Bài tập về hệ thấu kính gương

PHƯƠNG PHÁP TƯƠNG TỰ
TRONG CÁC BÀI TOÁN HỆ THẤU KÍNH- GƯƠNG
Ths. Vũ Đức Thọ- Hiệu trưởng THPT Chuyên Lê Hồng Phong
Cơ sở cơ bản của phương pháp này là ta có thể thay thế một hệ Thấu kính-
Gương đồng trục bằng một gương phẳng hoặc gương cầu tương đương bằng cách tìm
những điểm và những mặt phẳng đặc biệt đặc trưng cho hệ mà với những điểm và
những mặt phẳng này ta thu được kết quả tương tự như những kết quả đã thu được với
một gương. Ưu điểm của phương pháp này là ta đưa ra được hệ phương trình đơn
giản và không cần chú ý đến đường truyền của tia sáng trong hệ.
I- CÁC BÀI TOÁN VÍ DỤ:
Bài toán 1: Một quang hệ gồm một thấu kính hội tụ mỏng có tiêu cự f và một gương
phẳng được đặt sao cho trục chính của thấu kính vuông góc với gương, mặt phản xạ
hướng về phía thấu kính. Khoảng cách giữa thấu kính và gương là l.
1. Chứng tỏ rằng quang hệ trên tương đương với một gương cầu. Nêu cách xác
định vị trí của tiêu điểm, đỉnh của gương cầu đó.
2. Khoảng cách l cần phải thoả mãn điều kiện gì để quang hệ trên tương đương
với một gương cầu lồi hoặc tương đương với một gương cầu lõm?
(Trích đề thi HSG quốc gia năm 2008)
Bài giải:
Trước hết ta xét các trường hợp đặc biệt :
1- Trường hợp 1: Mọi tia tới đi qua tiêu điểm vật F của
TKHT sau khi qua hệ bị bật ngược trở lại . Như vậy
tiêu điểm vật F có đặc tính là tâm của một gương cầu .
2- Trường hợp 2: Xét điểm O trên trục
chính mà ảnh của nó là điểm O
2
(đỉnh
của gương phẳng). Mọi tia sáng qua O
đều cho tia phản xạ đối xứng với tia tới
qua trục chính, tia ló cuối cùng có
đường kéo dài qua O. Như vậy điểm O

có đặc tính là đỉnh của một gương cầu.
Trang 1/7
Vậy: Hệ Thấu kính – Gương ở
trên có thể thay bằng một gương
cầu tương đương có tâm C
≡
F và
đỉnh tại O. Bài toán về hệ thấu
kính- gương được đưa về bài toán
gương cầu tương đương.
- Xác định đỉnh O:
'
1 1
2
TK
d d
O O→
Vì O
2
ở sau O
1
nên O
2
sẽ là ảnh thật
của O qua thấu kính
'
1
d l→ =
.
Vị trí của O đối với thấu kính xác định bởi:

1 1
lf
OO d
l f
= =
−
(1)
Ta có
2
1 1 1 1
OO
lf f
OC OC OO OC f
l f l f
= + = − + = − + =−
− −
(2)
Tiêu cự của gương xác định bởi:
( )
2
OF
2 2
G G
OC f
f
l f
= = = −
−
(3)
Chú ý: ta cũng có thể xác định vị trí tiêu điểm của gương tương đương theo định

nghĩa: chùm sáng song song sau khi qua hệ sẽ đồng quy tại một điểm, điểm đó chính
là tiêu điểm của hệ
+ Sơ đồ tạo ảnh:
' ' '
1 1 2 2 3 3 1
1 2 3
G
TK G TK
d d d d d d O F
A A A A
→∞ =
→ → →
.
+ Vì
'
1 1
d d f→∞ ⇒ =
;
( )
' '
2 1 2 2
;d l d l f d d l f= − = − =− =− −
( )
( )
' '
3
3 2 1 3
3
2
2

2 2
G
f l f
d f
d l d l f O F d
d f l f
−
= − = − ⇒ = = =
− −
Có
1 1 1 1
OO
G G G
OF O F OO O F= + = − +
Trang 2/7
( )
( )
2
2
2 2 2
G
f l f
lf f
f
l f l f l f
−
⇔ = − + = −
− − −
trùng với công thức (3)
2. Để hệ có thể thay thế bằng gương cầu lồi thì đỉnh O phải nằm phía trước của tâm F

(so với chiều truyền tia sáng). Như vậy O phải là vật thật của thấu kính L và cho ảnh
thật tại O
2
.
Ta có
1
0
lf
d
l f
= >
−
. Vì
, 0f l >
l f→ >
+ Có
2
1 1
OF
lf f
OO O F f
l f l f
= − = − =
− −

+ Tiêu cự của gương cầu tương đương bằng
( )
2
OF
f =-

2 2
G
f
l f
= −
−
- Để hệ có thể thay thế bằng gương cầu lõm thì đỉnh O phải nằm phía sau của tâm F
(so với chiều truyền tia sáng). Như vậy O phải là vật ảo của thấu kính L và cho ảnh
thật tại O
2
.
Ta có
1
0
lf
d
l f
= <
−
. Vì
, 0f l >
l f→ <
+ Có
2
1 1
OF
lf f
OO O F f
l f l f
= + = − + = −

− −
(cần chú ý là l <f)
+ Tiêu cự của gương cầu lõm tương đương bằng
( )
2
OF
f =
2 2
G
f
l f
= −
−
với l <f
Bài toán 2: Đặt một vật AB vuông góc với trục chính của một thấu kính hội tụ tiêu cự
f. Sau thấu kính đặt một gương phẳng có mặt phản xạ hướng về phía thấu kính, vuông
góc với trục chính của thấu kính, cách thấu kính 30cm, người ta thấy rằng có hai vị trí
của vật cho ảnh ở vị trí của vật. Hai vị trí này cách nhau 40cm. Xác định tiêu cự thấu
kính.
Bài giải
Tương tự như bài toán trên, ta sẽ thay hệ bằng một gương cầu tương đương có tiêu
cự
( ) ( )
2 2
f
2 2 30
G
f f
l f f
= − = −

− −
.
Trang 3/7
Tâm C và đỉnh O các thấu kính những đoạn
1
lf
OO
l f
=
−
;
1
OC f=
Hai vị trí của vật mà cho ảnh trùng vị trí vật tương ứng với vật đặt tại tâm C và đỉnh O
40 20
G
OC cm f cm→ = ⇒ = ±
Trường hợp
( )
2
20 20
2 30
G
f
f cm
f
= ⇒ − =
−
2
40 1200 0f f⇔ − + = →

Phương trình vô nghiệm.
Trường hợp
( )
2
20 20
2 30
G
f
f cm
f
= − ⇒ − = −
−
2
40 1200 0 20f f f cm⇔ + − = → =
hoặc
60 0f cm=− < →
loại
Vậy
20f cm=
Bài toán 3: Quang hệ đồng trục gồm một thấu kính phân kì O
1
tiêu cự
f−
và một
gương phẳng O
2
đặt cách nhau
2 f
. Xác định vị trí đặt vật trước hệ để ảnh cuối cùng
nhỏ hơn vật 7 lần .

Bài giải:
Tương tự như bài toán trên, ta sẽ thay hệ bằng một gương cầu tương đương có tiêu
cự
( )
( )
( )
2
2
f 0
2 2 2 6
G
f
f f
l f f f
−
= − = − = − < →
− − − 
 
hệ được thay bằng gương cầu lồi.
Vị trí đỉnh O xác định bởi:
( )
1
2
2
3 3
f f
lf f
OO
l f f
× −

= = = − →
−
đỉnh O nằm sau
thấu kính.
Vị trí tâm C:
1
OC f=−
- Vì gương cầu lồi, vật thật luôn cho ảnh ảo nên theo giả thiết ta có k = 1/7
Đặt
OA d=
, ta có :
/ 6 1
/ 6 6 7
G
G
f f f
k d f
d f d f d f
= = = = ⇒ =
− + +

1 1
2
3 3
f f
O A O O OA f= + =− + =
. Vậy AB cách thấu kính O
1
A = f/3
Bài toán 4: Một hệ gồm TKPK tiêu cự f = - 20cm đặt cùng trục chính với một gương

cầu lõm . Người ta thấy đặt vật ở bất kì vị trí nào trước thấu hính ảnh cuối cùng cũng
Trang 4/7
là một ảnh ảo bằng vật.
1. Xác định vị trí tâm C của gương
2. Dịch chuyển gương ra xa thấu kính thêm một đoạn 4cm. Tìm vị trí đặt vật sao
cho ảnh cuối cùng là ảnh thật bằng vật.
3. Lúc đó , nếu đặt vật tại tiêu diện ảnh của thấu kính thì sẽ thấy ảnh cuối cùng là
ảnh ảo lớn gấp 2,5 lần vật. Xác định khoảng cách giữa TK và G và tiêu cự gương.
Bài giải :
Trước hết ta nhận xét một số điểm đặc biệt:
- Trên trục chính của hệ ta luôn tìm được một điểm C
1
mà ảnh của nó qua thấu
kính là tâm C của gương. Khi đó mọi tia sáng đi qua C
1
đều cho tia ló ra khỏi hệ bật
ngược trở lại. Điểm C
1
có đặc tính của tâm của một gương cầu tương đương.
- Đồng thời trên trục chính ta cũng tìm được một điểm O mà ảnh của nó qua
thấu kính là điểm O
2
(đỉnh của gương cầu). Khi đó mọi tia sáng đi qua O đều cho tia
ló đối xứng với tia tới qua trục chính. Điểm O khi đó có đặc tính là đỉnh của một
gương cầu.
Để O sau khi qua thấu kính phân kì cho ảnh thật tại O
2
thì O phải là vật ảo và
nằm trong khoảng thấu kính và gương.
Như vậy hệ thấu kính – gương trong trường hợp này được thay thế bằng một

gương cầu tương đương có tâm tại C
1
và có đỉnh tại O.
1. Để ảnh cuối cùng luôn là ảnh ảo bằng vật thì gương được thay thế là gương phẳng.
Như vậy tâm C
1
phải ở vô cực. Khi đó C trùng với tiêu điểm ảnh F’ của thấu kính
(tức là cách thấu kính 20cm).
2. Khi dịch chuyển gương ra xa thấu kính 4cm thì tâm C cách thấu kính 16 cm. Vì C
là ảnh ảo của C
1
qua thấu kính . Ta có:
Trang 5/7

1 1
16.( 20)
80 0
16 20
OC cm
− −
= = >
− +

Vì tâm C
1
ở trước gương nên hệ khi đó được thay thế bằng một gương cầu lõm.
Để ảnh cuối cùng là ảnh thật bằng
vật thì AB phải đặt tại tâm C
1
của gương

tương đương , tức là cách thấu kính 80cm.
3. Đặt
1 2
;OA d O O l= =
. Vì O là vị trí vật đối
với thấu kính, sau khi qua thấu kính cho ảnh
thật tại O
2
. Ta có:
1
20
20
fl l
OO
l f l
= =−
− +
(1)
Gọi
G
f
là tiêu cự của gương cầu tương đương. Vì vật đặt tại tiêu diện ảnh của
thấu kính nên là vật thật sau khi gương cho ảnh ảo sẽ cùng chiều vật
2,4k→ =+
.
2,5 0,6
G
G
G
f

k d f
d f
= − = ⇒ =
−
(2)
Ta có:
1 1 1 1
20 40 400
20
20 20
l l
d OA OO O A OO O A
l l
+
= = + = − + = + =
+ +
+
1 1 1 1 1 1 1
20
80
20
l
OC OO OC OO OC
l
= + = − + = +
+
1
10
40
2 20

G
OC l
f
l
⇒ = = +
+
(3)
Thay vào (2):
40 400 10
0,6 40 8
20 20
l l
l cm
l l
+
 
= × + ⇒ =
 ÷
+ +
 
Cuối cùng để tính tiêu cự của gương cầu lõm ban đầu ta căn cứ vào hình vẽ:
2
2 ' 16 24 ' 12O C f l cm f cm= = + = ⇒ =
II- BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 5: Một quang hệ đồng trục gồm một thấu kính hội tụ tiêu cự 20cm đăt đồng trục
với một gương phẳng mặt phản xạ của gương quay về thấu kính và cách thấu kính
50cm. Một vật sáng AB đặt trước thấu kính, cách thấu kính d
1

1. d

1
= 30cm. Xác định vị trí, tính chất , độ phóng đại của ảnh qua hệ. Vẽ ảnh.
Trang 6/7
2. Đặt vật sát thấu kính rồi tịnh tiến vật xa hệ. Khảo sát sự thay đổi , tính chất, độ
phóng đại ảnh.
3. Xác định vị trí đặt vật để ảnh qua hệ có vị trí trùng vật.
Bài 6: Cho hệ quang học như hình vẽ. Gương có tiêu
cự f
2
=-20cm. Điểm sáng S trước gương cách gương
40cm. Khi dịch chuyển thấu kính trong khoảng giữa
điểm sáng và gương ta chỉ tìm được một vị trí của thấu
kính cho ảnh của S trùng với S. Tìm tiêu cự của thấu
kính? Vẽ ảnh?
Bài 7: Một thấu kính phân kì có f
1
= - 60cm đặt cùng trục với gương cầu lõm. Gương
đặt đúng tiêu diện của thấu kính. Người ta thấy đặt vật ở bất kì vị trí nào trước thấu
kính ảnh cuối cùng cũng là ảnh thật. Xác định tiêu cự của gương.
Trang 7/7