm đúng câu a)
∆
ACD cân nên AI
⊥
CD

∆
BCD cân nên BI
⊥
CD
⇒
CD
⊥
(AIB)
⇒
(BCD)
⊥
(AIB)
0,25
0,25
0,25
6Bb
(0,75đ)
Trong (AIB) Kẻ IH
⊥
AB khi đó IH là đường vuông góc chung của AB và
CD
Ta có AI =
−AB IB
2 2
=
a 3
2
; IH =
−AI AH
2 2

=
 
 
−
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
a a
2
2
3
2 2
=
a 2
2
0,25
0,25X
2
WWW.TOANCAPBA.NET
Đề số 4
ĐỀ THI THỬ HK 2-Năm học 2012- 2013
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
A. PHẦN CHUNG (7điểm). (Dành cho tất cả các thí sinh)
Câu I(1,5điểm). Tìm các giới hạn sau:
1)
3 2
3

6 4
lim
2 3
+ +
−
n n
n
2)
0
1 1
lim
→
+ −
x
x
x
Câu II(1điểm). Tìm m để hàm số
2
2 3
1
( )
1
2 1
x x
khi x
f x
x
mx khi x

+ −

<

=
−


− ≥

liên tục tại
.1
=
x
Câu III(1,5điểm). Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1)
2
sin cos2y x x x
= + −
2)
2
2 5y x x= + −
Câu IV(3điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều ABC cạnh bằng a. Cạnh bên
SB
vuông góc mặt phẳng
( )ABC
và
2SB a=
. Gọi I là trung điểm của cạnh BC.
1) Chứng minh rằng AI vuông góc mặt phẳng (SBC).
2) Tính góc hợp bởi đường thẳng SI với mặt phẳng (ABC).
3) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAI).

B. PHẦN RIÊNG (3điểm). (Thí sinh học chương trình nào thì làm theo chương trình đó)
1. Theo chương trình cơ bản.
Câu Va(2điểm). Cho hàm số
( )
3 2
3 4= = − −y f x x x
có đồ thị (C).
1) Giải phương trình
( )
2.
′
=
f x
WWW.TOANCAPBA.NET
12
A
I
BB
D
C
HB
WWW.TOANCAPBA.NET
2) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ
0
1.=x
Câu VIa(1điểm).
Chứng minh phương trình
3
3 1 0x x− + =
có ít nhất 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng

( )
2;2 .−
2. Chương trình nâng cao.
Câu Vb(2điểm).
1) Cho hàm số
2
2 2
2
+ +
=
x x
y
. Chứng minh rằng:
2
2 . 1
′′ ′
− =
y y y
.
2) Cho hàm số
1 2
( )
1
x
y f x
x
−
= =
+
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp

tuyến vuông góc với đường thẳng
∆
có phương trình
4
3.
3
y x
= −
Câu VIb(1điểm).
Chứng minh rằng phương trình
( )
2 2010
3 . 2 4 0m m x x− + − − =
luôn có ít nhất một
nghiệm âm với mọi giá trị tham số m.
HẾT
ĐÁP ÁN
CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM
I
(1,5đ)
1(0,75đ)
3 2
3
3
3
1 4
6
6 4
lim lim
2

2 3
3
n n
n
n
n
n
+ +
+ +
=
−
−
= - 2






0,5
0,25
2(0,75đ)
( )
0 0
1 1
lim lim
1 1
x x
x x
x

x x
→ →
+ −
=
+ +
0
1 1
lim
2
1 1
x
x
→
= =
+ +





0,5
0,25
II
(1đ)
Ta có
( )
( ) ( )
2
1 1 1
1 3

2 3
lim lim lim 4
1 1
x x x
x x
x x
f x
x x
− − −
→ → →
− +
+ −
= = = −
− −
và
( ) ( )
1 1
lim lim 2 2
x x
f x mx m
+ +
→ →
= − = −
;
(1) 2f m= −
Hàm số liên tục tại x = 1
⇔
( )
1
lim

x
f x
−
→
=
( )
1
lim
x
f x
+
→
=
(1)f
2 4 2m m
⇔ − = − ⇔ = −



0,5
0,25
0,25
III
(1,5đ)
1(0,75đ)
( ) ( )
' 2sin . sin ' sin 2 . 2 ' 1
2sin cos 2sin 2 1
= - sin2x-1
y x x x x

x x x
= − −
= − −
0,25
0,25
0,25
WWW.TOANCAPBA.NET
13
WWW.TOANCAPBA.NET
2(0,75đ)
( )
2
2
2
2 5 '
'
2 2 5
5 2
2 2 5
x x
y
x x
x
x x
+ −
=
+ −
−
=
+ −

0,5
0,5
IV
(3đ)
1(1đ)
I
B
C
A
S
H
Tam giác ABC đều cạnh a , IB = IC =
a
2
⇒ AI ⊥ BC (1)
SB ⊥ (ABC) ⇒ SB ⊥AI (2)
Từ (1) và (2) ta có AI ⊥ (SBC)
0,25
0,25
0,25
0,25
2(1đ)
SB ⊥ (ABC) ⇒ BI là hình chiếu của SI trên (ABC)
⇒
( )
·
· ·
,( ) , tan 4
SB
SI ABC SIB SIB

IB
= = =
Kết luận:
0,5
0,25
0,25
3(1đ)
AI ⊥(SBC) (cmt) nên (SAI) ⊥ (SBC)
( ) ( )SI SAI SBC= ∩
.Trong tam giác SBI, kẻ
( )⊥ ⇒ ⊥BH SI BH SAI
( )
( )
,d B SAI BH=Þ
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 4 17 2 17
17
4 4
a
BH
BH MB BI a a a
= + = + = ⇒ =
0,25
0,25
0,25
0,25
Chương trình cơ bản
Va
(2đ)
1(1đ)

3 2
3 4y x x= − −
⇒
2
3 6y x x
′
= −
2 2
2 3 6 2 3 6 2 0y x x x x
′
= ⇔ − = ⇔ − − =
3 15 3 15
;
3 3
x x
− +
= =
0,5
0,25
0,25
2(1đ)
Tại
0
1x =
⇒
0
6= −y
Hệ số góc của TT:
(1) 3
′

= = −k y
Phương trình tiếp tuyến là
3 3y x= − −
0,25
0,5
0,25
VIa
(1đ)
Đặt f(x) = x
3
- 3x + 1. Ta có f(x) xác định, liên tục trên
¡
nên liên
tục trên các đoạn [-2;-1], [-1;1] và [1;2]
Mà f(-2). f(-1) = -3
0<
, f(-1). f(1) = -3
0<
và f(1). f(2) = -3
0<
0,25
0,5
WWW.TOANCAPBA.NET
14
WWW.TOANCAPBA.NET
Nên pt f(x) = 0 đều có 1 nghiệm thuộc mỗi khoảng (-2;-1), (-1;1) và
(1;2)
Suy ra phương trình x
3
- 3x + 1 = 0 có ít nhất 3 nghiệm phân biệt

trên
(-2; 2).
0,25
Chương trình nâng cao
Vb
(2đ)
1(1đ)
Ta có
y x y' 1 " 1= + ⇒ =
y y x x x x x y
2 2 2 2
2 . " 1 ( 2 2).1 1 2 1 ( 1)
′
− = + + − = + + = + =
0,5
0,5
2(1đ)
TXĐ D = R \ {-1};
( )
2
3
'( )
1
f x
x
−
=
+
Xác định đúng hệ số góc của TT là:
3

4
k = −
Gọi
( )
0 0
;x y
là tiếp điểm của TT, theo giả thiết ta có:

0
3
'( )
4
f x = −
( )
( )
0
2
0
0
2
0
0
0
1
1
3 3
2
1 4
3 7
4

1
2
y
x
x
x
x
y

= −

=

− −
⇔ = ⇔ + = ⇔ ⇒


= −
+
 
= −


Vậy có hai tiếp tuyến
3 1
4 4
y x= − +
và
3 23
4 4

y x= − −





0,5









0,5
VIb
(1đ)
1(1đ)
Xét hàm số f(x) = (m
2
– m + 3)x
2010
– 2x – 4 liên tục trên
¡
Ta có: f(0) = -4 và f(-1) = m
2
– m + 3 + 2 – 4 = m
2

– m + 1 > 0 ∀ m
∈
¡
.
f(0). f(-1) < 0 suy ra tồn tại x
0
∈ (-1; 0): f(x
0
) = 0
Phương trình có ít nhất một nghiệm âm với mọi m.
0,5
0,25
0,25
WWW.TOANCAPBA.NET
Đề số 5
ĐỀ THI THỬ HK 2-Năm học 2012- 2013
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
a)
x
x x
x x
2
2
1
4 3
lim
2 3 2

→
− +
− +
b)
x
x
x x
2
0
2 1 1
lim
3
→
+ −
+
Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm
x
0
2=
:
x
khi x
f x
x
khi x
1 2 3
2
( )
2
1 2


− −

≠
=

−

=

Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
WWW.TOANCAPBA.NET
15
WWW.TOANCAPBA.NET
a)
x x
y
x
2
2
2 2
1
− +
=
−
b)
y x1 2tan= +
Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD =
a 3
, SD=

a 7
và SA
⊥
(ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB.
a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
b) Tính góc hợp bởi các mặt phẳng (SCD) và (ABCD).
c) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (MND).
II. Phần riêng
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình
m x x
2 5
(1 ) 3 1 0− − − =
luôn có nghiệm
với mọi m.
Câu 6a: (2,0 điểm)
a) Cho hàm số
y x xsin=
. Tính
y
2
π
 
′
′
 ÷
 
.
b) Cho hàm số
y x x

4 2
3= − +
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại
điểm có hoành độ bằng 1.
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình
x x x x
2
cos sin 1 0+ + =
có ít nhất một
nghiệm thuộc khoảng (0; π).
Câu 6b: (2,0 điểm)
a) Cho hàm số
y x x
4 4
sin cos= +
. Tính
y
2
π
 
′
′
 ÷
 
.
b) Cho hàm số
y x x
4 2
3= − +

có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết
tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d:
2 3 0x y+ − =
.
Hết
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .
WWW.TOANCAPBA.NET
Đề số
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ HK 2-Năm học 2012-
2013
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
NỘI DUNG ĐIỂ
M
I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
WWW.TOANCAPBA.NET
16
WWW.TOANCAPBA.NET
a)
2
2
1
4 3
lim 0
2 3 2
x
x x
x x
→

− +
=
− +
1,0
b)
( )
x x x
x x
x x
x x
x x x
2
0 0 0
2 1 1 2 2 2
lim lim lim
3
( 3) 2 1
3
( 3) 2 1 1
→ → →
+ −
= = =
+ +
+
+ + +
1,0
Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm
x
0
2=

:
x
khi x
f x
x
khi x
1 2 3
2
( )
2
1 2

− −

≠
=

−

=

( )
x x x
x
f x
x
x x
2 2 2
2(2 ) 2
lim ( ) lim lim 1

1 2 3
(2 ) 1 2 3
→ → →
−
= = =
+ −
− + −
= f(2) 0,50
Vậy hàm số liên tục tại x = 2 0,50
Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
x x x x
y y
x x
2 2
2 2 2
2 2 2 6 2
1 ( 1)
− + − − +
′
= ⇒ =
− −
0,50
b)
x
y x y
x
2
1 tan
1 2tan

1 2tan
+
′
= + ⇒ =
+
0,50
Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB
= a, AD =
a 3
, SD=
a 7
và SA
⊥
(ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của SA và SB.
0,25
a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
( )
SA AB
SA ABCD
SA AD

⊥
⊥ ⇒ ⇒

⊥

các tam giác SAB, SAD vuông tại A
0,25
BC AB

BC SB SBC
BC SA

⊥
⇒ ⊥ ⇒ ∆

⊥

vuông tại B 0,25
CD AD
CD SD SDC
CD SA

⊥
⇒ ⊥ ⇒ ∆

⊥

vuông tại D 0,25
b) Tính góc hợp bởi các mặt phẳng (SCD) và (ABCD).
SCD ABCD CD( ) ( )∩ =
AD ABCD AD CD( ),⊂ ⊥
,
SD SCD SD CD( ),⊂ ⊥
0,50
( )
· ·
AD a
SCD ABCD SDA SDA
SD

a
3 21
( ),( ) ; cos
7
7
= = = =
0,50
WWW.TOANCAPBA.NET
17
WWW.TOANCAPBA.NET
c) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (MND).
AB SA
AB SAD MN AB MN SAD
AB AD
( ), ( )

⊥
⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

P
0,25
MND SAD MND SAD DM SH DM SH MND
d S MND SH
( ) ( ), ( ) ( ) , ( )
( ,( ))
⇒ ⊥ ∩ = ⊥ ⇒ ⊥
⇒ =
0,25

·
·
2 2 2 2 2 2
0
3
7 3 4 tan 3
2
60
SA AD a
SA SD AD a a a MA a SMH
AM a
AMH
= − = − = ⇒ = = ⇒ = = =
⇒ =
0,25
·
·
0
3
: 90 .sin
2
a
SHM SHM SH SM SMH∆ = ⇒ = =
0,25
II- Phần riêng (3 điểm)
1. Theo chương trình chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình
m x x
2 5
(1 ) 3 1 0− − − =

luôn có nghiệm
với mọi m.
Gọi f(x) =
2 5
(1 ) 3 1m x x− − −
⇒ f(x) liên tục trên R 0,25
f(0) = –1, f(–1) =
m f f
2
1 ( 1). (0) 0+ ⇒ − <
0,50
⇒ phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc (–1; 0)
0,25
Câu 6a: (2,0 điểm)
a) Cho hàm số
y x xsin=
. Tính
y
2
π
 
′
′
 ÷
 
.
y x x x y x x x x' sin cos " cos sin sin= + ⇒ = + −
0,50
" 1
2 2

y
π π
 
⇒ = −
 ÷
 
0,50
b) Cho hàm số
y x x
4 2
3= − +
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại
điểm có hoành độ bằng 1.
0 0
1 3x y= ⇒ =
0,25
y x x k y
3
4 2 (1) 2
′ ′
= − ⇒ = =
0,50
Phương trình tiếp tuyến là y = 2x + 1 0,25
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình
x x x x
2
cos sin 1 0+ + =
có ít nhất một
nghiệm thuộc khoảng (0; π).

Gọi
f x x x x x
2
( ) cos sin 1= + +
⇒
f x( )
liên tục trên R 0,25
f f f f
2
(0) 1, ( ) 1 0 (0). ( ) 0
π π π
= = − + < ⇒ <
0,50
⇒
phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc
( )
0;
π
0,25
Câu 6b: (2,0 điểm)
a) Cho hàm số
y x x
4 4
sin cos= +
. Tính
y
2
π
 
′

′
 ÷
 
.
Viết lại
y x y x y x y x
2
1 3 1 1 1
1 sin 2 cos4 ' sin4 " cos4
2 4 4 16 64
= − ⇒ = − ⇒ = ⇒ =
0,75
y
1 1
" cos2
2 64 64
π
π
 
⇒ = =
 ÷
 
0,25
WWW.TOANCAPBA.NET
18
WWW.TOANCAPBA.NET
b) Cho hàm số
y x x
4 2
3= − +

có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của
(C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d:
2 3 0x y+ − =
.
1 3
:
2 2
d y x= − + ⇒
hệ số góc của tiếp tuyến là k = 2 0,25
y x x
3
4 2
′
= −
Gọi
x y
0 0
( ; )
là toạ độ của tiếp điểm ⇒
x x x x x
3 3
0 0 0 0 0
4 2 2 2 1 0 1− = ⇔ − − = ⇒ =
0,50
0
3y⇒ = ⇒
phương trình tiếp tuyến là y = 2x + 1 0,25


WWW.TOANCAPBA.NET

Đề số 6
ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
I. Phần chung
Bài 1:
1) Tìm các giới hạn sau:
a)
x
x x
x x
5 3
5 4
1
7 11
3
lim
3
2
4
→+∞
− + −
− +
b)
x
x
x
5
1 2
lim

5
→
− −
−
c)
x
x
x x
2
2
2
4
lim
2( 5 6)
→
−
− +

2) Cho hàm số :
x
f x x x
4
3
5
( ) 2 1
2 3
= + − +
. Tính
f (1)
′

.
Bài 2:
1) Cho hàm số
x x khi x
f x
ax khi x
2
1
( )
1 1

+ <
=

+ ≥

. Hãy tìm a để
f x( )
liên tục tại x = 1
2) Cho hàm số
x x
f x .
x
2
2 3
( )
1
− +
=
+

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
f x( )
tại điểm có hoành độ bằng 1.
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc với
BC, AD = a và khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng BC là a . Gọi H là trung
điểm BC, I là trung điểm AH.
1) Chứng minh rằng đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (ADH) và DH = a.
2) Chứng minh rằng đường thẳng DI vuông góc với mặt phẳng (ABC).
3) Tính khoảng cách giữa AD và BC.
WWW.TOANCAPBA.NET
19
WWW.TOANCAPBA.NET
II. Phần tự chọn
A. Theo chương trình chuẩn
Bài 4a: Tính các giới hạn sau:
1)
x
x x
x
2
9 1 4
lim
3 2
→−∞
+ −
−
2)
x
x
x x

2
2
lim
5 6
+
→−
+ +
Bài 5a:
1) Chứng minh phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
x x x
3 2
6 3 6 2 0− − + =
.
2) Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy và cạnh bên bằng a. Tính chiều cao hình
chóp.
B. Theo chương trình nâng cao
Bài 4b: Tính giới hạn:
( )
x
x xlim 1
→+∞
+ −
Bài 5b:
1) Chứng minh phương trình sau luôn luôn có nghiệm:

m m x x
2 3
( 2 2) 3 3 0− + + − =
2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc
(ABCD) và SA =

a 3
. Gọi (P) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc (SCD). Thiết
diên cắt bởi (P) và hình chóp là hình gì? Tính diện tích thiết diện đó.
Hết
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .
WWW.TOANCAPBA.NET
Đề số 6
ĐÁP ÁN ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm
học
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
Bài 1:
1) a)
x x
x x
x x
x x
x
x
5 3
2 5
5 4
5
1 7 11
1
7 11
4
3
3
lim lim

3 3 1 2
9
2
4 4
→+∞ →+∞
−
+ −
− + −
= = −
− + − +

b)
( )
x x x
x x
x
x
x x
5 5 5
1 2 5 1 1
lim lim lim
5 4
1 2
( 5) 1 2
→ → →
− − −
= = =
−
− +
− − +

c)
x x x
x x x x
x x x
x x
2
2
2 2 2
4 (2 )(2 ) ( 2) 2
lim lim lim
2( 2)( 3) 2( 3) 5
2( 5 6)
→ → →
− − + − +
= = = −
− − +
− +

2)
x
f x x x f x x x f
x
4
3 3 2
5 1 1
( ) 2 1 ( ) 2 5 (1) 5
2 3
2 2 2 2
′ ′

= + − + ⇒ = + + ⇒ = +
.
WWW.TOANCAPBA.NET
20
WWW.TOANCAPBA.NET
Bài 2:
1)
x x khi x
f x
ax khi x
2
1
( )
1 1

+ <
=

+ ≥

•
f a(1) 1= +
•
x x x
f x x x f x a f
2
1 1 1
lim ( ) lim ( ) 2, lim ( ) 1 (1)
− − +
→ → →

= + = = + =
•
f x( )
liên tục tại x = 1 ⇔
x x
f x f x f a a
1 1
lim ( ) lim ( ) (1) 1 2 1
− +
→ →
= = ⇔ + = ⇔ =
2)
x x
f x
x
2
2 3
( )
1
− +
=
+
⇒
x x
f x
x
2
2
2 5
( )

( 1)
+ −
′
=
+
Với
x y
0 0
1 1= ⇒ =
,
f
1
(1)
2
′
= −
⇒ PTTT:
y x
1 3
2 2
= − +
Bài 3:
1) CMR: BC ⊥ (ADH) và DH = a.
∆ABC đều, H là trung điểm BC nên AH ⊥ BC, AD ⊥
BC
⇒ BC ⊥ (ADH) ⇒ BC ⊥ DH ⇒ DH = d(D, BC) = a
2) CMR: DI ⊥ (ABC).
• AD = a, DH = a
⇒
∆DAH cân tại D, mặt khác I là

trung điểm AH nên DI ⊥ AH
• BC ⊥ (ADH) ⇒ BC ⊥ DI
⇒ DI ⊥ (ABC)
3) Tính khoảng cách giữa AD và BC.
• Trong ∆ADH vẽ đường cao HK tức là HK ⊥ AD
(1)
Mặt khác BC ⊥ (ADH) nên BC ⊥ HK (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra
d AD BC HK( , ) =
• Xét ∆DIA vuông tại I ta có:
a a a
DI AD AI a
2
2
2 2 2
3
2 4 2
 
= − = − = =
 ÷
 ÷
 
• Xét ∆DAH ta có: S =
AH DI
1
.
2
=
AD HK
1

.
2
⇒
a a
AH DI a
d AD BC HK
AD a
3
.
. 3
2 2
( , )
4
= = = =
Bài 4a:
1)
x x x
x x
x x
x x
x x
x
2
2 2
1 1
. 9 4 9 4
9 1 4 7
lim lim lim
3
3 2 3 2 2

2
→−∞ →−∞ →−∞
− + − − + −
+ −
= = =
− −
−
WWW.TOANCAPBA.NET
21
I
H
A
B
C
D
K
WWW.TOANCAPBA.NET
2)
x
x
x x
2
2
lim
5 6
+
→−
+ +
. Vì
x

x x
x
x
x x
x x
x x x
2
2
2
2 2
2
lim 2 0
lim ( 5 6) 0 lim
5 6
5 6 0, 2
+
+ +
→−
→− →−

= − <


+ + = ⇒ = −∞

+ +

+ + > ∀ > −



Bài 5a:
1) Xét hàm số
f x x x x
3 2
( ) 6 3 6 2= − − +
⇒
f x( )
liên tục trên R.
•
f f f f( 1) 1, (0) 2 ( 1). (0) 0− = − = ⇒ − <
⇒ PT
f x( ) 0=
có ít nhất một nghiệm
c
1
( 1;0)∈ −
•
f f f f(0) 2, (1) 1 (0). (1) 0= = − ⇒ <
⇒ PT
f x( ) 0=
có ít nhất một nghiệm
c
2
(0;1)∈
•
f f f f(1) 1, (2) 26 (1). (2) 0= − = ⇒ <
⇒ PT
f x( ) 0=
có một nghiệm
c

3
(1;2)∈
• Vì
c c c
1 2 3
≠ ≠
và PT
f x( ) 0=
là phương trình bậc ba nên phương trình có đúng ba
nghiệm thực.
2)
Bài 4b:
( )
x x
x x
x x
1
lim 1 lim 0
1
→+∞ →+∞
+ − = =
+ +

Bài 5b:
1) Xét hàm số f(x) =
f x m m x x
2 3
( ) ( 2 2) 3 3= − + + −
⇒
f x( )

liên tục trên R.
• Có g(m) =
( )
m m m m R
2
2
2 2 1 1 0,− + = − + > ∀ ∈
f f m m f f
2
(0) 3, (1) 2 2 0 (0). (1) 0= − = − + > ⇒ <
⇒ PT
f x( ) 0=
có ít nhất một nghiệm
c (0;1)∈
2)
• Trong tam giác SAD vẽ đường cao AH ⇒ AH ⊥ SD
(1)
• SA ⊥ (ABCD) ⇒ CD ⊥ SA
CD⊥ AD ⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ AH (2)
• Từ (1) và (2) ⇒ AH ⊥ (SCD)
⇒ (ABH) ⊥ (SCD) ⇒ (P)  (ABH)
• Vì AB//CD ⇒ AB // (SCD), (P) ⊃ AB nên (P) ∩
(SCD) = HI
⇒ HI // CD ⇒ thiết diện là hình thang AHIB.
Hơn nữa AB ⊥ (SAD)
AB HA
⇒ ⊥

Vậy thiết diện là hình thang vuông AHIB.
•

SD SA AD a a a
2 2 2 2
3 2= + = + =
• ∆SAD có
SA a a
SA SH SD SH SH
SD a
2 2
2
3 3
.
2 2
= ⇒ = = ⇒ =
a
HI SH a
HI CD
CD SD a
3
3 3 3
2
2 4 4 4
⇒ = = = ⇒ = =
(3)
a
AH
AH SA AD a a a
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 4 3
2
3 3

= + = + = ⇒ =
(4)
WWW.TOANCAPBA.NET
22
I
O
A
B
D
C
S
H
WWW.TOANCAPBA.NET
• Từ (3) và (4) ta có:
AHIB
AB HI AH a a a
S a
2
( ) 1 3 3 7 3
.
2 2 4 2 16
 
+
= = + =
 ÷
 
.
=========================
WWW.TOANCAPBA.NET
Đề số 7

ĐỀ THI THỬ HK 2-Năm học 2012- 2013
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
a)
n n
n
3 2
3
2 4
lim
2 3
+ +
−
b)
x
x
x
1
2 3
lim
1
+
→
−
−
Câu 2: (1,0 điểm) Tìm a để hàm số sau liên tục tại điểm x = 0:
x a khi x
f x

x x khi x
2
2 0
( )
1 0

+ <
=

+ + ≥

Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
y x x x x
2 5
(4 2 )(3 7 )= + −
b)
y x
2 3
(2 sin 2 )= +
Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của SA và SC.
a) Chứng minh AC ⊥ SD.
b) Chứng minh MN ⊥ (SBD).
c) Cho AB = SA = a. Tính cosin của góc giữa (SBC) và (ABCD).
II. Phần riêng
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi m:
m x x x
3

( 1) ( 2) 2 3 0− + + + =
Câu 6a: (2,0 điểm) Cho hàm số
y x x
4 2
3 4= − −
có đồ thị (C).
a) Giải phương trình:
y 2
′
=
.
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ
x
0
1=
.
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b: Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi m:
m m x x
2 4
( 1) 2 2 0+ + + − =
Câu 6b: (2,0 điểm) Cho hàm số
y f x x x
2
( ) ( 1)( 1)= = − +
có đồ thị (C).
a) Giải bất phương trình:
f x( ) 0
′
≥

.
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành.
WWW.TOANCAPBA.NET
23
WWW.TOANCAPBA.NET
Hết
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .
ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II
MÔN TOÁN LỚP 11
WWW.TOANCAPBA.NET
Câu Ý Nội dung Điểm
1 a)
3 2
3
3
3
1 4
2
2 4
lim lim
2
2 3
3
n n
n
n
n
n
+ +
+ +

=
−
−
0,50
=
2
3
−
0,50
b)
Nhận xét được:
x
x
x
x
x x
1
1
lim( 1) 0
lim(2 3) 1 0
1 1 0
+
+
→
→
+

− =



− = − <


→ ⇒ − >


0,75
Kết luận:
1
2 3
lim
1
x
x
x
+
→
−
= −∞
−
0,25
2
x a khi x
f x
x x khi x
2
2 0
( )
1 0


+ <
=

+ + ≥

•
x
f x f
0
lim ( ) (0) 1
+
→
= =
0,50
•
x x
f x x a a
0 0
lim ( ) lim( 2 ) 2
− −
→ →
= + =
0,25
• f(x) liên tục tại x = 0 ⇔ 2a = 1
1
2
a⇔ =
0,25
3 a)
y x x x x

2 5
(4 2 )(3 7 )= + −
7 6 3 2
28 14 12 6y x x x x⇒ = − − + +
0,50
6 5 2
' 196 84 36 12y x x x x⇒ = − − + +
0,50
b)
y x
2 3
(2 sin 2 )= +
y x x x
2 2
' 3(2 sin 2 ) .4sin2 .cos2⇒ = +
0,50
y x x
2
' 6(2 sin 2 ).sin4⇒ = +
0,50
WWW.TOANCAPBA.NET
24
WWW.TOANCAPBA.NET
4
0,25
a)
ABCD là hình vuông ⇒ AC⊥BD (1)
S.ABCD là chóp đều nên SO⊥(ABCD) ⇒
SO AC⊥
(2)

0,50
Từ (1) và (2) ⇒ AC
⊥
(SBD)
AC SD
⇒ ⊥
0,25
b) Từ giả thiết M, N là trung điểm các cạnh SA, SC nên MN // AC
(3)
0,50
AC ⊥ (SBD) (4). Từ (3) và (4) ⇒ MN ⊥ (SBD)
0,50
c)
Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều và AB = SA = a nên ∆SBC
đều cạnh a. Gọi K là trung điểm BC ⇒ OK ⊥ BC và SK ⊥ BC
0,25
⇒
( )
·
SBC ABCD SKO( ),( )
ϕ
= =
0,25
Tam giác vuông SOK có OK =
a
2
, SK =
a 3
2
0,25

⇒
·
a
OK
SKO
SK
a
1
2
cos cos
3 3
2
ϕ
= = = =
0,25
5a
Gọi
f x m x x x
3
( ) ( 1) ( 2) 2 3= − + + +
⇒
f x( )
liên tục trên R 0,25
f(1) = 5, f(–2) = –1 ⇒ f(–2).f(1) < 0
0,50
⇒ PT
f x( ) 0=
có ít nhất một nghiệm
c m R( 2;1),∈ − ∀ ∈
0,25

6a a)
y x x
4 2
3 4= − −
⇒
y x x
3
4 6
′
= −
0,25
y x x x x x
3 2
2 4 6 2 ( 1)(2 2 1) 0
′
= ⇔ − = ⇔ + − − =
0,25
⇔
x x x
1 3 1 3
1; ;
2 2
− +
= − = =
0,50
b)
Tại
0
1x =
⇒

y k y
0
6, (1) 2
′
= − = = −
0,50
Phương trình tiếp tuyến là
y x2 4= − −
0,50
5b
Gọi
f x m m x x
2 4
( ) ( 1) 2 2= + + + −
⇒
f x( )
liên tục trên R 0,25
f(0) = –2, f(1) =
2
2
1 3
1 0
2 4
m m m
 
+ + = + + >
 ÷
 
⇒ f(0).f(1) < 0 0,50
Kết luận phương trình

f x( ) 0=
đã cho có ít nhất một nghiệm
c m(0;1),∈ ∀
0,25
6b a)
y f x x x
2
( ) ( 1)( 1)= = − +
f x x x x
3 2
( ) 1⇒ = + − −
f x x x
2
( ) 3 2 1
′
⇒ = + −
0,50
WWW.TOANCAPBA.NET
25